情報幾何学の基礎3.5-3.7です。(https://www.amazon.co.jp//dp/4434208810) ほぼ、教科書どおりですが一部補足的な説明をいてれいます。

1. 復習
が 接続 : 濃 鰐 。 昭 は 器 器
を 満たす アゾ の こと
つまり 、
、
局所 座標系 の 変換 に 対応 し て
、
ぶ が
変換 が ある よう な 接続 係数 が 多様 体
に 与え られる こと .
以下 、 多様 体 を 心 と 書く

2. 曲 率テンソル 場
R :
xwyxxlmxxl.MN で 川
に
は 、 Y 、
ZI 1
つ の 日に は し た が な
( XT は 他 の ピ 級 ベクトル 場 全体 ノ
性
筩 0 なら ば 平行 移動 が 経路 に よら ない
で
テンソル 性
( RHX.gY.hztfghRLX.Y.tl ) を満たす
、
いっ) 型 テンソル 場 と 見 な な
2~TTYR.tlMIX X ( MIX X ( M ) → XIM )
疲 こ かい 姒 が 川 X で は川 が 例 → 0 km )
nerve

3. 捩 率 テンソル 場
た が ツメ XIM ) - ) で 川
( X 4 1 1 -
) T -
T
-
[ X .
Y]
性質
r
た 0 なら ば 平行 移動 先 は 経路 に よら ない
・
テンソル 性 ( THX .
9 4に 打た どり )
・
1 .
1
.
2) 型 テンソル 場 と 見なせる 、
T :
XIM ) XIM ) -
) XIM )
票 が ツメ が 川 メメ ( MH 0 CM )

4. 3 .
5 章の 内容
を
興味 平坦 ⇐ 」 で 巡 の各 点の 周り に
てっきりLaine が アフィン 座標 近傍が
存在
し
齵を 持つ 人
R も T も 共に 恒等 的
は公
なる 時 ハル は 不 平坦 で ある と いう
-_-
㔟つ に 接続 力 を もつ 川 の 座標 近傍 ( い た が )
っていうにおい で 接続 係数 印 が } が 恒等 的 に 0 と なる と き
|1
い た が 1 で アイン座標 近傍 といい 局所座標 鯏 を
隊 黔

5. 注意
nnnt
曲 率 R や 捩 率 T は テンソル 場 な ので 、
それ が 0 に なる という
性質 は 、 局所 座標 系 に よら ない 。
一方 、
接続 係数 は
テンソル 場 で は ない ので 兄が な 0 が 全て の PEU で 成り だ
という 性質 は 座標系の
取り 方 に 依存 する
、
証明
ii) まで
は より 接続 係数 が 恒等 的 に 0 .
となる 局所 座標系 が ある
が 4
) より
Rii み ぷ ー
お 屁 と の は 1 だ が た 。
( 3 .
1
8 ) より
Tij
"
こ ぼ ー
だ
く
こ 0
よって
、
M は P 平坦

6. "
箱管所 座標 系 について 、
Ra た 0 の 時 、 任意 の
座標 近傍
ux 、
灬
で 1
から 1
% に 0 を 満たす 座標 近傍 に ぶろ り へ
の 変換 が あり 、
それ が 同相 事象 で あれ ば 、
ルル の
座標 近傍 と なる
① 変よ 魚 が ある こと について
「
接続 係数 の 座標 変換 の
式 は 5) より、
に 品
に
器 器 器 +
翡。 器 ( 3.io
)
を 示せ ば よい ( 以下 教科書 と 同じ )
さて、 恒等 式 : 背 發 ン
Sf の 両辺 を ご で 偏 微分 する と 、
簶 + 器 器が -0
両辺 に Jacobi 行列 鬼 と 器 の 逆 行列 を かける と 、
髄 -
鐫 舞 器が

7. この 式 を し 3.201 は 代入 する と
0
る
劇で い 蠟 環
艶 が 齶
ば が 、
劇
な
意 の 知識 に み
) を 示せ ば よい 、
連立 方程式の 形 で 書く と 、
選 = 0 と
20 た
が

8. この
連立 偏 微分 方程式の
可積分 条件 は
-
が どこ
も
が が
鼗 器
より 、
これら を 使用 すると 、
「
蕊 、
簶 録 な 点 で い た後 なら ば だ な 」
、
鬱 蕊 銃 ( 雌 に 誂 渺 が ・
蠑 簶
t
。 潜
2 兆 斌 / とは 別 で ん だり 屁な 0 と は 砒 はん Roto
で

9. 仮定より た 0.RO な ので 、
連立 微分 方程式 は な積分。
今 、
p EU に おい て い で の 局所 座標 表示 で 初期 条件 ( 弥 は 哆
を与える 。
これ を 満たす は 川 の 解 が な 積分 で ある こと から 、
阿 近傍
で 存在 する 。 よって 、
初期 条件 を dee は 冽 は 0 となる が ) で
取れ ば、 逆 景 像 定理 より 、 U -
) 4 の
座標 変換 は 同相 写像
と し 、 ぽ ) を 満たす 座標 近傍 ( いが ろり が 存在 する 、 on
Them 3.5 は
多様 体 M に 座標 近傍 ( いが とい ぽ ) が あっ て 1 で は
局所 で アフィン
座木栗系だっ た とする。
この 時 UAV において 1 列 も
|
鬱鬱鬱鬱嚚鬱鬱鬱鬱 鬱鬱.ee?Tsss.iEhA
は 孝久 科 書 に

10. 3 - 6 章
R.am 計量 心 み 型テンソル 929 ijdedxbgij.is ば 劇
Riemann 多様体 : Riemann 計量 9 が 与えられた 多様体 ( M.gl と書く
んが Riemann 接続 、
( Levi -
Civitas 接続 )
Riemann 多様 体 は り の 各 座標 近傍 心 が、
一
で 1 において 、
っきりだ が こ だ た が こま しむ 9jkttj9.int は ij )
で 定まる M の アフィン 接続 と いう。 また この 接続 が 定める
(
以上 の 平行 移動 を 山 に ムバ で
平行 移動 と い
3_neez.nl分から なかっ た )
聖式 で 定が され た 関数の 組 で
ぷ がた に 接続 を 定める か 、
座標変換 則 : 隊 等 楽器 品 は 離 器 を満たせ ば ?

11. やっ て み た が 出来なかっ た 跡
座標 近傍 ( 4c31 -5 ) において 、 Riemann 接続 が 阪 」接続前 は
t
局
C
」 が
ない ( 器 器 が it 。楽な
な )
に
し た。
一 が
こ ば 鷃 、
私 外戚
-
B な 3
3
T.ir たが 9 ek
9 で 9 ab 死 が 、
悩み を
こ
ぷ ( Joe
c
'
da De
2
( 鐚 翺 曦 ( 画 砲
C
.
2 を
_
が _
De
ン
( 農農 Pab た 。
だが iida 列
環 最高 で 鼗 ど 選

12. Riemann 接続 の 性質
@Pij.k は なお とる の 内 種
•
た。
状 =
9 し ない ん に 91 がみ みた が
91de.dkHyek@Pij.kと ア げ の 情報 は 同等 ( 全 単射)
・
9 は 正 定値 行列 な ので 、
正則 、
お 2 逆 行列 が あり、 9
か
と 書ける
ヌ、
9 ggjhft よって 、
な、 に なに な たばこ がよ どこ が 、
よっ て 正則 行列 で
移る ので 、
全 単射 、

13. 讃 が
な 曲線 ( ピー 級 ) に しか ない だろ う
に
沿っ た
2euicita~EEEpg.TT移動 を 始 と 書く と 、
任意 の t.me た 姚 に対し 、
9 似 た と
の だ。 い ない し
た か
|-1証明 )
に 沿っ て 平行 な 2 つ の ベクトル場 に 作 。
1
,
な 区間 に対し 、
内積 9 、 田
( Yp い ない が 不変 で ある こと を 示せ ば よい 。
これ は 、
戦い が 細っ た が 2 0 と 同値 。
成分 表示 に 考える 、
Ye が なし み たり 、
Z か が は 知
9 似 た い た が 9 かげ di de は 仙 弘 がはがし 珱
よっ て
新 が 伽 は 継げ 判 =
は 別 が ぼ +9 が1 鈊 渕

14. Y. 2- はく に 沿っ て
平行 な ので
、
」
が 唎 が 内 で は なり
がい ど が 1 で も ただ で も
これら を 代入 する と
新 明に は ( は9,1
とが だら が なだらか と なり で
だ 9 げ な の だ 9 げた れ
た が 心 t Pwi でどこ 蟵 御 げ ど
い、よって 、
イン テラ クス いれかえ
新 ( 4.
2-
) 北 は はら ) 一応 ;
ー
た 川 で ど が
Riemann 接続 の 定 が 式 より 、
t.si ;
-
屁 が 届い た9 ij
-
え は9
ijtdigk-tjg.it#tk9iittj9ikts)=Iltk9ij-Lgji)-Jl2i9jk-ti9
が 、
主 は 9 に お 9 ik )
= 0 ( gij_gji.gs に 9 が 、
9 は 9 ik より 1
.
よ、 2 Riemann 接続 が 定める 平行 移動 は 、
内 禾 集 大変 で ある

15. 定理 16.2 were
Riemann 多様 体 術 ) の アフィン 接続 7 が Riemann 接続 で ある
ため の 必要十分条件 は 、
7 が 計量 的 で あっ た が 捩 新 が 0 である こと1--2-8し
続 が 計量的 で ある と は 、
計 量 が平行 移動 で 保た れる こと
1--29--9--81証明 )
計量 的 1 た 0 の アイン 接続 は Riemann 接続 、
計量 的 で ある 時 、
み 9
が .it T.it igjk 2
局 は 属 が9 .. に 尿
.it?ji.kti9jktdj9kintkgij=(Pij.ktPji.a)tYkJPkij)tlPjki-Pkjil
た 0 より 、 なに な i.k.Pn.it?.i.j,PiiuTji なっ た
tigjkttjgkrtag.TN?j.k
よ、 て Riemann 接続 の
定ギ 式 となる 、

16. アフィン 接 矮 が Riemann 接続 も 計量的 n た 。
定理3.6 、
1
より 、
Riemann 接続 の 計量 的 、
ヌ、 Riemann 接続 は
ij で 対称 なの で たが、
こ
ななに かない が 、
よっ て た
と
の t.tn た 0 0
nzzmee
座標系 によら ない Riemann 接続
T.ir 9 し
た Y .
2-
)、
軍学的 で ある こと は 以下 のよう に なる 、
Xg (
Y.ZHMY.ZHH.KZ/Y9lEXk9eDt9CZ.RX)Z9LX.Y1=9RzX.Y)H(X.)
よって 、
xgly.ZHYglz.DZ 94.4 に 917×4.2-
) +91 を )
+ (9 1 4 .
が ) -917 が 41419 になり s N 、
かり

17. ここ で 、
g の 対称 性 と 線形 性 より、
9 1 4. e
-
9 姒 は 914 や xz -
砂 ,
9 (た が 人 が 、 列 物 に は 剛
た 0 何 か に 名 に [ ドは 2 0 より 、
914,1 の 子 が 刈 に 914,4 、
砂、
9 ( いし だ 砂
に9 (X ,
[ Y、
ZJ )
方 が 1
.
が 9 は、 列 29 側 が 9 し た が ほぼ ない なら 別
これら を 代入 する と 、
こ 29 例 が +91 で LY は
見附 ながい に は ) で1
9 は 州 で は 別 -9 は 、
[ YH
-
9 ( Y.LX.ES ) -
9 ( X .
では
川
が { kg に は 1
+49 は 州 で がり -914.1 が
列
tg ( 4 .
に は 、
竹 は 、
ムバ
川
( 托 孤 積 の
対称 性 を 使用 し な
よって、 教科書 の
通り と なっ た

18. 3.の 部分 多様体
っきり
智然 数 mn は m < n を 満たし て いる と する の 次元 多様体 N の 部分集合化 が
N の m 次元 部分 多様 体 で ある と は 、 M の 任意 の 郎 の 周り に 、 N の ある
座標 近傍 ( しこ かっか ) が とれて は のし で は がた 、
一 が 北 となる こ
2fnmzi.HRの 部分集合 で ある 単位 球面 の 仁 には 、 の ER で た の 時 11 は 部分 多様体
M 上 の 点 を かける 。
p = 1 で 列 列 。
原点 で はない ので、
で は、
と の どれか は0 で はない 、
簡単の ため 、
で 7 0 と する .
P を 含む R
'
の 開 集合 に 他 は 、
引 で は 4 ,
Z > 0 1 と定 が する
、
これ は 、
R
' における U の
局所 座標系 と なる 、
U に 、
別 の 局所 座標 系 を入れる 。
4 : Un P
'
91 で は、
かこ ( x . の Z -
FEF ) と 定義する
、
どこ が 1 と する。 4 は ピー 級 微分 同相 写像 と なる
よって ( U .
4) は 成 の 座標 近傍

19. U
'
を ( a .
b .
4 を 表す、
U
'
を 4 で N に 引き戻す と 、
座標 変換 は 、
「
ax.by CA -
Fotyhy と なる、
王 求 面 上 で 、
CaO より 、
MU U -
1 1
ab.de UI に
01
Z 70 と した が、
ZO で も 成立 、
又 、
Z のみ ならず、
0.2 で も 成立、
よって 、
M 上の 任意 の 点 で
MUUTIX.AZ/EUlxwortoore1 が
MM 2 次 多様 体 と なる 、
篠鬣欝鼗 雋多様 体 性 で の 部分多様 体 とす
るtTEf
任意 の
p
EM と KYE NMI に対し 、
TYPE TPM
と なる 時 、 M は 接続 力 に関する N の 自己 平行部分 多様 体
u.int

20. clef .
全 測地 的 部分 多様 体
N を アフィン 接続 マ を 持つ 多様体 、
ルイ を " の 部分 多様体 と する
| 鑾の
祭質と た嵓器 、
? の 鬱鬱.TT/PHEMと なるとき 、 M は 接続 力 に関する N の 全 測地 的
部分 多様 体 で ある
という 、
-
つまり 、 全 測地 的 部分 多様 体 で ある と PEM を通り 、 1つ で M に
接する
"
N の
り
測地 線 が 、
州 の 中 に 留まっ て いる という こと 、
The 3 .
7 -
1
tthhf14 を アフィン 接続 7 を 持つ 多様体 、
MIN の 部分多様体
と する 、
ルル が 自己 平行 で ある なら ば 、
ルイ は全 測地 的 で
如leesee

21. ( 補足) 自己平行 なら ば た と 0 ( に し が 、
mH と は
叶
定義より 、
肩 が なれ、
自 と 平行の 場合 、
"
( にげ ミツ
に ijtm において 、
ntltk En の
影響 は 常に ない 。
よって この 成分の 接続 係数 は 0 .
で ある
必要 が ある 、
以上 から
だ た 。 11 代 に m.mn ん に 川

22. ( 証明 )
从 が 自己平行 で ある とき か を局所 的 に し
た ー
」
が 、
0.no ) と
表す
N の
座標 近傍 ( いが が 、
が 、
一
刈 に関する 接続 係数
だ が 全ての 任じ た m.mn EKIN に対して 、
M 上 で Pfo 、
今 、
がし りこ が 10120 Lmt に k En ) で 、
1 4 の 測地 線 方程式の
で ない が 印 に1 1 姚 成 にいこ 0
で 装 が い tf だが 城 に 0 倒
これ は 任意 の 初期 条件 は 4 0 1
.
が H Hwan に対して 一意な
解 ( かい ー
が 円 ) を 持っ 、
ヌ、 mt に km で
は 新 能 など が 8 ixboa で は 0
で は い i
mini( mH W = 0
2 0 ( orntl t.tl ( ど - 0 )

23. もし が し
た atl ( 0 で の 時
a. 塒 選 で 望地 で 北 で は
総 灤 ど
た。
任意 の だ 成り立つ 時 awo 、
御だ
が
よって で は こ 0 .
よっ 2 .
で は 0 ( mt に は
川
以上 より 、 測地線 は 1で は
一
で は 0 .
.
.
. 0) となり 、
M は 全シ 則 地 的
Th .
7 .
2
の
筋籖襲器霳 鬱鬱 器、
leeels一s一し
教科書 の
通り な ので、 スキップ)

24. 、
鬱鬱!鬱鬱鬱鬱 鬱鬱 時 以下 が
訕TTTTf
Mm 次元 部分 多様 体 M が 自己 平行
↳ 仏 が N の
アフィン 座標 系 D.im の アフィン 部分空間 に対応 。
つまり 、
M の ある局所 座標系 例 に au
と rank Azm なる
nxm 行列 A 、
および BER " が あり、
以下 の よう に なる
ilne _

25. (証明 )
か) M が 自己平行 なら、
平坦 な N の アファイン 接続 から 川 に
誘導 さ れた 接続 戸 の 曲 率も 捩率 も 0 。
よって 、 M は
し、 アファイン 座標 系を 持つ 。 それを 1 34, un とする。
M 上 で ( Men は かに に m の
関数 と なり 、
共 変 徳 欠 分の 定か と 接続 係数 の 変換 より
0 -
T.ba た が ( 飛器 なな 器が み、
も) に ien は N の が アフィン 座標 系 な ので 卩が w
よ っし 器 が 0 、
これ を 解く と
巘 川

26. k) が 2 0 で
鼷が 1 割 は 讞 」 より
か ね ば 鄂州-
劇 teay
これ が 全ての 点 p
で 成立 する ので 、
やり たい m を 拡張 して 、
13 en.TO で は En
を とる と
Radb こ
Paste O .
( に a に ml
よって 、
名 が-0
( 1 Eab Em 、
mtkc En ) より .
M は 自己 平行 。
さらに 座標 系 ( 列 a.am
は 、
元 アイン 座標 系

27. まとめ 、
( アフィン 接続 の 性質 1
曲 率0 07
が 計量的 部分多様体○
S と 8 0
e.
'
鼗
淑○蠟
全 測
な
① Riemann 多様 体
fし
t 」
:
翻
巉:鬱鬱
.tt?
鼷 鬱鬱 鬱鬱望