1. 統計学
第1回

2. 全体像
• マスに入った日本酒の体積は？
• 1回目測定値が100.5立方センチメートル
• 2回目測定値が100.7立方センチメートル
• 100回目測定値が100.1立方センチメートル
• 100回測定したがバラツキがある
• 本当の値、真の値を求めたい
• どのように表現したらよいか？

3. 全体像
• 平均値は100.2立方センチメートルと出た。
• この平均値もバラツキがある（もう100回測定
したら別の平均値が出る）
• 真の値＋誤差
というモデルを考える
• 誤差は正規分布(釣鐘型の山の形)に従うと
知られている

4. 全体像
• 真の値を平均値で推測する
• 100.2±誤差
• 誤差は分散で推測できる（分散とは平均値からの
データのバラツキ度合い)
• 計算で分散の平方根（標準偏差）が0.001だと求まっ
た
• 真の値±誤差
→ 100.2±2×0.001
上記の式で約95%は信頼できる
95%の信頼とは正規分布の中心（平均値）からのバラツ
キが標準偏差の2倍くらいになる範囲が95%信頼区間

5. 全体像
• 以上が統計的推定、統計量の内容
• 統計量とは、平均値や分散、標準偏差などの指標の
こと
• 統計学では「正規分布」など、「確率分布」であらかじ
めデータがどのようにふるまうか分かっているので、
確率分布を利用して求めたい値を推定している。
• 平均値は代表値（100回測定した値の代表）
• 分散は平均値からのデータのバラツキを表す度合い。
データと平均値の差を2乗したものをデータ数で割って
いる。σ^2（シグマ2乗）で表現される。
• 標準偏差は分散の平方根、σ（シグマ）で表現される、
分散が2乗なので平方根をとっている。

6. 全体像
• 1組の英語の平均点が70点、2組の英語の平均
点が65点。
帰無仮説：1組と2組の平均点は等しい
対立仮説：1組と2組の平均点は異なる
帰無仮説とは「無に帰す仮説」。確率分布で「1組と
2組の平均点は等しい」が5%未満であれば珍しい
として、帰無仮説を棄却（否定）し、対立仮説を採
用する。
以上が統計的仮説検定。

7. 全体像
• 統計学はあらかじめ知られている確率分布
（正規分布、ｔ分布、F分布、カイ二乗分布、幾
何分布、二項分布、ポアソン分布、指数分布
など）を用いて、統計的推定や統計的仮説検
定を行っている。

8. 全体像
• 相関係数とは2つの観測値（XとY）が直線的な
関係（線形）の度合いを示す。たとえば、身長
が大きければ体重も大きくなるような関係な
ど。
• 上述の確率分布や相関係数を使って、2つ以
上の観測値（変数X、Yなど）から変数間の関
係をモデル式で表したり、予測したりすること
ができる。→線形モデル

9. データとは？
• 情報科学
– 現実を表しているもの
• データ圧縮
• DNA
• 可視化
• 統計学
– データを発生させる何らかのメカニズムがある

10. 統計学のデータとは？
• データは標本の実現値
標本
メカニズム
標本 母集団
分布
標本

11. 統計学で大切なことは？
• 仮説を持つということ！

12. 統計学で大切なことは？
• ジョーカーを除いたトランプ52枚から10枚取り
出し、トランプの値の平均値を求めた。
– 取った10枚を元に戻して、再び10枚とって平均値
を求める
– 10枚とって計算した平均値はバラツク、変動する
– どのようにバラツクのか？
• バラツキかたを知ることが構造を知るというこ
と！

13. どう考えるのか？
• Simple is the Best !
– まずはシンプルに考える
• どうしてこんなグラフの形になるのかを考える

14. どう考えるのか？
• 仮説0
– 1つの構造が1つある
• 仮説1
– 同じ構造が2つある ←やりやすい！！
• 仮説2
– 違う構造が2つある

15. どう考えるのか？
• 信念
– 平均値は何かを表しているはず、という信念
𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + ⋯ + 𝑋100
𝑥=
100

16. 確率事象
• 確率
– あるできごとが起きたり起きなかったりするものに対
して、起きる度合い。
• 事象
– できごとみたいなもの。現象。
• 確率事象
– あるできごとが起きたり起きなかったりする現象。

17. 確率事象
• 一番シンプルなものを考える
– 状態が2つ
• コインの表と裏
数値へマッピング
(数式、数値で表現)
X=1 ←コイン(X)が表(1)という意味
X=0 ←コイン(X)が裏(0)という意味
表：P（コイン＝表）
裏：P（コイン＝裏）
P(X=1) ←コインが表の確率
P(X=0) ←コインが裏の確率

18. なぜ数式で表現するのか？
• 数式は厳密に考えられる
• 数式は世界共通語
• 話し言葉よりも数式で表現した方がシンプルになると
きもある
• テキストに記述されている数式をまねして、手で書い
てなぞっていくと、少しずつ慣れてくる
• 統計学は数式(数学)を道具として活用している
• 基本は足し算、引き算、掛け算、割り算で理解できる
ので慣れることが必要
• P, pは確率(probabilityのp)、変数はX, x, Y, yなどを使う
• ｆ（ｘ）のfは関数(function)のf

19. 用語への慣れ
• 変数
– いろいろな数値が入る入れ物みたいなもの
– Ｘ、Yなどで表現する
• 確率変数
– 数値の入れ物が確率的な振る舞い(起きたり起こらなかったり)をする
変数
• 関数
– 関数f（x）という箱にｘを入力するとｙが出力されるようなイメージ。ある
値を入力するとある値が出力される箱（仕組み、メカニズム、モデル)
のようなもの。
• モデル
– メカニズムを表現した数式や言葉を指す
• 分布
– 確率変数の振る舞い、あらかじめ知られているメカニズム、モデルの
ようなもの

20. コインの表と裏
P(X=1)>=0 ←コインが表の確率はゼロ以上
P(X=0)>=0 ←コインが裏の確率はゼロ以上
P(X=1)+P(X=0)=1 ←表と裏の確率の和は1
P(X=1)=p ←表の確率をp
P(X=0)=1-P(X=1)=1-p ←裏の確率を1-p
P(X1=1)=p, P(X2=1)=p ←1回目投げたら表、2回目投げたら表
X1とX2は独立と仮定 ← 1回目と2回目は影響しあっていない
統計学では「独立」という前提が多い
P(X1=1 かつ X2=1)=P(X1=1)×P(X2=1)
← 1回目投げたら表、かつ2回目投げたら表になる確率

21. コインの表と裏(ベルヌーイ試行)
ベルヌーイ試行：２つの値しか出ない確率事象の試み
P(X=1)>=0
P(X1=1, X2=1)=p×p 表×表
P(X1=1, X2=0)=p×(1-p) 表×裏
P(X1=0, X2=1)=(1-p)×p 裏×表
P(X1=0, X2=0)=(1-p)^2 裏×裏
P^2+p(1-p)+(1-p)p+(1-p)^2=1
←上記4パターンの確率の合計は1

22. 幾何分布
• コインを投げて、k回目で表が出る確率(k-1回
目までは裏が続く)
• 裏、裏、裏、・・・、裏、表
P(X=k)=(1-p)(1-p)・・・(1-p)p
=(1-p)^(k-1)×p
• 幾何分布とは成功するまでの確率分布を表
す

23. 二項分布
• ベルヌーイ試行(コインの表と裏のように確率
変数が「0」か「1」の2値パターン)をN回行うと
きの確率分布を表す

24. コインの表と裏を再考
• コインの表が出る確率をｐとする
• 公平なコインであれば確率pは1/2であるとい
えるのか？
• 本当の確率pの値が分からない
→データから推定する
何回目 0回目 1回目 2回目 3回目
コインの状態 - 表 表 表
確率p 1/2 1/2といえ
る？