2. 이 챕터는 이렇게 시작합니다.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
3. 발표내용과, 각각의 난이도 입니다.
80
70
난
이
도
10 10
역사 이야기 여러가지 성질 gcd에 관한 생성함수
정리A
Agenda
4. 가볍게 역사 이야기부터 해보죠.
80
70
난
이
도
10 10
역사 이야기 여러가지 성질 gcd에 관한 생성함수
정리A
Agenda
5. 레오나르도 피보나치 (1170 – 1250)
13세기 이탈리아의 수학자.
한 달에 한 쌍씩의 새끼를 낳는 토끼의
마리 수를 구하는 연습문제를 저서에 소개.
I Hate You! T.T…
자연현상에서 관찰되는 피보나치 수는
토끼문제의 가정과 비슷한 이유일 거라고 추정된다.
[Conway, Guy, The Book of Numbers (New York: Copernicus, 1996)]
6. 한 쌍의 어린 토끼가 있습니다.
한 쌍의 토끼는 한달 후면 어른토끼가 되고,
어른토끼 한 쌍은 매달 한 쌍의 토끼를 낳습니다.
1
1
2
3
5
8
13
http://blog.naver.com/devotion20/80120887670
7. 알고리즘과는 뭔 상관인가?!
덧셈에 대한 좋은 컴퓨터 연습문제.
1.1E (유클리드 알고리즘) 의 수 m과 n이 보다 크지 않으면
단계 E2는 많아야 k+1번 수행됨.
아니오
E1. 나머지를 구한다. E2. 나머지가 0인가? E3. 맞줄임
예
수학자 뤼까는 피보나치 수를 이용해 39자리 수
이 소수임을 증명.
8. 잠시 삼천포로… 황금비율
1.2.1에서 귀납법으로 증명.
초기 유럽 수학자
제이콥(Simon Jacob)이 알아냄.
9. 자, 이제 몇 가지 성질들을 알아보죠.
80
70
난
이
도
10 10
역사 이야기 여러가지 성질 gcd에 관한 생성함수
정리A
Agenda
10. ������ ������
������������+������ ������������−������ − ������������ = (−������) … (4)
증명:
1. 귀납법으로 쉽게 증명
2. 좀 더 난해한 방법으로 증명 : 다음과 같은 행렬 항등식을
간단한 귀납법으로 증명하고, 양변의 행렬식을 취한다.
������������+1 ������������ ������
1 1
=
������������ ������������−1 1 0
저는 1번 바로 귀납법 증명은 못 풀었고요, 2번이 더 쉬웠습니다.
13. ������ ������
������������+������ ������������−������ − ������������ = (−������) …… (4)
관계식 (4)는 ������������ 과 ������������+������ 이
서로 소임을 보여준다……고…하던데…
14. ������ ������
������������+������ ������������−������ − ������������ = (−������) …… (4)
• ������������ 과 ������������+������ 가 공약수 a를 가진다면 식 (4)의 좌변은
공통의 약수로 묶어낼 수 있고, a(p + q) 형태가 된다.
• 우변은 (−������)������ 이니까, 좌변의 약수 a는
-1의 제곱으로만 표현되는 수다.
• 그럼 a는 고작 해봐야 1 아니면 -1밖에 될 수 없겠네.
• 따라서 ������������ 과 ������������+������ 의 공약수는 1뿐이다 : 서로 소.
17. gcd에 관한 정리 A. 안전벨트 하세요.
80
70
난
이
도
10 10
역사 이야기 여러가지 성질 gcd에 관한 생성함수
정리A
Agenda
18. 정리 A (뤼카 E. Lucas, 1876). d=gcd(m,n) 이라고 할 때,
어떠한 수가 만일 ������������ 를 나눈다면, 그리고 오직 그럴 때에만
그 수는 ������������ 과 ������������ 모두를 나눈다. 즉,
gcd(������������ , ������������ )= ������gcd(������,������) .
������������ 0 1 1 2 3 5 8…
������������ ������������ ������������
������ 0 1 2 3 4 5 6… d m n
19. gcd(������������ , ������������ )= ������gcd(������,������) .
증명. 유클리드 알고리즘을 이용.
������������+������ = ������������ ������������+1 + ������������−1 ������������ …… 식 (6)
• ������������ 과 ������������ 의 모든 공약수는 ������������+������ 의 약수이기도 하다.
• ������������+������ 과 ������������ 의 모든 공약수 역시 ������������ ������������+1 의 약수.
서로 소
• ������������+������ 과 ������������ 의 모든 공약수 역시 ������������ 의 약수.
오직 d가 ������������+������ 과 ������������ 을 나눌 때에만
…… 명제 (8)
d는 ������������ 과 ������������ 을 나눈다.
20. 명제 (8)을 만족하면서 ������0 = 0인 임의의 수열 < ������������ >이 정리 A를 만족함을 증명
(피보나치 수열은 명제 (8)도 만족하고 ������0 = 0인 수열니까 같이 증명되는 셈.)
오직 d가 ������������+������ 과 ������������ 을 나눌 때에만 d는 ������������ 과 ������������ 을 나눈다.
k에 대한 귀납법을 거치면…
오직 d가 ������������+������������ 과 ������������ 을 나눌 때에만 d는 ������������ 과 ������������ 을 나눈다.
이 결과를 좀 더 간명하게 표현하면…
오직 d가 ������������ 과 ������������ 을 나눌 때에만
… 명제 (9)
d는 ������������ ������������������ ������ 과 ������������ 을 나눈다.
21. 명제 (9)
오직 d가 ������������ 과 ������������ 을 나눌 때에만
d는 ������������ ������������������ ������ 과 ������������ 을 나눈다.
r = ������ ������������������ ������라고 적어보면, (r은 m을 n으로 나눈 나머지)
오직 d가 ������������ 과 ������������ 을 나눌 때에만
d는 ������������ 과 ������������ 을 나눈다.
*������������ , ������������ }의 공약수들은 *������������ , ������������ }의 공약수와 같다.
유클리드 알고리즘 조작과정에서 m과 n이 변해도
*������������ , ������������ }의 공약수 집합은 변하지 않음.
(마지막 r=0일 경우, 공약수 집합은 ������0 = 0과 ������gcd(������,������) 의 공약수들)
22. 이제 마지막 내용, 생성함수 입니다.
80
70
난
이
도
10 10
역사 이야기 여러가지 성질 gcd에 관한 생성함수
정리A
Agenda
23. 다음과 같은 무한급수를 설정한다.
������ ������ = ������0 + ������1 ������ + ������2 ������ 2 + ������3 ������ 3 + ������4 ������ 4 +…
= ������ + ������ 2 + ������ 3 + ������ 4 + ⋯
115페이지.
네, 교수님은 낙관적이셔서 참 좋으시겠어요.
이런 시도 안 하는 나는 비관적인 거야 뭐야…