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TAOCP #1
   1.2.8. 피보나치 수열

                        아꿈사
   http://cafe.naver.com/architect1


                        최성기
이 챕터는 이렇게 시작합니다.




0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
발표내용과, 각각의 난이도 입니다.
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    역사 이야기   여러가지 성질     gcd에 관한   생성함수
                           정리A
                    Agenda
가볍게 역사 이야기부터 해보죠.
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    역사 이야기   여러가지 성질     gcd에 관한   생성함수
                           정리A
                    Agenda
레오나르도 피보나치 (1170 – 1250)

13세기 이탈리아의 수학자.
한 달에 한 쌍씩의 새끼를 낳는 토끼의
마리 수를 구하는 연습문제를 저서에 소개.


                                                                  I Hate You! T.T…
자연현상에서 관찰되는 피보나치 수는
토끼문제의 가정과 비슷한 이유일 거라고 추정된다.
[Conway, Guy, The Book of Numbers (New York: Copernicus, 1996)]
한 쌍의 어린 토끼가 있습니다.
한 쌍의 토끼는 한달 후면 어른토끼가 되고,
어른토끼 한 쌍은 매달 한 쌍의 토끼를 낳습니다.
                                                    1

                                                    1

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    http://blog.naver.com/devotion20/80120887670
알고리즘과는 뭔 상관인가?!
 덧셈에 대한 좋은 컴퓨터 연습문제.
 1.1E (유클리드 알고리즘) 의 수 m과 n이     보다 크지 않으면
  단계 E2는 많아야 k+1번 수행됨.

                                 아니오
E1. 나머지를 구한다.    E2. 나머지가 0인가?         E3. 맞줄임
                        예


 수학자 뤼까는 피보나치 수를 이용해 39자리 수
       이 소수임을 증명.
잠시 삼천포로…   황금비율



               1.2.1에서 귀납법으로 증명.




              초기 유럽 수학자
              제이콥(Simon Jacob)이 알아냄.
자, 이제 몇 가지 성질들을 알아보죠.
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    역사 이야기   여러가지 성질     gcd에 관한   생성함수
                           정리A
                    Agenda
������               ������
������������+������ ������������−������ −        ������������     = (−������)        … (4)

증명:
 1. 귀납법으로 쉽게 증명
 2. 좀 더 난해한 방법으로 증명 : 다음과 같은 행렬 항등식을
      간단한 귀납법으로 증명하고, 양변의 행렬식을 취한다.


       ������������+1     ������������           ������
                         1   1
                       =
         ������������   ������������−1   1   0


      저는 1번 바로 귀납법 증명은 못 풀었고요, 2번이 더 쉬웠습니다.
������������+1     ������������           ������
                   1   1
                 =              임을 귀납법으로 증명해보자.
   ������������   ������������−1   1   0




n=1일 때,

    ������2   ������1                          1
                1      1   1         1
              =          =             이므로 참이다.
    ������1   ������0   1      0   1         0
������������+1      ������������                     ������
                    1             1
                  =
   ������������    ������������−1   1             0
n=k일 때,

    ������������+1         ������������   1           1 ������
                        =                  가 참이라면
      ������������       ������������−1   1           0
          ������+1               ������                ������������+1      ������������
1    1             1     1            1    1                          1 1
                 =                           =
1    0             1     0            1    0     ������������    ������������−1       1 0

                   ������������+1 + ������������           ������������+1   ������������+2   ������������+1
                 =                                =
                   ������������ + ������������−1             ������������   ������������+1     ������������
                  … 이므로 n=k+1도 참이다.
������         ������
������������+������ ������������−������ −   ������������   = (−������)    …… (4)


관계식 (4)는 ������������ 과 ������������+������ 이
서로 소임을 보여준다……고…하던데…
������         ������
������������+������ ������������−������ −   ������������   = (−������)    …… (4)



• ������������ 과 ������������+������ 가 공약수 a를 가진다면 식 (4)의 좌변은
 공통의 약수로 묶어낼 수 있고, a(p + q) 형태가 된다.
• 우변은 (−������)������ 이니까, 좌변의 약수 a는
 -1의 제곱으로만 표현되는 수다.
• 그럼 a는 고작 해봐야 1 아니면 -1밖에 될 수 없겠네.
• 따라서 ������������ 과 ������������+������ 의 공약수는 1뿐이다 : 서로 소.
������0 = 0; ������1 = 1; ������������+2 = ������������+1 + ������������ , ������ ≥ 0   …… (2)

������������+2   = 1������������+1 + 1������������
������������+3   = ������������+2 + ������������+1 = 2������������+1 + 1������������
������������+4   = ������������+3 + ������������+2 = 3������������+1 + 2������������
������������+5   = ������������+4 + ������������+3 = 5������������+1 + 3������������
������������+6   = ������������+5 + ������������+4 = 8������������+1 + 5������������
������������+7   = ������������+6 + ������������+5 = 13������������+1 + 8������������

…귀납법을 통해 일반화하면, 임의의 양의 정수 m에 대해


 ������������+������ = ������������ ������������+1 + ������������−1 ������������                      (6)
������������+������ = ������������ ������������+1 + ������������−1 ������������                     (6)

  식 (6)에서 m이 n의 배수이면,
  귀납법을 통해서 다음을 알 수 있다.


  ������������������ 는 ������������ 의 배수이다.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, …
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, …
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, …
gcd에 관한 정리 A. 안전벨트 하세요.
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    역사 이야기   여러가지 성질     gcd에 관한   생성함수
                           정리A
                    Agenda
정리 A (뤼카 E. Lucas, 1876). d=gcd(m,n) 이라고 할 때,
     어떠한 수가 만일 ������������ 를 나눈다면, 그리고 오직 그럴 때에만
     그 수는 ������������ 과 ������������ 모두를 나눈다. 즉,


gcd(������������ , ������������ )= ������gcd(������,������) .

������������   0 1 1 2 3 5 8…
                        ������������   ������������   ������������


������     0 1 2 3 4 5 6…   d      m      n
gcd(������������ , ������������ )= ������gcd(������,������) .
  증명. 유클리드 알고리즘을 이용.

 ������������+������ = ������������ ������������+1 + ������������−1 ������������   …… 식 (6)


• ������������ 과 ������������ 의 모든 공약수는 ������������+������ 의 약수이기도 하다.
• ������������+������ 과 ������������ 의 모든 공약수 역시 ������������ ������������+1 의 약수.
                       서로 소
• ������������+������ 과 ������������ 의 모든 공약수 역시 ������������ 의 약수.

      오직 d가 ������������+������ 과 ������������ 을 나눌 때에만
                                            …… 명제 (8)
            d는 ������������ 과 ������������ 을 나눈다.
명제 (8)을 만족하면서 ������0 = 0인 임의의 수열 < ������������ >이 정리 A를 만족함을 증명
 (피보나치 수열은 명제 (8)도 만족하고 ������0 = 0인 수열니까 같이 증명되는 셈.)


오직 d가 ������������+������ 과 ������������ 을 나눌 때에만 d는 ������������ 과 ������������ 을 나눈다.

 k에 대한 귀납법을 거치면…

오직 d가 ������������+������������ 과 ������������ 을 나눌 때에만 d는 ������������ 과 ������������ 을 나눈다.

 이 결과를 좀 더 간명하게 표현하면…


      오직 d가 ������������ 과 ������������ 을 나눌 때에만
                                             … 명제 (9)

      d는 ������������ ������������������ ������ 과 ������������ 을 나눈다.
명제 (9)
 오직 d가 ������������ 과 ������������ 을 나눌 때에만
         d는 ������������ ������������������ ������ 과 ������������ 을 나눈다.

r = ������ ������������������ ������라고 적어보면, (r은 m을 n으로 나눈 나머지)

 오직 d가 ������������ 과 ������������ 을 나눌 때에만
      d는 ������������ 과 ������������ 을 나눈다.

*������������ , ������������ }의 공약수들은 *������������ , ������������ }의 공약수와 같다.

유클리드 알고리즘 조작과정에서 m과 n이 변해도

*������������ , ������������ }의 공약수 집합은 변하지 않음.
(마지막 r=0일 경우, 공약수 집합은 ������0 = 0과 ������gcd(������,������) 의 공약수들)
이제 마지막 내용, 생성함수 입니다.
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    역사 이야기   여러가지 성질     gcd에 관한   생성함수
                           정리A
                    Agenda
다음과 같은 무한급수를 설정한다.

������ ������ = ������0 + ������1 ������ + ������2 ������ 2 + ������3 ������ 3 + ������4 ������ 4 +…
      = ������ + ������ 2 + ������ 3 + ������ 4 + ⋯



                                            115페이지.




네, 교수님은 낙관적이셔서 참 좋으시겠어요.
이런 시도 안 하는 나는 비관적인 거야 뭐야…
������ ������ = ������0 + ������1 ������ + ������2 ������ 2 + ������3 ������ 3 + ������4 ������ 4 +…
z와 ������ 2 을 곱해서 두 식을 만든다.

������������ ������ = ������0 ������ + ������1 ������ 2 + ������2 ������ 3 + ������3 ������ 4 + ������4 ������ 5 +…
������ 2 ������ ������ =       ������0 ������ 2 + ������1 ������ 3 + ������2 ������ 4 + ������3 ������ 5 +…

처음 식에서 두 식을 빼고 정리하면,

1 − ������ − ������ 2 ������ ������ = ������0 + ������1 − ������0 ������ + ������2 − ������1 − ������0 ������ 2
      + ������3 − ������2 − ������1 ������ 3 + ������4 − ������3 − ������2 ������ 4 + ⋯ =   z
                                                       2
������ ������ = ������/ 1 − ������ − ������                                           (11)
이제 ������ ������ 의 조작을 통해서 < ������������ >에 대해 더 많은 것을 알아낼 수 있다.

                                       2
   ������ ������ = ������/ 1 − ������ − ������
                             1
분모 1 − ������ −   ������ 2   의 실근은       −1 ± 5 . 부분분수 기법으로 전개(?)
                             2

              1
              1       1                       여기서 ∅는
 ������ ������ =          −                                       1
         5 1 − ∅������ 1 − ∅������                     ∅ = 1 − ∅ = (1 − 5)
                                                          2


수량 1/(1- ∅������)은 무한 등비급수 1 + ∅������ + ∅2 ������ 2 + ⋯ 의 합이므로

            1
  ������ ������ =         (1 + ∅������ + ∅2 ������ 2 + ⋯ − 1 − ∅������ − ∅2 ������ 2 − ⋯ )
              5
                                                 다음 페이지 계속…
1
������ ������ =        (1 + ∅������ + ∅2 ������ 2 + ⋯ − 1 − ∅������ − ∅2 ������ 2 − ⋯ )
          5
������ ������ = ������0 + ������1 ������ + ������2 ������ 2 + ������3 ������ 3 + ������4 ������ 4 +…   (제일 처음 정의)


여기서 ������ ������ 의 계수들은 ������������ 의 값들과 같아야 하며, 따라서


                 1           ������             ������
 ������������ =                (∅ − ∅ )
                   5                                (14)


피보나치 수의 중요한 닫힌 형식 공식. 18세기 초에 처음 발견됨.
1
 ������������ =      (∅������     − ∅������ )를 통해 알 수 있는 여러 가지 것들:
           5


1. ∅가 음수(-0.61803…)이고 절대값이 단위원보다 작으므로,
     n이 커지면 ∅이 매우 작아진다. 따라서,
                ∅������
         ������������ =     를 가장 가까운 정수로 반올림한 것.
                 5

             2        1    1                         1              2
2.    ������(������) =          (                   +                −           2)
                      5 (1−∅������)2                  (1−∅������)2       1−������−������

3. ������(������)2 의 ������ ������ 항의 계수는                 ������
                                          ������=0   ������������ ������������−������ 이므로 다음식이 유도된다.
                 ������                     1             2
                        ������������ ������������−������   = ������ − 1 ������������ + ������������������−1
                 ������=0                   5             5
끝. 질문은
         님께~

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캐드앤그래픽스 2024년 5월호 목차
 

110212 [아꿈사발표자료] taocp#1 1.2.8. 피보나치수열

  • 1. TAOCP #1 1.2.8. 피보나치 수열 아꿈사 http://cafe.naver.com/architect1 최성기
  • 2. 이 챕터는 이렇게 시작합니다. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
  • 3. 발표내용과, 각각의 난이도 입니다. 80 70 난 이 도 10 10 역사 이야기 여러가지 성질 gcd에 관한 생성함수 정리A Agenda
  • 4. 가볍게 역사 이야기부터 해보죠. 80 70 난 이 도 10 10 역사 이야기 여러가지 성질 gcd에 관한 생성함수 정리A Agenda
  • 5. 레오나르도 피보나치 (1170 – 1250) 13세기 이탈리아의 수학자. 한 달에 한 쌍씩의 새끼를 낳는 토끼의 마리 수를 구하는 연습문제를 저서에 소개. I Hate You! T.T… 자연현상에서 관찰되는 피보나치 수는 토끼문제의 가정과 비슷한 이유일 거라고 추정된다. [Conway, Guy, The Book of Numbers (New York: Copernicus, 1996)]
  • 6. 한 쌍의 어린 토끼가 있습니다. 한 쌍의 토끼는 한달 후면 어른토끼가 되고, 어른토끼 한 쌍은 매달 한 쌍의 토끼를 낳습니다. 1 1 2 3 5 8 13 http://blog.naver.com/devotion20/80120887670
  • 7. 알고리즘과는 뭔 상관인가?!  덧셈에 대한 좋은 컴퓨터 연습문제.  1.1E (유클리드 알고리즘) 의 수 m과 n이 보다 크지 않으면 단계 E2는 많아야 k+1번 수행됨. 아니오 E1. 나머지를 구한다. E2. 나머지가 0인가? E3. 맞줄임 예  수학자 뤼까는 피보나치 수를 이용해 39자리 수 이 소수임을 증명.
  • 8. 잠시 삼천포로… 황금비율 1.2.1에서 귀납법으로 증명. 초기 유럽 수학자 제이콥(Simon Jacob)이 알아냄.
  • 9. 자, 이제 몇 가지 성질들을 알아보죠. 80 70 난 이 도 10 10 역사 이야기 여러가지 성질 gcd에 관한 생성함수 정리A Agenda
  • 10. ������ ������ ������������+������ ������������−������ − ������������ = (−������) … (4) 증명: 1. 귀납법으로 쉽게 증명 2. 좀 더 난해한 방법으로 증명 : 다음과 같은 행렬 항등식을 간단한 귀납법으로 증명하고, 양변의 행렬식을 취한다. ������������+1 ������������ ������ 1 1 = ������������ ������������−1 1 0 저는 1번 바로 귀납법 증명은 못 풀었고요, 2번이 더 쉬웠습니다.
  • 11. ������������+1 ������������ ������ 1 1 = 임을 귀납법으로 증명해보자. ������������ ������������−1 1 0 n=1일 때, ������2 ������1 1 1 1 1 1 = = 이므로 참이다. ������1 ������0 1 0 1 0
  • 12. ������������+1 ������������ ������ 1 1 = ������������ ������������−1 1 0 n=k일 때, ������������+1 ������������ 1 1 ������ = 가 참이라면 ������������ ������������−1 1 0 ������+1 ������ ������������+1 ������������ 1 1 1 1 1 1 1 1 = = 1 0 1 0 1 0 ������������ ������������−1 1 0 ������������+1 + ������������ ������������+1 ������������+2 ������������+1 = = ������������ + ������������−1 ������������ ������������+1 ������������ … 이므로 n=k+1도 참이다.
  • 13. ������ ������ ������������+������ ������������−������ − ������������ = (−������) …… (4) 관계식 (4)는 ������������ 과 ������������+������ 이 서로 소임을 보여준다……고…하던데…
  • 14. ������ ������ ������������+������ ������������−������ − ������������ = (−������) …… (4) • ������������ 과 ������������+������ 가 공약수 a를 가진다면 식 (4)의 좌변은 공통의 약수로 묶어낼 수 있고, a(p + q) 형태가 된다. • 우변은 (−������)������ 이니까, 좌변의 약수 a는 -1의 제곱으로만 표현되는 수다. • 그럼 a는 고작 해봐야 1 아니면 -1밖에 될 수 없겠네. • 따라서 ������������ 과 ������������+������ 의 공약수는 1뿐이다 : 서로 소.
  • 15. ������0 = 0; ������1 = 1; ������������+2 = ������������+1 + ������������ , ������ ≥ 0 …… (2) ������������+2 = 1������������+1 + 1������������ ������������+3 = ������������+2 + ������������+1 = 2������������+1 + 1������������ ������������+4 = ������������+3 + ������������+2 = 3������������+1 + 2������������ ������������+5 = ������������+4 + ������������+3 = 5������������+1 + 3������������ ������������+6 = ������������+5 + ������������+4 = 8������������+1 + 5������������ ������������+7 = ������������+6 + ������������+5 = 13������������+1 + 8������������ …귀납법을 통해 일반화하면, 임의의 양의 정수 m에 대해 ������������+������ = ������������ ������������+1 + ������������−1 ������������ (6)
  • 16. ������������+������ = ������������ ������������+1 + ������������−1 ������������ (6) 식 (6)에서 m이 n의 배수이면, 귀납법을 통해서 다음을 알 수 있다. ������������������ 는 ������������ 의 배수이다. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, … 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, … 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, …
  • 17. gcd에 관한 정리 A. 안전벨트 하세요. 80 70 난 이 도 10 10 역사 이야기 여러가지 성질 gcd에 관한 생성함수 정리A Agenda
  • 18. 정리 A (뤼카 E. Lucas, 1876). d=gcd(m,n) 이라고 할 때, 어떠한 수가 만일 ������������ 를 나눈다면, 그리고 오직 그럴 때에만 그 수는 ������������ 과 ������������ 모두를 나눈다. 즉, gcd(������������ , ������������ )= ������gcd(������,������) . ������������ 0 1 1 2 3 5 8… ������������ ������������ ������������ ������ 0 1 2 3 4 5 6… d m n
  • 19. gcd(������������ , ������������ )= ������gcd(������,������) . 증명. 유클리드 알고리즘을 이용. ������������+������ = ������������ ������������+1 + ������������−1 ������������ …… 식 (6) • ������������ 과 ������������ 의 모든 공약수는 ������������+������ 의 약수이기도 하다. • ������������+������ 과 ������������ 의 모든 공약수 역시 ������������ ������������+1 의 약수. 서로 소 • ������������+������ 과 ������������ 의 모든 공약수 역시 ������������ 의 약수. 오직 d가 ������������+������ 과 ������������ 을 나눌 때에만 …… 명제 (8) d는 ������������ 과 ������������ 을 나눈다.
  • 20. 명제 (8)을 만족하면서 ������0 = 0인 임의의 수열 < ������������ >이 정리 A를 만족함을 증명 (피보나치 수열은 명제 (8)도 만족하고 ������0 = 0인 수열니까 같이 증명되는 셈.) 오직 d가 ������������+������ 과 ������������ 을 나눌 때에만 d는 ������������ 과 ������������ 을 나눈다. k에 대한 귀납법을 거치면… 오직 d가 ������������+������������ 과 ������������ 을 나눌 때에만 d는 ������������ 과 ������������ 을 나눈다. 이 결과를 좀 더 간명하게 표현하면… 오직 d가 ������������ 과 ������������ 을 나눌 때에만 … 명제 (9) d는 ������������ ������������������ ������ 과 ������������ 을 나눈다.
  • 21. 명제 (9) 오직 d가 ������������ 과 ������������ 을 나눌 때에만 d는 ������������ ������������������ ������ 과 ������������ 을 나눈다. r = ������ ������������������ ������라고 적어보면, (r은 m을 n으로 나눈 나머지) 오직 d가 ������������ 과 ������������ 을 나눌 때에만 d는 ������������ 과 ������������ 을 나눈다. *������������ , ������������ }의 공약수들은 *������������ , ������������ }의 공약수와 같다. 유클리드 알고리즘 조작과정에서 m과 n이 변해도 *������������ , ������������ }의 공약수 집합은 변하지 않음. (마지막 r=0일 경우, 공약수 집합은 ������0 = 0과 ������gcd(������,������) 의 공약수들)
  • 22. 이제 마지막 내용, 생성함수 입니다. 80 70 난 이 도 10 10 역사 이야기 여러가지 성질 gcd에 관한 생성함수 정리A Agenda
  • 23. 다음과 같은 무한급수를 설정한다. ������ ������ = ������0 + ������1 ������ + ������2 ������ 2 + ������3 ������ 3 + ������4 ������ 4 +… = ������ + ������ 2 + ������ 3 + ������ 4 + ⋯ 115페이지. 네, 교수님은 낙관적이셔서 참 좋으시겠어요. 이런 시도 안 하는 나는 비관적인 거야 뭐야…
  • 24. ������ ������ = ������0 + ������1 ������ + ������2 ������ 2 + ������3 ������ 3 + ������4 ������ 4 +… z와 ������ 2 을 곱해서 두 식을 만든다. ������������ ������ = ������0 ������ + ������1 ������ 2 + ������2 ������ 3 + ������3 ������ 4 + ������4 ������ 5 +… ������ 2 ������ ������ = ������0 ������ 2 + ������1 ������ 3 + ������2 ������ 4 + ������3 ������ 5 +… 처음 식에서 두 식을 빼고 정리하면, 1 − ������ − ������ 2 ������ ������ = ������0 + ������1 − ������0 ������ + ������2 − ������1 − ������0 ������ 2 + ������3 − ������2 − ������1 ������ 3 + ������4 − ������3 − ������2 ������ 4 + ⋯ = z 2 ������ ������ = ������/ 1 − ������ − ������ (11)
  • 25. 이제 ������ ������ 의 조작을 통해서 < ������������ >에 대해 더 많은 것을 알아낼 수 있다. 2 ������ ������ = ������/ 1 − ������ − ������ 1 분모 1 − ������ − ������ 2 의 실근은 −1 ± 5 . 부분분수 기법으로 전개(?) 2 1 1 1 여기서 ∅는 ������ ������ = − 1 5 1 − ∅������ 1 − ∅������ ∅ = 1 − ∅ = (1 − 5) 2 수량 1/(1- ∅������)은 무한 등비급수 1 + ∅������ + ∅2 ������ 2 + ⋯ 의 합이므로 1 ������ ������ = (1 + ∅������ + ∅2 ������ 2 + ⋯ − 1 − ∅������ − ∅2 ������ 2 − ⋯ ) 5 다음 페이지 계속…
  • 26. 1 ������ ������ = (1 + ∅������ + ∅2 ������ 2 + ⋯ − 1 − ∅������ − ∅2 ������ 2 − ⋯ ) 5 ������ ������ = ������0 + ������1 ������ + ������2 ������ 2 + ������3 ������ 3 + ������4 ������ 4 +… (제일 처음 정의) 여기서 ������ ������ 의 계수들은 ������������ 의 값들과 같아야 하며, 따라서 1 ������ ������ ������������ = (∅ − ∅ ) 5 (14) 피보나치 수의 중요한 닫힌 형식 공식. 18세기 초에 처음 발견됨.
  • 27. 1 ������������ = (∅������ − ∅������ )를 통해 알 수 있는 여러 가지 것들: 5 1. ∅가 음수(-0.61803…)이고 절대값이 단위원보다 작으므로, n이 커지면 ∅이 매우 작아진다. 따라서, ∅������ ������������ = 를 가장 가까운 정수로 반올림한 것. 5 2 1 1 1 2 2. ������(������) = ( + − 2) 5 (1−∅������)2 (1−∅������)2 1−������−������ 3. ������(������)2 의 ������ ������ 항의 계수는 ������ ������=0 ������������ ������������−������ 이므로 다음식이 유도된다. ������ 1 2 ������������ ������������−������ = ������ − 1 ������������ + ������������������−1 ������=0 5 5
  • 28. 끝. 질문은 님께~