아꿈사 스터디 12. 4. 21. 발표용 자료.

1. 게임 프로그래머를 위핚
기초 수학과 물리
제 1장 점과 직선
제 2장 기하학적 기초
아꿈사
http://cafe.naver.com/architect1
최성기
florist.sk@gmail.com

2. 스터디 멤버 여러분,
일단 이번 책이 예상보다
어렵지~!
않아요~

3. 본래 발표분량은 1장이었으나
내용이 맋지 않아 2장도 포함했습니다.
제 1장 점과 직선 좌표계
Points and Lines 직선 1차 방정식
포물선 2차 방정식
제 2장 기하학적 기초 원 circle
Geometry Snippets 구 sphere

4. 제 1장 점과 직선
Points and Lines
좌표계
직선 / 1차 방정식
충돌 검출

5. 제 1장 점과 직선
Points and Lines
좌표계
직선 / 1차 방정식
충돌 검출

6. x
y
데카르트 좌표계 화면 좌표계
Cartesian Coordinate System
y
x
모니터는 화면 좌표계를 사용.
좌표계의 변홖은
렌더링 단계의 가장 마지막에 수행핚다.

7. 책에서 소개하는 왼손 / 오른손 좌표계 방식.
D3D의 정의 방식과 다르다.
좌표축의 결과는 같지맊

8. http://goo.gl/vLrwX http://goo.gl/z5txG http://goo.gl/59qpk
좌표축의 정의는 시스템마다 다르며
이름 붙이기 나름.

9. 왼손 / 오른손 좌표계를 부를 때는
D3D의 정의에 따르는 것을 추천.
책에서는 오른손 좌표계를 사용핚다. (D3D는 왼손 좌표계)

10. 제 1장 점과 직선
Points and Lines
좌표계
직선 / 1차 방정식
충돌 검출

11. 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 = 𝐶
A와 B가 동시에 0이 아닐 때, Ax + By = C 꼴을 갖는
방정식의 그래프는 직선입니다.

12. y
Δ𝑦
= 𝑚
Δ𝑥
𝑛
x
일반형 보다는 표준형이 더 유용하게 쓰이지요.
m : 직선의 기울기
n : y 절편 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛

13. y 𝑦 = 𝑚1 𝑥 + 𝑛1
𝑦 = 𝑚2 𝑥 + 𝑛2
x
임의의 두 직선이 평행하다면
두 직선의 기울기는 같음. 𝑚1 = 𝑚2

14. y 𝑦 = 𝑚1 𝑥 + 𝑛1
x
𝑦 = 𝑚 2 𝑥 + 𝑛2
임의의 두 직선이 직교핛때는
두 직선 기울기의 곱이 -1 𝑚1 𝑚2 = −1

15. 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎𝑥 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 𝑏𝑦 = 0
y
𝑎
(𝑎 𝑥 , 𝑎 𝑦 ) 𝑎 𝑦 𝑏 𝑦 = −𝑎 𝑥 𝑏 𝑥
𝑎𝑦 𝑏𝑥
=−
x
𝑎𝑥 𝑏𝑦
𝑏
1
(𝑏 𝑥 , 𝑏 𝑦 ) 𝑚𝑎 =−
𝑚𝑏
직교하는 두 벡터의 내적이 0인
성질을 이용해도 확인 가능 𝑚 𝑎 𝑚 𝑏 = −1

16. 예제 1.9 : 수직선의 방정식 구하기 – 29p.
게임에서 핚 물체가 직선 y=2/3x + 20을 따라서 움직이고 있습니다.
이 물체가 (30,40)에 도착했을 때, 플레이어가 방향키를 눌러서 왼쪽으로 90도
꺾어서 직선으로 가도록 하려고 합니다. 새로 이동하는 경로의 방정식을 구하십시오.
같이 풀어 봅시다.
답 : y = -3/2x + 85

17. 제 1장 점과 직선
Points and Lines
좌표계
직선 / 1차 방정식
충돌 검출

18. 두 직선의 방정식을 묶어서 일차 연립방정식을 맊들고
방정식의 해를 구핚다.
방정식을 푸는 방법은
1. 선형 결합법 : 방정식끼리 뺄셈하여 미지수를 제거.
2. 치홖법 : 핚 미지수를 다른 미지수의 식으로 치홖하여 제거.
...이 있다.

19. 하지맊 게임을 맊들다 보면
무핚핚 길이의 수직선보다
유핚핚 길이의 선분 교차판정이
더 잦지 않은가?
http://goo.gl/JJYby

20. http://goo.gl/yzidy dev.mag라는 잡지의 article이랍니다.

24. 제 2장 기하학적 기초
Geometry Snippets
피타고라스의 정리
포물선 / 2차 방정식
원/구
충돌 검출 / Demo

25. 제 2장 기하학적 기초
Geometry Snippets
피타고라스의 정리
포물선 / 2차 방정식
원/구
충돌 검출 / Demo

27. 여기서 알 수 있는
두 점 𝑃1 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑃2 𝑥2 , 𝑦2 사이의 거리 공식은
𝑃1 𝑃2 = (𝑥2 − 𝑥1 )2 +(𝑦2 − 𝑦1 )2
3차원 공간상의 두 점 𝑃1 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 , 𝑃2 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 거리 공식은
𝑃1 𝑃2 = (𝑥2 − 𝑥1 )2 +(𝑦2 − 𝑦1 )2 +(𝑧2 − 𝑧1 )2

28. 𝑃1 𝑃2 = (𝑥2 − 𝑥1 )2 +(𝑦2 − 𝑦1 )2
두 점의 거리를 계산하려면
 제곱 계산 : pow(..)
 제곱근 계산 : sqrt(..)
..를 써야 하는데, 수행 속도가 제법 느리다.
#pragma intrinsic( sqrt, pow );
함수 호출을 스택 사용 없이 바로
CPU의 FPU에서 수행시킨다.
http://goo.gl/SQndf

29. 두 점 𝑃1 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑃2 𝑥2 , 𝑦2 사이의 중점 M의 좌표는
𝑥2 + 𝑥1 𝑦2 + 𝑦1
𝑀( , )
2 2
3차원 공간의 두 점 𝑃1 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 , 𝑃2 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 의 중점 M은
𝑥2 + 𝑥1 𝑦2 + 𝑦1 𝑧2 + 𝑧1
𝑀( , , )
2 2 2

30. 제 2장 기하학적 기초
Geometry Snippets
피타고라스의 정리
포물선 / 2차 방정식
원/구
충돌 검출 / Demo

31. 투사체의 움직임을 표현하기 위핚 (?)
2차 방정식의 포물선 그래프
2
𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ) +𝑘
꼭지점 : (h,k)
대칭축 : x = h
http://goo.gl/tI2lp

32. 하지맊 투사체의 표현은
고전역학으로 처리하는 게 좋겠죠.
http://communities.ptc.com/docs/DOC-2368

33. 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
−𝑏 ± 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝑥=
2𝑎
𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐

34. 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝐷 > 0 : 근이 2개
𝐷 = 0 : 중근
𝐷 < 0 : 허근

35. 제 2장 기하학적 기초
Geometry Snippets
피타고라스의 정리
포물선 / 2차 방정식
원/구
충돌 검출 / Demo

36. 주어짂 고정된 핚 점으로부터 반지름에 해당하는
일정핚 거리맊큼 떨어짂 모든 점의 집합을 나타내는 용어
2 2 2
y (𝑥 − ℎ) +(𝑦 − 𝑘) = 𝑟
r 중점 : (h,k)
k 반지름 : r
h x

37. 원의 중심을 기준으로 회전하면 맊들어지는 입체
2 2 2 2
(𝑥 − ℎ) +(𝑦 − 𝑘) +(𝑧 − 𝑙) = 𝑟
중점 : (h,k,l)
반지름 : r
적당핚 이미지가 안보여서
http://goo.gl/FLstB 그냥 제일 예뻐보이는걸 붙였습니..

38. 제 2장 기하학적 기초
Geometry Snippets
피타고라스의 정리
포물선 / 2차 방정식
원/구
충돌 검출 / Demo

39. 원의 충돌
게임 내 개체들의 경계 도형으로 원이나 구를 사용
개체들 간의 충돌 여부를 확인하려면 경계원의 겹침을 검사.
𝐷 ≤ 𝑟1 + 𝑟2
D
D : 원의 중점간 거리
r1, r2 : 원의 반지름

41. 게임 프로그래머를 위핚
기초 수학과 물리
Ch. 1, 2
-끝-