tuyệt chiêu giải phương trình

1. BA TUYỆT CHIÊU GIẢI PHƯƠNG TRÌNH-BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
(Cẩm nang ôn thi đại học!)
TG: Ngô Viết Văn-Đào Thị Huê
Các đề thi đại học những năm gần đây yêu cầu học sinh giải PT có chứa căn thức khá phức tạp, hơn
nữa nhiều học sinh quên, yếu, thiếu phần kiến thức phần này. Do vậy tôi trình bày tương đối hệ thống
để các bạn lớp 12 ôn lại, các bạn lớp 10 và 11 sớm làm quen và tập dượt, hy vọng từ những định
hướng đó các bạn sẽ dễ dàng lĩnh hội kiến thức từ các tài liệu tham khảo và giáo viên trên lớp
 Rút gọn+luỹ thừa hai vế pt+Đưa thành PT tích
1. 1 4 13 3 12x x x+ + + = +
Điều kiện 1x ≥ −
Pt⇔ ( 1)(4 13) 1x x x+ + = − −
⇔ 2
1 0
( 1)(4 13) ( 1)
x
x x x
− − ≥

+ + = − −
⇔ 1x = −
2. (ĐH D 05) 411222 =+−+++ xxx
ĐS: x=3
Biến trong căn thành BP và bỏ khỏi căn được: 41)11(2 =+−++ xx
3.
xx
xx
1
1
1
−+−=
ĐK: 1≥x
Bình phương hai vế do không âm….dại thế!
x
x
x
xxx
x
x
x
xPt
11
12
11
1: 22
−=−+−−⇔−=−−
(Do 1≥x thì hai vế không âm )
2
51
0)1( 22 +
=⇔=−−⇔ xxx
4. (ĐH A 04)
3
7
3
3
)16(2 2
−
−
>−+
−
−
x
x
x
x
x
ĐS: 3410 −>x
ĐK, quy đồng MS, được: xxx −>−+− 73)16(2 2
, đây là bài cơ bản
5. (ĐH A 05) 42115 −>−−− xxx
ĐS: [2; 10], Bài hai căn, bình phương hai lần
ĐK: x 2≥ 114224215: −+−−+−>− xxxxxBpt

2. )1)(42(2 −−>+⇔ xxx
6. 4523423 222
+−=+−++− xxxxxx
Bpt: )4)(1(2)3)(1()2)(1( −−=−−+−− xxxxxx
ĐK: 1;4 ≤≥ xx
TH1: 4≥x ; Pt: )4(2)3()2( −=−+− xxx
(Bình phương…dại thế!)
Vì )4()3(,)4()2( −>−−>− xxxx ,
Nên Pt VN ( khôn thế…!)
TH2: 1<x : Pt VNxxx )4(2)3()2( −=−+−
ĐS: x=1
7. (Dự bị D 06) 17821272 2
+−+−+−=−+ xxxxx
ĐS: x=4; x=5, đưa thành tích, nhờ phân tích trong căn và nhóm
ĐK: 71 ≤≤ x
Pt: 0)7)(1(12721 =−−−−−−+− xxxxx
0)21(7)21(1 =−−−−−−−⇔ xxxx
0)21).(71( =−−−−−⇔ xxx
8. (ĐH A 10) 1
)1(21 2
≥
+−−
−
xx
xx
ĐS:
2
53 −
=x
ĐK: x 0≥
Để ý MS luôn dương vì căn nhỏ hơn 1,
Bpt: 1)1(2 2
++−≤+− xxxx
Đến đây dùng BĐT BNC ])()1)[(11(.1)1.(1 22
xxxx +−+≤+−
hoăc BP và nhóm lại
01
01)(2)( 2
=−+⇔
≤++−+
xx
xxxx
9. (ĐH B 10) 08143613 2
=−−+−−+ xxxx
ĐS: x=5
ĐK: 63/1 ≤≤− x ; Dự đoán nghiệm là 5, ta sẽ tạo ra hai liên hợp ứng với hai căn, sao cho có nhân tử
x-5, ta làm như sau: 0)5143()61()413( 2
=−−+−−+−+ xxxx sau khi nhân liên hợp và ra PT tích được
một nhân tử luôn dương trên D
0)13)(5(
61
5
413
153
=+−+
−+
−
+
++
−
xx
x
x
x
x





=++
−+
+
++
=−
⇔
)(0)13(
61
1
413
3
05
VNx
xx
x
 Rút gọn, phân tích rồi đặt ẩn phụ
10. 2 2
3 5 3 7x x x x+ − + = +
Ta đặt 2
3 5x x t− + = ( 0)t ≥ ta được 2
12 0t t+ − = , ta được 1x = − hoặc 4x =
11. (ĐH A 02) 16212244 2
−+−=−++ xxxx
ĐS: x=5
ĐK: x≤4

3. Đặt 044 ≥=−++ txx 44222
−++=⇒ xxxt ,
ta được: t2
-t-12=0 4);(3 =−=⇔ tlt
12. (ĐH NT ) 





+−=−+−
x
x
x
x
1
4
1
22 2
2
ĐS: x=1
Chia TH để xét. Bình phương để kết hợp các bộ nghịch đảo bằng cách đặt
x
x
1
+ =t
ĐK 320
32;320
2/10;02/1
−≤<⇔




≤+−≤<
≤<<≤−
x
xx
xx
Pt: 42,)4()2(252)2(4 222
<≤−=−−+−− tttt
5429 22
+−=−⇔ ttt
01640288 234
=+−+−⇔ tttt 120]87)3()[2( 2
=⇒=⇔=−+−−⇔ xttttt
13. 2 2
5 14 9 20 5 1x x x x x+ + − − − = +
ĐK: 5x ≥ . 2 2 2 2
5 14 9 20 5 1 5 14 9 5 1 20x x x x x x x x x x+ + − − − = + ⇔ + + = + + − −
Bình phương.
( ) ( ) ( ) ( )2 2
2 4 5 3 4 5 4 5 4x x x x x x− − + + = − − +
Đặt
2
4 5
, 0.
4
x x
t t
x
− −
= ≥
+
Ta được: 2 3
2 5 3 0 1,
2
t t t t− + = ⇔ = = . Vậy PT có nghiệm
5 61
, 8
2
x x
+
= = .
14. 1123
>−+− xx : ĐS: );10[],2;1[ +∞
ĐK: 1≥x
Đặt 1,23
≤=− ttx , 3
11 tx −=−⇒
Bpt:



<−+
≤
⇔>−+
0)2(
1
11 2
3
ttt
t
tt
15. 2 2
(4 1) 1 2 2 1x x x x− + = + +
Đặt 2
1x t+ = ( 0)t ≥ ta được phương trình
2
2 (4 1) 2 1 0t x t x− − + − = ⇔ 2 1;t x= − t=1/2
Từ đó, giải tìm x ta được x=4/3
16. 15)2(2 32
+=+ xx ĐS:
2
375 ±
=x
Từ nhận xét HĐT trong căn, và ẩn bên ngoài căn ta đặt u= 1;1 2
+−=+ xxvx sau đó biến đổi hợp lý
để thay vào PT.
)1)(1(5)11(2 22
+−+=+++− xxxxxx
ĐK: 1−≥x
Pt: uvvu 5)(2 22
=+ 0)2()2(2 =−−−⇔ vuvvuu
(Có thể dùng PT bậc hai)
uvvu 2;2 ==⇔
17. 54057 44
=++− xx ĐS: x=-24; x=41
Đặt ẩn phụ đưa về HPT đối xứng loại 1
ĐK: 5740 ≤≤− x
Đặt: 040;057 44
≥=+≥=− vxux

4. Ta có:
( )( )



=−−+=+
=+
9722
5
222244
vuuvvuvu
vu



==⇔=+−
=+
⇔
6);(4405281002
5
22
uvluvuvvu
vu
18. 3 3
1 2 2 1x x+ = −
Đặt 3 33
2 1 2 1 2 1x y x y x y− = ⇒ − = ⇒ = +
Phương trình tương đương với hệ sau:
3
3
1 2
1 2
x y
y x
 + =

+ =
được 1;x = 1 5
2
x
−
=
 Dùng hàm số+Đánh giá hai vế.
19. 1311632 22
−−−>+−−+− xxxxxx
ĐS: ( ]3;2
Xét hàm số: f(t)= tt ++ 2
ĐK: 31 ≤≤ x
xxxx −++−>−++− 32)3(12)1( 22
Xét hàm số: f(t)= tt ++ 2 có f’(t)>0
x-1>3-x hay x>2
20. 11414 2
=−+− xx
ĐK: 2/1≥x
VT’= 2/10
14
4
14
2
2
≥∀>
−
+
−
x
x
x
x
Nên x=1/2 là nghiệm duy nhất
21. 2
2 5 1 2x x x− + + − =
Nhận xét: 2
( 1) 4 1 2x xVT = − + + − ≥ x∀
Suy ra 2 1 0 1x xVT = ⇔ − = ⇔ =
Phương trình có nghiệm 1x =
22. )247(2153 2
+−≥−+− xxxx ĐS: x=6
Đặt: xvxu −=−= 15;3 và bình phương
ĐK: x≤ 15
u+v )(2 22
vu +≥ suy ra: (u-v)2
≤ 0 nên:
xx −=− 153 hay x=6. Thử lại t/m