Dokumen tersebut membahas tentang ukuran penyebaran data statistika, termasuk definisi, contoh perhitungan, dan penjelasan mengenai ukuran penyebaran seperti range, deviasi rata-rata, varians, dan standar deviasi baik untuk data yang belum dikelompokkan maupun telah dikelompokkan."
2. Pendahuluan
Ukuran penyebaran
Suatu ukuran baik parameter atau statistik untuk
mengetahui seberapa besar penyimpangan data
dengan nilai rata – rata hitungnya
Ukuran penyebaran mencakup data
Ungrouped data
Data yang belum dikelompokan
Grouped data
Data yang telah dikelompokan ; Tabel distribusi
frekuensi
3. Ukuran Penyebaran
Ukuran penyebaran:
Range
Deviasi
Rata – rata
Varian
Deviasi standar
Range inter-kuartil
Deviasi kuartil
Ukuran kecondongan dan keruncingan
4. Ukuran Penyebaran Untuk Data
Tidak Dikelompokan
Range – Jarak
Merupakan perbedaan antara nilai terbesar
dan terkecil dalam suatu kelompok data baik
data populasi atau sampel
Rumusan Range
Range = Nilai terbesar – nilai terkecil
Perusahaan Harga Saham
Sentul City 530
Tunas Baru 580
Range
proteinprima 650
= 840 – 530
total 750
= 310
Mandiri 840
5. Deviasi Rata – rata Populasi
Rata – rata hitung dari nilai mutlak
deviasi antara nilai data pengamatan
dengan rata-rata hitungnya
Rumusan Deviasi rata –rata ( MD)
∑|x - x|
MD = X = Nilai data pengamatan
N X = Rata – rata hitung
N = Jumlah data
6. Contoh Deviasi Rata - Rata
Perusahaan Indek x-X Nilai Mutlak
Sentul City 7.5 1.14 1.14
Tunas Baru 8.2 1.84 1.84
proteinprima 7.8 1.44 1.44
total 4.8 -1.56 1.56
Mandiri 3.5 -2.86 2.86
Total 31.8 8.84
Rata -rata (X) 6.36 MD 1.768
MD =
= ∑|x - X| / n
= 8.84 / 5
= 1.768
7. Varians dan Standar Deviasi
Populasi
Varians
Rata – rata hitung deviasi kuadrat setiap
data terhadap rata – rata hitungnya
Rumus varians populasi
)/N
(∑ X
∑(X - µ )2 µ=
σ 2=
N X = Nilai data pengamatan
µ = Nilai rata – rata hitung
N = Jumlah total data
8. Contoh Kasus Varians
Perusahaan Indek X-µ (X - µ)²
Sentul City 7.5 1.14 1.2996
Tunas Baru 8.2 1.84 3.3856
proteinprima 7.8 1.44 2.0736
total 4.8 -1.56 2.4336
Mandiri 3.5 -2.86 8.1796
Jumlah ( ∑X ) 31.8 ∑(X - µ)² 17.372
Rata - rata (µ) 6.36 σ² 3.4744
∑(X - µ )2 17.372
σ 2= = = 3.4744
N 5
9. Standar Deviasi
Standar deviasi
Akar kuadrat dari varians dan menunjukan
standar penyimpangan data terhadap nilai
rata-ratanya
Rumus standar deviasi
∑(X - µ )2
σ=√ atau σ = √ σ²
N
10. Contoh Kasus Standar
Deviasi
Nilai varians :
∑(X - µ )2 17.372
σ 2= = = 3.4744
N 5
Nilai standar deviasi :
σ = √ 3.4744 = 1.864
Nilai penyimpangan sebesar 1.864
11. Varians dan Standar Deviasi Sampel
Varians
∑(x - x )2
s 2=
n -1
Standar deviasi
S = √ s²
12. Contoh Kasus Sampel
Harga
No Perusahaan saham x-X (x - X)² Varians :
1 Jababeka 215 -358 128164 ∑(x – X)²
2 Indofarma 290 -283 80089
s² =
3 Budi Acid 310 -263 69169
4 Kimia farma 365 -208 43264
n–1
5 Sentul City 530 -43 1849 s² = 824260 / 9
6 Tunas Baru 580 7 49 s² = 91584.44
7 proteinprima 650 77 5929
8 total 750 177 31329
9 Mandiri 840 267 71289 Standar deviasi :
10 Panin 1200 627 393129 S = √ s²
Jumlah 5730 824260 S = √ 91584.44
Rata - Rata (X) 573 s² 91584.44
S = 302.63
S 302.63
13. Ukuran Penyebaran Untuk Data
dikelompokan
Range – Jarak
Merupakan selisih antara batas atas
dari kelas tertinggi dengan batas bawah
dari kelas terendah
Rumusan Range
Range = Batas atas kelas tertinggi –
nilai terkecil
14. Contoh Range
Batas atas
Kelas Interval Kelas terendah
1 215 2122 Batas atas
Kelas tertinggi
2 2123 4030
3 4031 5938
4 5939 7846 Range :
= 9754 – 215
5 7847 9754 = 9539
15. Deviasi Rata - Rata
Rumus deviasi rata - rata
∑ f. |x - x|
MD =
n
Rata – rata hitung data dikelompokan
x = (∑ f.x ) / n
16. Contoh Kasus
Interval Titik tengah
Kelas Kelas f (x) f.x |x - X| f.|x - X|
1 16 24 10 20 200 13.68 136.8
2 25 33 18 29 522 4.68 84.24
3 34 42 14 38 532 4.32 60.48
4 43 51 4 47 188 13.32 53.28
5 52 60 2 56 112 22.32 44.64
6 61 69 2 65 130 31.32 62.64
Total 50 255 1684 89.64 442.08
Rata - rata
(X) 33.68
MD = (∑f.|x - X|) / n = 442.08 / 50 = 8.8416
17. Varians dan Standar Deviasi data di
kelompokan
Varians
∑f. (x - x )2
s 2=
n -1
Standar deviasi
S = √ s²
18. Contoh Kasus
Titik tengah
Kelas Interval Kelas f (x) f.x |x - X| |x - X|² f.|x - X|²
1 16 24 10 20 200 13.68 187.1424 1871.424
2 25 33 18 29 522 4.68 21.9024 394.2432
3 34 42 14 38 532 4.32 18.6624 261.2736
4 43 51 4 47 188 13.32 177.4224 709.6896
5 52 60 2 56 112 22.32 498.1824 996.3648
6 61 69 2 65 130 31.32 980.9424 1961.885
Total 50 255 1684 89.64 1884.254 6194.88
Rata - rata (X) 33.68
Varians : Standar deviasi :
s²= (∑f.|x - X|²)/ n – 1 S = √ s²
= 6194.88 / 49 = √ 126.4261
= 126.4261 = 11.2439
19. Ukuran Penyebaran Relatif
Mengubah ukuran penyebaran menjadi
persentase atau ukuran relatif
Penggunaan ukuran relatif memberikan
manfaat :
Data mempunyai satuan penguikuran yang
berbeda
Data mempunyai satuan ukuran yang
sama
21. Koefisien Range
Pengukuran penyebaran dengan
menggunakan range secara relatif
Rumusan :
KR = ( (la – Lb) / (La + Lb) ) x 100 %
La : Batas atas data atau kelas tertinggi
Lb : Batas bawah data atau kelas terendah
22. Contoh Koefisien Range
Interval
KR :
Kelas Kelas f
= (La – Lb) / (La + Lb)
1 16 24 10
= (69 – 16 ) / (69 + 16)
2 25 33 18
= 53 / 85
3 34 42 14
= 0.6235 x 100 %
4 43 51 4
= 62.35 %
5 52 60 2
6 61 69 2
La : Kelas tertinggi = 69
Lb : Kelas terendah = 16
23. Koefisien Deviasi Rata - Rata
Koefisien deviasi rata – rata
Ukuran penyebaran dengan menggunakan
deviasi rata-rata relatif terhadap nilai rata-
ratanya atau persentase dari deviasi rata-
rata terhadap nilai rata-ratanya
Rumus :
KMD = [ MD / x ] x 100%
MD = Deviasi rata - rata
X = Nilai rata – rata data
24. Contoh Kasus
Data dikelompokan :
MD = 8.8416
X = 33.68
Koefisien deviasi rata – rata :
KMD = [ 8.8416 / 33.68 ] x 100 %
= 0.2625 x 100 %
= 26.25 %
25. Koefisien Standar Deviasi
Koefisien standar deviasi
Ukuran penyebaran yang menggunakan
standar deviasi relatif terhadap nilai rata-
rata yang dinyatakan sebagai persentase
Rumus
KSD = [ s / x ] x 100 %
S = Standar deviasi
X = Nilai rata – rata data
26. Contoh Kasus
Data dikelompokan
Standar deviasi = 11.2439
Rata – Rata hitung (x) = 33.68
Nilai koefisien stnadar deviasi
KSD = [ s / x ] x 100 %
= [ 11.2439 / 33.68 ] x 100%
= 0.3338 x 100 %
= 33.38 %
27. Ukuran Kecondongan -
Skewness
Ukuran kecondongan – kemencengan
Kurva tidak simetris
Pada kurva distribusi frekuensi
diketahui dari posisi modus, rata-rata
dan media
Pendekatan : Jika
Rata-rata = median = modus : Simetris
Rata-rata < median < modus : Menceng ke kiri
Rata-rata > median > modus : Menceng ke kanan
28. Koefisien Skewness
Sk = [µ - Mo ] / σ atau = 3.[µ - Md] / σ
Contoh kasus data dikelompokan µ = Nilai rata – rata hitung
Mo = Nilai modus
µ = 33.68 Md = Nilai median
Mo = 18 σ = Standar deviasi
Md = 32
σ = 11.2439
Sk = {3. [ 33.68 – 32]}
Sk = [33.68- 18 ] / 11.2439 11.2439
Sk = 15.68 / 11.2439 Sk = 5.04 / 11.2439
Sk = 1.394 Sk = 0.4482
29. Ukuran Keruncingan -
Kurtosis
Keruncingan disebut juga ketinggian
kurva
Pada distribusi frekuensi di bagi dalam
tiga bagian :
Leptokurtis = Sangat runcing
Mesokurtis = Keruncingan sedang
Platykurtis = Kurva datar
30. Koefisien Kurtosis
Bentuk kurva keruncingan – kurtosis
Mesokurtik α4 = 3
Leptokurtik α4 > 3
Nilai data
Platikurtik α4 < 3
Koefisien kurtosis (data tidak
dikelompokan)
1/n ∑(x - µ)4
α4 =
σ4
31. Koefisien Kurtosis
Koefisien kurtosis (data dikelompokan)
1/n ∑ f. (X - µ)4
α4 =
σ4
Jumlah Frekuensi
Standar deviasi Nilai rata – rata hitung
Nilai tengah kelas
32. Rata – Rata Geometrik
Digunakan untuk menghitung rata-rata
laju pertumbuhan – Growth rate
Rumus :
G = n√ (x1 . x2 . x3 . … xn )
G = [log x1 + log x2 +… log xn]
n
G = Antilog (log G)
33. Contoh
Data pertumbuhan suku bunga selama
5 hari, yaitu 1.5, 2.3, 3.4, 1.2, 2.5 %
Tingkat pertumbuhan :
G = [log 1.5 + log 2.3 +log 3.4 +
log 1.2 + log 2.5 ] / 5
G = [ 0.176 + 0.361 + 0.531 + 0.079
+ 0.397] / 5
G = 1.5464 / 5 = 0.30928
G = antilog 0.30928 = 2.03
34. Ukuran Penyebaran Lain
Range Inter-Kuartil
Jarak inter-kuartil = K3 – K1
Jika :
Inter-kuartil : Nilainya lebih kecil ; Bahwa
data dalam sampel dan populasi lebih
mengelompok ke nilai rata-rata hitung
(seragam)
Inter-kuartil : lebih besar ; Kurang seragam
35. Ukuran Penyebaran Lain
Deviasi Kuartil
Setengah jarak antara kuartil ke 3 dan
kuartil ke 1
Rumusan Deviasi kuartil – DK
DK = [ K3 – K1 ] / 2
Jika
DK lebih kecil ; Rata – rata data lebih
mewakili keseluruhan data
36. Ukuran Penyebaran Lain
Jarak persentil
Selisih antara persentil ke 90 dengan
persentil ke 10
Rumusan jarak persentil - JP
JP = P90 – P10
Jika JP lebih besar
Bahwa nilai deviasi lebih besar