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Chapter9 一歩進んだ文法（前半）
- 2. 今回の発表内容 • 9.1 型とインデックス • 9.2 ベクトル化による高速化 • 9.3 ベクトルや行列の数学的性質の利用 2
- 3. 9.1 型とインデックス • 8章まではint（整数）、real（実数）の基本形とその 配列のみ利用 • 他の型を利用した方がコードが簡潔、計算が安 定、高速になる場合がある • Stanの変数の型は3つに分けられる • 基本型（整数、実数） • 列ベクトル（vector）、行ベクトル（row_vector）、行 列型（matrix） • 任意の型を複数格納する配列 • Rのlistに近い 3
- 4. 変数の宣言例（1） 型の例 宣言例 説明 整数 int N 整数の変数 実数 real Y 実数の変数 整数の配列 int Y[N] N個の整数を要素とする配列 実数の配列 real Y[N,M,L] N×M×L個の実数を要素とする配列 4 • 変数の型は3つに分けられる • 基本型の場合
- 5. 変数の宣言例（2） • ベクトルと行列は実数のみを要素として保持する • 整数は持てない • ベクトルは1次元、行列は2次元だが、配列は任 意の次元を持つことができる • 配列はベクトル演算や行列演算には使えない 5 型の例 宣言例 説明 ベクトル vector[K] V 1個の長さKのベクトル ベクトルの配列 vector[K] V[N] N個の長さKのベクトル ベクトルの配列 vector[K] V[N,M] N×M個の長さKのベクトル 行列 matrix[J,K] X 1個のJ×Kの行列 行列の配列 matrix[J,K] X[N] N個のJ×Kの行列
- 6. 添字を用いたアクセス（1） • Rに近い記述でアクセス可能 • 基本型とベクトルの場合 6 宣言例 アクセス例 得られる型 意味 real Y[3] Y[2] real 2番目の要素 Y[2:3] real[2] 2、3番目の要素 real Y[N,M,L] Y[n] real [M,L] M×Lの実数を要素とす るn番目の2次元配列 vector[K] V V[k] real k番目の要素 V[1:(K-1)] vector[K-1] Vの1～K-1番目までのベ クトル
- 7. 添字を用いたアクセス（2） • 行列の場合 • Stanのmatrixは列優先でメモリに格納されている ので、列ごとにアクセスすると高速化できる 7 宣言例 アクセス例 得られる型 意味 matrix[J,K] X X[j]、X[j,]、X[j,:] row_vector[j] j行目の行ベクトル X[j,k] real Xのj行k列目の要素 X[,k] vector[J] k列目の列ベクトル X[1:2,1:2] matrix[2,2] 2行2列の部分行列 matrix[J,K] X[N] X[n] matrix[J,K] n番目の行列
- 8. 添字を用いたアクセス（3） • vector[K] V • 長さKのベクトルV • int<lower=1, upper=K> Index[J] • 長さJの整数型1次元配列 とした場合、 • V[Index]というアクセスができる • 型はvector[J]になる • Indexの各要素がインデックスになってVにアクセス • 155ページのmodel8-4b.stanで使われる 8
- 10. RとStanのデータ型の対応表 変数の次元 Rの型 Stanの型 1 vector 1次元のarray 基本型の1次元配列 vector型 row_vector型 2 matrix 2次元のarray data.frame vectorのlist 基本型の2次元配列 vector型の1次元配列 row_vector型の1次元配列 matrix型 3 3次元のarray matrixのlist 基本型の3次元配列 vector型の2次元配列 row_vector型の2次元配列 matrix型の1次元配列 10 • RからStanに渡す時に型を考慮する必要がある
- 11. 9.2 ベクトル化の基本 • ベクトル化 • 高速化のためにvector型やvector型に対応した分 布関数を使ってコードを書くこと • 最初は可読性の高い方法で記述してモデルを構 築し、デバッグを終えたところでベクトル化する 11
- 12. 4.4節の単回帰のベクトル化 • 配列を列ベクトルに変換 （赤矢印） • ベクトル化によりfor文を 書かずに処理（青矢印） • muの各要素毎にループ を回すより、まとめて計 算した方が速い 12
- 13. 関数の定義を調べるには • 関数のベクトル化の対応状況はオフィシャルサイ トに当たるのが一番 • 対数正規分布については以下の通り • http://mc-stan.org/docs/2_18/functions- reference/lognormal.html • 引数のrealsはreal、vector、row_vector、real型の 1次元配列に対応していることを表している 13 内部的にはnormal_lpdfを呼んでいるので この関数を調べている（33ページ目）
- 18. 9.3.1 多変量正規分布 • 50m走のタイムと走り幅跳びで飛んだ距離 • 2変量正規分布に従うと仮定 • 誤差項を消去すると • 平均ベクトルと分散共分散行列の事前分布には無 情報事前分布を設定する • Stanのコードとしては特に何も記述しない 18
- 20. 実装コードの説明 • Dは多変量正規分布の生成するベクトル長で2 • YはN個の長さDのベクトル • mnは平均パラメータで長さはD • covは分散共分散行列で、cov_matrix型で宣言 すると、自動的に対称行列かつ半正定値になる 20 分散共分散行列の 半正定値性の導出 は補足を参照
- 23. 9.3.2 行列演算を使った重回帰 • 5章の重回帰に説明変数(X3、X4)を追加 • 重回帰の式は行列で書ける 23 :回帰係数 :データ
- 25. Stanのコードを呼び出す側 • dataブロックのN、D、X、Yを作成する • d$Scoreはスケーリングでパラメータの大きさを他 の変数と合わせる（58ページ目） • Xのcbindの1は切片項、-ncol(d)は応答変数を説 明変数から外している • 「RとStanのデータ型の対応表」のスライドに照らし 合わせて渡すデータの型が妥当かチェック 25
- 26. まとめ • modelの項目に計算時間がかかるので、model の内容に応じてベクトルや行列を使おう • Stanのマニュアルで関数がベクトルに対応している か調べよ • 説明変数が増えてもStanのコードは変わらない のがベクトルや行列を使う利点である • 重回帰の例ではdataブロックでA[n]、Score[n]、X3、 X4…のように変数を増やさなくてもよい 26
- 27. 補足 27
- 29. 分散共分散行列の半正定値性の導出 • 任意の非零列ベクトルxに対して、 が 成り立つときに行列Mは半正定値という • Mが分散共分散行列のときに半正定値性を示す • 確率変数をY、平均をμ（共に列ベクトル）とする 29 (・,・) はベクトル の内積 内積は順序の交換 が可能なので xはYに関係なく、 中に入れられる