1. Nella civiltà classica greca erano fondamentali i rapporti tra le parti, simmetria,
armonia, per dar luogo alle teorie delle proporzioni, simmetrie, sezioni auree
tutte basate sulla geometria e scienza. Questa fase del processo artistico non
era altro che il lavoro preparatorio dello scheletro dell'opera d'arte. In seguito
questo modo di concepire è rimasto, diremo sino ai tempi nostri; per non parlare
del Rinascimento in cui è proprio la riscoperta e rinascita della geometria e
della matematica a creare un vero e proprio modo di vedere il mondo anche
dell'arte e non solo.
Poi l'espressione artistica subisce una considerevole evoluzione a partire dalla
seconda metà dell'Ottocento. Nuove geometrie attraggono gli artisti
coinvolgendoli in sperimentazioni diverse nel primo Novecento, con i cubisti,
futuristi e suprematisti.
Infine arriviamo ai nostri tempi e l'arte si avvale di un altro potente mezzo, lo
sviluppo della computer graphics. Di qui la diffusione della geometria dei
frattali e la grafica computerizzata. Per non parlare dell'enorme repertorio di
forme matematiche di cui si avvale l'arte contemporanea.

2. • In matematica, proporzione è
una relazione lineare che
intercorre tra due quantità o tra
due variabili.
• Nell'arte le proporzioni del
corpo sono le relazioni fra le
singole parti del corpo tra di
loro e con l'intero corpo e il
loro studio è centrale per la
raffigurazione della figura
• In architettura la proporzione
sono gli equilibrati rapporti tra
gli elementi di un edificio, le
relazione tra loro e con la
totalità in ragione di una ben
definita geometria. umana.
Cos’è una proporzione?
A:B = C:D
O
A = C
B D

3. • Le proporzioni fra le parti del corpo umano sono
abbastanza costanti, ma possono variare da persona a
persona caratterizzandone l’aspetto.
• Nella ricerca delle misure perfette gli artisti di tutti i tempi
hanno proposto canoni di bellezza corrispondenti
all’ideale di uomo del loro periodo, ideale che è variato
nelle diverse epoche e culture.
• Nella rappresentazione espressiva del corpo umano e
dei suoi sentimenti è fondamentale il gesto e il
movimento che assume la figura nello spazio.
• Oltre che per fini espressivi, lo studio della figura umana
trova applicazione anche nel progettare l’ambiente in cui
l’uomo svolge le proprie attività: dall’arredamento e
design all’architettura.

4. Canoni proporzionali della figura
umana
Canone egizio Policleto, Villard de Honnecourt “Modulor” di le Corbusier
Canone
Con la parola canone intendiamo un insieme di norme codificate, che permettono di dimensionare e
proporzionare una forma, sia essa figurativa o architettonica. In altri il termine viene usato in arte per indicare
un insieme di norme estetiche codificate come esemplari.

5. I primi tentativi in questo
senso risalgono agli
antichi Egizi, che
usavano come unità di
misura i riquadri di una
griglia quadrettata
sovrapposta al corpo:
l’altezza totale poteva
variare da 18 a 23
quadretti, un piede
doveva misurare tre
quadretti e così via.

6. Ma il sistema di sintesi della figura
umana ritenuto più valido, tanto
che viene usato ancora oggi, è
quello descritto da Policleto, un
artista greco del V secolo a.C., nel
celebre trattato intitolato Canone.
Secondo il canone di Policleto,
l’unità di misura da cui bisogna
partire è l’altezza della testa, pari
a 1/8 dell’altezza totale del corpo.
Per ricostruire lo schema strutturale
della figura umana, quindi, basta
prendere come riferimento la
misura della testa e riportarla altre
7 volte su un asse verticale.
Cominciando dall'alto, il primo
segmento si ferma all'altezza del
mento; il secondo, alle ascelle; il
terzo ai fianchi; il quarto
all'inguine; il quinto a metà della
coscia, il sesto alle ginocchia; il
settimo a metà della parte inferiore
delle gambe; l'ottavo arriva fino a
terra. Il piede è la sesta parte
dell'altezza del corpo e così via

7. Altri parametri del corpo
dell'uomo ideale sono ad
esempio: il viso, se
misurato dal mento alla
sommità della fronte, alla
radice dei capelli,
corrisponde a un decimo
dell'altezza del corpo. La
stessa proporzione si
presenta nella mano
aperta se viene misurata
dalla sua articolazione
fino alla punta del dito
medio. L'altezza del viso
si divide in tre parti uguali:
dal mento alla base delle
narici, dal naso fino al
punto d'incontro con le
sopracciglia e da queste
alla radice dei capelli.

8. Villard d'Honnecourt. Studi di
rapporti proporzionali tra figure umane,
animali, architetture, e figure
geometriche.
Il sistema gotico (che rappresenta un
passo avanti nell'abbandono di quello
antico) serve quasi esclusivamente a
determinare i contorni e le direzioni del
movimento. Così la figura virile in piedi
risulta da una costruzione che non ha
alcun rapporto con la struttura organica
del corpo: la figura (tolta la testa e le
braccia) è inserita in un pentagono
allungato in senso verticale, il cui vertice
superiore è mozzo e il cui lato orizzontale
AB è all'incirca un terzo dei lati lunghi AH
e BG. Così i punti A e B coincidono con le
attaccature delle spalle; i punti G e H con i
talloni; J, punto medio della linea AB,
determina la posizione della fossetta della
gola; e i punti che corrispondono ai terzi
dei lati lunghi (C, D, E e F) determinano
rispettivamente la posizione dei fianchi e
delle ginocchia.

9. Anche le teste delle figure
umane (come quelle degli
animali) sono costruite non
solo sulla base di forme così
"naturali" come possono
esserlo dei cerchi, ma
anche sulla base di un
triangolo o addirittura del
pentagono già ricordato
che, di per sé, è del tutto
estraneo alla natura . Le
figure di animali (se mai si
tenta un qualche genere di
articolazione) sono
costruite, in modo del tutto
inorganico, sulla base di
triangoli, quadrati e archi di
cerchio.

10. L'uomo vitruviano rivisitatoIl corpo umano ha inoltre un centro che
corrisponde all'ombelico. Se infatti "si
collocasse supino un uomo colle mani e i
piedi aperti e si mettesse il centro del
compasso nell'ombelico, descrivendosi
una circonferenza si toccherebbero
tangenzialmente le dita delle mani e dei
piedi. Ma non basta: oltre lo schema del
circolo, nel corpo si troverà anche la
figura del quadrato. Infatti se si misura dal
piano di posa dei piedi al vertice del capo,
poi si trasporterà questa misura alle mani
distese, si troverà una lunghezza uguale
all'altezza, come accade nel quadrato
tirato a squadra" Questo brano, in cui
Vitruvio riconduce l'uomo ideale
(microcosmo) alle figure geometriche della
circonferenza e del quadrato - simbolo
dell'universo e della terra (macrocosmo) -
ha affascinato schiere di architetti che, a
partire dal rinascimento, si sono cimentati
nella traduzione grafica di tale
insegnamento. Fra questi, va ricordato il
famoso disegno di Leonardo da Vinci,
conservato presso le Gallerie
dell'Accademia di Venezia;

11. La quadratura del cerchio "microcosmico" per Leonardo
L’uomo non esce dal cerchio; chi esce sono solo gli angoli del quadrato della
materia. L’uomo con le gambe chiuse e le braccia aperte sul quadrato forma
una croce, il cammino di croce dell’uomo nato dalla materia. L’uomo che tocca
con le mani e le gambe aperte, il cerchio dello spirito, è l’uomo che cammina e
opera per lo spirito. Quest’uomo forma una stella a cinque punte, dove il
quinto punto in alto contiene la testa. Troviamo così il numero cinque al quale
Leonardo attribuiva evidentemente molta importanza.

12. Modulor
Le Corbusier
Le Corbusier sviluppò il Modulor all'interno
della lunga tradizione di Vitruvio,
l'uomo vitruviano di Leonardo da Vinci,
i lavori di Leon Battista Alberti, e altri
tentativi di trovare proporzioni
geometriche e matematiche relative al
corpo umano e usare queste
conoscenze per migliorare sia
l'estetica che la funzionalità
dell'architettura. Il sistema è basato
sulle misure umane, la doppia unità, la
sequenza di Fibonacci e la sezione
aurea. Le Corbusier lo descriveva
come "una gamma di misure
armoniose per soddisfare la
dimensione umana, applicabile
universalmente all'architettura e alle
cose meccaniche". Il modulor è anche
utile per la rappresentazione della
figura umana.
Le Corbusier pubblicò Le Modulor nel
1948, seguito da Modulor 2 nel 1955.
Le Corbusier usò la scala del Modulor
nella progettazione di molti edifici,
inclusi Notre Dame du Haute

13. La rappresentazione grafica del
Modulor è avvincente e, a una
prima occhiata, convincente. Una
figura umana stilizzata con un
braccio steso sopra il capo si
trova vicino a due misurazioni
verticali, la serie rossa basata
sull'altezza del plesso solare(108
cm nella versione originale, 1.13
m nella versione rivista) poi divisa
in segmenti secondo il
Phi(simbolo della sezione aurea),
e la serie blu basata sull'intera
altezza della figura, doppia
rispetto all'altezza del plesso
solare (216 cm nella versione
originale, 2.26 m nella rivista), e
divisa in segmenti allo stesso
modo. Una spirale, sviluppata
graficamente tra la serie rossa e
la blu, sembra mimare il volume
della figura umana.

14. Il Doriforo è una statua che, come il nome ci
indica, ritrae un atleta con un giavellotto in
mano. In questa copia romana, (non ci è
pervenuto l'originale) conservata al Museo
Archeologico di Napoli, manca la lancia che
era retta dalla mano sinistra e si
appoggiava sulla spalla. Ad un modellato,
quindi, essenziale, si unisce però una
attenta ricerca di proporzioni. Il corpo è
attentamente studiato, non tanto nelle
specificità anatomiche, ma soprattutto nelle
sue misure. Ciò a cui tende Policleto è un
corpo perfetto nel suo insieme, ogni singola
parte sta al tutto come avviene in un reale
corpo umano idealmente perfetto. La sua
ricerca di perfezione è proprio nel mettere a
confronto il reale e l'ideale. BELLEZZA
IDEALE

15. I rapporti alla base del suo canone sono rilevati da reali misure effettuate sui corpi umani, in
particolare dei giovani atleti olimpici; l'ideale è l’effetto a cui tende eliminando ogni difetto che,
seppur minimo, è sempre presente in ogni singolo individuo. La statua diviene così un ideale
di perfezione umana, superiore alla realtà stessa. Questa statua evidenzia anche, in maniera
mirabile, la nuova postura che Policleto inventa per le statue utilizzando il chiasmo. Il termine
«chiasmo» deriva dalla lettera greca X (in greco è pronunciata "chi") ed indica una
disposizione in cui le parti creano un incrocio. Nel caso delle statue di Policleto la
disposizione incrociata è tra gli arti inferiori e gli arti superiori.

16. Sin dai tempi più antichi, dagli
egiziani ai più moderni frattali,
esiste una proporzione divina
(o sezione aurea) che è stata
presa in considerazione
per ottenere una dimensione
armonica delle cose. Dalla
geometria all'architettura, dalla
pittura alla musica, fino alla
natura del creato possiamo
osservare come tale
rappresentazione corrisponda
ad un rapporto che è stato
definito pari a 1,618...(numero
d'oro)
•La piramide egizia di Cheope ha
una base di 230 metri ed una
altezza di 145: il rapporto
base/altezza corrisponde a 1,58
molto vicino a 1,6.

17. Nei megaliti di
Stonehenge, le superfici
teoriche dei due cerchi
di pietre azzurre e di
Sarsen, stanno tra loro
nel rapporto di 1,6.
- La pianta del Partenone
di Atene è un rettangolo
con lati di dimensioni
tali che la lunghezza sia
pari alla radice di 5 volte
la larghezza, mentre
nell'architrave in
facciata il rettangolo
aureo è ripetuto più
volte.

18. COSTRUZIONE DEL SEGMENTO AUREO
Dato il segmento AB, dividerlo in
due parti uguali con il punto M.
Dall'estremità B tracciare la
perpendicolare al segmento fino al
ottenere CB= MB.
Dal punto C, tracciare con il
compasso un semicerchio fino ad
incontrare in D il segmento AC.
Puntando infine il compasso in A
con raggio AD, si ottiene il punto E
che divide il segmento in due parte
con proporzione aurea (AE/EB=
1,618).

19. RETTANGOLO AUREO
• Esiste uno speciale rettangolo le cui proporzioni corrispondono alla sezione
aurea. Il suo nome è rettangolo aureo. Per costruire il rettangolo aureo si
disegni un quadrato di lato a i cui vertici chiameremo, a partire dal vertice in
alto a sinistra e procedendo in senso orario, AEFD. Quindi dividere il
segmento AE in due chiamando il punto medio A'. Utilizzando il compasso e
puntando in A' disegnare un arco che da E intersechi il prolungamento del
segmento DF in C. Con una squadra disegnare il segmento CB
perpendicolare ad DF, ed il segmento EB, perpendicolare a EF. Il rettangolo
ABCD è un rettangolo aureo nel quale il lato AB è diviso dal punto E
esattamente nella sezione aurea:
• AE:EB=AB:AE

20. Negli oggetti quotidiani, possiamo
trovare alcuni esempi di sezione
aurea:dalle schede telefoniche alle
carte di credito e bancomat, dalle
carte SIM dei cellulari alle
musicassette: sono tutti rettangoli
aurei con un rapporto tra base ed
altezza pari a 1,618.
In natura il rapporto aureo è
riscontrabile in molte dimensioni
del corpo umano. Se moltiplichiamo
per 1,618 la distanza che in una
persona adulta e proporzionata, va
dai piedi all'ombelico, otteniamo la
sua statura. Così la distanza dal
gomito alla mano (con le dita tese),
moltiplicata per 1,618, dà la
lunghezza totale del braccio. La
distanza che va dal ginocchio
all'anca, moltiplicata per il numero
d'oro, dà la lunghezza della gamba,
dall'anca al malleolo. Anche nella
mano i rapporti tra le falangi delle
dita medio e anulare sono aurei,
così il volto umano è tutto
scomponibile in una griglia i cui
rettangoli hanno i lati in rapporto
aureo.

21. Il Doriforo e la sezione aurea
Qui accanto la foto del
Doriforo con sezione
aurea, dimostra che
Policleto ha utilizzato
un rapporto aureo per
realizzare il "Canone

22. La sezione aurea, in quanto legge
strutturale del corpo umano, ha
conosciuto in Leonardo da Vinci
(1452-1519) un geniale assertore
Utilizzando la sezione aurea nei
suoi dipinti Leonardo scoprì che,
guardando le opere, si poteva
creare un sentimento di ordine. In
particolare Leonardo incorporò il
rapporto aureo in tre dei suoi
capolavori: La Gioconda, L’ultima
cena e L'Uomo di Vitruvio.
Nella Gioconda, il rapporto aureo è
stato individuato:
• nella disposizione del quadro
• nelle dimensioni del viso
• nell’area che va dal collo a
sopra le mani
• in quella che va dalla scollatura
dell’abito fino a sotto le mani.

23. SPIRALE AUREA
• Se all’interno di un rettangolo aureo si disegna un quadrato con lato
uguale al lato minore del rettangolo, il rettangolo differenza sarà
anch’esso un rettangolo aureo. Si ripeta l’operazione per almeno
cinque volte al fine di avere un effetto visivo adeguato. Si punti la
punta del compasso sul vertice del quadrato che giace sul lato
lungo del rettangolo e si tracci l’arco che unisce i gli estremi dei due
lati che formano l'angolo scelto. Si ripete l'operazione per ogni
quadrato disegnato in modo da creare una linea continua.

24. LA SEQUENZA DI FIBONACCI
Partendo da uno studio molto
prosaico, riguardante la riproduzione
dei conigli, Fibonacci arrivò a
formulare la seguente serie di numeri,
che, come vedremo, gode di
stranissime proprietà:
1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,
ecc.
dove ogni numero è dato dalla
somma dei due precedenti ( Es: 8 è la
somma di 5 3; 21 quella di 13 8 e via
dicendo … )
Ma l’ eccezionalità della serie sta nel
fatto che ogni numero, diviso per
quello che lo precede, dà un decimale
che si avvicina in modo sempre più
preciso a quell’ 1,618 già chiamato
dai Greci col termine di “Phi”, ed
assunto a rappresentazione
matematica della Bellezza e della
Proporzione Divina … quello stesso
“Rapporto Aureo” che abbiamo visto
fin qui applicato appunto alle forme
compositive …

25. • Questo vocabolo indica il tipo di ordine che si
riscontra nella disposizione delle varie parti che
costituiscono un organismo.
• Possiamo classificare la simmetria secondo la
diversa collocazione di queste parti rispetto ad
un termine di riferimento che puo' essere un
punto, una retta o un piano.

26. In natura si parla di forme a
simmetria raggiata quando le
varie parti del corpo sono
disposte intorno ad un asse
centrale come i raggi di una ruota,
intorno al mozzo.
Se consideriamo una stella
marina possiamo individuare un
punto centrale da cui si dipartono
cinque raggi di simmetria,
corrispondenti ai bracci della
stella, che ruotando di un
determinato angolo ricostruiscono
la stella stessa .

27. • Se i raggi sono in numero
pari si parla di simmetria
centrale ; questa tuttavia
è maggiormente presente
nel regno vegetale.
• Esempi di simmetria
raggiata si hanno nei
Celenterati e negli
Echinodermi.

28. In questa immagine si puo'
facilmente individuare un piano o
una linea che divide la figura in
due meta' uguali per forma e
dimensione, ma non
sovrapponibili: infatti tutto cio' che
sta alla destra di questo asse o
piano viene come rispecchiato in
un elemento uguale che si trova a
sinistra. Si tratta di una simmetria
bilaterale secondo la quale e'
costruita la massima parte degli
organismi viventi che si muovono
attivamente, anzi la direzione del
movimento viene a coincidere in
genere col piano di simmetria che
passa per l'asse principale del
corpo ed è detto piano mediano o
sagittale.

29. Nella geometria
piana la simmetria
assiale, detta
anche
ribaltamento, e'
una particolare
rotazione di 180°
intorno ad una
retta detta asse di
simmetria.
Due punti A e B si
definiscono simmetrici
rispetto alla retta r
quando tale retta e'
asse del segmento
che li unisce, cioe'
quando una retta r e'
perpendicolare al
segmento AB nel suo
punto medio.
Una figura e'
simmetrica rispetto
ad un asse quando
ogni suo punto
ammette un
simmetrico nella
figura rispetto a quell'
asse.

30. Il quadrato ha
4 assi di simmetria.
Il pentagono ed il triangolo isoscele
hanno solo un asse di simmetria.
L'esagono ha
3 assi di simmetria.
Il cerchio ha infiniti
assi di simmetria: i diametri.

31. Nella
geometria
piana la
simmetria
centrale e' una
particolare
rotazione
attorno ad un
punto, detto
centro di
simmetria, in
cui l' ampiezza
di rotazione e'
un angolo di
180°.
Due punti A e B si dicono
simmetrici rispetto ad un punto O
( centro di simmetria )
quando questo e' punto medio
del segmento che li unisce.
Una figura e' simmetrica rispetto
ad un centro
se ogni suo punto ammette un
simmetrico nella figura

32. La parola simmetria proviene dal termine greco "simmetros" che vuol dire ben ordinato,
ben proporzionato) fu successivamente sviluppato durante il Rinascimento italiano nella
pittura e nell’architettura da Piero della Francesca (1416-1492) e altri.

33. Biagio d´Antonio
Annunciazione
Roma, Accademia Nazionale di San Luca
Il Battesimo di Cristo
Piero della Francesca

34. David Donatello

36. Futuristi
Suprematisti

37. Grafica
Frattali