Análise de Viga através de NX Nastran e Matlab (Galerkin)

Engenharia Mecânica
Docentes:
Rui Miguel Barreiros Ruben
Jorge Siopa
Trabalho Elaborado por:
Ivan Soares nº 2121005
João Antunes nº 2130492
Simulação computacional
Método de Galerkin – Software de Elementos Finitos
Deslocamentos e Tensões em Viga

1
Índice___________________________________
Dados do problema: .....................................................................................................2
Cálculo de fi genérico dependente de i......................................................................3
Execução Prática do Trabalho......................................................................................4
Primeira Parte - Programação do método de Aproximação.......................................4
a) Aproximação de Galerkin para 2 Elementos ...............................................5
b) Aproximação de Galerkin para 5 Elementos ...............................................6
c) Aproximação de Galerkin para 15 Elementos .............................................7
Segunda Parte – Simulação em Software de Elementos Finitos .............................10
a) Simulação para 2 Elementos.....................................................................10
b) Simulação para 5 Elementos.....................................................................11
c) Simulação para 15 Elementos...................................................................12
Conclusões.................................................................................................................14

2
Dados do problema:
Para a execução deste trabalho prático foram-nos fornecidos dados acerca de uma
viga. Esta viga esta encastrada numa extremidade e sobre ela atua uma carga
distribuída. Para o nosso caso, obtemos os seguintes dados:
 Carga distribuída aplicada na viga em estudo.
p=1150N/m (Newton por metro) ;
 Comprimento da viga
L = 1975mm = 1.975m
 Material
Latão
 Modulo de elasticidade do Latão
E = 80GPa = 80 ∗ 109
Pa
 Secção transversal:
Largura = 53mm = 0.053m
Altura =53mm = 0.053m
 Método pelo qual se vai fazer o estudo:
Método de Galerkin
Podemos verificar pela figura acima qual o problema de viga em estudo e de
que maneira se encontra a carga aplicada. A carga distribuída tem uma intensidade de
1150 Newton por metro. A viga encontra-se encastrada em A e livre em B.
Pretendemos calcular uma aproximação Un dependente de "x" para que se possa
calcular o deslocamento em qualquer parte da viga. A variável "x" está compreendida
entre os valores 0 e L. (0<x<L)
No Enunciado do Trabalho foram pedidos certos valores para o numero de
elementos a utilizar. Como resposta a isto vamos utilizar o método de Galerkin para
valores de “n” (numero de elementos) iguais a 2, 5 e 15.
Para a execução do trabalho, ainda é pedido umaa aproximação para o valor
das tensões. Para tal, será utilizada uma relação entre o momento fletor, a distancia
ao qual o este momento é máximo e o momento de inercia
Figura 1: Viga em estudo

3
Cálculo de fi genérico dependente de i
Formulação forte do problema:
𝑑2
𝑑𝑥2
𝐸𝐼 (
𝑑2
𝑣
𝑑𝑥2
) = 𝑓𝑦
Condições de Fronteira:
𝑣(0) = 0 (
𝑑𝑣
𝑑𝑥
)x=0 = 0 (𝐸𝐼
𝑑2 𝑣
𝑑𝑥2)x=L=0
𝑑
𝑑𝑥
(𝐸𝐼
𝑑2
𝑑𝑥2)x=L=0
Sabendo que ф0 tem que respeitar todas as condições iniciais como tal como elas são.
Então: ф0=0
ф1 Deve que ser um polinómio de grau igual ou superior a 4 visto que a formulação
forte é de grau 4
ф1= 𝑎𝑥4 + 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑
ф1 Deve também respeitar a componente homogénea das condições fronteira e tem
que ser diferente de zero.
Então: ф1= 𝑥4
− 4𝐿𝑥3
+ 6𝐿𝑥2
Para facilitar os cálculos de obtenção de outros ф criámos um polinómio фi através de
ф1 que nos permite calcular todos os ф necessários respeitando a parte homogénea
das condições de fronteira.
Sendo: фi= 𝑥 𝑖+3
− 𝑘1𝑥 𝑖+2
+ 𝑘2𝑥 𝑖+1
Onde:
k1=
2∗(𝑖+3)∗𝐿
𝑖+1
;
k2=
(𝑖2+5∗𝑖+6)𝐿2
𝑖∗(𝑖+1)
A equação para a aproximação do deslocamento é dada por:
Un(x)= ф0 + ∑ 𝐶𝑖
𝑛
𝑖=1 × ф𝑖
A equação para a aproximação das tensões é dada por:
Equação 1:
𝜎 =
𝑀𝑓 ×𝑦
𝐼
Onde:
𝜎 - Tensão Normal,
y – Distancia á linha neutra
𝐼 – Momento de Elasticidade Transversal

4
Execuçao Pratica do Trabalho
Primeira Parte - Programação do método de Aproximação
A execução deste trabalho Prático foi dividida em duas partes. Nesta primeira Parte foi
utilizado um software de programação, Matlab, para programar uma função que
efetua-se o calculo dos valores pretendidos com uma aproximação pelo método de
Galerkin para Elementos Finitos, através da introdução do numero de elementos a
utilizar. Este programa foi escrito de origem por nós. É possível consultar o código
escrito no Anexo 1.
Para correr a função, cujo nome é Galerkin, e cujo imput seria como dito anteriormente
o numero de elementos a utilizar, foi criado um ficheiro “RUN” que corre a função três
vezes. Em cada uma destas, a função utiliza um dos elementos pedidos pelo
enunciado. É possível visualizar isto na seguinte linha de código:
>> clear
>> clc
>> figure % cria figura
>> Galerkin(2) % Galerkin com n=2
Como dados de saída, ou outputs, a função devolve os gráficos de deformação e
variação de tensão. Devolve também, o vetor de i, o vetor i’, i’’, i’’’ e i’’’’. De
seguida devolve a matriz A(i). Apos isto, é devolvida a Matriz A, o vetor F e com isto
calculado e devolvido o vetor C. Com todos estes parâmetros devolvidos, a função
devolve ainda o valor da equação Un(x) e equação de variação da Tensão ao longo da
viga , T(x).

5
a) Aproximação de Galerkin para 2 Elementos
Calculo dos ф's
ф1 = 𝑥4 − 7,9𝑥3 + 23.4037𝑥2
ф2 = 𝑥5
− 6.5833𝑥4
+ 13.0021𝑥3
Calculo A(ф):
𝐴(ф1) = 1.6318 × 106
𝐴(ф2) = (8.1588 × 106
)𝑥 − 1.0742 × 107
Calculo Matriz A:
Matriz A [ 5.8840 × 107
3.2280 × 107
3.2280 × 107 3.0359 × 107]
Calculo Vetor F:
Vetor F [−4.1468 × 104
−2.2750 × 104 ]
Calculo vetor C:
Resolvendo a equação A*C=F
Vetor C [−7.0476 × 10−4
0
]
Calculo de Un(x):
Aproximação do deslocamento transversal ao longo da viga
𝑈𝑛(𝑥) = − 0.00070476𝑥4
+ 0.0056𝑥3
− 0.0165𝑥2
Obtém-se um deslocamento máximo na ponta da viga quando x=L com o valor de
0.0322 metros ou 32.2 mm e o valor da tensão máxima na secção encastrada o seja
x=0 de 90.391 × 106
Pa ou 90.39 MPa.

6
b) Aproximação de Galerkin para 5 Elementos
Calculo dos ф's
ф1 = 𝑥4 − 7,9𝑥3 + 23.4037𝑥2
ф2 = 𝑥5
− 6.5833𝑥4
+ 13.0021𝑥3
ф3 = 𝑥6 − 6.825𝑥5 + 9.7515𝑥4
ф4 = 𝑥7
− 5,530𝑥6
+ 8.1913𝑥5
ф5 = 𝑥8
− 5,267𝑥7
+ 7.2812𝑥4
Calculo A(ф):
𝐴(ф1) = 1.6318 × 106
𝐴(ф2) = (8.1588 × 106)𝑥 − 1.0742 × 107
𝐴(ф3) = (2.4476 × 107)𝑥2 − (4.8341 × 107)𝑥 + 1.5912 × 107
𝐴(ф4) = (5.7111 × 107)𝑥3
− (1.3535 × 108)𝑥2
+ (6.6831 × 107
)𝑥
𝐴(ф5) = (1.1422 × 108)𝑥4 − (3.0079 × 108)𝑥3 + (1.7822 × 108)𝑥2
Calculo Matriz A:
Matriz A
[
5.8840 3.2280 2.7323 2.8330 3.3157
3.2280 3.0359 3.3727 4.1446 5.4571
2.7323
2.833
3.316
3.3727
4.145
5.457
4.4407
6.139
8.818
6.1392
9.259
14.223
8.8182
14.223
23.048]
× 107
Calculo Vetor F:
Vetor F
[
−4.1468
−2.2750
−1.9256
−1.9966
−2.3368]
× 104
Calculo vetor C:
Vetor C
[
−7.0476 × 10−4
1.6340 × 10−4
−3.9827 × 10−15
3.4096 × 10−15
−9.4467 × 10−16 ]
Calculo de Un(x):
𝑈𝑛(𝑥) = −(9.4467 × 10−16
)𝑥8
+ (8.3848 × 1015
)𝑥7
− (2.9716 × 10−14
)𝑥6
+ (5.3160 × 10−14
)𝑥5
−
(7.0476 × 10−4
)𝑥4
+ 0.0056𝑥3
− 0.0165𝑥2
x=0 de 90.391 × 106
Pa ou 90.39 MPa.

7
c) Aproximação de Galerkin para 15 Elementos
Calculo dos ф's
ф1 = 𝑥4 − 7,9𝑥3 + 23.4037𝑥2
ф2 = 𝑥5
− 6.5833𝑥4
+ 13.0021𝑥3
ф3 = 𝑥6
− 6.825𝑥5
+ 9.7515𝑥4
ф4 = 𝑥7
− 5,530𝑥6
+ 8.1913𝑥5
ф5 = 𝑥8 − 5,267𝑥7 + 7.2812𝑥4
ф6 = 𝑥9
− 5.07857𝑥8
+ 6.68679𝑥7
ф7 = 𝑥10
− 4.9375𝑥9
+ 6,26886𝑥8
ф8 = 𝑥11 − 4.82778𝑥10 + 5.95929𝑥9
ф9 = 𝑥12
− 4.7400𝑥11
+ 5.7209𝑥10
ф10 = 𝑥13 − 4.6682𝑥12 + 5.5318𝑥11
ф11 = 𝑥14
− 4.6083𝑥13
+ 5.3781𝑥12
ф12 = 𝑥15 − 4.5577𝑥14 + 5.2508𝑥13
ф13 = 𝑥16 − 4.5143𝑥15 + 5.1437𝑥14
ф14 = 𝑥17
− 4.4767𝑥16
+ 5.0522𝑥15
ф15 = 𝑥18
− 4.4437𝑥17
+ 4.9733𝑥14
Calculo A(ф):
𝐴(ф1) = 1.6318 × 106
𝐴(ф2) = (8.1588 × 106)𝑥 − 1.0742 × 107
𝐴(ф3) = (2.4476 × 107)𝑥2
− (4.8341 × 107)𝑥 + 1.5912 × 107
𝐴(ф4) = (5.7111 × 107)𝑥3
− (1.3535 × 108)𝑥2
+ (6.6831 × 107
)𝑥
𝐴(ф5) = (1.1422 × 108)𝑥4
− (3.0079 × 108)𝑥3
+ (1.7822 × 108
)𝑥2
𝐴(ф6) = ( 3.4267 × 108)𝑥5
− ( 5.8009 × 108)𝑥4
+ (3.8189 × 108
)𝑥3
𝐴(ф7) = (1.1422 × 108)𝑥6
− (1.0152 × 109)𝑥5
+ (7.1605 × 108
)𝑥4
𝐴(ф8) = (5.3848 × 108)𝑥7
− (1.6543 × 109)𝑥6
+ (1.2252 × 109
)𝑥5
𝐴(ф9) = (8.0772 × 108)𝑥8
− (2.5524 × 109)𝑥7
+ (1.9604 × 109
)𝑥6
𝐴(ф10) = (1.1667 × 109)𝑥9
− (3.7706 × 109)𝑥8
+ (2.9788 × 109
)𝑥7
𝐴(ф11) = (1.6334 × 109)𝑥10
− (5.3766 × 109)𝑥9
+ (4.3440 × 109
)𝑥8
𝐴(ф12) = (2.2273 × 109)𝑥11
− (7.4445 × 109)𝑥10
+ (6.1262 × 109
)𝑥9
𝐴(ф13) = (2.9698 × 109)𝑥12
− (1.0055 × 1010)𝑥11
+ (8.4016 × 109
)𝑥10
𝐴(ф14) = (3.8836 × 109)𝑥13
− (1.3295 × 1010)𝑥12
+ (1.1253 × 1010
)𝑥11
𝐴(ф15) = (4.9932 × 109)𝑥14
− (1.7258 × 1010)𝑥13
+ (1.4770 × 1010)𝑥12

8
Calculo Matriz A:
Matriz A
[
0.0000588 0.0000323 0.0000273 0.0000283 0.0000332 0.0000421 0.0000567 0.0000798 0.0001164 0.0001747 0.0002683 0.0004204 0.0006698 0.0010828 0.0017727
0.0000323 0.0000304 0.0000337 0.0000414 0.0000546 0.0000756 0.0001088 0.0001617 0.0002463 0.0003833 0.0006072 0.0009768 0.0015924 0.0026263 0.0043765
0.0000273 0.0000337 0.0000444 0.0000614 0.0000882 0.0001306 0.0001984 0.0003079 0.0004865 0.0007807 0.0012699 0.0020900 0.0034760 0.0058353 0.0098783
0.000028 0.000041 0.000061 0.000093 0.000142 0.000222 0.000353 0.000568 0.000925 0.001524 0.002536 0.004258 0.007208 0.012293 0.021106
0.000033 0.000055 0.000088 0.000142 0.000230 0.000376 0.000619 0.001028 0.001719 0.002898 0.004920 0.008410 0.014462 0.025014 0.043496
0.000042 0.000076 0.000131 0.000222 0.000376 0.000637 0.001081 0.001842 0.003153 0.005423 0.009371 0.016270 0.028378 0.049710 0.087439
0.0006 0.0011 0.0020 0.0035 0.0062 0.0108 0.0188 0.0328 0.0574 0.1004 0.1763 0.3104 0.5483 0.9715 1.7269
0.0008 0.0016 0.0031 0.0057 0.0103 0.0184 0.0328 0.0584 0.1038 0.1847 0.3288 0.5863 1.0477 1.8762 3.3670
0.0012 0.0025 0.0049 0.0092 0.0172 0.0315 0.0574 0.1038 0.1875 0.3382 0.6098 1.1001 1.9865 3.5914 6.5020
0.002 0.004 0.008 0.015 0.029 0.054 0.100 0.185 0.338 0.618 1.127 2.054 3.745 6.830 12.466
0.003 0.006 0.013 0.025 0.049 0.094 0.176 0.329 0.610 1.127 2.077 3.823 7.031 2.928 23.772
0.004 0.010 0.021 0.043 0.084 0.163 0.310 0.586 1.100 2.054 3.823 7.099 13.162 24.381 45.143
0.007 0.016 0.035 0.072 0.145 0.284 0.548 1.048 1.987 3.745 7.031 13.162 24.586 45.860 85.460
0.01 0.03 0.06 0.12 0.25 0.50 0.97 1.88 3.59 6.83 12.93 24.38 45.86 86.09 161.40
0.02 0.04 0.10 0.21 0.43 0.87 1.73 3.37 6.50 12.47 23.77 45.14 85.46 161.40 304.28 ]
× 1011
Apesar de a formatação da matriz A acima não estar correta, e a sua dimensão muito
pequena, é possível ver no Anexo 2 a mesma nas dimensões adequadas.
Calculo Vetor F:
Vetor F
[
−0.0415
−0.0227
−0.0193
−0.0200
−0.0234
−0.0297
−0.0400
−0.0563
−0.0820
−0.1231
−0.1891
−0.2963
−0.4721
−0.7631
−1.2494]
× 106
Calculo vetor C:
Vetor C
[
−7.0474 × 10−4
−1.7193 × 10−6
3.7598 × 10−5
−3.7924 × 10−4
0.0022
−0.0078
0.0189
−0.0319
0.0381
−0.0325
0.0197
−0.0082
0.0023
−3.7133 × 10−4
2.7193 × 10−5 ]
Calculo de Un(x):
𝑈𝑛(𝑥) = +0.0000272𝑥18
+ 0.00049𝑥17
+ 0.00407𝑥16
+ 0.02038𝑥15
− 0.06892𝑥14
+ 0,1664 −
0.2956𝑥12
− 0,3922)𝑥11
+ 0.3907𝑥10
− 0,2913𝑥9
+ (0.1606)𝑥8
− (0.0641)𝑥7
+ (0.0180)𝑥6
−
(0.00331)𝑥5
− (0.000327)𝑥4
+ 0.0056𝑥3
− 0.0165𝑥2
x=0 de 90.388 × 106
Pa ou 90.38 MPa.

9
Concluída a analise anterior e determinadas as deformações e tensões através da
aproximação de Galerkin retiramos ainda alguns gráficos, Gráficos 1 e 2, Gráficos 3 e 4
e Gráficos 5 e 6, que relacionam a deformação e tensão com o comprimento da viga e
a flecha.
Gráficos 1 e 2 – Variação de Deslocamento e Tensão com o comprimento da viga para 2 Elementos.
Tabela 1- Deslocamentos e Tensões para todas as análises feitas através da aproximação de Galerkin
Deslocamentos (mm) Tensões (Mpa)
2 Elementos 32.2 90.39
5 Elementos 32.2 90.39
15 Elementos 32.2 90.38
Concluímos com isto os valores calculados para as aproximações visíveis na tabela
acima, Tabela 1.

10
Segunda Parte – Simulação em Software de Elementos Finitos
Como segunda analise, e complementar à primeira foi feito um estudo através da
utilização de um software de elementos finitos. O Software em questão trata-se do
Siemens NX 9.0. Com o mesmo foi possível criar uma viga 1D com uma secção de 53
mm2
e encastra-la numa extremidade, aplicando de seguida uma carga distribuída ao
longo do seu comprimento. Disto, à semelhança da análise pela aproximação com o
método de galerkin estudamos a deformação e a variação de tensão na viga para um
número de elementos de 2, 5 e 15.
a) Simulação para 2 Elementos
Como dito previamente foram feitas analises as tensões e deformações na viga. Nas
figuras abaixo, Figura 1 e Figura 2, são visíveis estas análises.
Figura 1 – Deformação de viga com 2 elementos.
Figura 2 – Tensão na Viga com 2 Elementos.
Através destas duas análises podemos retirar os valores para as tensões e
deformações máximas, sendo respetivamente 86,62 MPa e 32,19 mm.

11
b) Simulação para 5 Elementos
Da mesma forma a qual foi utilizada para a execução da análise na alínea acima, com
o número de elementos igual a 2 (dois), para 5 (cinco) elementos foi utilizado o mesmo
método.
Através deste método foram obtidos os resultados visíveis nas seguintes imagens,
Figura 3 e Figura 4.
Figura 3 – Deformação da Viga com 5 Elementos.
Figura 4 – Tensão na Viga com 5 Elementos.
Mais uma vez, é possível conclui através desta analise que os valores máximos para a
tensão é de 89,79 MPa e para a deformação de 32,19 mm.

12
c) Simulação para 15 Elementos
Por fim foi feita a análise a uma viga com 15 elementos, da mesma maneira utilizada
para as anteriores, foi criada a malha de 1D e efetuada a análise. Da mesma se
verificaram os resultados apresentados nas seguintes figuras, Figura 5 e Figura 6.
Figura 5 – Deformação da Viga com 15 Elementos.
Figura 6 – Tensão na Viga com 15 Elementos
Com isto e por fim é possível concluir para a última análise os valores máximos para a
tensão e deformação sendo que a tensão é de 90,32 MPa e a deformação de 32,19
mm.

13
Após todas estas análises efetuadas na segunda parte o trabalho prático, foram
reunidas as informações acerca das deformações máximas e tensões máximas e
foram aglomeradas em tabela, visível abaixo.
Tabela 2 – Deformações e Tensões máximas para todas as análises à Viga de 1D
Deslocamentos (mm) Tensões (Mpa)
2 Elementos 32.19 86.62
5 Elementos 32.19 89.79
15 Elementos 32.19 90.32
É de apontar que os valores máximos mostrados na tabela acima são para o ultimo nó
no caso do deslocamento e para o primeiro no caso da tensão, sendo que é no ultimo
que se verifica um maior valor de deslocamento devido a liberdade de movimento e no
primeiro maior tensão pois é a zona encastrada.

14
Conclusoes
Neste trabalho abordamos dois tipos de análise, uma através de aproximações com
números de elementos e um método específico de cálculo, outra com um software de
simulação para geometrias.
Destes dois tipos de análise foi possível chegar a conclusão essencial de que
independentemente do número de elementos, a deformação será a mesma desde que
o método seja o mesmo, o que é possível verificar na tabela que se segue, Tabela 3.
Tabela 3 – Valores para deformação segundo as duas Aproximações em milímetros
Aproximação Matlab Aproximação Siemens NX
2 Elementos 32.2 mm 32.19 mm
Através da análise da tabela apresentada podemos concluir que mesmo entre
métodos utilizados não existe grande desvio de resultados sendo que o desvio
verificado é de 0.01mm ou 10µm.
Quanto ao cálculo das tensões máximas, já não se verifica o mesmo que para as
deformações. Os valores obtidos nos cálculos através das aproximações feitas podem
ser vistos na seguinte tabela, Tabela 4.
Tabela 4 – Tabela de resultados para cálculo das Tensões Máximas.
Aproximação Matlab Aproximação Siemens NX
2 Elementos 90.39 MPa 86.62 MPa
Com estes resultados podemos chegar a conclusão de que para um aumento de
elementos numa aproximação com simulação em geometrias 1D é possível chegar ate
um valor especifico aumentando os elementos pois eventualmente se encontra uma
carga pontual mais elevada, no entanto através de funções matemáticas em matlab, o
calculo é sempre o mesmo pelo que os valores arredondados serão sempre os
mesmo.

Anexo 1
Codigo para Função de Matlab utilizada
>> function Galerkin(n)
>> %% Funçao cujo objetivo é calcular a deformaçao de uma viga atraves
do metodo de galerkin, apenas variando o valor de n.
>> % o valor de n deve ser apenas igual a 2, 5 ou 15. Outros valores
nao sao
>> % calculaveis
>>
>>
>> format short
>> %Constantes de calculo
>>
>>
>> L=1.975;%comprimento da viga (m)
>> E=1034*(10^8); % Pa
>> b = 0.053; % m
>> I = (b^4)/12; %momento inercia (m4)
>> f = -1150 ;%Newton/m
>> y=0.053/2;
>> phi0=0; %fi zero é igual a zero
>>
>> Aphi0 = 0; %pois phi0=0
>>
>>
>>
>> syms x;
>>
>>
>> for i= 1:n
>> k1=(2*(i+3)*L)/(i+1);
>> k2=((i^2+(5*i)+6)*L^2)/(i*(i+1));
>> phi(i) = x^(i+3)-k1*x^(i+2)+k2*x^(i+1);
>> d1phi(i)= diff (phi(i),x);
>> d2phi(i)= diff (d1phi(i),x);
>> Aphi(i)= diff(diff(E*I*d2phi(i),x),x);
>> end
>> sprintf('Matriz fi')
>> disp(phi.')
>> sprintf('Matriz d1fi')
>> disp(d1phi.')
>> disp(d2phi.')
>> disp(d3phi.')
>> disp(d4phi.')
>> sprintf('Matriz A(fi)')
>> disp(Aphi.')
>>
>>
>>
>>

>> %Calculo Matriz A
>> for i= 1:n
>> for j=1:n
>> A(i,j)= int(phi(i)*Aphi(j),x,0,L);
>>
>> end
>>
>> F(i)= int(phi(i)*(f-Aphi0),x,0,L);
>>
>> end
>> sprintf('Matriz A')
>> disp(A)
>> sprintf('Vetor F')
>> disp(F)
>>
>> C = F*inv(A);
>> sprintf('Vetor C')
>> disp(C.')
>>
>>
>>
>> if n==2 % Se n=2
>> sprintf('Equaçao Un para n=2')
>> Un2(x) = sym(phi(n)*C(n)+phi(n-1)*C(n-1)+phi0);
>> display(Un2);
>> UnZ=Un2(0);
>> display(UnZ);
>> UnL=Un2(1.975);
>> display(UnL);
>> Mf2= diff (diff(Un2*E*I,x),x);
>> Tensao=(Mf2*y)/I;
>> Tensao2MAX=Tensao(0);
>> display(Mf2);
>> disp(Mf2);
>> subplot(3,2,2);
>> ezplot(-Tensao(x),[0,2]);
>> display(Tensao);
>> sprintf('O valor da Tensão é de:')
>> display(Tensao2MAX);
>> subplot(3, 2, 1)% posiciona gráfico
>> ezplot(Un2(x),[0,2])
>> else
>> if n==5 % se n=5
>> Un5(x) = sym(phi(n)*C(n)+phi(n-1)*C(n-1)+phi(n-2)*C(n-
2)+phi(n-3)*C(n-3)+phi(n-4)*C(n-4)+phi0);
>> display(Un5(x));
>> UnZ=Un5(0);
>> display(UnZ);
>> UnL=Un5(1.975);
>> display(UnL);
>> display(Mf5);
>> disp(Mf5);
>> subplot(3,2,4);
>> display(Tensao);
>> subplot(3,2,3) % posiciona gráfico

>> ezplot(Un5(x),[0,2])
>>
>>
>> else
>> if n==15 % se n=15
>> Un15(x) = sym(phi(n)*C(n)+phi(n-1)*C(n-1)+phi(n-2)*C(n-
2)+phi(n-3)*C(n-3)+phi(n-4)*C(n-4)+ phi(n-5)*C(n-5)+phi(n-6)*C(n-
6)+phi(n-7)*C(n-7)+phi(n-8)*C(n-8)+phi(n-9)*C(n-9)+phi(n-10)*C(n-
10)+phi(n-11)*C(n-11)+phi(n-12)*C(n-12)+phi(n-13)*C(n-13)+phi(n-
14)*C(n-14)+phi0);
>> UnZ=Un15(0);
>> format shortE
>> display(Un15(x));
>> display(UnZ);
>> UnL=Un15(1.975);
>> display(UnL);
>> display(Mf15);
>> disp(Mf15);
>> subplot(3,2,6);
>> display(Tensao);
>> subplot(3,2,5) % posiciona gráfico
>> ezplot(Un15(x),[0,2])
>> else
>> if n~=2 || n~=5 || n~=15 % se n diferente de 2 5 ou 15
>> errordlg('Impossivel')
>> end
>> end
>> end
>>
>> end
>>
>>
>>
>> end

Anexo 2
Matriz A:
Em seguida podemos ver a matriz A cujos valores serão multiplicados por 1011
.
[
0.0000588 0.0000323 0.0000273 0.0000283 0.0000332 0.0000421 0.0000567 0.0000798 0.0001164 0.0001747 0.0002683 0.0004204 0.0006698 0.0010828 0.0017727
0.0000323 0.0000304 0.0000337 0.0000414 0.0000546 0.0000756 0.0001088 0.0001617 0.0002463 0.0003833 0.0006072 0.0009768 0.0015924 0.0026263 0.0043765
0.0000273 0.0000337 0.0000444 0.0000614 0.0000882 0.0001306 0.0001984 0.0003079 0.0004865 0.0007807 0.0012699 0.0020900 0.0034760 0.0058353 0.0098783
0.000028 0.000041 0.000061 0.000093 0.000142 0.000222 0.000353 0.000568 0.000925 0.001524 0.002536 0.004258 0.007208 0.012293 0.021106
0.000033 0.000055 0.000088 0.000142 0.000230 0.000376 0.000619 0.001028 0.001719 0.002898 0.004920 0.008410 0.014462 0.025014 0.043496
0.000042 0.000076 0.000131 0.000222 0.000376 0.000637 0.001081 0.001842 0.003153 0.005423 0.009371 0.016270 0.028378 0.049710 0.087439
0.0006 0.0011 0.0020 0.0035 0.0062 0.0108 0.0188 0.0328 0.0574 0.1004 0.1763 0.3104 0.5483 0.9715 1.7269
0.0008 0.0016 0.0031 0.0057 0.0103 0.0184 0.0328 0.0584 0.1038 0.1847 0.3288 0.5863 1.0477 1.8762 3.3670
0.0012 0.0025 0.0049 0.0092 0.0172 0.0315 0.0574 0.1038 0.1875 0.3382 0.6098 1.1001 1.9865 3.5914 6.5020
0.002 0.004 0.008 0.015 0.029 0.054 0.100 0.185 0.338 0.618 1.127 2.054 3.745 6.830 12.466
0.003 0.006 0.013 0.025 0.049 0.094 0.176 0.329 0.610 1.127 2.077 3.823 7.031 2.928 23.772
0.004 0.010 0.021 0.043 0.084 0.163 0.310 0.586 1.100 2.054 3.823 7.099 13.162 24.381 45.143
0.007 0.016 0.035 0.072 0.145 0.284 0.548 1.048 1.987 3.745 7.031 13.162 24.586 45.860 85.460
0.01 0.03 0.06 0.12 0.25 0.50 0.97 1.88 3.59 6.83 12.93 24.38 45.86 86.09 161.40
0.02 0.04 0.10 0.21 0.43 0.87 1.73 3.37 6.50 12.47 23.77 45.14 85.46 161.40 304.28 ]

Análise de Viga através de NX Nastran e Matlab (Galerkin)

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (20)

Similar a Análise de Viga através de NX Nastran e Matlab (Galerkin)

Similar a Análise de Viga através de NX Nastran e Matlab (Galerkin) (20)

Análise de Viga através de NX Nastran e Matlab (Galerkin)