1. Bài 3 AX = BÛ X = A-1B

2. Đại Số Tuyến Tính å
§3: Ma trận nghịch đảo

3. Đại Số Tuyến Tính å
§3: Ma trận nghịch đảo

4. Đại Số Tuyến Tính å
§3: Ma trận nghịch đảo
Nhận xét:

5. Đại Số Tuyến Tính å
§3: Ma trận nghịch đảo
Nhận xét:

6. Đại Số Tuyến Tính å
§3: Ma trận nghịch đảo
Tính chất:
1)
- -
1 1
A =
A
A A
2) ( )
3) ( ) ( )
T - 1 = -
1
T

7. Đại Số Tuyến Tính å
§3: Ma trận nghịch đảo

8. Đại Số Tuyến Tính å
§3: Ma trận nghịch đảo

9. Đại Số Tuyến Tính å
§3: Ma trận nghịch đảo

10. Đại Số Tuyến Tính å
§3: Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau:
1 2 3
2 4 0
4 5 7
A
é ù
= ê- ú ê ú
êë - úû
11 A = 28
12 A = 14
13 A = -6
21 A = -29
22 A = -5
23 A = 13
31 A = -12
32 A = -6
33 A = 8
é ê 11 21 31
ù é ù
= ú = ê ú ê 12 22 32
ú ê ú
êë 13 23 33
úû êë úû
A
A A A
P A A A
A A A

11. Đại Số Tuyến Tính å
§3: Ma trận nghịch đảo
 Bài tập: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau:
2 0 0
5 1 0
3 4 1
A
é ù
= ê ú ê ú
êë - úû
11 A = -1
12 A = 5
13 A = 17
21 A = 0
22 A = -2
23 A = -8
31 A = 0
32 A = 0
33 A = 2
é ê 11 21 31
ù é ù
= ú = ê ú ê 12 22 32
ú ê ú
êë 13 23 33
úû êë úû
A
A A A
P A A A
A A A

12. Đại Số Tuyến Tính å
§3: Ma trận nghịch đảo

13. Đại Số Tuyến Tính å
§3: Ma trận nghịch đảo
1 2 3 28 29 12
2 4 0 14 5 6
4 5 7 6 13 8
A AP
é ù é - - ù
= ê- ú ê - - ú ê ú ê ú
êë - úû êë- úû
38 0 0
0 38 0
0 0 38
é ù
= ê ú ê ú
êë úû
Ví dụ:
1 0 0
é ù
= 38 ê ê 0 1 0
ú ú
êë 0 0 1
úû

14. Đại Số Tuyến Tính å
§3: Ma trận nghịch đảo

15. Đại Số Tuyến Tính å
§3: Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
sau: 1 2 3
0 1 4
0 0 1
A
é ù
= ê ú ê ú
êë - úû
det(A) = -1
é- 1 2 5
ù
ê ê 0 - 1 - 4
ú ú
êë 0 0 1
úû
é - - ù
ê ú
ê ú
1 2 5
0 1 4
0 0 1
A-1 =
A êë - úû P =

16. Đại Số Tuyến Tính å
§3: Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
sau: 2 6
A é ù
= ê ú
ë 1 4
û
det(A) = 2
é 4 - 6
ù
ú ë ê- 1 2
û
é - ù é - ù
ê ú = ê ú ë- û ë- û
1 4 6 2 3
2 1 2 1
1
2
A P =
A-1 =

17. Đại Số Tuyến Tính å
§3: Ma trận nghịch đảo
 Bài tập: Tìm ma trận nghịch đảo của ma
trận sau: 0 2 3
1 0 1
4 5 0
A
é ù
= ê - ú ê ú
êë úû
- = ü
ýÞ = = þ
1 det( ) ? 1
? det( ) A
A
A
A P
P A

18. Đại Số Tuyến Tính å
§3: Ma trận nghịch đảo
 Đáp số:
1
5 15 2
1 4 12 3
7
5 8 2
A-
é - ù
= ê- - ú ê ú
êë - úû

19. Đại Số Tuyến Tính å
§3: Ma trận nghịch đảo
 Bài tập: Tìm ma trận nghịch đảo của ma
trận sau: 2 5
A é ù
= ê ú
ë 1 2
û
A- é- ù
Đáp số: 1 2 5
= ê ú ë - û
Chú ý: Đối với ma trận vuông cấp 2
a b d b
é ù é - ù
= ê úÞ = ê ú ë û ë- û
A P
A
c d c a
1 2

20. Đại Số Tuyến Tính å
a.Các phép biến đổi sơ cấp (bđsc) trên ma trận:
A¾h¾i =l¾hi®B
hi hj A B « ¾¾¾®
= + ¾h¾i hi¾h¾j® A B l
§3: Ma trận nghịch đảo
 Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương
pháp Gauss:
1. Nhân một số khác không với một hàng (cột) của
ma trận. Ký hiệu:
2. Đổi chỗ hai hàng (cột) của ma trận. Ký hiệu:
3. Cộng vào một hàng (cột) với một hàng (cột) khác
đã nhân thêm một số khác không. Ký hiệu:

21. Đại Số Tuyến Tính å
§3: Ma trận nghịch đảo
 Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương
pháp Gauss:
b. Phương pháp Gauss:
bđsc (A I ) (I A-1)
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của
1 1 1
1 2 3
0 1 1
æ ö
= ç ¸ ç ¸
çè ø¸
A

22. Đại Số Tuyến Tính å
§3: Ma trận nghịch đảo
b. Phương pháp Gauss:
Ví dụ:
æ 1 1 1 1 0 0
ö
= ç ¸ ç ¸
çè ø¸
( ) 1 2 3 0 1 0
0 1 1 0 0 1
A I
2 2 1
1 1 1 1 0 0
0 1 2 1 1 0
0 1 1 0 0 1
= -
æ ö
® ç - ¸® ç ¸
çè ø¸
h h h
3 3 2
1 1 1 1 0 0
0 1 2 1 1 0
0 0 1 1 1 1
= -
æ ö
® ç - ¸ ç ¸
çè - - ø¸
h h h 3 3
1 1 1 1 0 0
0 1 2 1 1 0
0 0 1 1 1 1
= -
æ ö
® ç - ¸® ç ¸
çè - - ø¸
h h

23. Đại Số Tuyến Tính å
§3: Ma trận nghịch đảo
b. Phương pháp Gauss:
Ví dụ:
3 3
1 1 1 1 0 0
0 1 2 1 1 0
0 0 1 1 1 1
= -
æ ö
® ç - ¸ ç ¸
çè - - ø¸
h h 1 1 3
2 2 2 3
1 1 0 2 1 1
0 1 0 1 1 2
0 0 1 1 1 1
= -
= -
æ - ö
® ç - ¸® ç ¸
çè - - ø¸
h h h
h h h
1 1 2
1 0 0 1 0 1
0 1 0 1 1 2 .
0 0 1 1 1 1
= -
æ - ö
® ç - ¸ ç ¸
çè - - ø¸
h h h
Vậy 1
1 0 1
1 1 2 .
1 1 1
-
æ - ö
= ç - ¸ ç ¸
çè - - ø¸
A

24. Đại Số Tuyến Tính å
§3: Ma trận nghịch đảo
BBààii ttooáánn:: TTììmm mmaa ttrrậậnn XX tthhỏỏaa mmããnn
11)) AAXX == BB
22)) XXAA == BB
33)) AAXXBB == CC
44)) AAXX ++ kkBB == CC

25. Đại Số Tuyến Tính å
§3: Ma trận nghịch đảo
 Ta có:
-1 -1
1) AX=B A AX=A
1
-1
IX=A
B
A
B
X = - B
Û
Û
Û
- -
1 1
2) XA B XAA BA
1
Û 1
¹ A-1B
XI BA
X BA
-
-
= Û =
Û
=
=

26. Đại Số Tuyến Tính å
§3: Ma trận nghịch đảo
 Ta có:
-1 -1
C
C
-1 -1
1 1
1
3) AXB=C A AXB=A
XBB =A
X A
B
CB
-
-
= -
Û
Û
Û
) AX kB C AX C kB
4 ( )
1 1
A AX A C kB
X A 1
(
C kB
( )
)
-
-
-
+ = Û = -
Û = -
Û = -

27. Đại Số Tuyến Tính å
§3: Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ: Tìm ma trận X thỏa mãn:
1 2 3 1 5
0 1 4 0 4
0 0 1 2 3
é ù é ù
ê ú ê ú ê ú X
= ê ú
êë - úû êë úû
Phương trình có dạng: AX=B
Ta có: X = A-1B

28. Đại Số Tuyến Tính å
§3: Ma trận nghịch đảo
1 2 5 1 5
0 1 4 0 4
0 0 1 2 3
X
é - - ù é ù
= ê ú ê ú ê ú ê ú
êë - úû êë úû
é- 9 - 18
ù
= ê ê 8 16
ú ú
êë- 2 - 3
úû
Vậy

29. Đại Số Tuyến Tính å
§3: Ma trận nghịch đảo
 Ví dụ: Tìm ma trận X thỏa mãn:
1 3 1 1 2 3
2
2 4 2 0 0 5
X
é ù é - ù é - ù
ê ú + ê ú = ê ú
ë û ë û ë û
Phương trình có dạng
XA+ 2B = C
Û X = (C - 2B)A-1

30. Đại Số Tuyến Tính å
§3: Ma trận nghịch đảo
 Ta có
1 é 4 - 3 ù é 0 - 1 A- 1 C B ù
; 2
= - - = 2 ë- ê 2 1 ú ê û ë- 4 5
ú û
Với X = (C - 2B)A-1
nên
0 1 1 4 3 1 0 1 4 3 ( )
4 5 2 2 1 2 4 5 2 1
X
é - ù é - ù é - ù é - ù
= ê ú - ê ú = - ê ú ê ú ë- û ë- û ë- û ë- û
é - ù é- ù
1
2
17
2
1 2 1 1
2 26 17 13
= - ê ú = ê ú ë- û ë - û

31. Đại Số Tuyến Tính å
§3: Ma trận nghịch đảo
 Bài tập: Tìm ma trận X thỏa mãn:
é 1 3 - 2 ù é 2 - 2
ù
ê 0 4 2 ú ê ú X
= ê 0 4
ú ê ú
êë 5 0 - 3 úû êë- 8 6
úû
Phương trình có dạng
AX = B
…
Û X = A-1B

32. Đại Số Tuyến Tính å
§3: Ma trận nghịch đảo
 Bài tập: Tìm ma trận X thỏa mãn:
2 4 2 7 4 8
3 5 1 3 2 0
X é ù é ù é ù
ê ú ê ú = ê ú ë û ë û ë- û
Phương trình có dạng
AXB = C
…
Û X = A-1CB-1