O documento discute conceitos fundamentais de funções, incluindo: (1) a definição de função como uma relação em que cada elemento do domínio está associado a exatamente um elemento do contradomínio; (2) exemplos de funções numéricas e suas representações gráficas; (3) determinação de imagens, domínios e contradomínios de funções.

2. SEJAM A E B CONJUNTOS NÃO VAZIOS. UMA
RELAÇÃO f DE A EM B É FUNÇÃO, SE E SOMENTE SE,
A CADA ELEMENTO XA CADA ELEMENTO X A ESTÁ ASSOCIADO UM∈ A ESTÁ ASSOCIADO UM∈
ÚNICO ELEMENTO Y B.∈ÚNICO ELEMENTO Y B.∈

3.  Supondo uma prova com 5 questões de múltipla
escolha em que cada questão vale dois pontos.
 Considere os conjuntos:
 da quantidade de acertos das questões da prova:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
 das notas de 0 a 10:
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
EXEMPLO 1
e a relação:
R = {(x, y) A X B / y é a nota obtida pelo nº∈
de acertos x na prova}
y = 2 . x

4.  Vamos representar a RELAÇÃO da nota obtida pelo
nº de acertos
 Por uma tabela
Acertos
(x)
0 1 2 3 4 5
Nota
y
0 2 4 6 8 10
 Por um conjunto de pares ordenados
{(0,0), (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)};

5. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10};
 Por um diagrama de conjuntos:
0
1
2 3
A B
0
12
3
4
4
10
6
78
(x) (y)
R
5
5
9
Toda relação de A em B em que, a cada elemento x ∈∈ A, está
associado um único elemento y B∈ B∈ é função de A em B.

6. R é uma função f de A em B.
f: A→B x y
A B
f
 O conjunto A é o domínio da função;
 O conjunto B é o contradomínio da função;
 x é a variável independente;
 y é a variável dependente;
 y é a imagem de x, pela função. y = f(x)

7.  Voltando ao exemplo temos:
1
2
3
2
A B
0 1
4
4
5
7
9
6
8
10
(x) (y)
f
 a imagem de 1 é 2: ⇒ f(1) = 2
 a imagem de 2 é 4: ⇒ f(2) = 4
 a imagem de 3 é 6: ⇒ f(3) = 6
 a imagem de 4 é 8: ⇒ f(4) = 8
 a imagem de 5 é 10: ⇒ f(5) = 10
 Im(f) = {0, 2, 4, 6, 8, 10}
 Im(f) ⊂ B (contradomínio)
0
3
5
 a imagem de 0 é 0: ⇒ f(0) = 0

8.  O diagrama a seguir representa uma função f de A
em B.
 Determinar:
1. Seu domínio e contradomínio;
2. f(1), f(2) e f(3);
3. Seu conjunto imagem;
4. O conjunto-solução da equação f(x) = 7.
1
2
3
8
A B
5
7
9
 f(1) = 5; f(2) = 7 e f(3) = 7
 D(f) = A = {1, 2, 3}
 CD(f) = B = {5, 7, 8, 9}
 Im(f) = {5, 7}
EXEMPLO 2
 S = {2, 3}

9. O diagrama abaixo representa uma função de A em B?
3
4
5
6
A B
8
7
9
 O elemento 4 de A está associado a dois
elementos em B.
 O elemento 5 de A não está associado a nenhum
elemento de B.
O DIAGRAMA NÃO REPRESENTA UMA FUNÇÃO DE A EM B
EXEMPLO 3
A cada elemento x ∈∈ A está associado um único elemento y B?∈ B?∈

10.  Funções que tem como domínio e contradomínio
subconjuntos de R são as funções numéricas ou
funções reais.
 Em geral, a lei que define uma função real é expressa
por uma fórmula, ou seja, a variável dependente y é
obtida por meio de um conjunto de operações sobre
a variável independente x.
FUNÇÕES REAIS

11. y = f(x) = x2
+ x – 3.
 x = –2 ⇒ y = f(–2) = (–2)2
+ (–2) – 3
 x = 0 ⇒ y = f(0) = (0)2
+ (0) – 3
 x = 1 ⇒ y = f(1) = (1)2
+ (1) – 3
 x = 2 ⇒ y = f(2) = (2)2
+ (2) – 3
Im(f) = {–3, –1, 3}Im(f) = {–3, –1, 3}
f = {(–2, –1), (0, –3), (1, –1), (2, 3)}
EXEMPLO 4
 Dada a função real f: {–2, 0, 1, 2} → R definida pela lei y =
f(x) = x2
+ x – 3.
Determinar o conjunto imagem e gráfico cartesiano.
= –1
= –3
= –1
= 3

12. x0 1 2
1
3
y
–2 –1
–1
–3
f = {(–2, –1), (0, –3), (1, –1), (2, 3)}
Gráfico da função

13. y = g(x) = 2x – 1.
 x = 0 ⇒ y = g(0) = 2.0 – 1
 x = 1 ⇒ y = g(1) = 2.1 – 1
 x = 3 ⇒ y = g(3) = 2.3 – 1
Obtivemos os pontos A(0, –1), B(1, 1) e C(3, 5).
 Construir o gráfico cartesiano da função real g: R+→R, dada por y =
g(x) = 2x – 1
 A partir do gráfico determinar o seu conjunto imagem.
EXEMPLO 5
= –1
= 1
= 5

14. Gráfico da função
x
y
–1
1
1
3
5
A(0, –1), B(1, 1) e C(3, 5).
A
B
C
Im(f) = [–1, +∞[
g: R+→ R

15. a) Qual é a imagem de 1.
b) 1 é imagem de qual número?
c) Determine x tal que g(x) = –3.
d) Existe algum valor do domínio cuja imagem é 0.
 x = 1 ⇒ g(1) = 2.1 + 5 =
 Dada a função g: ℤ → ℝ definida por g(x) = 2x + 5.
Pede-se:
EXEMPLO 6
7
 g(x) = 1 ⇒ 2x + 5 = 1 ⇒ 2x = –4 ⇒ x = –2
 g(x) = –3 ⇒ 2x + 5 = –3 ⇒ 2x = –8 ⇒ x = –4
 g(x) = 0 ⇒ 2x + 5 = 0 ⇒ 2x = –5 ⇒ x = –5/2
Não, pois –5/2 (ℤ)∉

16. a) f:ℝ → ℝ sendo f(x) = x + 3
 Determine, se existirem, as raízes das funções:
EXEMPLO 7
f(x) = 0 ⇒ x + 3 = 0 ⇒ x = –3
–3 é a raiz da função f. Logo f(–3) = 0.

17. b) g: A → B sendo g(x) = –x + 3, com A = {–2, 1, 3} e B = {0, 2, 3,
5, 7}.
g(x) = 0 ⇒ –x + 3 = 0 ⇒ x = 3
3 é a raiz da função g. Logo g(3) = 0.
c) h: ℕ → ℝ sendo h(x) = x2
– 4.
h(x) = 0 ⇒ x2
– 4 = 0 ⇒ x2
= 4 ⇒ x = ± 2
–2 não pertence ao domínio (ℕ) da função h,
assim, somente 2 é raiz da função.

18. Referências:
•IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo;
DEGENSZAJN, David; PÉRIGO,
Roberto. MATEMÁTICA – Ensino
Médio. 6ª edição. São Paulo:
Atual, 2015.
•PAIVA, Manoel Rodrigues.
Matemática Paiva. 2ª edição. São
Paulo: Moderna, 2010.
•Prof. Jorge.
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