Hoje em dia, a utilização de software musical para apoio à composição, à produção de partituras e à análise musical é incontornável. Por outro lado, as notações musicais além de complexas, diferem muito uma das outras; é muito difícil para não dizer impossível, garantir a interoperabilidade entre diferentes aplicações de manipulação de música. Apesar de haver algumas iniciativas, ainda não emergiu um formato como norma. Houve ainda outras motivações na génese deste trabalho. Muitos dos exercícios que se fazem em teoria musical obrigam a cálculos complicados: cálculo de intervalos, construção de acordes, construção das mais variadas escalas, transposição de partituras para instrumentos transpositores, etc. A sua complexidade existe devido à não linearidade das notas na escala musical. As oito notas de uma oitava estão separadas por 5 intervalos de um tom e dois intervalos de meio. Estes dois intervalos de meio tom invalidam a possibilidade de se usar a nota musical como referência para cálculo. Este trabalho teve então como objectivo definir um referencial linear no qual fosse possível representar de forma unívoca todas as notas musicais. Este referencial deve permitir realizar todos aqueles cálculos enunciados acima através de uma operação aritmética simples, como a adição ou a subtração.

1. MuseCode
(1) Uma abordagem aritmética à música tonal
(2) À procura da linearidade na música tonal
José Carlos L. Ramalho
(Junho de 2010)
(rev. Novembro 2011, Março 2012)

2. Motivação
• Fazemos muitos cálculos para:
– calcular intervalos,
– construir escalas,
– construir acordes,
– fazer transposições,
– Verificar regras em contrapontos
– …
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3. Linearidade
• Fazer contas com inteiros é fácil:
 5+6 = 11
 -7+3 = -4
 -3 – (-7) = 4
• Todos os elementos do domínio de trabalho
estão à mesma distância do elemento
seguinte;
• O domínio é linear.
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4. Problema
• Tudo se resolve se conseguirmos representar
num eixo uniforme as notas musicais;
• Problema: a sequência de notas numa escala
não é uniforme, existem dois meios tons;
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5. Solução
• O que poderá identificar univocamente uma
nota musical?
• A tonalidade maior associada a uma nota tem
uma característica única: a sequência de
intervalos que a caracteriza.
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6. Convenções
• No trabalho que se segue vamos assumir que:
– Uma nota musical pode ser alterada de duas
maneiras;
– Através de uma contracção da distância para o
elemento anterior (bemol): vamos associar a esta
alteração um valor negativo;
– Através de uma expansão da distância para o
elemento anterior (sustenido): vamos associar a
esta alteração um valor positivo.
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7. Codificação de Notas
• Exemplo: Dó Maior (Cmajor)
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Nenhuma alteração: valor 0

8. Codificação de Notas
• Exemplo: Sol Maior (Gmajor)
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Uma alteração de expansão: valor +1

9. Codificação de Notas
• Exemplo: Si Maior (Bmajor)
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Cinco alterações de expansão: valor +5

10. Codificação de Notas
• Exemplo: FáMaior (Fmajor)
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Uma alteração de contracção: valor -1
b
Exercício: Como será codificado o Láb? E o Mi#?

11. Codificação de Notas
• Solução: Láb Maior (Ab major)
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Quatro alterações de contracção: valor -4
b
b
b
b
E o Mi#?
Solução: +11

12. Codificação de Notas
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Tabela 1
Notas Valor
Cb -7
C 0
C# 7
Db -5
D 2
D# 9
Eb -3
E 4
E# 11
Fb -8
F -1
F# 6
Gb -6
G 1
G# 8
Ab -4
A 3
A# 10
Bb -2
B 5
B# 12
Tabela 2
Valor Notas
-8 Fb
-7 Cb
-6 Gb
-5 Db
-4 Ab
-3 Eb
-2 Bb
-1 F
0 C
1 G
2 D
3 A
4 E
5 B
6 F#
7 C#
8 G#
9 D#
10 A#
11 E#
12 B#

13. Intervalo
• Distância entre duas notas musicais:
4P, 5d, 7m, 8P, 2m, mtc, …
• O intervalo é usado para:
– Construir escalas;
– Construir acordes;
– Realizar transposições;
– Resolver exercícios de contraponto;
• Vamos verificar se o referencial construído para
as notas serve para identificar os intervalos.
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14. Identificando os intervalos
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2M = +2 – 0 = 2
3M = +4 – 0 = 4
4P = -1 – 0 = -1
5P = ?
6M = +3 – 0 = 3
7M = +5 – 0 = +5
8P = ?
7m = ?
6m = ?
3m = ?
2m = ?
7m = Sib – Dó = -2 - 0 = -2
6m = Láb – Dó = -4 – 0 = -4
3m = Mib – Dó = -3 – 0 = -3
2m = Fá – Mi = -1 -4 = -5
Parece que temos um bom referencial!

15. Codificação de Notas e Intervalos
Tabela 3
Intervalo Valor
uníssono 0
m.t.cr. 7
2m -5
2M 2
3m -3
3M 4
4d -8
4P -1
4A 6
5d -6
5P 1
5A 8
6m -4
6M 3
7m -2
7M 5
8P 0
Tabela 4
Valor Intervalo
-8 4d
-6 5d
-5 2m
-4 6m
-3 3m
-2 7m
-1 4P
0 uníssono
0 8P
1 5P
2 2M
3 6M
4 3M
5 7M
6 4A
7 m.t.cr.
8 5A
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Não estão aqui todos os
intervalos possíveis. Mas
agora é fácil completar o
exercício…
Exemplo: enarmonia
Réb – Dó# = -5 -7 = -12
Dó – Si# = 0 – 12 = -12
Fá – Mi# = -1 – 11 = -12

16. Aplicações
• Cálculo de Intervalos;
• Construção de Escalas;
• Cálculo de intervalos;
• Cosntrução de Acordes;
• Transposições;
• Construção semi-automática de cadências.
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17. Aplicações: cálculo de intervalos
• Cálculo de Intervalos:
– Dadas 2 notas: C e G#;
– Subtrair a mais alta à mais baixa (Tab1): 8-0 = 8;
– Consultar Tab4 para o intervalo correspondente a
8: 5A.
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18. Exemplo: testes de FM
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Mi = +4
Si# = +12
Intervalo = 12 – 4 = 8 = 5A
Fá# = +6 Mi# = +11
Intervalo = 6 – 11 = -5 = 2m

19. Aplicações: construção de escalas
• Construção de escalas (blues):
– sequência de intervalos: 3m, 2M, mt cr., 2m, 3m;
– Da Tab.3: -3, 2, 7, -5, -3;
– Somam-se os intervalos a partir de C (0):
• 0 : -3 : -1 : 6 : 1 : -2
– O que dá a escala de blues em C:
• C : Eb : F : F# : G : Bb
– Escala de blues a partir de G(1):
• 1 : -2 : 0 : 7 : 2 : -1 = G : Bb : C : C# : D : F
– Escala de blues a partir de Bb(-2):
• -2 : -5 : -3 : 4 : -1 : -4 = Bb : Db : Eb : E : F : Ab
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20. Construção de Escalas
Escala Sequência de Intervalos Vector
Maior [2M,2M,2m,2M,2M,2M,2m] [2,2,-5,2,2,2,-5]
Menor Natural [2M,2m,2M,2M,2m,2M,2M] [2,-5,2,2,-5,2,2]
Menor Harmónica [2M,2m,2M,2M,2m,2A,2m] [2,-5,2,2,-5,9,-5]
Menor Melódica Asc. [2M,2m,2M,2M,2M,2M,2m] [2,-5,2,2,2,2,-5]
Menor Melódica Desc. [2M,2M,2m,2M,2M,2m,2M] [2,2,-5,2,2,-5,2]
Pentatónica [2M,2M,3m,2M,3m] [2,2,-3,2,-3]
Hexáfona [2M,2M,2M,2M,2M,2M] [2,2,2,2,2,2]
Pentatónica de Blues [3m,2M,mtcr,2m,3m,2M] [-3,2,7,-5,-3,2]
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21. Construção de Escalas: exemplos
Designação Vector Nota + Vector Escala
Ré M [2,2,-5,2,2,2,-5] [2,4,6,1,3,5,7,2] [Ré,Mi,Fá#,Sol,Lá,Si,Dó#,Ré]
Si m natural [2,-5,2,2,-5,2,2] [5,7,2,4,6,1,3,5] [Si,Dó#,Ré,Mi,Fá#,Sol,Lá,Si]
Si m harmónica [2,-5,2,2,-5,9,-5] [5,7,2,4,6,1,10,5] [Si,Dó#,Ré,Mi,Fá#,Sol,Lá#,Si]
Si b Blues [2,-5,2,2,2,2,-5] [-2,-5,-3,4,-1,-4,-2] [Sib,Réb,Mib,Mi,Fá,Láb,Sib]
MuseCode: jcr : 2012-03-22 21
Exercício: Construa a escala de Sol# m harmónica

22. Aplicações (cont.)
• Construção de Acordes:
– Intervalos em causa: 3m e 3M;
– Valores da Tab3: 3m=-3 e 3M=4;
– Acorde menor com nota base C (3m, 3M):
• Ao valor da nota somo -3 e obtenho a segunda nota, à
segunda somo 4 e obtenho a terceira (ou somo os 2
intervalos à primeira nota:
– 0 – 3 = -3(Eb) + 4 = 1 (G)  (C,Eb,G)
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23. Aplicações (cont.)
• Construção de Acordes:
– Intervalos em causa: 3m e 3M;
– Valores da Tab3: 3m=-3 e 3M=4;
– Acorde Maior com nota base C (3M, 3m):
• Ao valor da nota somo 4 e obtenho a segunda nota, à
segunda somo -3 e obtenho a terceira (ou somo os 2
intervalos à primeira nota:
• 0 + 4 = 4(E) + -3 = 1 (G)  (C,E,G)
23MuseCode: jcr : 2012-03-22

24. Aplicações (cont.)
• Construção de Acordes:
– Intervalos em causa: 3m e 3M;
– Valores da Tab3: 3m=-3 e 3M=4;
– Acorde diminuto com nota base C (3m, 3m):
• Ao valor da nota somo -3 e obtenho a segunda nota, à
segunda somo -3 e obtenho a terceira (ou somo os 2
intervalos à primeira nota:
• 0 + -3 = -3(Eb) + -3 = -6 (Gb)  (C,Eb,Gb)
24MuseCode: jcr : 2012-03-22

25. Aplicações (cont.)
• Construção de Acordes:
– Intervalos em causa: 3m e 3M;
– Valores da Tab3: 3m=-3 e 3M=4;
– Acorde Aumentado com nota base C (3M, 3M):
• Ao valor da nota somo 4 e obtenho a segunda nota, à
segunda somo 4 e obtenho a terceira (ou somo os 2
intervalos à primeira nota:
• 0 + 4 = 4(E) + 4 = 8 (G#)  (C,E,G#)
– O mesmo raciocínio pode ser aplicado à inversão de
acordes tendo em conta os intervalos nas inversões.
25MuseCode: jcr : 2012-03-22

26. Construção de Acordes
Acorde Sequência de Intervalos Vector
(M)aior [3M,3m] [4,-3]
(m)enor [3m,3M] [-3,4]
(d)iminuto [3m,3m] [-3,-3]
(A)umentado [3M,3M] [4,4]
M 1ª inv. (M6) [3m,4P] [-3,-1]
M 2ª inv. (M6/4) [4P,3M] [-1,4]
m 1ª inv. (m6) [3M,4P] [4,-1]
m 2ª inv. (m6/4) [4P,3m] [-1,-3]
MuseCode: jcr : 2012-03-22 26
Exercício: Construa a sequência do acorde de 7ª da dominante

27. Construção de Acordes: exemplos
Nota Base Cifra Vector Nota + Vector Acorde
Ré M5 [4,-3] [2,6,3] [Ré,Fá#,Lá]
Ré m5 [-3,4] [2,-1,3] [Ré,Fá,Lá]
Ré d [-3,-3] [2,-1,-4] [Ré,Fá,Láb]
Ré A [4,4] [2,6,10] [Ré,Fá#,Lá#]
Ré 7+ Vector [2,?,?,?] [Ré,?,?,?]
MuseCode: jcr : 2012-03-22 27

28. Aplicações: transposições
• Transposições:
– Dada uma nota no piano: A;
– Calcular a mesma nota no saxofone (em Eb):
• Subtraio ao valor da nota a transpôr (Tab1) o valor do
intervalo (3m, Tab3) : 3(A) - -3 (3m) = 6
• Consulto a Tab2 e 6 é F#
28MuseCode: jcr : 2012-03-22

29. Aplicação: contraponto
MuseCode: jcr : 2012-03-22 29
-1 +1 +3 -1
+2 +4 -1
-1
+4
+2
-1
0 +3 +5
0
+5 +2 0 +5 0
+1
-1
+4 +2
Restrição: Consonâncias nos tempos fortes
Dissonâncias: 2ªs, 4ªs, 7ªs = (-5, 2), (-8, -1, 6), (-2, 5)

30. Conclusão
• Objectivo atingido: uma simples operação
aritmética permite-nos fazer todas as
“operações” musicais;
• Criou-se um referencial uniforme para as
notas musicais capaz de as distinguir pelas
suas características tonais;
• Apresentaram-se alguns cenários de
aplicação.
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