ELE2611 Classe 3 - Filtres analogiques linéaires I

Introduction
ELE2611 - Circuits Actifs
3 credits, heures/semaine: 4 - 0 - 5
https://moodle.polymtl.ca/course/view.php?id=1756
Cours 3 - Filtres analogiques linéaires I
Approximations rationnelles classiques, dénormalisation
Instructeur: Jerome Le Ny
jerome.le-ny@polymtl.ca
Version du 24 août 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 1/74

Introduction
Motivation pour ce cours
Nous débutons une série de cours constituant une introduction à la
conception de filtres analogiques et leurs réalisations par des circuits actifs
ou passifs (des quadripôles).
Un filtre est un système permettant d’effectuer certaines opérations
définies dans le domaine fréquentiel sur un signal d’entrée. Typiquement le
contenu d’un signal physique brut doit être passé (voir amplifié) à
certaines fréquences, et atténué à d’autres, pour isoler l’information qu’il
transporte du bruit et des interférences.
Le filtrage de signaux (analogique et digital) est omniprésent dans tous les
systèmes, artificiels et naturels, qui transmettent de l’information (revoir
cours 0).
Il existe de très nombreuses méthodes de conception de filtres. Toutefois,
les formes de filtres analogiques que nous allons discuter sont devenues
essentiellement standard et sont supportées par divers manuels et logiciels
de conception.

Introduction
Approches pour la conception de ﬁltres

Introduction
Plan pour ce cours
Introduction au filtrage, types et gabarits de filtres
Normalisation de gabarit et dénormalisation de fonction de transfert
Passe-bas normalisé
Dénormalisation
Approximation de la magnitude du filtre passe-bas normalisé idéal
Filtres de Butterworth
Filtres de Tchebychev
Autres approximations
Distorsion due à la non-linéarité de phase des filtres
Temps de propagation de groupe
Filtres de Bessel
Filtres passe-tout

Introduction
Plan pour ce cours
D´enormalisation
Filtres de Bessel
Filtres passe-tout

Introduction
Récapitulatif sur la réponse en fréquence
Un système linéaire et stationnaire est associé à une fonction de transfer
Y (s) = G(s)U(s) (↔ y(t) =
∞
0
g(t − τ)u(τ)dτ; C.I. nulles)
Y(jω) = G(jω)U(jω) (relation entre phaseurs, R.P. sinus¨ıdal)
En considérant l’entrée u(t) comme une superposition de sinuso¨ıdes à
différentes fréquences (analyse de Fourier), le système agit sur ces
différentes fréquences de manière différente → notion de filtre. Relation
entre les transformées de Fourier (spectres fréquentiels) :
Y (jω) = G(jω)U(jω)
Magnitude de la fn de tx : |G(jω)| → atténuation ou amplification de
certaines fréquences (|Y (jω)| = |G(jω)||U(jω)|).
Argument de la fn de tx : ∠G(jω) → ∠Y (jω) = ∠G(jω) + ∠U(jω)
(Angle d’avance de phase). Comme nous le verrons plus loin, cette
fonction influence le temps de propagation dans le système des diverses
composantes fréquentielles du signal d’entrée, ce qui crée de la distorsion.

Introduction
Vision fréquentielle des systèmes
[S. Franco, ”Design with Operational Amplifiers”, 3rd édition, p. 108]

Introduction
Filtres analogiques et applications
Dans ELE2611, on n’étudie que le filtrage analogique, c.-à-d. pour des
signaux continus dans le temps. On étudie la réalisation de ces filtres par
des circuits analogiques.
Aujourd’hui beaucoup de fonctions avancées de traitement de signal sont
implémentées sous forme digitale. Mais même dans ce cas, on a besoin de
circuits analogiques pour préparer et nettoyer le signal avant
l’échantillonage, par exemple un filtre passe-bas anti-repliement
(anti-aliasing) avant l’échantillonneur.
De plus, les filtres digitaux sont plus difficiles à réaliser / moins rentables
quand les fréquences augmentent.
Un filtre convertit un signal d’entrée en un signal de sortie en lui retirant
certains traits indésirables. Exemples :
TV/radio réglé sur un certain canal ne laisse passer que les signaux transmis
sur ce canal (filtre passe-bande).
Elimination du bruit hautes fréquences (filtre passe-bas).
Elimination des résidus de signaux à 60 Hz dans les équipement médicaux
(filtre notch, type de coupe-bande).

Introduction
Filtres Electroniques
Les filtres analogiques sont le plus souvents réalisés au moyen de circuits
électroniques
Ce sont des quadripôles, et on s’intéresse le plus souvent à la fonction de
transfert entre les tensions d’entrée et de sortie
Quadripôle
Filtre
H(s)
+
-
vi
+
-
vo
Relation entre les spectres fréquentiels : Vo(jω) = H(jω)Vi (jω)
La relation entre les magnitudes |Vo(jω)| = |H(jω)||Vi (jω)| est la plus
importante pour la plupart des applications
Relation entre les phases ∠Vo(jω) = ∠Vi (jω) + ∠H(jω)

Introduction
Types de filtres - réponses idéales
Filtres classés suivant l’allure de la magnitude de leur réponse en fréquence
0
0
|H(j!)|
!c ! 0
0
|H(j!)|
!c !
passe-bas passe-haut
0
0
|H(j!)|
!
passe-bande
!l !h 0
0
|H(j!)|
!
coupe-bande
!l !h
0
0
|H(j!)|
!
passe-tout
0
0
!
H(j!)
-𝜏
Note: un passe-tout sert à
manipuler la phase du
signal d'entrée
Réponses idéales
!c( : fréquence de coupure)
En pratique on ne peut qu’approximer ces réponses idéales par des
fonctions de transfert rationnelles réelles, et les quatre premier filtres
affectent aussi la phase du signal d’entrée (source de distorsion).

Introduction
Gabarits de filtres
Un gabarit de filtre est une spécification réalisable. Pour les quatre premiers
types de filtres :
!p !a
bande
passante
bande
d'arrêt
!p!a
bande
passante
bande
d'arrêt
|H(j!)|dB
|H(j!)|dB
! !
Hmin
Hmax Hmax
Hmin
bande
passante
bande
d'arrêt
|H(j!)|dB
!
Hmin
Hmax
bande
d'arrêt
!+
p!p !+
a
!a
|H(j!)|dB
!
bande
d'arrêt
!+
p!p !+
a!a
Hmax
bande
passante
bande
passante
Passe-bande Coupe-bande
Passe-bas Passe-haut
Hmax
Hmin Hmin

Introduction
Gabarit d’un filtre passe-bas
Spécifications {Amax, Amin, ωp, ωa} → le graphe d’amplitude peut se
trouver dans la zone grisée ci-dessous.
0 dB
|H(j!)| (dB)
-Amax dB
Plage de
transition
Bande
passante
Bande
d'arrêt
-Amin dB
Atténuation minimale de
Amin dB dans la bande d'arrêt
Atténuation maximale de
Amax dB dans la bande
ωp rad/s
!
k = ωp / ωa : facteur de transition
ωa rad/s
Zone grisée autorisée pour
l'amplitude de la
fonction de transfert

Introduction
Gabarit d’un filtre passe-bande
Spécifications {Amax, Amin, ω±
p , ω±
a }, ou plus souvent fréquence centrale
ω0 = ω−
p ω+
p et largeur de bande B = ω+
p − ω−
p
0 dB
|H(j!)| (dB)
-Amax dB
Plage de
transition
(haute)
Bande
passante
Bande
d'arrêt
(haute)
-Amin dB
Atténuation minimale de
Amin dB dans la bande d'arrêt
Atténuation maximale de
Amax dB dans la bande
!
Zone grisée autorisée
pour l'amplitude de la
Bande
d'arrêt
(basse)
-Amin dB
!p !+
p !+
a!a
Plage de
transition
(basse)
Facteur de transition: k =
!+
p !p
!+
a !a
!0

Introduction
Facteur de transition
Une plage de transition est déterminée par deux fréquences ωa, ωp pour
lesquelles le filtre change de fonction (arrêt → passant, et vice-versa).
ωp délimite la bande passante, ωa délimite la bande d’arrêt.
Le facteur de transition est défini par :
k =
ωp
ωa
pour un passe-bas,
k = ωa
ωp
pour un passe-haut
k =
ω+
p −ω−
p
ω+
a −ω−
a
pour un passe-bande,
k =
ω+
a −ω−
a
ω+
p −ω−
p
pour un arrêt de bande.
Dans tous les cas k ≤ 1 et on veut k le plus proche possible de 1 pour une
transition rapide.

Introduction
Filtres passifs et actifs
Filtres passifs : réalisés avec des éléments passifs R, L, C seulement.
Filtres actifs : contiennent des éléments actifs (en général sources
dépendentes, A.O., transistors, etc.).
Avantages des filtre actifs :
on peut utiliser les A.O. pour remplacer les bobines des filtres passifs. En
effet, les bobines de qualité sont difficiles à fabriquer, occupent de la place,
sont comparativement lourdes, et ne sont pas compatibles avec les
technologies standards de fabrication des circuits intégrés → avantage des
filtres actifs en termes de coût, taille et poids.
On peut réaliser des blocs à grande impédance d’entrée et faible impédance
de sortie, qui sont ensuite utilisables et ajustables de fa¸con modulaire pour
créer des circuits plus complexes.
Inconvénients des filtres actifs : en raison entre autre de la diminution de
gain en boucle ouverte des A.O. à hautes fréquences (voir cours 6),
l’utilisation des filtres actifs est limitée aux fréquences de l’ordre du MHz
au plus (Ex : applications audio, instrumentation, etc.). Au-delà, on utilise
de nouveau les circuits passifs RLC, et les bobines sont d’ailleurs plus
faciles à intégrer (plus petites) aux hautes fréquences (pourquoi ?).

Introduction
Ordre d’un filtre
Pour un filtre H(s) = N(s)
D(s)
(sans simplification de termes), son ordre est le
degré de son dénominateur.
C’est aussi le nombre de pôles de la fonction de transfert
H(s) =
N(s)
D(s)
=
amsm
+ . . . + a0
sn + . . . + b0
=
am(s − z1) . . . (s − zm)
(s − p1) . . . (s − pn)
Plus l’ordre d’un filtre est élevé :
plus le concepteur a de degrés de libertés pour atteindre ses spécifications
→ meilleur performance possible, par exemple transition plus rapide (k plus
grand possible) pour un Amax, Amin donnés, ou Amin plus grand pour Amax
et ωp, ωa donnés, etc.
mais plus la réalisation du filtre est coûteuse (nécessite plus de composants,
et circuit plus complexes), et peut créer d’autres problèmes potentiels
(robustesse, . . . ).
Toutefois, différents types de filtres permettent d’obtenir une performance
donnée à moindre complexité (ordre moins élevé)

Introduction
Fonctions de transfert des filtres d’ordre 1 et 2
Revoir toutes les formes de filtres d’ordre 1 et 2, leurs réponses en
fréquence (diagrammes de Bode) et leurs réalisations passives par des
circuits RC et RLC (sauf pour les passe-tout)
Les filtres d’ordre 2 sont souvent appelés biquadratiques : rapport de deux
formes quadratiques
Ordre 1 :
H(s) = N(s)
sτ+1
N(s) = 1 → passe-bas
N(s) = sτ → passe-haut
N(s) = 1 − sτ → passe-tout
Ordre 2 : (biquad)
H(s) = N(s)
(s/ωn)2+2ζ(s/ωn)+1
(Q = 1
2ζ
)
N(s) = 1 → passe-bas
N(s) = (s/ωn)2
→ passe-haut
N(s) = 2ζ(s/ωn) → passe-bande
N(s) = 1 + (s/ωn)2
→ coupe-bande
N(s) = (s/ωn)2
− 2ζ(s/ωn) + 1 → passe-tout

Introduction
Utilité des filtres plus complexes
Les filtres d’ordre ≤ 2 ne permettent pas d’atteindre les spécifications de
performance en filtrage d’un système d’instrumentation typique.
Ex. : au mieux −40 dB/dec. pour l’atténuation d’un passe-bas → transition
peu abrupte.
Intérêt des filtres actifs pour des raisons de taille, coût, etc.
RLC avec Q élevé demande de très bonnes bobines, difficile surtout à basse
fréquences ou pour les circuits intégrés.
Une des approches principales pour réaliser un circuit d’ordre n > 2 est de
factoriser sa fonction de transfert et de mettre en cascade des circuits
d’ordre 1 et 2.
Une cascade de circuits RC est insuffisante car les pôles sont nécessairement
sur l’axe des réels (admis) → pas de résonance.
L’introduction d’éléments actifs permet d’obtenir des pôles complexes
conjugués tout en rempla¸cant les bobines.
Circuits actifs aussi pour les impédances d’entrée et de sortie permettant la
mise en cascade facilement.
Toutefois, ajuster les paramètres d’une cascade de circuits devient
rapidement impossible sans une méthodologie rigoureuse.

Introduction
Plan pour ce cours
D´enormalisation
Filtres de Bessel
Filtres passe-tout

Introduction
Filtre passe-bas normalisé idéal
10
0
1
|H(j!)|
! (rad/s)
1
0 dB
! (rad/s)
|H(j!)| (dB)
L’étude de la conception classique des filtres analogiques commence par la
conception de filtres approximant le filtre passe-bas idéal normalisé
(irréalisable physiquement). Par définition
H(jω) =
e−jω
, |ω| ≤ 1
0, |ω| > 1.
Magnitude |H(jω)| = 1 (= 0 dB) sur l’intervalle ω ∈ [0, 1] rad/s,
|H(jω)| = 0 en dehors. Cette propriété donne son nom au passe-bas.
Idéalement phase φ(ω) = −ω, fonction linéaire. Nous verrons l’importance
de cette propriété plus tard dans ce cours, ignorons la pour l’instant.

Introduction
Gabarit d’un filtre approximant le passe-bas normalisé
Spécifications {Amax, Amin, k} → le graphe d’amplitude peut se trouver
dans la zone grisée ci-dessous. ωp = 1 rad/s, ωa = 1/k rad/s.
0 dB
|H(j!)| (dB)
-Amax dB
Plage de
transition
Bande
passante
Bande
d'arrêt
-Amin dB
Atténuation minimale
hors bande
Atténuation maximale
dans la bande
1 rad/s 1/k rad/s
!
k: facteur de transition

Introduction
D´enormalisation
Plan pour ce cours
D´enormalisation
Filtres de Bessel
Filtres passe-tout

Introduction
Dénormalisation
Dénormalisation de fonction de transfert d’un passe-bas
Supposons pour l’instant qu’on sache réaliser une fonction de transfert H1
satisfaisant le gabarit précédent approximant le passe-bas normalisé
(prochaine section)
Idée clé : on peut passer du passe-bas H1 aux autres types de filtres et
leurs gabarits (à l’exception du passe-tout) par certaines transformations
en fréquence (ou encore du paramètre s) :
Dénormalisation : H(s) = H1(f (s)) (⇒ |H(jω)| = |H1(f (jω))|)
H1 approxime le passe-bas normalisé
f est une certaine transformation à définir
H approxime un profil de filtre désiré (passe-bas général, passe-haut,
passe-bande, coupe-bande ; fonctions mêmes plus génerales possibles)

Introduction
Dénormalisation
Dénormalisation vers un passe-bas général
Ainsi, pour obtenir un passe-bas avec bande passante délimitée par ωp
quelconque au lieu de 1 rad/s, il suffit de prendre
H(s) = H1
s
ωp
.
Notons ˜ω variable de H1(j ˜ω), ω variable de H(jω), avec ˜ω = ω/ωp
La valeur de H1 pour ˜ω correspond à la valeur de H pour ω = ωp × ˜ω
→ on obtient bien H1(j1) = H(jωp) pour la limite de bande passante
Sur une échelle logarithmique, la valeur de H1 à log ˜ω devient la valeur de H
à la valeur translatée log ω = log ˜ω + log ωp (car ˜ω = ω/ωp).
Le facteur de transition est préservé par la dénormalisation :
ωa = ωp ˜ωa ⇒
ωp
ωa
=
ωp
˜ωa ωp
=
1
˜ωa
= k.
Pour passer d’une spécification de gabarit d’un passe-bas général à un
gabarit normalisé, on conserve donc simplement le même k pour la plage
de transition (et les mêmes atténuations minimales et maximales).

Introduction
Dénormalisation
Normalisation et dénormalisation pour un passe-bas général
1 1/k
-Amax (dB)
0
-Amin (dB)
-Amax (dB)
0
-Amin (dB)
!p !a = !p/k
!˜!
˜! =
!
!p
! = ˜! ⇥ !p
Étant donné un gabarit {Amin, Amax, ωp, ωa} de passe-bas, il suffit de
calculer k = ωp/ωa pour obtenir le gabarit normalisé correspondant
Une fois H1 obtenu on retrouve H(s) désiré par H(s) = H1(s/ωp)

Introduction
Dénormalisation
Choix du
gabarit du
filtre
Normalisation en
frequencedu gabarit
(vers le passe-bas
normalisé)
Détermination d'une
satisfaisant le gabarit
normalisé
Dénormalisation
en fréquence de
la fonction de
transfert
Réalisation par un circuit
de la fonction de
transfert dénormalisée
Filtre standards tabulés
(Butterworth, Tchebychev, etc.)
Forme dévelopée et factorisée
Dénormalisation
en impédance
de la fonction de
transfert normalisée
Tables de circuits
prototypes
disponibles (passifs,
à simuler si besoin)
Dénormalisation en
fréquence du circuit
(transformation de
composants)
Plutôt
synthèse en cascade
d'un circuit actif
approche de
synthèse globale
circuit final à vérifier et tester

Introduction
Dénormalisation
Dénormalisation : passe-bas vers passe-haut
Pour obtenir un passe-haut avec bande passante commen¸cant à ωp, on
prend
H(s) = H1
ωp
s
.
Notons ˜ω variable de H1(j ˜ω), ω variable de H(jω), avec ˜ω = ωp/ω
La valeur de H1 pour ˜ω correspond à la valeur de H pour ω = ωp/˜ω
→ on obtient bien H1(j1) = H(jωp) pour la limite de bande passante
Sur une échelle logarithmique, la valeur de H1 à log ˜ω devient la valeur de
H à la valeur log ω = − log ˜ω + log ωp (˜ω = ωp/ω)
Géométriquement, cela correspond à une symmétrie par rapport à l’axe
˜ω = 1, puis translation de log ωp
Le facteur de transition est préservé :
ωa = ωp/˜ωa ⇒
ωa
ωp
=
ωp/˜ωa
ωp
=
1
˜ωa
= k.
Pour passer d’une spécification de gabarit d’un passe-haut général à un
gabarit normalisé, on conserve donc simplement le même k pour la plage
de transition (et les mêmes atténuations minimales et maximales).

Introduction
Dénormalisation
Normalisation et dénormalisation pour un passe-haut
1 1/k
-Amax (dB)
0
-Amin (dB)
-Amax (dB)
0
-Amin (dB)
!a =
k!p !p
!˜!
˜! =
!p
!
! = !p/˜!
Étant donné un gabarit {Amin, Amax, ωa, ωp} de passe-haut, il suffit de
calculer k = ωa/ωp pour obtenir le gabarit normalisé correspondant
Une fois H1 obtenu on retrouve H(s) désiré par H(s) = H1(ωp/s)

Introduction
Dénormalisation
Fréquences négatives et parité des diagrammes d’amplitude
Rappelons avant de poursuivre que pour H fonction de transfert
rationnelle réelle, on a
H(−jω) = H(jω)∗
⇒ |H(−jω)| = |H(jω)|
et donc le diagramme de magnitudes est symmétrique par rapport à
ω = 0, c.-à-d. une fonction paire.
Ainsi, on peut considérer un passe-bas comme un passe-bande centré à
ω = 0.
-Amax (dB)
0
-Amin (dB)
˜!
Diagramme
d'amplitude
d'un passe-bas
avec tracé des
"fréquences negatives"
illustrant la symmétrie
(fonction paire)
!p !a
Il semble alors plausible de pouvoir transformer un passe-bas vers un
passe-bande général

Introduction
Dénormalisation
Dénormalisation : passe-bas vers passe-bande
Pour obtenir un passe-bande centré à ω0 = ω−
p ω+
p (pulsation centrale),
c.-à-d. log ω0 =
log ω−
p +log ω+
p
2
et de largeur de bande B = ω+
p − ω−
p , on
prend
H(s) = H1
s2
+ ω2
0
Bs
.
La transformation ω → ˜ω permettant la normalisation du passe-bande vers
le passe-bas H1 est donc j ˜ω = (−ω2
+ ω2
0)/jBω ⇒ ˜ω = (ω2
− ω2
0)/Bω.
Transformation inverse nécessaire pour la dénormalisation : pour ˜ω donné
(avec ˜ω ≥ 0 ou ≤ 0), il faut trouver ω solution de
ω2
− B ˜ωω − ω2
0 = 0 ⇒ ω =
B ˜ω ± B2 ˜ω2 + 4ω2
0
2
En se limitant aux solutions ω positives uniquement, on a 2 cas :
˜ω ≥ 0 → ω =
B ˜ω+
√
B2 ˜ω2+4ω2
0
2
et ˜ω = −ω1 ≤ 0 → ω =
−Bω1+
√
B2 ˜ω2
1+4ω2
0
2
.
Avec la symmétrie de parité, l’amplitude à la fréquence ˜ω ≥ 0 du passe-bas
est égale à celle aux fréquences ω =
√
B2 ˜ω2+4ω2
0±B ˜ω
2
≥ 0 du passe-bande.

Introduction
Dénormalisation
Dénormalisation : passe-bas vers passe-bande (suite)
La fréquence ˜ω = 0 de H1 est transformée en −ω2
+ ω2
0 = 0 ⇒ ω = ±ω0.
La valeur d’amplitude à la fréquence ˜ω = 1 rad/s pour H1 correspond à la
valeur (identique) aux fréquences ω−
p , ω+
p du passe-bande
ω−
p =
B2 + 4ω2
0
2
−
B
2
, ω+
p =
B2 + 4ω2
0
2
+
B
2
et on a bien la largeur de bande ω+
p − ω−
p = B.
Notons aussi qu’on a bien ω−
p ω+
p = ω0.
La valeur de H1 à ˜ω = 1/k rad/s correspond à la valeur du passe-bande
aux fréquences
ω−
a =
B2/k2 + 4ω2
0
2
−
B/k
2
, ω+
a =
B2/k2 + 4ω2
0
2
+
B/k
2
Le facteur de transition est préservé lors de la dénormalisation en
passe-bande :
ω+
p −ω−
p
ω+
a −ω−
a
= B
B/k
= k.

Introduction
Dénormalisation
Normalisation et dénormalisation pour un passe-bande
1 1/k
-Amax (dB)
-Amin (dB)
!˜!
0
!+
p !+
a!p !a
˜! = (!2
!2
0)/B!
0
Étant donné un gabarit {Amin, Amax, ω±
p , ω±
a } de passe-bande, en
supposant la relation ω+
p ω−
p = ω+
a ω−
a =: ω0, il suffit de calculer
k =
ω+
p −ω−
p
ω+
a −ω−
a
pour obtenir le gabarit normalisé correspondant
Une fois H1 obtenu, on calcule B = ω+
p − ω−
p et on retrouve H(s) désiré
par H(s) = H1
s2
+ω2
0
Bs

Introduction
Dénormalisation
Dénormalisation : passe-bas vers coupe-bande
Pour obtenir un filtre coupe-bande centré à ω0 = ω+
p ω−
p (pulsation
centrale) et de largeur hors bande passante B = ω+
p − ω−
p , on prend
H(s) = H1
Bs
s2 + ω2
0
. (1)
La transformation ω → ˜ω est donc ˜ω = Bω/(−ω2
+ ω2
0), et inversement ω
solution de
ω2
+
B
˜ω
ω − ω2
0 = 0 ⇒ ω =
−B
˜ω
± B2
˜ω2 + 4ω2
0
2
Les calculs sont similaires à la dénormalisation en passe-bande. En
particulier, en tenant compte de la symmétrie de parité, la valeur du
passe-bas à ˜ω ≥ 0 est la même que celle du coupe-bande aux fréquences
B2
˜ω2 +4ω2
0± B
˜ω
2
, et le facteur de transition est bien conservé.

Introduction
Dénormalisation
Normalisation et dénormalisation pour un coupe-bande
Étant donné un gabarit {Amin, Amax, ω±
a , ω±
p } de coupe-bande, en
supposant la relation ω+
p ω−
p = ω+
a ω−
a =: ω0, il suffit de calculer
k =
ω+
a −ω−
a
ω+
p −ω−
p
pour obtenir le gabarit normalisé correspondant
Une fois H1 obtenu, on calcule B = ω+
p − ω−
p et on retrouve H(s) désiré
par H(s) = H1
Bs
s2+ω2
0

Introduction
Dénormalisation
Conclusion sur la dénormalisation : stratégie de conception de filtres
Nous avons donc maintenant la stratégie de conception de filtres suivante
1. Définir le type de filtre (passe-bas, passe-haut, passe-bande ou
coupe-bande) désiré, et un gabarit spécifiant la performance voulue :
atténuations Amax maximale dans la bande passante, Amin minimale dans
la bande d’arrêt, fréquences ωp, ωa, etc.
2. Selon le type de filtre, calculer le facteur de transition k, et si cela
s’applique la pulsation centrale ω0 = ω+
p ω−
p = ω+
a ω−
a et B = ω+
p − ω−
p
3. Concevoir un filtre passe-bas, c.-à-d. obtenir sa fonction de transfert H1,
satisfaisant le gabarit d’approximation du passe-bas normalisé, pour les
mêmes valeurs de k, Amax, Amin.
4. Dénormaliser le filtre passe-bas H1 vers le filtre désiré, en utilisant la
transformation appropriée parmi les quatre ci-dessus. La fonction de
transfert obtenue satisfera nécessairement le gabarit initial.
Le seul point restant pour implémenter cette stratégie est le point 3, qui fait
l’objet de la prochaine section.
L’intérêt de cette approche est qu’il suffit de se concentrer sur l’approximation
du passe-bas normalisé, et en effet de bonnes approximations pour celui-ci
existent et sont déjà pré-calculées et disponibles dans des manuels/logiciels.

Introduction
Plan pour ce cours
D´enormalisation
Filtres de Bessel
Filtres passe-tout

Introduction
Choix du
gabarit du
filtre
Normalisation en
fréquence du gabarit
(vers le passe-bas
normalisé)
Détermination d'une
satisfaisant le gabarit
normalisé
Dénormalisation
en fréquence de
la fonction de
transfert
de la fonction de
transfert dénormalisée
Filtre standards tabulés
(Butterworth, Tchebychev, etc.)
Forme dévelopée et factorisée
Dénormalisation
en impédance
de la fonction de
transfert normalisée
Tables de circuits
prototypes
disponibles (passifs,
à simuler si besoin)
Dénormalisation en
fréquence du circuit
(transformation de
composants)
Plutôt
synthèse en cascade
d'un circuit actif
approche de
synthèse globale
circuit final à vérifier et tester

Introduction
Plan pour ce cours
D´enormalisation
Filtres de Bessel
Filtres passe-tout

Introduction
Passe-bas le plus simple, avec Amax = 3 dB à 1 rad/s :
H(s) =
1
1 + s
→ |H(jω)|2
=
1
1 + ω2
Pour obtenir différentes atténuations maximales Amax à 1 rad/s, on
introduit un paramètre supplémentaire dénoté → |H(jω)|2
= 1
1+ 2ω2
Pour obtenir une transition plus rapide, on augmente l’ordre → Gain d’une
approximation de Butterworth pour le passe-bas normalisé :
|H(jω)| =
1
√
1 + 2ω2n
, c.-à-d. |H(jω)|2
=
1
1 + 2ω2n
N.B. : c’est un fait que pour H(s) une fonction de transfert rationnelle
réelle, le numérateur et dénominateur de |H(jω)|2
sont toujours des
polynômes (à coefficients réels) en ω2
.

Introduction
Réponses des filtres de Butterworth (pour = 1, c.-à-d. Amax = 3.01 dB)
10
−1
10
0
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
ω (rad/s)
|H(jω)|(dB) n=1
n=2
n=4
n=8

Introduction
Filtres de Butterworth : choix de et propriétés
Choix de dicté par Amax :
− Amax|dB ≤ 20 log10 |H(j1)| = −10 log10(1 + 2
)
⇒ ≤ 10Amax|dB /10
− 1
1/2
.
Propriétés :
dk
|H(jω)|
dωk |ω=0 = 0 pour k = 1, . . . , 2n − 1 → réponse très plate initialement
dans la bande passante. Quelquefois dite “optimalement plate”. La
réponse est aussi monotone, partant de |H(0)| = 1.
Asymptote : −20n dB/dec dans la bande d’arrêt. Augmentation de
l’atténuation hors bande et réduction de la plage de transition avec n →
on va déterminer n en utilisant les spécifications Amin et k.

Introduction
Détermination de l’ordre n
On prend le n minimum pour satisfaire les spécifications Amin et k.
On a déjà fixé 2
= 10Amax/10
− 1.
Reste à satisfaire :
20 log10 H j
1
k
= −10 log10(1 + 2
/k2n
) ≤ −Amin
c.-à-d.
2
k2n
≥ 10Amin/10
− 1
1
k2n
≥
10Amin/10
− 1
10Amax/10 − 1
n ≥
1
2 ln(1/k)
ln
10Amin/10
− 1
10Amax/10 − 1
.
N.B. : Dans ces formules, Amin et Amax sont en dB. On rappelle aussi que
1/k ≥ 1 par définition.

Introduction
Normalisation du paramètre
Les tables et logiciels donnent en général les filtres de Butterworth pour
= 1, ce qui correspond à Amax = 3.01 dB. Dénotons Hn ces filtres
|Hn(jω)| =
1
√
1 + ω2n
.
On voit donc que pour obtenir un filtre de Butterworth d’order n avec
désiré, il suffit de prendre
H(jω) = Hn(jω 1/n
) =
1
√
1 + 2ω2n
ou H(s) = Hn(s 1/n
).
Le point de demi-puissance (atténuation Amax de ≈ 3 dB) pour Hn est à 1
rad/s, et pour H il est à ω∗ telle que ω2n
∗
2
= 1, c.-à-d. ω∗ = −1/n
.

Introduction
Approximation de Butterworth : résumé
Pour obtenir une approximation de Butterworth du passe-bas normalisé, avec
spécifications Amin (en dB), Amax (en dB) et 1/k (en rad/s) :
1. Prendre
= 10Amax/10 − 1.
2. Prendre n le plus petit tel que
n ≥
1
2 ln(1/k)
ln
10Amin/10
− 1
10Amax/10 − 1
.
3. Si on a une table donnant Hn(s) normalisé pour = 1, alors prendre la
fonction de transfert H(s) = Hn(s 1/n
).
On va voir que H(s) peut en fait aussi se retrouver analytiquement, sans besoin
de table.

Introduction
Exercice
Donner l’expression de la fonction de transfert d’un filtre de Butterworth
approximant un passe-bas normalisé, avec une atténuation maximale de 1 dB à
la fréquence de coupure de 1 rad/s, et une atténuation d’au moins 20 dB à
l’octave supérieure à la fréquence de coupure (c.-à-d. 1/k = 2).
On fournit la liste suivante pour Hn (c.-à-d. avec = 1) :
H1(s) =
1
s + 1
, H2(s) =
1
s2 +
√
2s + 1
, H3(s) =
1
(s + 1)(s2 + s + 1)
H4(s) =
1
(s2 + 0.7654s + 1)(s2 + 1.8478s + 1)
H5(s) =
1
(s + 1)(s2 + 0.6180s + 1)(s2 + 1.6180s + 1)
H6(s) =
1
(s2 + 0.5176s + 1)(s2 + 1.4142s + 1)(s2 + 1.9319s + 1)
H7(s) =
1
(s + 1)(s2 + 0.4450s + 1)(s2 + 1.2470s + 1)(s2 + 1.8019s + 1)
H8(s) =
1
(s2 + 0.3902s + 1)(s2 + 1.1111s + 1)(s2 + 1.6629s + 1)(s2 + 1.9616s + 1)

Introduction
Fonction de transfert et pôles d’un filtre de Butterworth
Les filtres de Butterworth ont été définis à partir de leur gain, qui a une
expression particulièrement simple
|H(jω)|2
=
1
1 + 2ω2n
Cette expression est suffisante pour calculer les valeurs de et n
nécessaires pour satisfaire un gabarit {Amax, Amin, k}
Mais pour la dénormalisation du filtre par exemple, l’expression de la
fonction de transfert H(s) est nécessaire
On peut l’obtenir à partir de tables ou de logiciels. A défaut, on peut la
retrouver directement à partir de la position des n pôles du filtre.
H(s) =
1
(s − p1)(s − p2) . . . (s − pn)
Un filtre de Butterworth n’a pas de zéros (n zéros à l’infini).
Ses pôles pi sont répartis régulièrement sur le cercle de rayon −1/n, à
gauche du plan s (car stable)

Introduction
Pôles d’un filtre de Butterworth
[Sedra and Smith]
Passe-bas avec ωp général
Cas n = 2, 3, 4

Introduction
Pôles d’un filtre de Butterworth (calcul)
Pour le filtre de Butterworth et = 1, on a Hn(s) = 1
n
k=1
(s−pk )
|Hn(jω)|2
= Hn(jω)Hn(jω)∗
= Hn(jω)Hn(−jω) =
1
1 + ω2n
.
Avec s = jω, si on factorise (p1, . . . pn pôles stables du filtre, à déterminer)
1
Hn(s)Hn(−s)
=
n
i=1
(s − pi )
n
i=1
(−s − pi ) =
n
i=1
(p2
i − s2
)
= (s/j)2n
+ 1 = (−s2
)n
+ 1.
Les racines de cette dernière expression sont
−s2
= e(j(2k+1)π)/n
, k = 0, . . . , n − 1
Donc les pôles de Hn vérifient
p2
i = −e(j(2k+1)π)/n
⇒ pi ∈ {±e(j(2k+1+n)π)/2n
, k = 0, . . . , n − 1}.
Finalement, en ne prenant que les solutions stables
pk = e(j(2k+1+n)π)/2n
, k = 0, . . . , n − 1.
Ces pôles sont sur le cercle unitaire (et symm. par rapport à l’axe des réels).

Introduction
Exemple : fonction de transfert d’un ﬁltre de Butterworth
Ex 1 : pour n = 2, montrer
H2(s) =
1
s2 +
√
2s + 1
Ex 2 : pour n = 9
p1 = (− cos 80◦
+ j sin 80◦
)
p9 = ¯p1 = (− cos 80◦
− j sin 80◦
)
⇒ (s − p1)(s − p9)
= (s2
+ 0.3472s + 1)
Idem pour les autres paires de pˆoles
⇒ expression de H9(s)

Introduction
Plan pour ce cours
D´enormalisation
Filtres de Bessel
Filtres passe-tout

Introduction
Filtres de Tchebychev (Type I)
La monotonicité et la platitude des filtres de Butterworth sont obtenus au
prix d’une plage de transition relativement grande.
Un filtre de Tchebychev permet d’obtenir une plage de transition plus
étroite pour un même ordre n → réduit la complexité et le coût
d’implémentation.
En contrepartie, on a des oscillations dans la bande passante
Magnitude de la réponse
|H(jω)| =
1
1 + 2T2
n (ω)
, c.-à-d. |H(jω)|2
=
1
1 + 2T2
n (ω)
où Tn(ω) est le polynôme de Tchebychev d’ordre n
Tn(ω) =
cos(n cos−1
(ω)), ω ≤ 1
cosh(n cosh−1
(ω)), ω > 1.
déterminé par Amax comme pour Butterworth (car Tn(1) = 1)
Tn(1) = 1 ⇒ = 10Amax/10 − 1.
Asymptote −20n dB/dec, comme pour Butterworth.

Introduction
R´eponses des ﬁltres de Tchebychev ( = 1 ou Amax = 3.01 dB)
10
−1
10
0
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
ω (rad/s)
|H(jω)|(dB) n=1
n=2
n=3
n=4

Introduction
Polynômes de Tchebychev
On peut montrer les fait suivants
Premiers polynômes de Tchebychev :
T0(ω) = 1, T1(ω) = ω, T2(ω) = 2ω2
− 1
T3(ω) = 4ω3
− 3ω, T4(ω) = 8ω4
− 8ω2
+ 1.
Relation récursive :
Tn+1(ω) = 2ωTn(ω) − Tn−1(ω), n ≥ 1.
Pour tout n, 0 ≤ |Tn(ω)| ≤ 1 pour 0 ≤ |ω| ≤ 1 et |Tn(ω)| > 1 pour
|ω| ≥ 1.
Tn est une fonction croissante monotone pour ω ≥ 1 et pour tout n.
Tn est une fonction impaire (paire) si n est impair (pair).
Magnitude à ω = 0 :
|Tn(0)| =
0, n impair
1, n pair
.

Introduction
Oscillations dans la bande passante
Un filtre de Tchebychev (de type I) présente des oscillations dans la bande
passante, entre −Amax dB et 0 dB (equi-ondulations). Il est monotone
dans la bande d’arrêt.
n points de dérivée nulle (pic d’ondulation) dans la bande passante pour
un filtre d’ordre n.
Puisque T2
n (0) = cos2
(nπ/2), on a
|H(0)| =
1, pour n impair
−Amax , pour n pair.
Ainsi pour n pair, le gain du filtre part de −Amax pour ω = 0
→ il faut ajuster le numérateur (fournir un gain supplémentaire) si l’on
veut un gain statique de 1 pour n pair.

Introduction
Détermination de l’ordre n
On prend le n minimum pour satisfaire les spécifications Amin et k.
On a déjà fixé 2
= 10Amax/10
− 1.
Reste à satisfaire :
20 log10 H j
1
k
= −10 log10(1 + 2
T2
n (1/k)) ≤ −Amin
c.-à-d. T2
n (1/k) = cosh(n cosh−1
(1/k)) ≥
10Amin/10
− 1
10Amax/10 − 1
n ≥
1
cosh−1
(1/k)
cosh−1

 10Amin/10 − 1
10Amax/10 − 1

 .
N.B. : Dans ces formules, Amin et Amax sont en dB. On rappelle aussi que
1/k ≥ 1 par définition.

Introduction
Exemple de table de filtres de Tchebychev
A la différence de Butterworth, les tables donnes les coefficients des filtres de
Tchebychev pour diverses valeurs de Amax (ex : 0.1 dB ou 1 dB d’ondulation -
“ripple”). Pour des valeurs moins standard, on utilisera un logiciel (ex : Matlab
cheb1ap(n,Amax)).
ELE2611 – Circuits Actifs
Cours 2 – Filtrage – Approximations normalisées
Approximation de Chebychev – tables
n Chebyshev 2 0 dBn Chebyshev 0 5 dB n Chebyshev 2.0 dB
1 (s + 1.307560 )
2 (s2
+ 0.803816 s + 0.823060 )
3 (s2
+ 0.368911 s + 0.886095 )(s + 0.368911 )
4 (s2
+ 0.209775 s + 0.928675 )(s2
+ 0.506440 s + 0.221568 )
5 (s2
+ 0.134922 s + 0.952167 )(s2
+ 0.353230 s + 0.393150 )(s + 0.218308 )
n Chebyshev 0.5 dB
1 (s + 2.862775 )
2 (s2
+ 1.425625 s + 1.516203 )
3 (s2
+ 0.626456 s + 1.142448 )(s + 0.626456 )
4 (s2
+ 0.350706 s + 1.063519 )(s2
+ 0.846680 s + 0.356412 )
5 (s2
+ 0.223926 s + 1.035784 )(s2 + 0.586245 s + 0.476767 )(s + 0.362320 )
n Chebyshev 2.5 dB
1 (s + 1.133528 )
2 (s2
+ 0.715251 s + 0.755792 )
3 (s2
+ 0.329949 s + 0.858866 )(s + 0.329949 )
4 (s2
+ 0.187960 s + 0.913864 )(s2
+ 0.453777 s + 0.206757 )
5 (s2
+ 0.120994 s + 0.942835 )(s2
+ 0.316766 s + 0.383818 )(s + 0.195772 )
n Chebyshev 1.0 dB
1 (s + 1.965227 )
2 (s2
+ 1.097734 s + 1.102510 )
3 (s2
+ 0.494171 s + 0.994205 )(s + 0.494171 )
4 (s2
+ 0.279072 s + 0.986505 )(s2
+ 0.673739 s + 0.279398 )
5 (s2
+ 0.178917 s + 0.988315 )(s2 + 0.468410 s + 0.429298 )(s + 0.289493 )
n Chebyshev 3.0 dB
1 (s + 1.002377 )
2 (s2
+ 0.644900 s + 0.707948 )
3 (s2
+ 0.298620 s + 0.839174 )(s + 0.298620 )
4 (s2
+ 0.170341 s + 0.903087 )(s2
+ 0.411239 s + 0.195980 )
2 2
n Chebyshev 1.5 dB
1 (s + 1.556927 )
2 (s2
+ 0.922177 s + 0.925206 )
3 (s2
+ 0.420112 s + 0.926494 )(s + 0.420112 )
4 (s2
+ 0.238261 s + 0.950463 )(s2
+ 0.575214 s + 0.243356 )
2 2
5 (s2
+ 0.109720 s + 0.936025 )(s2
+ 0.287250 s + 0.377009 )(s + 0.177530 )5 (s2
+ 0.153056 s + 0.965839 )(s2
+ 0.400707 s + 0.406822 )(s + 0.247650 )

Introduction
Exercice
A l’aide de la table précédente, donner l’expression de la fonction de transfert
d’un filtre de Tchebychev approximant un passe-bas normalisé, avec une
atténuation maximale de 1 dB dans la bande passante, et une atténuation d’au
moins 30 dB à l’octave supérieure à la fréquence de coupure (c.-à-d. 1/k = 2).

Introduction
Pôles et fonction de transfert d’un filtre de Tchebychev
Comme pour les filtres de Butterworth, les filtres de Tchebychev n’ont pas
de zéros, et leurs pôles ont une expression connue
Pour un filtre d’ordre n
pk = − sin (αk,n) sinh(βn) + j cos (αk,n) cosh(βn), k = 1, . . . , n
avec αk,n =
2k − 1
n
π
2
, βn =
sinh−1
(1/ )
n
Ces pôles sont disposés sur une ellipse dans le plan s (dont les axes sont
ceux des réels et des imaginaires) au lieu d’un cercle
On a
H(s) =
1
2n−1(s − p1)(s − p2) . . . (s − pn)
Ce qui importe ici ou dans les tables, c’est la forme du polynôme au
dénominateur. On ajustera ensuite le gain statique en calculant la valeur
pour s = 0.

Introduction
Exercice (reprise)
Donner l’expression de la fonction de
transfert d’un filtre de Tchebychev
approximant un passe-bas normalisé,
avec une atténuation maximale de 1
dB dans la bande passante, et une
atténuation d’au moins 30 dB à
l’octave supérieure à la fréquence de
coupure (c.-à-d. 1/k = 2).
On fournit la table des pôles des
filtres de Tchebychev ci-contre (tirée
de Williams et Taylor, “Electronic
Filter Design Handbook”).
Attention, ces positions sont dilatées
par rapport à celles du transparent
56 (différente normalisation du gain
statique).
Voir aussi http://www.analog.
com/static/imported-files/
tutorials/MT-206.pdf
NORMALIZED FILTER DESIGN TABLES
TABLE 11-26 1-dB Chebyshev Pole Locations
NORMALIZED FILTER DESIGN TABLES

Introduction
Plan pour ce cours
D´enormalisation
Filtres de Bessel
Filtres passe-tout

Introduction
Filtres elliptiques (ou de Cauer)
Les filtres de Butterworth et Tchebychev peuvent être con¸cus entièrement
à la main. Leur performance est suffisante pour des application simples.
Les filtres elliptiques (Cauer, 1931) ont une transition encore plus rapide
que les filtres de Tchebychev, au prix d’introduire des oscillations à la fois
dans la bande passante et dans la bande d’arrêt (oscillations de même
magnitude).
A la différence de Butterworth et Tchebychev, ces filtres ont des zéros
finis. Leur placement dans la bande d’arrêt est lié aux fonctions dites
elliptiques.
Ces filtres sont de la forme
|H(jω)| =
1
1 + 2R2
n (ω)
,
avec Rn une certaine fonction rationnelle dépendant de n
2
paramètres.
Le choix de ces paramètres et de n, pour satisfaire Amin, Amax, k se fait
généralement à l’aide d’un logiciel ou d’une table
Exemple : fonction Matlab ellipap(n,Amax,Amin). On augmente n jusqu’à
satisfaire le k voulu.

Introduction
Illustration d’un ﬁltres elliptique
10
−1
10
0
−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
ω (rad/s)
|H(jω)|(dB)
n=5
Filtre elliptique avec Amax = 2 dB, Amin = 10 dB et n = 5.

Introduction
Il existe bien d’autres types de filtres utilisables pour approximer le
passe-bas normalisé idéal : Tchebychev type II (oscillations dans la bande
d’arrêt), Gaussien, Legendre, etc.
D’autre part des techniques modernes d’optimisation peuvent être
employées pour synthétiser des approximations rationnelles avec diverses
caractéristiques désirées, indépendamment de ces formes classiques de
filtres.
Le problème se complique aussi si on veut synthétiser une fonction de
déphasage désirée en plus d’une fonction de magnitude.
Les filtres elliptiques par exemple peuvent très bien approximer l’amplitude
du passe-bas normalisé idéal. Toutefois jusqu’ici nous n’avons pas étudié la
phase de nos filtres, ni l’impact de celle-ci sur les signaux d’entrée. C’est
l’objet de la prochaine section, qui introduira encore d’autres types de
filtres.

Introduction
Plan pour ce cours
D´enormalisation
Filtres de Bessel
Filtres passe-tout

Introduction
Jusqu’ici nous avons seulement discuté l’effet de l’amplitude de la réponse
en fréquence d’un filtre H(s). L’autre composant est le décalage de phase
(en général négatif), que nous dénoterons ici φ(ω) = ∠H(jω).
On définit le temps de propagation de groupe (ou délai de groupe) par
τ(ω) = −
dφ(ω)
dω
. C’est la pente de la fonction −φ(ω), et une mesure de
la non-linéarité de φ(ω).
Vous avez vu par les propriétés des transformées de Laplace qu’un délai
pur de t0 (c.-à-d. un système y(t) = u(t − t0)) correspond à la fonction de
transfert e−st0
(revoir la preuve), et donc au décalage de phase
φ(ω) = −ωt0. Ainsi, pour le délai pur, le temps de propagation de groupe
est τ(ω) = t0, indépendant de ω.
Pour un délai pur, toutes les composantes fréquentielles du signal d’entrée
sont retardées de la même fa¸con.

Introduction
Point de vue de l’analyse de Fourier
La composante Vi (jω)ejωt
du signal d’entrée devient en sortie
Vi (jω)|H(jω)|ejωt+jφ(ω)
= Vi (jω)|H(jω)|ejω(t−D(ω))
avec D(ω) = −
φ(ω)
ω
appelé le délai de phase.
Le délai de phase s’interprète comme un délai subit par une composante
fréquentielle unique, mais n’est pas bien adapté à la conception. On lui
préférera l’utilisation du délai de groupe.
Dans le cas d’un délai pur, on a dans les deux cas D(ω) = τ(ω) = t0.
Intuitivement, on interprétera aussi τ(ω) comme un délai subit par la
composante à la fréquence ω du signal d’entrée lors de son passage dans le
système.

Introduction
Distorsion due à la non-linéairité de phase
En général, un délai de propagation dans le système constant est
acceptable, mais un délai τ(ω) dépendant de ω est souvent problématique
car il crée de la distorsion dans le signal.
Par ex., pour un filtre dont la phase est celle ci-dessous, les composantes à
hautes fréquences du signal d’entrée sortent du système plus rapidement
que celles à basses fréquences (τ(ω) plus petit pour ω grand).
(!)
!
Ainsi, on veut souvent concevoir des filtres dont la phase φ(ω) est la plus
linéaire possible dans la bande passante, c.-à-d. τ(ω) le plus constant
possible.
pas toujours, p. ex. filtre pour la compensation de phase.
La fonction de transfert e−st0
du délai pur n’est malheureusement pas
réalisable exactement par un circuit (à paramètres concentrés), car pas
rationnelle.

Introduction
Filtres de Bessel
Distorsion due a la nonlinearit´e de phase (exemple)
Filtre passe-tout
Signal carré
= somme de sinusoïdes
à différentes fréquences
| H(jω) | = 1
sortie (en jaune)
n’est pas carrée à
cause des délais
différents des
composantes

Introduction
Filtres de Bessel
Temps de propagation de groupe des filtres
10
−1
10
0
−450
−400
−350
−300
−250
−200
−150
−100
−50
0
ω (rad/s)
φ(ω)
Butterworth
Tchebyshev
Elliptique
Bessel
10
−1
10
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
ω (rad/s)
τ(ω)
Butterworth
Tchebyshev
Elliptique
Bessel
(ordre n = 5 pour tous les filtres)
Les filtres de Bessel, que nous introduisons ensuite, on un temps de
propagation de groupe “optimalement plat”.
Par contre, vous pourrez vérifier que leur transition en amplitude est
encore moins rapide que les filtres de Butterworth. En général, plus un
filtre a une transition rapide en amplitude, plus sa phase est nonlinéaire.

Introduction
Filtres de Bessel
Filtres de Bessel
Le filtre de Bessel d’ordre n est de la forme
Hn(s) =
Bn(0)
Bn(s)
,
où Bn est le polynôme de Bessel d’ordre n, qu’on peut obtenir par récursion
B1(s) = s + 1, B2(s) = s2
+ 3s + 3
Bn(s) = (2n − 1)Bn−1(s) + s2
Bn−2(s).
Plus n augmente, plus la bande de fréquence sur laquelle τ(ω) est
constant est large.
Pour ce Hn, on a τ(0) = 1. Pour avoir τ(0) = t0, on peut utiliser Hn(s t0).
Il est aussi possible de concevoir des filtres faisant un compromis entre la
meilleure transition des filtres de Butterworth, et le meilleure
comportement en phase des filtres de Bessel, en placant les pôles au milieu
de ceux de ces deux filtres.
Un autre avantage d’avoir un temps de propagation de groupe quasiment
constant est que cela correspond normalement à une réponse temporelle
du filtre (ex : à un échelon) avec moins de dépassement (overshoot).

Introduction
Filtres passe-tout
Filtres passe-tout égaliseurs
On peut aussi essayer de corriger les distortions dues à un délai de groupe
non constant (surtout près des bords de la bande passante) en utilisant un
égaliseur de délai (“delay equalizer”), typiquement un filtre passe-tout.
Une fonction de transfert passe-tout a la forme H(s) = p(−s)
p(s)
, avec p
polynôme (à coefficients réels) stable. En particulier |H(jω)| = 1 et
φ(ω) = −2∠p(jω) (exercice, noter p(−jω) = p(jω)).
Exemple :
H(s) =
−s + a
s + a
→ φ(ω) = 2 tan−1 ω
a
, τ(ω) =
2/a
1 + (ω/a)2
.
Ce filtre rajoute un plus grand délai aux basses fréquences
(limω→∞ τ(ω) = 0)
Ainsi en mettant un passe-tout en cascade avec les filtres précédents,
l’amplitude reste inchangée et le polynôme p peut être utilisé pour
compenser les nonlinéarités de phase. Augmenter le degré de p donne plus
de degrés de libertés pour cette compensation.

Introduction
Filtres passe-tout
Conclusion
Nous avons discuté comment déterminer la fonction de transfert de filtres
permettant de respecter certaines spécifications standard (type de filtre,
atténuation, plage de transition, etc.).
Une stratégie consiste à d’abord ramener le problème de conception à celui
d’un filtre approximant le passe-bas normalisé, qu’on résout à l’aide d’un
filtre prototype classique (Butterworth, Tchebychev, etc.)
A partir de la fonction de transfert obtenue pour le passe-bas, on a alors
deux possibilités :
Transformer (dénormaliser) la fonction de transfert, pour obtenir celle du
filtre désiré. La fonction de transfert générale résultante est alors
typiquement réalisée par un circuit actif (après factorisation), suivant une
approche que l’on discutera au prochain cours (synthèse en cascade).
Partir d’un prototype de circuit réalisant le passe-bas, généralement passif,
et réaliser une transformation (dénormalisation) du circuit pour obtenir
directement le circuit du type voulu. Nous verrons aussi cette approche dans
un prochain cours (synthèse globale). Si besoin, on peut à la fin simuler les
bobines du circuit passif obtenu par des éléments actifs.

Introduction
Filtres passe-tout
Note sur la précision des calculs
Lorsque vous effectuez les calculs intermédiaires nécessaires pour obtenir
la fonction de transfert d’un filtre (p. ex. dénormalisation), il est en
général nécessaire de garder un grand nombre de chiffres significatifs.
Exemple : on peut avoir à calculer une différence comme
1.324495 − 1.323122 = 0.001373, et ne garder que 3 chiffres significatifs
dans les termes de la différence donne 0 au lieu de 1.373 × 10−2
, ce qui
peut s’avérer catastrophique.
Cela n’a rien à voir avec le fait que les éléments physiques utilisés pour la
réalisation de la fonction de transfert finale ont des tolérances
comparativement élevées. Ici, il ne s’agit que du mauvais conditionnement
typique des calculs numériques (intermédiaires) en conception de filtre. Ce
qui importe, c’est d’obtenir pour chaque coefficient de la fonction de
transfert finale un nombre suffisant de chiffres significatifs.

Introduction
Filtres passe-tout
Quelques références
H. Y.-F. Lam, “Analog and Digital Filters : Design and Realization”,
chapitre 8.
S. Franco, “Design with operational amplifiers and analog integrated
circuits”, 3ème édition, chapitre 4.
A. S. Sedra, K. C. Smith, “Microelectronic Circuits”, 6ème édition,
chapitre 16.
R. Schaumann, H. Xiao, M. E. Van Valkenburg, “Design of Analog
Filters”, 2ème édition.

ELE2611 Classe 3 - Filtres analogiques linéaires I

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (20)

Similar a ELE2611 Classe 3 - Filtres analogiques linéaires I

Similar a ELE2611 Classe 3 - Filtres analogiques linéaires I (20)

Último

Último (15)

ELE2611 Classe 3 - Filtres analogiques linéaires I