Este documento apresenta um teste de avaliação de matemática do 11o ano composto por duas partes. A primeira parte contém 5 questões de escolha múltipla sobre trigonometria. A segunda parte contém 3 problemas que requerem raciocínio e cálculos para determinar áreas e soluções de equações trigonométricas.

1. ESCOLA SECUNDÁRIA D. INÊS DE CASTRO ALCOBAÇA
Teste de Avaliação de Matemática – 11º Ano
Duração: 90 minutos 28/11/2005
Nome:____________________________________ N.º______ Turma: ________
Parte I
- As cinco questões desta primeira parte são de escolha múltipla.
- Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.
- Para cada questão, escreve na folha de resposta a letra correspondente à alternativa correcta.
- Se apresentares mais do que uma resposta, a questão será anulada.
- Cada resposta certa vale 9 (nove) pontos e cada questão não respondida ou anulada vale 0 ( zero) pontos.
1. Na figura junta está representado o círculo trigonométrico e um rectângulo [ABCD].
O lado [CD] está contido no eixo das abcissas.
Os vértices A e B pertencem à circunferência
Seja α a amplitude do ângulo BOC.
A área do rectângulo [ABCD] é:
(A) 2 ⋅ sen α ⋅ cos α (B) 2 ⋅ sen α ⋅ tg α
(C) 2 ⋅ sen α (D) 2 ⋅ tg α
2. As bases de um trapézio rectângulo medem 8 e 2 centímetros. Se a amplitude do menor
dos seus ângulos internos for 30º, a sua área, em cm2 é:
(A) 10 3 (B) 16 (C) 8 (D) 16 3
3. Um ciclista andou cerca de 447,68 m, numa pista circular de raio 10 m.
O seno do ângulo α que descreveu é:
(A) sen α ≈ 0, 7 (B) sen α = 0 (C) sen α ≈ 0,8660 (D) sen α = 1
4. Considera um vector AB tal que AB = 4. Qual é o valor do produto escalar AB i BA ?
(A) -16 (B) 0 (C) 8 (D) 16
1

2. 5. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
(A) No 3º quadrante existe um ângulo cujo co-seno é igual ao seno.
(B) Existe um ângulo no 4º quadrante cujo seno é 0,5.
3π
(C) Se ≤ x ≤ π , o seno de x é menor do que o co-seno de x .
4
0,5
(D) Se tg x = , então sen x = 0, 5 e cos x = 0, 6
0,6
6. Os lados extremidades dos ângulos de amplitudes −240º + k .180º , k ∈ , situam-se:
(A) apenas no 2º quadrante (C) nos 1º e 3º quadrantes
(B) apenas no 3º quadrante (D) nos 2º e 4º quadrantes
Segunda Parte
Nas questões desta segunda parte, apresenta o teu raciocínio de forma clara, indicando todos os
cálculos que tiveres de efectuar e todas as justificações necessárias.
1. Num Na figura
• [ABCD] é um quadrado de lado 2.
• [AHB], [BGC], [CFD] e [DEA]
são triângulos rectângulos iguais.
• x designa a amplitude do ângulo HBA.
1.1 Mostra que a área da superfície sombreada é dada, em função de x , por
⎛ ⎤ π ⎤⎞
f ( x ) = 4 (1−2 sen x cos x ) ⎜ x∈⎥ 0, ⎥ ⎟
⎝ ⎦ 4 ⎦⎠
⎛π ⎞
1.2 Calcula f ⎜ ⎟ e interpreta geometricamente o valor obtido ( deves incluir, na tua
⎝4⎠
π
interpretação, a figura que se obtém para x = ).
4
1.3 Recorre à calculadora para determinar graficamente as solução da equação que te permite
resolver o seguinte problema:
Quais são os valores de x para os quais a área do quadrado [EFGH] é 1,5.
Apresenta todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico,
ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas de alguns pontos. Apresenta os valores pedidos
na forma de dizima arredondados às décimas.
2

3. 2. Considera a equação 1 + 2 sen ( 2 x ) = 0 .
11π
2.1 Mostra que x = é solução da equação dada.
12
2.2 Determina, no sistema circular, uma expressão geral das soluções da equação.
2.3 Determina as soluções da equação dada no intervalo −π , 0 .[ ]
4 sen (π − θ )
Seja A (θ ) =
C
3. e considera o triângulo [ABC]
⎛ 3π ⎞
cos ( −θ ) − sen ⎜ +θ ⎟
⎝ 2 ⎠
θ
3.1 Mostra que A (θ ) = 2tgθ e que A (θ ) representa a área A B
2 cm
⎤ π⎡
do triângulo [ABC] para θ ∈ ⎥ 0; .
⎦ 2⎢
⎣
3.2 Determina o valor de θ para o qual a área do triângulo [ABC] é 2 3 cm .
2
FIM
Bom trabalho!
Cotações:
1ª Parte: Total 54 pontos
2ª Parte:
1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 Total
20 16 17 15 20 20 20 18 146
3