2018/09/23に開催された、梅崎さん主催の「数学について話す会 https://unaoya.github.io/event.html 」で発表した資料です。 合同数問題という初等的な問題が保型形式によって解決する面白さについて、私の知っている限りでお話しました。 ※スライド１枚目でハッシュタグ「#数学について語る会」とありますが、正しくは「#数学について話す会」でした。 より詳しくはこちらのブログ記事でまとめています： 合同数問題と保型形式（タネルの定理の証明の概略） - tsujimotterのノートブック https://tsujimotter.hatenablog.com/entry/congruence_number_and_modular_forms 発表者：tsujimotter http://tsujimotter.info

1. @tsujimotter
2018/09/23 #
#{n = 2x2 + y2 + 32z2 } =
1
2
#{n = 2x2 + y2 + 8z2 }
L(En, 1) =
4
p
n
a2
n

3. 4
3
5
6

4. 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37,
38, 39, 41, 45, 46, 47, …
1, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 16, 17, 18, 19, 25, 26, 27, 32, 33,
35, 36, 40, 42, 43, 44, …

5. =) n
n
n = 2x2
+ y2
+ 8z2
n = 2x2
+ y2
+ 32z2
(x, y, z)
(x, y, z)
Thm. Tunnel (1983)
( )BSD
(=

7. n
X, Y, Z
8
<
:
X2
+ Y 2
= Z2
XY
2
= n
n ()

8. X2
+ Y 2
= Z2
(X Y )2
= Z2
4n (X + Y )2
= Z2
+ 4n
(X2
Y 2
)2
= Z4
42
n2
✓
(X2
Y 2
)Z
8
◆2
=
✓
Z
2
◆6
n2
✓
Z
2
◆2
⇥Z2
/26
x :=
✓
Z
2
◆2
y :=
✓
(X2
Y 2
)Z
8
◆2
±2XY = ±4n
y2
= x3
n2
x
XY = 2n

9. • n
• En
En : y2
= x3
n2
x
() En(Q)

10. BSD
E/Q : elliptic curve
rank E(Q) > 0 () ords=1 L(E, s) > 0
L(E, s) = 0
Thm. 1977
E/Q
rank E(Q) > 0 =) ords=1 L(E, s) > 0

11. n
() rank En(Q) > 0
BSD
=)
()()
L(En, 1) = 0

12. 1.
2.
3. Waldspurger

13. 1.
L(f, s) =
1X
n=1
bnn s
Mellin
Mellin
つ
Mellin
L(En, s) gEn 2 32n2
f(z) =
1X
n=1
bnqn

14. 2.
k/2 N k–1 N’
Sk/2(˜0(N), )
Shimura
! Mk 1(N0
, 2
)
N’ = N/2
Niwa 1975]
2 32
gE1 =
1X
m=1
bmqm
7 !
3/2 128
f =
1X
m=1
amqm

15. 3. Waldspurger
( , 1983)
n
f =
X
amqm
2 S3/2(˜0(128)) Shimura(f) = g =
X
bmqm
L(En, 1) =
4
p
n
a2
n L(En, 1) = 0 an = 0
(Waldspurger, 1980, 1981)
k–1 L
k/2 q- 2

16. f
q = e2⇡iz
Rem. 1/2
f(z) = (⇥(z) ⇥(4z))(⇥(32z)
1
2
⇥(8z))⇥(2z) 2 S3/2(˜0(128)
(8z))⇥(2z) 2 S3/2(˜0(128))
⇥(z) :=
X
n2Z
qn2

17. f(z) = (⇥(z) ⇥(4z))(⇥(32z)
1
2
⇥(8z))⇥(2z)
= ⇥(z)⇥(32z)⇥(2z)
1
2
⇥(z)⇥(8z)⇥(2z)
⇥(4z)⇥(32z)⇥(2z) +
1
2
⇥(4z)⇥(8z)⇥(2z)
=
X
x,y,z
q2x2
+y2
+32z2 1
2
X
x,y,z
q2x2
+y2
+8z2
X
x,y,z
q2x2
+4y2
+32z2
+
1
2
X
x,y,z
q2x2
+4y2
+8z2

18. an = #{n = 2x2
+ y2
+ 32z2
}
1
2
#{n = 2x2
+ y2
+ 8z2
}
#{n = 2x2
+ 4y2
+ 32z2
} +
1
2
#{n = 2x2
+ 4y2
+ 8z2
}
n : 0
() #{n = 2x2
+ y2
+ 32z2
} =
1
2
#{n = 2x2
+ y2
+ 8z2
}
an = 0

19. =) n
n
n = 2x2
+ y2
+ 8z2
n = 2x2
+ y2
+ 32z2
(x, y, z)
(x, y, z)
Thm. Tunnel (1983)
( )BSD
(=

20. N.
(2006)
– 1
– 3 3.3
– 4 4.4

22. 7

23. 7
✓
35
12
◆2
+
✓
24
5
◆2
=
30625 + 82944
3600
=
✓
337
60
◆2
1
2
·
35
12
·
24
5
= 7

24. 157

25. =)
n
n
(x, y, z)
(x, y, z)
Thm. Tunnel (1983)
( )BSD
n = 8x2
+ 2y2
+ 64z2
n = 8x2
+ 2y2
+ 16z2
=)