3. Aturan sinus ini merupakan perluasan
dari perbandingan trigonometri yang
sebelumnya dibahas menggunakan
segitiga siku-siku. Pada aturan sinus ini
akan ditunjukkan perbandingan
trigonometri dalam segitiga sembarang
.
4. C
Sin = Demi
c
a
A
b
sin
B
sin
depan
miring
a
c
5. Untuk penurunan rumus aturan sinus, perhatikan Δ
ABC lancip pada gambar di bawah ini. Garis-garis AP,
BQ, dan CR merupakan garis tinggi pada sisi a, sisi b,
dan sisi c.
Pada Δ ACR berlaku :
sin A
CR
b
CR b sin A
......
1
Pada Δ BCR berlaku :
Sin B
CR
a
CR a sin B
......
2
Persamaan ( 1 ) = ( 2 ) diperoleh :
b Sin A = a Sin B
a
sinA
b
sinB
.........
3
6. Pada Δ BAP berlaku :
sinB
AP
c
AP csinB .......
4
Pada Δ CAP berlaku :
sinC
AP
b
AP bsinC .......
5
Persamaan ( 4 ) = ( 5 ) diperoleh :
c Sin B = b Sin C
b
sinB
c
sinC
......
6
Persamaan ( 3 ) = ( 6 ) diperoleh :
a
sinA
b
sinB
c
sinC
8. Aturan sinus tersebut dapat digunakan dalam
perhitungan segitiga untuk kasus berikut:
•Dua sudut dan sembarang sisi diketahui
•Dua sisi dan sudut dihadapan salah satu sisi
tersebut diketahui
9. Untuk menurunkan rumus aturan cosinus, perhatikan
segetiga ABC dibawah ini CD = h adalah garis tinggi
pada sisi c.
10. C
cos = Sami
c
a
A
b
B
cos
cos
samping
miring
b
c
11. Dengan menerapkan teorema pyhagoras pada segitiga siku-siku BCD.diperoleh :
a2 = h2 + (BD)2 ……………… ( 1 )
Pada Δ siku-siku ACD diperoleh :
h = b Sin A
………………….. ( 2 )
dan AD = b cos A, sehingga BD = AB – AD = c – b Cos A …………….. ( 3 )
substitusi h = b Sin A dan BD = c – b Cos A ke persamaan ( 1 ). Diperoleh :
a2 = (b Sin A)2 + (c – b Cos A)2
2
2
2
2
2
a = b sin A + c - 2bc cos A b cos
a = b (sin
2
2
2
2
2
A + cos A) c - 2bc cos A
2
2
2
a = b c - 2bc cos A
2
A
12. Dengan menggunakan segitiga yang sama tapi letak
titik sudutnya ditukar akan diperoleh rumus aturan
cosinus yang lainnya yaitu :
b
2
= a c - 2ac cos B
c
2
= a b - 2ab cos C
2
2
2
2
13. Jadi ,
2
2
2
a = b c - 2bc cos A
b
2
= a c - 2ac cos B
c
2
= a b - 2ab cos C
2
2
2
2
14. Untuk menentukan besarnya sudut suatu segitiga, dimana
ketiga sisinya
diketahui, rumus di atas dapat di ubah menjadi :
1. a 2 = b 2 c 2 - 2bc cos A
b c - 2bc cos A a
2
2
b
2
- 2bc cos A a b c
2
- 2bc cos A a
c
2
2bc cos A b c a
2
2
2
2
2
2
b c a
2
cos A
2
2
2 .b .c
2
15. Jadi,
b c a
2
cos A
2
2
2 .b .c
a c b
2
cos B
2
2
2 .a .c
a c b
2
cos C
2
2 .a .b
2
16. Aturan kosinus tersebut dapat digunakan
dalam perhitungan segitiga untuk kasus
berikut :
a. Dua sisi dan sudut yang di apitnya
b. Ketiga sisi segitiga
17.
18. 1.
Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi AB =
10 cm, sisi AC = 12cm dan sin B = 4
5
Tentukan nilai cos C = …….
Pembahasan :
Panjang sisi AB = c = 10 Cm
Panjang sisi AC = b = 12 Cm
Dengan aturan sinus :
b
12
4
c
sin B
Identitas trigonometri :
Sin2 C + Cos2 C = 1
2
2
Cos
3
sin C
10
sin C
Cos
5
4
2
2
C = 1
C = 1-
4
9
x 10
sin C 5
12
8
12
2
3
Cos C =
1
3
5
9
5
19. 2.
Dalam segitiga ABC diket b = 8 cm, c = 5 cm dan sudut A = 60ᶱ
Tentukan panjang sisi a = ?
Pembahasan :
Dengan menggunakan aturan kosinus
a = b c - 2bc cos A
2
2
2
a = 8 5 - 2 8
2
2
2
5 cos
1
2
a = 64 25 - 80
2
a =
49
a = 7
60
20. 3.
Diketahui ABC dengan A = 30 , 70 dan sisi a = 9 cm
Tentukan kedua sisi lainnya !
Pembahasan :
C
9 cm
B
A
a) Berdasarkan persamaan a
sin A
9
sin 30
b
9
b
diperoleh
sin B
b
sin 30
sin 70
sin 70
9
0 ,5000
1
b
0 ,9 3 9
b 8 , 451
2
b 1 6, 9 06
Jadi panjang sisi b adalah
1 6, 9 06 cm
21. C = 180ᶱ- ( 30ᶱ+ 70ᶱ) = 80 o, berdasarkan persamaan
b. )
9
sin 30
c
sin 8 0
9
0 ,5000
1
c
0 ,985
c 8 , 86 5
2
c 1 7,730
Jadi panjang sisi c adalah 17, 730 cm
22. 4.
Carilah besar sudut B pada
10 dan a = 5
ABC jika diketahui
A = 30, b=
C
b
a
A
B
c
Pembahasan :
berdasarkan aturan sinus
a
sin A
5
b
maka diperoleh :
sin B
10
sin 30
sin B
Sin B 1
B 90
(hanya ada satu jawaban yaitu 90ᶱ
)
23. 5.
Diketahui Δ ABC dengan sisi a = 6 , b = 8 dan ∠ c = 70ᶱ
Hitunglah panjang sisi C !
Pembahasan :
C
8 cm
6 cm
B
A
A
c = a b - 2ab cos C
2
2
2
c = 6 8 - 2.6 .8 cos 70
2
2
2
c = 36 6 4 - 2.48 cos 70
2
c = 100 96
2
2
c = 67,17
c =
67,17
8,19
cm
0,342
24. 6.
Diketahui Δ ABC dengan sisi a = 8 ∠ a = 30ᶱ ∠ b = 60ᶱ
,
Hitunglah sudut c dan panjang sisi b dan c !
Pembahasan :
C
8
30ᶱ
60ᶱ
B
A
∠C = 180ᶱ- (60ᶱ+ 30ᶱ) = 90
a
a
sin B
sin A
sin A
b
8
sin 30
8
0 ,5
b
b
0 ,8 66
6, 9 2 8
0 ,5
13,85 6 cm
sin C
8
sin 30
sin 6 0
b
c
8
0 ,5
c
c
sin 9 0
c
1
8
0 ,5
1 6 cm
25. 7.
Diketahui Δ ABC dengan sisi c = 10 ∠ a = 50ᶱ ∠ b = 80ᶱ
,
Hitunglah sudut c dan panjang sisi a dan b !
C
Pembahasan :
80ᶱ
50ᶱ
A
10
B
∠C = 180ᶱ- (50ᶱ+ 80ᶱ) = 50ᶱ
a
b
sin C
sin B
sin A
c
a
sin 50
a
sin 5 0
0 ,7 6 6
a
10
7 ,6 6
0 ,7 6 6
10
0 ,7 6 6
10 cm
c
sin C
b
sin 8 0
b
0 ,985
b
9,85
0 ,7 6 6
10
sin 5 0
10
0 ,7 6 6
12,859008
cm
26. 8.
Diketahui Δ ABC dengan AB= 4cm , AC= 6cm, BC= 8cm
Tentukan nilai cos C = …
C
Pembahasan :
8 cm
6 cm
A
c = a b - 2ab cos C
2
2
2
a c b
2
cos C
2
2
2 .a .b
8 4 6
2
cos C
2
2
2 .8 .6
cos C
64 1 6 3 6
96
cos C
44
0 , 45 8
96
C 117 , 2 6
4 cm
B
27. 9.
Pada Δ ABC panjang sisi AC = 20, AB = 25, dan A = 65°
Tentukan panjang sisi BC !
C
Pembahasan :
20
65º
A
25
B
a
2
= b c - 2bc cos A
a
2
= 20 25 - 2.20.25 cos 65
2
2
2
a
2
= 400 625
a
2
2
= 602
a =
- 423
602 24,54 Cm
Sehingga di peroleh BC = a = 24,54 cm
28. 10
Tentukan unsur- unsur yang lain pada Δ ABC jika ∠ A = 38ᶱ ∠ B = 67ᶱ
,
dan c = 43 cm
Hitunglah sudut c dan panjang sisi b dan c !
Pembahasan :
C
38º
67º
A
43
B
∠C = 180ᶱ- (38ᶱ+ 67ᶱ) = 75ᶱ
selanjutnya kita akan mencari nilai a dan b dengan menggunakan aturan sinus
a
b
sin C
sin A
c
sin B
a
sin 3 8
a
sin 7 5
0,97
26 , 66
0 ,97
a 27 , 40 98 cm
sin C
b
b
43
sin 67
43
0 , 62
a
43
c
sin 75
43
0,92
0 ,97
b
39 ,56
0 ,97
b 40 , 9789 cm
29. 11.
Tentukan sudut terkecil dan sudut terbesar dari Δ PQR jika PQ = 6,
QR = 8 dan PR = 12
Pembahasan :
b c a
2
cos A
2
a c b
2
2
cos B
2
2 .a .c
2 .b .c
cos A
PR
PQ
2
2
QR
2
cos B
2
QR
cos A
2
6 8
2
11 6
0 ,8 0 6
144
A 3 6,29
2
PR
8 6 12
2
2
cos B
2 . 12 . 6
cos A
PQ
2
2 .QR . PQ
2 . PR . PQ
12
2
2
2
2 . 8.6
cos B
44
0 , 45 8
96
B 117 , 2 6
C 180 - A B
180 - 3 6,29 117 , 2 6
2 6,45
Jadi, sudut terkecil adalah C = 2 6,45
dan sudut terbesar B =
117 , 2 6
30. Tiada guru yang bijaksana apabila
dia lebih mememahami materi yang
dia sampaikan kepada muridnya ,
sehingga muridnya juga
mememahami.
Tiada sempurna seorang guru
apabila tak memiliki tanggung
jawab di dasar hatinya.
Mari bersama-sama menjadi guru yang baik !!