13. 行列やベクトルの現れ方
「重み」のベクトル
都市の評価値ベクトル 新しい評価値
講座を通して考える問題
都市の比較分析
xi =
0
B
B
@
xi1
xi2
xi3
xi4
1
C
C
A
w1 =
0
B
B
@
0.4733
0.6156
0.5387
0.3270
1
C
C
A
w1 =
0
B
B
@
0.4733
0.6156
0.5387
0.3270
1
C
C
A
生活の利便性
安心・安全
医療・介護
教育
xi =
0
B
B
@
xi1
xi2
xi3
xi4
1
C
C
A
例.
w =
0
B
B
@
w1
w2
w3
w4
1
C
C
A
evw(xi) = w · xi
=
4
X
j=1
wjxij
内積
後で詳述
例. 例.
x1 =
0
B
B
@
6.0
2.7
2.1
6.5
1
C
C
A x5 =
0
B
B
@
7.0
2.6
2.5
6.0
1
C
C
A
, w =
0
B
B
@
0.5
0.5
0.5
0.5
1
C
C
A
evw(x1) =0.5 · 6.0 + 0.5 · 2.7
+ 0.5 · 2.1 + 0.5 · 6.5
=8.65
19. 行列の積
2つの行列に対して, その「積」が定義できる場合があります.
(l m行列) (m n行列)=(l n行列)
0
B
@
a11 · · · a1m
.
.
.
...
.
.
.
a`1 · · · a`m
1
C
A
0
B
@
b11 · · · b1n
.
.
.
...
.
.
.
bm1 · · · bmn
1
C
A =
0
B
@
c11 · · · c1n
.
.
.
...
.
.
.
c`1 · · · c`n
1
C
A
cij =
m
X
k=1
aikbkj = ai1b1j + ai2b2j + · · · + aimbmj
20. 行列の積
日常的な行列の積の具体例
飲料 おにぎり お菓子 新聞 雑誌
1人目の客 1 2 0 1 0
2人目の客 0 4 2 0 0
3人目の客 1 0 0 1 2
出典: 応用が見える線形代数(p.1)
金額ベクトル
0
@
1 2 0 1 0
0 4 2 0 0
1 0 0 1 2
1
A
0
B
B
B
B
@
100
120
90
110
350
1
C
C
C
C
A
飲料
おにぎり
お菓子
新聞
雑誌
0
@
1 2 0 1 0
0 4 2 0 0
1 0 0 1 2
1
A
0
B
B
B
B
@
100
120
90
110
350
1
C
C
C
C
A
=
0
@
450
660
910
1
A
支払額ベクトル
1人目の客の支払額
2人目の客の支払額
3人目の客の支払額
購買情報行列
21. 行列の積
この講座でよく使う行列の積の具体例
(行列) (列ベクトル)=(列ベクトル)
(行ベクトル) (列ベクトル)=(内積)
✓
a b
c d
◆ ✓
x
y
◆
=
✓
ax + by
cx + dy
◆
y1 y2 · · · yn
0
B
B
B
@
x1
x2
.
.
.
xn
1
C
C
C
A
=
n
X
k=1
xkyk = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn
y =
0
B
B
B
@
y1
y2
.
.
.
yn
1
C
C
C
A
x =
0
B
B
B
@
x1
x2
.
.
.
xn
1
C
C
C
A
, y · x = t
yx
と表す.
tは転置(後述)
22. 行列と変換
f : X ! Y
✓
a b
c d
◆
✓
a b
c d
◆ ✓
x
y
◆
=
✓
ax + by
cx + dy
◆
2 2行列の行列のベクトルへの積
0 0
は, 平面から平面への変換と見做せる(右図).
例. 回転 拡大/縮小
θ
0
0 0
✓
cos ✓ sin ✓
sin ✓ cos ✓
◆ ✓
3 0
0 2
◆
対角行列
回転行列
23. 内積とノルム
(行ベクトル) (列ベクトル)=(内積)
y1 y2 · · · yn
0
B
B
B
@
x1
x2
.
.
.
xn
1
C
C
C
A
=
n
X
k=1
xkyk = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn
y =
0
B
B
B
@
y1
y2
.
.
.
yn
1
C
C
C
A
x =
0
B
B
B
@
x1
x2
.
.
.
xn
1
C
C
C
A
, y · x = t
yx
と表す.
ノルム
0
n=2のとき, 高校で習うベクトルの内積と一致(右図).
θ
2つのベクトル
kxk =
p
x · x
x, y に対して,
y · x = kxkkyk cos ✓ が成り立つ.
24. 転置と内積, 対称行列
A
A
定義(転置)
ベクトルの転置と内積 対称行列
A =
0
B
@
a11 · · · a1n
.
.
.
...
.
.
.
am1 · · · amn
1
C
A の転置
t
A =
0
B
@
a11 · · · an1
.
.
.
...
.
.
.
a1m · · · amn
1
C
A
m n行列 n m行列
y =
0
B
B
B
@
y1
y2
.
.
.
yn
1
C
C
C
A
A =
0
B
@
a11 · · · a1n
.
.
.
...
.
.
.
am1 · · · amn
t
A =
0
B
@
a11 · · ·
.
.
.
...
a1m · · ·
y · x = t
yx y1 y2 · · · yn
0
B
B
B
@
x1
x2
.
.
.
xn
1
C
C
C
A
=
n
X
k=1
xkyk = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn
A =
0
B
@
a11 · · · a1n
.
.
.
...
.
.
.
am1 · · · amn
1
C
A
y · x = t
yx 対称行列 対称行列ではない
✓
cos ✓ sin ✓
sin ✓ cos ✓
◆
✓
3 0
0 2
◆
26. 分散
nこのデータ(実数) に対して, その分散が,
で定まる.
例.
y1 y2 · · · yn
0
B
B
B
@
x1
x2
.
.
.
xn
1
C
C
C
A
=
n
X
k=1
xkyk = x1y1 + x2y2 +
, , ,
分散 平均
1
n
n
X
i=1
(yi y)2
, y =
1
n
n
X
i=1
yi
w1 = w2 = w3 = w4 = 0.5 のとき,
について考えると,
yi = evw(xi) (i = 1, . . . , 10)
y1 = 8.65, y2 = 8.90, y3 = 8.65, y4 = 10.40, y5 = 9.05
y6 = 11.55, y7 = 9.35, y8 = 9.25, y9 = 8.60, y10 7.05
y = 9.145
1.265725
(yの分散)=
y1 = 8.65, y2 = 8.90, y3 = 8.65, y4 = 10.40, y5 = 9.05
y6 = 11.55, y7 = 9.35, y8 = 9.25, y9 = 8.60, y10 7.05
27. 標本分散共分散行列
で定義される行列.
n個のm次元ベクトル
に対して, その標本分散共分散行列とは,
例.
x1 =
0
B
@
x11
.
.
.
x1m
1
C
A , · · · , xn =
0
B
@
xn1
.
.
.
xnm
1
C
A
S =
0
B
@
s11 · · · s1m
.
.
.
...
.
.
.
sm1 · · · smm
1
C
A , skj =
1
n
n
X
i=1
(xij xj)(xik xk), xj =
1
n
n
X
i=1
xij
S =
0
B
@
s11 · · · s1m
.
.
.
...
.
.
.
sm1 · · · smm
1
C
A , skj =
1
n
n
X
i=1
(xij xj)(xik xk), xj =
1
n
n
X
i=1
xij
都市項目 生活の利便性 安心・安全 医療・介護 教育
都市1 6.0 2.7 2.1 6.5
都市2
6.7 2.2 2.5 6.4
都市3 5.9 3.0 1.9 6.5
都市4 6.6 5.0 2.4 6.8
都市5 7.0 2.6 2.5 6.0
都市6 8.1 4.2 4.5 6.3
都市7 7.2 2.8 2.5 6.2
都市8
7.0 3.1 2.5 5.9
都市9 7.2 2.5 2.1 5.4
都市10 5.6 2.2 1.8 4.5
右図のデータから得られるSは
S =
0
B
B
@
0.4981 0.2121 0.4146 0.0995
0.2121 0.7261 0.3086 0.2925
0.4146 0.3086 0.5176 0.1320
0.0995 0.2925 0.1320 0.4025
1
C
C
A
28. 分散と標本分散共分散行列との関係
重みベクトル
n個のm次元ベクトル x1 =
0
B
@
x11
.
.
.
x1m
1
C
A , · · · , xn =
0
B
@
xn1
.
.
.
xnm
1
C
A と w =
0
B
@
w1
.
.
.
wm
1
C
A
に対して, 評価値 の分散は,
evw(xi) = t
wxi = w1xi1 + · · · + wmxim
S =
0
B
@
s11 · · · s1m
.
.
.
...
.
.
.
sm1 · · · smm
1
C
A , skj =
1
n
n
X
i=1
(xij xj)(xik xk), xj =
1
n
n
X
i=1
標本分散共分散行列
を用いて,
で与えられる.
t
wSw =
m
X
j=1
m
X
k=1
wjwksjk
証明は, テキストの 6.3