description de la conduction thermique

2. Qu'est-ce que le transfert de chaleur?
Transport d'énergie d’un milieu à un autre dû à un gradient
de température.
Que se passe t-il lors du transfert conductif ?
Physiquement, la chaleur est transmise par l'activité
moléculaire (vibration, circulation d'électrons,
collisions)

3. 1. Objectifs du Chapitre
 Connaître et appliquer la loi de Fourier;
 Connaître et appliquer l'équation de conduction
thermique
 Savoir faire un bilan énergétique sur un élément de
volume infinitésimal ou une surface;
 Connaître les propriétés relatives à la conduction
thermique;
 Connaître les conditions nécessaires pour résoudre un
problème à l'aide de l'équation de conduction
thermique et de la loi de Fourier.

4. 2. Loi de Fourrier
 Le flux de chaleur est une quantité vectorielle
La direction du flux de chaleur
sera toujours normale à une
surface isotherme
Le signe négatif provient de la pente du
gradient
Cas du milieu Isotrope

5. 3. Propriétés Thermiques en conduction
3.1 Conductivité thermique
l'habileté d'un matériau à transporter (transférer) de
la chaleur par un processus de diffusion appelé
conduction thermique
dépend de la structure atomique, de la composition et
de l'état d'un matériau

7. 3.2 Diffusivité thermique
rapport entre l'habileté d'un matériau à
transporter l'énergie sur son habileté à
l'emmagasiner
une forte diffusivité thermique indique un
matériau prompt à s'adapter à un changement
de conditions thermiques

8. 4. Equation de la Chaleur
 Équation de la conduction est un cas particulier de
l'équation générale de la loi de conservation de l'énergie
 Sans convection, ni radiation dans le matériau
 Pourquoi étudier cette équation?
 Pour connaître le champ (distribution) de T dans un
matériau soumis à des conditions imposées sur ses
frontières
 Lorsque le champ de T est connu, on peut calculer les flux
(taux de transfert ) pertinents.

9. 4.1 Dérivation
Phénomène local donc à partir d'un volume de contrôle
infinitésimal

10. Taux de transfert d’énergie thermique aux surfaces
 Expansion en série de Taylor du taux de transfert qui à
x+dx, y+dy et z+dz:

11. Taux de transfert net aux surfaces
Taux de génération d'énergie thermique
Taux d'accumulation d'énergie thermique

12. En insérant les termes différentiels de flux de surfaces , de
génération et d'accumulation d'énergie dans l'équation de
conservation , l'équation différentielle de la chaleur
devient:
En effectuant une démarche similaire sur un élément de
volume cylindrique, l'équation différentielle de
conduction devient:
En coordonnées sphérique on écrit l’équation de la chaleur

14. 4.3 Quelques simplifications en géométrie cartésienne:
Conductivité thermique λ constante :
L’équation de la chaleur devient
Régime permanent
λ constante , Régime permanent, sans source transfert
unidirectionnel

15. Conditions initiales et conditions aux limites
 Pour déterminer la distribution de T dans un milieu, il
faut spécifier des conditions aux limites physiques
(frontières du domaine de calcul) du matériau.
 De plus, lorsque le régime est instationnaire
(transitoire), lorsque T dépend de t, il faut spécifier une
condition initiale dans le temps pour résoudre.
Condition aux limites de Dirichlet, T imposée

16. Condition aux limites de Neumann, flux imposé
Flux imposé, résistance électrique, réaction contrôlée
Condition aux limites de Neumann, flux nul imposé
Surface isolée, adiabatique
Condition aux limites de convection, h et Tf imposés

17. 5.Conduction en régime permanent
(Transfert unidirectionnel)
 5.1 Mur simple
On se placera dans le cas où le transfert est
unidirectionnel et où il n’y a pas de génération ni de
stockage d’énergie.
 On considère un mur d’épaisseur e, de conductivité
thermique λ, et de grande surface transversale S dont les
faces extrêmes sont à des températures T1 et T2
 La distribution de la température dans le mur peut être
déterminée en résolvant l'équation de la chaleur dans
ces conditions :

2
2
0
d T
dx

18. La solution de cette équation donne : T(x)=C1x+C2
Nous déterminons C1 et C2 à partir des conditions aux
limites :
T(0)= T1 et T(L)= T2
donc on obtient:
 2 1
1
T T
C
L

T1=C2 et T2= C1L+C2
Le profil de la température s'écrit alors:
2 1
1( )
T T
T x x T
L

 
Le profil de température est linéaire et la densité de flux
de chaleur traversant le mur s'obtient par la loi de
Fourrier : 1 2T TdT
q
dx L
 

  
Et le flux de chaleur 1 2T TdT
Q S S
dx L
 

  &

19. apparaît comme la résistance thermique d’un mur plan
d’épaisseur e, de conductivité thermique λ et de surface latérale
S, on a donc le schéma équivalent suivant :
Nous remarquons qu'il est constant en régime permanent;
on peut écrire:
1 2T T
Q
L
S

&
Cette relation est analogue à la loi d’Ohm en électricité
2 1V V
I
R


Qui définit l’intensité du courant comme le rapport de la
différence de potentiel électrique sur la résistance
électrique. La température apparaît ainsi comme un
potentiel thermique et le terme L
S
LR
S
Q&

20. 5.2 Mur multicouches
C’est le cas des murs réels constitués de plusieurs couches
de matériaux différents et où on ne connaît que les
températures Tf1 et Tf2 des fluides en contact avec les deux
faces du mur de surface latérale S :

21. En régime permanent, le flux de chaleur se conserve lors
de la traversée du mur et s’écrit :
2 3 3 41 2
1 1 1 2 4 2( ) ( )f A B C f
A B C
T T T TT T
Q h S T T S S S h S T T
L L L
  
 
      &
1 2
1 2
1 1
f f
CA B
A B C
T T
Q
LL L
h S S S S h S  


   
&
La résistance de convection Rconv=1/hS donc le schéma en
résistance devient dans ce cas:
Q&
1 2 3 4 5
1 2
1 1CA B
A B C
LL L
R R R R R
h S S S S h S      

22. Nous avons considéré que les contacts
entre les couches de différentes natures
étaient parfaits et qu’il n’existait pas de
discontinuité de température aux
interfaces. En réalité, compte tenu de
la rugosité des surfaces, une
microcouche d’air existe entre les creux
des surfaces en regard et créé une
résistance thermique R (l’air est un
isolant) appelée résistance thermique
de contact. La formule précédente
s’écrit :
1 2
1 2
1 1
f f
CA B
AB BC
A B C
T T
Q
LL L
R R
h S S S S h S  


     
&

23. Remarques :
• Une résistance thermique ne peut être définie
qu’entre deux surfaces isothermes.
• Cette résistance thermique de contact est négligée
si le mur comporte une paroi isolante ou si les parois
sont jointes par soudure.

24. 5.3 Mur composite
T1
S
λA
λB
λC
λD
SB
SC
T2
LA LB LD
C’est le cas le plus couramment rencontré dans la réalité
où les parois ne sont pas isotropes.

25. Les résistance R2 et R3 sont en parallèle, dans ce cas :
1 2
eq
T T
Q
R

& 3 2
1 4
3 2
eq
R R
R R R
R R

  

Le schéma en résistance.
3
C
C C
L
R
S
2
B
B B
L
R
S
4
D
D
L
R
S
1
A
A
L
R
S
T2T1

26. On considère un cylindre creux de conductivité
thermique λ, de rayon intérieur r1, de rayon extérieur
r2, de longueur L, les températures des faces internes et
externes étant respectivement T1 et T2. On suppose que
le gradient longitudinal de température est négligeable
devant le gradient radial.
5.4 Cylindre creux long (tube)

27. régime permanent en absence des sources de chaleur,
l'équation de la chaleur s'écrit : 1
( ) 0 ( ) 0
d dT d dT
r r
r dr dr dr dr
  
En faisant une première intégration on obtient : 1CdT
dr r

et en procédant à une deuxième intégration on aboutit à la
distribution de la température dans le cylindre :
T(r)=C1ln(r) + C2.
On détermine les valeurs des constantes à partir des
conditions aux limites : T(r1)=T1, et T(r2)=T2. 
T1=C1ln(r1) + C2 et T2=C1ln(r2) + C2 T1─T2= C1.ln(r1/ r2)
1 2
1
1 2ln( / )
T T
C
r r

  1 2
2 1 1
1 2
ln( )
ln( / )
T T
C T r
r r

  
Et finalement 1 2
1 1
1 2
( ) ln( / )
ln( / )
T T
T r r r T
r r

  

28. Le flux de Chaleur : 2
dT
Q rL
dr
 &
1 2
2 1
2 ( )
ln( / )
L T T
Q
r r
 
&
1 2
cyl
T T
Q
R

&
2 1ln( / )
2
cyl
r r
R
L

Cette relation peut être écrite aussi sous la forme
avec
la résistance thermique du cylindre donc on
obtient le schéma électrique suivant :
2 1ln( / )
2
cyl
r r
R
L


29. 5.5 Cylindre creux multicouches
C’est le cas pratique d’un tube recouvert d’une ou plusieurs
couches de matériaux différents .

30. Q&
Q&
Ce qui peut être représenté par le schéma en résistance
suivant:

31. 6. La conduction en régime permanent avec
sources de chaleur
Il s'agit de génération thermique volumétrique causée
par la conversion d'une autre forme d'énergie en chaleur
à l'intérieur du système étudié :
• Fil chauffant; Dissipation thermique d’un appareil;
• Réaction chimique ou biologique;
• Matière radioactive

32. Équation de diffusion générale pour une génération
constante de chaleur, q' 2
2
0
d T
q
dx
 & (Cas du mur plan)
(Cas du Cylindre)
1
( ) 0
d dT
r q
r dr dr
  &
En effectuant une analyse par séparation des variables et
intégration double sur la variable indépendante (r), une
expression générale est obtenue.
(Cas du mur plan)
(Cas du Cylindre)
2
1 2( )
2
q
T x x C x C


  
&
2
1 2( ) ln( )
4
q
T r r C r C


  
&
Et on doit appliquer les conditions aux frontières appropriées :
On peut spécifier les températures de surfaces; On peut
prescrire un coefficient de convection; ou imposer un flux de
chaleur.

33. A 2-kW resistance heater wire whose thermal
conductivity is k = 15 W/m · °C has a diameter of D = 4 mm
and a length of L =0.5 m, and is used to boil water (Fig.).
If the outer surface temperature of the resistance wire is
Ts =105°C, determine the temperature at the center of the
wire.
EXAMPLE
Centerline Temperature of a Resistance Heater

34. 7. Conduction unidirectionnelle en régime variable
(Milieu à température uniforme)
Causes de la transition
• changement de température à une frontière (trempe)
• changement de flux à une frontière
Durée de la transition
• Le mot transition indique un transit d'un état
permanent vers un autre
• Si les conditions aux frontières sont maintenues
suffisamment longtemps ou si le système réagit très
rapidement, un autre état permanent peut être atteint
• Si les conditions sont à nouveau modifiées avant
l'atteinte de l'état permanent, le système cherchera un
nouvel équilibre qui satisfait les nouvelles conditions

35. On va étudier le transfert de chaleur vers un milieu à
température uniforme, ce qui est a priori contradictoire
car il est nécessaire qu’il y ait un gradient thermique
pour qu’il se produise un transfert de chaleur. Cette
approximation du milieu à température uniforme peut
néanmoins être justifiée dans certains cas que l’on va
préciser.

36. Caractéristiques de la méthode du milieu uniforme
•Méthode relativement simple mais limitée
•Hypothèse que tout le solide est à température uniforme
•Équivalent d'une conduction thermique infinie et de flux
nul dans le solide
•Valide lorsque la résistance thermique convective, Rcv ,
est beaucoup plus grande que la résistance thermique de
conduction, RCd

37. Cas de la trempe
Immersion d'un solide à Ti dans un fluide plus froid à T∞
on peut écrire le bilan thermique de cette
bille entre deux instants t et t + dt :
s stQ Q & & donc on peut écrire
0( )
dT
hS T T cV
dt
  

38. 0 0 0
( ) ( )i
T t
T
hS dT dT hS
dt dt
cV T T T T cV 
     
  
0
0i
T T hS
Ln t
T T cV

   

Donc on obtient 0
0
hS
t
cV
i
T T
e
T T




on appelle hS
cV


 constante du temps
0
0
t
i
T T
e
T T




donc on peut écrire

39. Il est toujours intéressant en physique de présenter les
résultats sous forme adimensionnelle, deux nombres
adimensionnels sont particulièrement important en régime
variable :
Le nombre de Biot:
résistance thermique interne
1résistance thermique externe
CL S
Bi
hS

 
CL : Longueur caractéristique du corps Lc=V/S donc Bi=hLc/λ
Le calcul précédent est justifié si Bi<0.1.
Le nombre de Fourier :
Fo=at/(LC)2 ou temps adimensionnel.
Dans ce cas on peut écrire l'équation de l'évolution
temporelle :
0
0
Bi Fo
i
T T
e
T T
 

