1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
กาหนดการเชิงเส้น
(เนื้อหาตอนที่ 1)
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
โดย
อ.ดร.ณหทัย ฤกษ์ฤทัยรัตน์
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
สื่อการสอน เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 6 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
2. เนื้อหาตอนที่ 1 การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
- การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
- ทบทวนการเขียนกราฟของอสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
3. เนื้อหาตอนที่ 2 การหาค่าสุดขีด
- การหาคาตอบด้วยวิธีของกาหนดการเชิงเส้น
4. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน)
5. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
6. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง …………
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง กาหนดการเชิง
เส้น นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไป
แล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้า ย
ของคู่มือฉบับนี้
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น (การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 1 (1/2)
หัวข้อย่อย 1. การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
2. ทบทวนการเขียนกราฟของอสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. สามารถแปลงปัญหาที่กาหนดให้ให้อยู่ในรูปของสมการและอสมการเชิงเส้นสองตัวแปรได้
2. มีความเข้าใจวิธีเขียนกราฟของระบบอสมการเชิงเส้นสองตัวแปรได้
3. สามารถเขียนกราฟเพื่อหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรได้
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. สร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาที่กาหนดให้ได้
2. อธิบายวิธีเขียนกราฟและสามารถเขียนกราฟของระบบอสมการเชิงเส้นสองตัวแปรได้
3. อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างกราฟและคาตอบของระบบอสมการเชิงเส้นสองตัวแปรได้
4. หาคาตอบของระบบอสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยใช้กราฟได้
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
เนื้อหาทั้งหมด
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
เพื่ อให้ผู้ เรี ย นเห็ นภาพรวมที่ จะศึก ษาในเรื่ องก าหนดการเชิ งเส้น ทั้ง หมด ผู้เ รีย นจะได้ช ม
แผนภาพที่แสดงความคิดพื้นฐานและเทคนิคการแก้ปัญหาด้วยวิธีของกาหนดการเชิงเส้น ดังรูป
ผู้สอนควรอธิบายเพิ่มเติมว่า การหาผลเฉลยของกาหนดการเชิงเส้นสามารถทาได้หลายวิธี เช่น
โดยวิธีเขียนกราฟ วิธีพีชคณิต หรือวิธีซิมเพลกซ์ แต่เนื่องจากในระดับมัธยมศึกษาสนใจเฉพาะปัญหาที่
มีเพียงสองตัวแปรเท่านั้น วิธีเขียนกราฟจึงเป็นวิธีที่เหมาะสมที่จะทาให้ผู้เรียนเข้ าใจความคิดพื้นฐาน
ของการหาผลเฉลยของกาหนดการเชิงเส้นมากที่สุด
เมื่อผู้เรียนได้เห็นตัวอย่างของการสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์ทั้งสองตัวอย่างแล้ว ผู้สอน
อาจให้ตัวอย่างเพิ่มเติมเพื่อให้ผู้เรียนเข้าใจมากขึ้น ดังตัวอย่างต่อไปนี้
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง ตัวแทนจาหน่ายเครื่องสาอางยี่ห้อหนึ่งมีสัญญาที่จะต้องซื้อแป้งตลับและลิปสติกจากบริษัท
ผู้ผลิตในเดือนแรก โดยที่จานวนแป้งตลับที่ซื้อต้องไม่น้อยกว่า 20 ชิ้น และมากกว่าสามเท่าของจานวน
ลิปสติกอยู่ไม่เกิน 30 ชิ้น นอกจากนี้สัญญายังระบุว่า ตัวแทนจาหน่ายจะต้องซื้อสินค้าทั้งสองชนิด
รวมกันไม่น้อยกว่า 50 ชิ้น ถ้าแป้งตลับ 1 ชิ้น ราคา 390 บาทและลิปสติก 1 ชิ้น ราคา 270 บาท ตัวแทน
จาหน่ายควรจะซื้อแป้งตลับและลิปสติกอย่างละกี่ชิ้นจึงจะเสียเงินน้อยที่สุด จงเขียนแบบจาลองทาง
คณิตศาสตร์
วิธีทา
ให้ และ แทนจานวนแป้งตลับและลิปสติกที่ตัวแทนจาหน่ายซื้อตามลาดับ
และให้ แทนจานวนเงินที่ซื้อแป้งตลับและลิปสติกทั้งหมด
ฟังก์ชันจุดประสงค์ คือ
อสมการข้อจากัด คือ
#
ตัวอย่าง ร้านขายขนมแห่งหนึ่งผลิตขนม 3 ชนิด คือ ขนมชั้น ขนมตาลและขนมทองม้วนโดยบรรจุ
เป็นกล่อง กล่องละ 2, 3 และ 4 ชิ้นตามลาดับ วันหนึ่งมีลูกค้ามาสั่งทาขนม 50 กล่อง ถ้าลูกค้าต้องการให้
จานวนขนมตาลและขนมทองม้วนรวมกัน ไม่เกิน 25 กล่อง และจานวนขนมชั้นมากกว่าจานวนขนม
ตาลไม่เกิน 10 กล่อง ร้านค้าแห่งนี้ควรผลิตขนมชนิดละกี่ชิ้นเพื่อให้รวมได้จานวนชิ้นมากที่สุดและ
ลูกค้าได้ขนมตามต้องการ จงเขียนแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
วิธีทา
สมมติให้ร้านขายขนมผลิตขนมตาลและขนมทองม้วนจานวน และ กล่องตามลาดับ
และให้ร้านขายขนมผลิตขนมทั้งหมด ชิ้น
จากโจทย์ จะได้ว่าร้านขายขนมผลิตขนมชั้นจานวน กล่อง
ดังนั้น ฟังก์ชันจุดประสงค์ คือ
อสมการข้อจากัด คือ
#
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
จงเขียนแบบจาลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาต่อไปนี้
1. โรงงานแห่งหนึ่งผลิตอาหารสัตว์ 2 ชนิดคือ ชนิด A และ ชนิด B การผลิตแบ่งออกเป็น 2
ขั้นตอน ขั้นตอนแรกใช้เครื่องจักร 1 และขั้นตอนที่สองใช้เครื่องจักร 2 โดยมีข้อจากัดเรื่องเวลา
ที่เครื่องจักรสามารถทางานได้และเวลาที่ใช้ในการผลิตอาหารสัตว์แต่ละชนิดดังนี้
เวลาที่เครื่องจักร เวลาที่ใช้ผลิต เวลาที่ใช้ผลิต
สามารถทางานได้ อาหารสัตว์ชนิด A อาหารสัตว์ชนิด B
(ชั่วโมง/วัน) (ชั่วโมง/ตัน) (ชั่วโมง/ตัน)
เครื่องจักร 1 18 2 3
เครื่องจักร 2 11 1 2
ถ้าบริษัทได้กาไรจากการขายอาหารสัตว์ ชนิด A และ ชนิด B ตันละ 3,000 และ 4,000 บาท
ตามลาดับ โรงงานแห่งนี้ต้องผลิตอาหารสัตว์แต่ละชนิดวันละเท่าไรเพื่อขายให้ได้กาไรสูงสุด
2. ร้านตัดผ้าแห่งหนึ่งจ้างคนงานชายวันละ 210 บาท จ้างคนงานหญิงวันละ 240 บาท โดยเจ้าของ
ร้านกาหนดจานวนเสื้อและกางเกงที่คนงานต้องเย็บดังนี้
คนงานชายเย็บกางเกงวันละ 2 ตัว และเย็บเสื้อวันละ 4 ตัว
คนงานหญิงเย็บกางเกงวันละ 5 ตัว และเย็บเสื้อวันละ 3 ตัว
วันหนึ่งร้านแห่งนี้มีผ้าสาหรับตัดกางเกงได้ไม่น้อยกว่า 16 ตัว แต่มีผ้าสาหรับตัดเสื้อได้ไม่เกิน
18 ตัว ในวันนั้นเจ้าของร้านควรจ้างคนงานชายและหญิงมาทางานกี่คนจึงจะทาให้เจ้าของร้าน
จ่ายค่าจ้างน้อยที่สุด
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. บริษัทผลิตโทรศัพท์แห่งหนึ่งได้ผลิตโทรศัพท์รุ่นใหม่ออกมา 2 รุ่น คือ รุ่น A และ รุ่น B โดยที่
รุ่น A ขายเครื่องละ 12,000 บาท และ รุ่น B ขายเครื่องละ 15,000 บาท ในแต่ละวันบริษัทตั้งใจ
จะผลิตโทรศัพท์รุ่น A ไม่น้อยกว่า 60 เครื่อง และผลิตรุ่น B ตั้งแต่ 50 ถึง 100 เครื่อง ถ้าบริษัทมี
ความสามารถในการผลิตโทรศัพท์ทั้งสองรุ่นรวมกันในแต่ละวันไม่เกิน 150 เครื่อง แล้วบริษัท
ควรจะขายโทรศัพท์รุ่นละกี่เครื่องเพื่อให้มีรายได้ต่อวันสูงสุด
4. เกษตรกรคนหนึ่งบรรจุส้มในกล่องขนาดเท่ากันทุกกล่องและจ้างบริษัทรับส่งของให้นาส้มไป
ส่งให้ลูกค้าโดยต้องการใช้เวลาในการขนกล่องขึ้นรถไม่เกิน 1 ชั่วโมงครึ่ง บริษัทรับส่งของมี
รถบรรทุก ขนาดเล็กและขนาดใหญ่ใ ห้เลือก รถบรรทุกขนาดเล็กสามารถบรรทุก ส้ม ได้ 40
กล่อง รถบรรทุกขนาดใหญ่สามารถบรรทุก ส้มได้ 60 กล่อง และขณะนั้นมีคนขับรถที่ว่างอยู่
10 คน ถ้าเกษตรกรต้องการให้ขนกล่องส้มขึ้นรถทีละคันเพื่อตรวจสอบคุณภาพด้วยตนเอง เขา
จะต้องใช้เวลาในการขนกล่องขึ้นรถบรรทุกขนาดเล็ก 5 นาทีต่อคันและใช้เวลาในการขนกล่อง
ขึ้นรถบรรทุกขนาดใหญ่ 15 นาทีต่อคัน เกษตรกรจะต้องจ้างบรรทุกขนาดละกี่คัน เพื่อจะส่งส้ม
ไปให้ลูกค้าได้มากที่สุด
5. แม่บ้านกลุ่มหนึ่งร่วมกันผลิตมะขามแก้วและมะขามกวนทุกวัน มะขามแก้ว 1 ถุงใช้เนื้อมะขาม
500 กรัมและน้าตาล 10 กรัม ส่วนมะขามกวน 1 ถุงใช้เนื้อมะขาม 450 กรัมและน้าตาล 5 กรัม
ถ้าในแต่ละวันกลุ่มแม่บ้านมีเนื้อมะขาม 50 กิโลกรัมและน้าตาล 5 กิโลกรัม ถ้ามะขามแก้ว 1 ถุง
ขายในราคา 70 บาท มะขามกวน 1 ถุงขายในราคา 60 บาท แม่บ้านกลุ่มนี้ควรจะผลิตมะขาม
แก้วและมะขามกวนชนิดละกี่ถุงจึงจะขายได้เงินมากที่สุด
6. ร้านขายของฝากร้านหนึ่งจัดกระเช้าของขวัญไว้ขาย 2 แบบ ในแต่ละแบบใช้สินค้า 3 ชนิด คือ
ชนิด A, B และ C โดยที่
แบบแรกใช้สินค้าชนิด A 2 ชิ้น ชนิด B 3 ชิ้น ชนิด C 4 ชิ้น ขายได้กาไรกระเช้าละ 50 บาท
แบบที่สองใช้สินค้าชนิด A 3 ชิ้น ชนิด B 3 ชิ้น ชนิด C 3 ชิ้น ขายได้กาไรกระเช้าละ 80 บาท
ถ้าในร้านมีสินค้าชนิด A, B และ C จานวน 60, 50 และ 50 ชิ้นตามลาดับ ร้านค้าแห่งนี้ควรจัด
กระเช้าแบบละกี่กระเช้าเพื่อขายให้ได้กาไรมากที่สุด
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
7. ห้องสมุดแห่งหนึ่งมีงบประมาณในการซื้อนิตยสารบันเทิงและสารคดีสัปดาห์ละ 450 บาท โดย
ในแต่ละสัปดาห์ต้องซื้อนิตยสารอย่างน้อยประเภทละ 2 เล่ม แต่นิตยสารสารคดีต้องไม่น้อย
กว่า 3 เท่าของนิตยสารบันเทิง ถ้านิตยสารบันเทิงราคาเล่มละ 45 บาทและนิตยสารสารคดีราคา
เล่มละ 60 บาท ห้องสมุดแห่งนี้ควรจัดซื้อนิตยสารแต่ละประเภทอย่างไรจึงจะใช้เงินน้อยที่สุด
8. ในการประกอบโต๊ะและตู้เสื้อผ้าของโรงงานผลิตเฟอร์นิเจอร์แห่งหนึ่งต้องใช้ทั้งเครื่องจักร
และแรงงานคน โดยที่โต๊ะแต่ละตัวใช้เครื่องจักรประกอบ 3 ชั่วโมง ใช้แรงงานคน 1 ชั่วโมง
และขายได้กาไรตัวละ 400 บาท สาหรับตู้เสื้อผ้าแต่ละตู้ใช้เครื่องจักรประกอบ 4 ชั่วโมง
ใช้แรงงานคน 2 ชั่วโมงและขายได้กาไรตู้ละ 700 บาท ถ้าในหนึ่งวันเครื่องจักรและคนงาน
ทางานได้ไม่เกิน 12 ชั่วโมงและ 6 ชั่วโมงตามลาดับ โรงงานแห่งนี้ควรประกอบโต๊ะและตู้
เสื้อผ้าแต่ละชนิดเป็นจานวนเท่าไรในแต่ละวันจึงจะขายได้กาไรมากที่สุด
9. ชายคนหนึ่งต้องการทาแปลงดอกไม้รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากแปลงหนึ่ง โดยมีเงื่อนไขคือ สองเท่า
ของความยาวของด้านกว้างน้อยกว่าหรือเท่ากับ ความยาวของด้านยาว และความยาวรอบรูป
ของแปลงดอกไม้นี้อยู่ระหว่าง 550 ถึง 700 เมตร ถ้าค่าวัสดุในการล้อมรั้วด้านกว้างราคาเมตร
ละ 20 บาท และค่าวัสดุในการล้อมรั้วด้านยาวราคาเมตรละ 35 บาท เขาจะต้องกั้นรั้วแบบใดจึง
จะเสียค่าใช้จ่ายน้อยที่สุด
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. ทบทวนการเขียนกราฟของอสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. ทบทวนการเขียนกราฟของอสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ทบทวนวิธีการเขียนกราฟของอสมการเชิงเส้นสองตัวแปรและกราฟ
ของระบบอสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
อสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือ อสมการที่อยู่ในรูปแบบใดแบบหนึ่งต่อไปนี้
เมื่อ และ เป็นค่าคงตัวใดๆ โดยที่ และ ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน
การเขียนกราฟของอสมการเชิงเส้นสองตัวแปรมีประเด็นที่ผู้สอนควรเน้นย้าคือ
1. สาหรับอสมการเชิงเส้นตัวสองตัวแปร กราฟของอสมการ เป็นดังที่แสดงในสื่อ
แต่สาหรับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว กราฟของอสมการ เป็นดังรูป
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. เส้นตรง คือ แกน
เส้นตรง คือ แกน
เส้นตรง เมื่อ คือ เส้นตรงที่ขนานกับแกน และอยู่ห่างจากแกน
ทางด้านขวาเป็นระยะทาง หน่วย
เส้นตรง เมื่อ คือ เส้นตรงที่ขนานกับแกน และอยู่ห่างจากแกน
ทางด้านซ้ายเป็นระยะทาง หน่วย
เส้นตรง เมื่อ คือ เส้นตรงที่ขนานกับแกน และอยู่เหนือแกน
เป็นระยะทาง หน่วย
เส้นตรง เมื่อ คือ เส้นตรงที่ขนานกับแกน และอยู่ใต้แกน
เป็นระยะทาง หน่วย
3. จากตัวอย่างการเขียนกราฟอสมการ และ ในสื่อ จุดที่สอดคล้องกับอสมการ
ไม่ ไ ด้ มี เ พี ย งจุ ด ที่ อยู่ ใ นบริ เวณที่ แ รเงารู ป สี่ เหลี่ ย มเท่า นั้ น แต่ห มายถึ ง จุ ด ทั้ ง หมดที่ อ ยู่ บ น
เส้นตรงและอยู่ทางขวาของเส้นตรง สาหรับตัวอย่างแรก และจะต้องเป็นจุดทั้งหมดที่
อยู่ใต้เส้นตรง (ไม่อยู่บนเส้นตรง) สาหรับตัวอย่างที่สอง
ตัวอย่าง จงเขียนกราฟของระบบอสมการ และ
คาตอบ
#
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
หลังจากที่ผู้เรียนได้ศึกษาการเขียนกราฟของอสมการ จากสื่อแล้ว ผู้สอนควรอธิบาย
ความหมายของคาว่า “สมการที่สมมูลกัน” เพิ่มเติมเพื่อให้ผู้เรียนเข้าใจอย่างถูกต้อง
สมการที่สมมูลกัน คือ สมการที่มีคาตอบชุดเดียวกัน หรือกล่าวได้ว่า
“สมการ สมมูลกับสมการ ” ก็ต่อเมื่อ ทุกคาตอบของสมการ เป็นคาตอบของสมการ
และทุกคาตอบของสมการ เป็นคาตอบของสมการ
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
นอกจากนีผู้สอนอาจยกตัวอย่างการเขียนกราฟของระบบอสมการเชิงเส้นสองตัวแปรเพิ่มเติม ดังนี้
้
ตัวอย่าง จงเขียนกราฟของระบบอสมการ
และ
คาตอบ
#
การเขียนกราฟของระบบอสมการมีประเด็นที่ผู้เรียนควรจะต้องระวังคือ การพิจารณาจุดมุมของบริเวณ
ที่สอดคล้องกับระบบอสมการว่าเป็นคาตอบของระบบอสมการด้วยหรือไม่ ดังที่ได้กล่าวไว้ในสื่อต่อไปนี้
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ผู้สอนอาจยกตัวอย่างต่อไปนี้เพิ่มเติมเพื่อให้ผู้เรียนเข้าใจมากขึ้น
ตัวอย่าง จงเขียนกราฟของระบบอสมการ
และ
คาตอบ
#
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
หลังจากที่ผู้เรียนได้เห็นตัวอย่างการหาอาณาบริเวณที่หาคาตอบได้ในสื่อ ผู้สอนควรอธิบาย
เพิ่มเติมว่า “อาณาบริเวณที่หาคาตอบได้” คืออาณาบริเวณที่สอดคล้องกับอสมการข้อจากัดซึ่งอาจเป็น
อาณาบริเวณปิด (อาณาบริเวณที่มีขอบเขต) ดังที่ได้เห็นจากตัวอย่างในสื่อ หรือเป็นอาณาบริเวณเปิด
(อาณาบริเวณที่ไม่มีขอบเขต) ซึ่งจะได้เห็นในตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงเขียนกราฟของระบบอสมการ
และ
คาตอบ
#
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง ทบทวนการเขียนกราฟอสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
จงเขียนกราฟของระบบอสมการที่กาหนดให้
1.
และ
2.
และ
3.
และ
4.
และ
5.
และ
6.
และ
7.
และ
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
8.
และ
9.
และ
10.
และ
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
19

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
20

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม
21

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดระคน
1-5 จงเขียนระบบอสมการซึ่งมีบริเวณที่แรเงาเป็นคาตอบ
1.
2.
3.
22

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
4.
5.
6. ในการผลิตขนมขบเคี้ยวชนิดหนึ่ง ในแต่ละวันโรงงานต้องใช้มันฝรั่งเป็นวัตถุดิบไม่ต่ากว่า 500 กิโลกรัม
โดยนามาจากแหล่งปลูกที่จังหวัดเชียงรายและจังหวัดชลบุรี มันฝรั่งจากเชียงรายให้ปริมาณแป้ง 4 หน่วย
ต่อกิโลกรัม ในขณะที่มันฝรั่งจากชลบุรีให้ปริมาณแป้ง 3 หน่วยต่อกิโลกรัม ทั้งนี้ปริมาณแป้งที่ต้องการ
จากมันฝรั่งทั้งหมดไม่น้อยกว่า 1,600 หน่วย หากราคาของมันฝรั่งจากเชียงรายและชลบุรีเท่ากับกิโลกรัม
ละ 10 บาทและ 8 บาทตามลาดับ ในแต่ละวันโรงงานต้องจ่ายค่ามันฝรั่งต่าสุดเท่าใด (PAT ตุลา 51)
จงเขียนแบบจาลองทางคณิตศาสตร์และเขียนกราฟของอสมการข้อจากัด
23

25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
7. นักวิ่งคนหนึ่งต้องลงแข่งวิ่งในรายการเดี่ยว 100, 200 และ 400 เมตรโดยสถิติเวลาในการวิ่งของเขาเป็น
ดังนี้
ระยะทาง (เมตร) เวลา (วินาที)
100
200
400
เมื่อ และ เป็นจานวนชั่วโมงที่เขาใช้ในการซ้อมวิ่ง 100, 200 และ 400 เมตรตามลาดับ นักวิ่งคนนี้
เหลือเวลาฝึกซ้อมอีก 10 วัน วันละ 4 ชั่วโมงก่อนถึงการแข่งขัน เขาจึงวางแผนซ้อมวิ่งดังนี้
ซ้อมวิ่ง 100 ม.และ 200 ม. รวมกันไม่น้อยกว่า 25 ชั่วโมง
ซ้อมวิ่ง 100 ม.และ 400 ม. รวมกันไม่น้อยกว่า 10 ชั่วโมง
ซ้อมวิ่ง 400 ม. ไม่น้อยกว่า 8 ชั่วโมง
นักวิ่งคนนี้จะต้องแบ่งเวลาฝึกซ้อมวิ่งแต่ละประเภทอย่างไรเพื่อให้ใช้เวลาน้อยที่สุด จงเขียนแบบจาลอง
ทางคณิตศาสตร์และเขียนกราฟของอสมการข้อจากัด
8. ฉัตรลดาและวรรณพรช่วยกันทาสมุดบันทึกและกรอบรูปเพื่อนาไปขายในงานวันลอยกระทง งานแต่ละ
ชิ้นแบ่งเป็นสองส่วน โดยฉัตรลดาทาส่วนแรกและวรรณพรทาส่วนที่สอง ทั้งสองคนใช้เวลาในการทา
สมุดและกรอบรูป ดังนี้
ฉัตรลดาใช้เวลาทาสมุดบันทึกเล่มละ 1 ชั่วโมงและทากรอบรูปชิ้นละ 2 ชั่วโมง
วรรณพรใช้เวลาทาสมุดบันทึกเล่มละ 0.5 ชั่วโมงและทากรอบรูปชิ้นละ 1.5 ชั่วโมง
ในหนึ่งวันทั้งสองคนมีเวลาทาสมุดบันทึกและกรอบรูปคนละไม่เกิน 6 ชั่วโมงและตกลงกันไว้ว่าจะ
ผลิตสมุดบันทึกและกรอบรูปให้ได้อย่างน้อยชนิดละ 1 ชิ้นต่อวัน ถ้าสมุดบันทึกขายได้กาไรเล่มละ
10 บาทและกรอบรูปขายได้กาไรชิ้นละ 20 บาท จากเงื่อนไขนี้ฉัตรลดาและวรรณพรจะได้กาไรสูงสุด
วันละเท่าไร จงเขียนแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
24

26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
9. โรงงานแห่งหนึ่งผลิตนมผงและนมอัดเม็ด โดยมีส่วนผสมของนมโคเกรด A และเกรด B ดังตาราง
น้าหนักของนมโคเกรด A น้าหนักของนมโคเกรด B
(กิโลกรัม) (กิโลกรัม)
นมผง ( 1ถุง) 8 2
นมอัดเม็ด ( 1ถุง) 4 6
ในแต่ละวันจะมีพ่อค้านานมโคมาส่งโดยเป็นนมโคเกรด A ปริมาณ 3,200 กิโลกรัมและเกรด B ปริมาณ
3,000 กิโลกรัม เนื่องจากนมอัดเม็ดหนึ่งถุงขายได้กาไรเป็น 2 เท่าของนมผงหนึ่งถุง โรงงานแห่งนี้จึง
ต้องการผลิตนมอัดเม็ดไม่น้อยกว่านมผงและจากัดไม่เกินวันละ 2,300 กิโลกรัม โรงงานแห่งนี้ควรผลิต
นมชนิดละเท่าไรจึงจะขายได้กาไรสูงสุด จงเขียนแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
10. โรงงานแห่งหนึ่งต้องการจัดอาหารกลางวันให้นักเรียน โดยต้องมีคุณค่าทางโภชนาการดังนี้
โปรตีนไม่น้อยกว่า 100 กรัม
คาร์โบไฮเดรตไม่น้อยกว่า 200 กรัม
ไขมันไม่เกิน 70 กรัม
แม่ครัวแนะนาอาหาร 2 ชนิด คือ ชนิด A และชนิด B ซึ่งมีคุณค่าทางโภชนาการดังตาราง
โปรตีน (กรัม) คาร์โบไฮเดรต (กรัม) ไขมัน (กรัม)
ชนิด A (100 กรัม) 6 30 3
ชนิด B (100 กรัม) 10 20 2
ถ้าอาหารชนิด A และชนิด B ปริมาณ 100 กรัม ราคา 40 บาทและ 30 บาทตามลาดับ โรงเรียนควรจัด
อาหารแต่ละชนิดจานวนเท่าไร จึงจะใช้เงินน้อยที่สุดแต่ยังคงได้สารอาหารตามที่กาหนด จงเขียน
แบบจาลองทางคณิตศาสตร์
25

27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด
26

28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
1. สมมติให้โรงงานผลิตอาหารสัตว์ชนิด และชนิด จานวน และ ตันตามลาดับ
และให้ แทนกาไรที่ได้จากการขายอาหารสัตว์ทั้งหมด
ฟังก์ชันจุดประสงค์ คือ
อสมการข้อจากัด คือ
2. ให้ และ แทนจานวนคนงานชายและหญิงที่เจ้าของร้านจ้างในแต่ละวันตามลาดับ
และให้ แทนค่าจ้างที่เจ้าของร้านต้องจ่าย
ฟังก์ชันจุดประสงค์ คือ
อสมการข้อจากัด คือ
3. ให้ และ แทนจานวนโทรศัพท์รุ่น และ ที่บริษัทผลิตในหนึ่งวันตามลาดับ
และให้ แทนรายได้จากการขายโทรศัพท์รุ่น และ ในหนึ่งวัน
ฟังก์ชันจุดประสงค์ คือ
อสมการข้อจากัด คือ
4. ให้ และ แทนจานวนรถบรรทุกขนาดเล็กและขนาดใหญ่ที่เกษตรกรจ้างตามลาดับ
และให้ แทนจานวนส้มที่เกษตรกรส่งไปให้ลูกค้า
ฟังก์ชันจุดประสงค์ คือ
อสมการข้อจากัด คือ
27

29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
5. สมมติให้กลุ่มแม่บ้านผลิตมะขามแก้วและมะขามกวนได้วันละ และ กิโลกรัมตามลาดับ
และให้ แทนรายได้จากการขายมะขามแก้วและมะขามกวนทั้งหมด
ฟังก์ชันจุดประสงค์ คือ
อสมการข้อจากัด คือ
6. ให้ และ แทนจานวนกระเช้าแบบที่ 1 และ 2 ตามลาดับ
และให้ แทนกาไรที่ได้จากการขายกระเช้าทั้งหมด
ฟังก์ชันจุดประสงค์ คือ
อสมการข้อจากัด คือ
7. ให้ และ แทนจานวนนิตยสารบันเทิงและสารคดีที่ห้องสมุดจัดซื้อในแต่ละสัปดาห์ตามลาดับ
และให้ แทนค่าหนังสือทั้งหมด
ฟังก์ชันจุดประสงค์ คือ
อสมการข้อจากัด คือ
8. ให้ และ แทนจานวนโต๊ะและตู้เสื้อผ้าที่โรงงานประกอบได้ในแต่ละวันตามลาดับ
และให้ แทนกาไรที่ได้จากการขายโต๊ะและตู้เสื้อผ้าทั้งหมด
ฟังก์ชันจุดประสงค์ คือ
อสมการข้อจากัด คือ
28

30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
9. สมมติให้แปลงปลูกดอกไม้กว้าง เมตร ยาว เมตร
และให้ แทนค่าใช้จ่ายในการล้อมรั้วทั้งหมด
ฟังก์ชันจุดประสงค์ คือ
อสมการข้อจากัด คือ
29

31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง ทบทวนการเขียนกราฟอสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
1.
2.
30

32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3.
4.
31

33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
5.
6.
32

34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
7.
8.
33

35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
9.
10.
34

36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัดระคน
1. 2.
3. 4.
.
5.
6. ให้ และ แทนปริมาณมันฝรั่งที่นามาจากจังหวัดเชียงรายและชลบุรีตามลาดับ
และให้ แทนราคามันฝรั่งทั้งหมดในแต่ละวัน
ฟังก์ชันจุดประสงค์ คือ
อสมการข้อจากัด คือ
35

37. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
7. สมมติให้นักเรียนคนนี้ซ้อมวิ่ง 100 เมตร และ 200 เมตรเป็นเวลา และ ชั่วโมงตามลาดับ
และให้ แทนสถิติเวลารวมในการซ้อมวิ่งทุกประเภท
ฟังก์ชันจุดประสงค์ คือ
อสมการข้อจากัด คือ
36

38. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
8. ให้ และ แทนจานวนสมุดบันทึกและกรอบรูปที่ทั้งสองคนผลิตได้ในแต่ละวันตามลาดับ
และให้ แทนกาไรที่ได้จากการขายสินค้าทั้งหมด
ฟังก์ชันจุดประสงค์ คือ
อสมการข้อจากัด คือ
9. กาหนดให้โรงงานแห่งนี้ผลิตนมผงและนมอัดเม็ดวันละ และ ถุงตามลาดับ
ให้ แทนกาไรที่ได้จากการขายนมผง 1 กิโลกรัม
และให้ แทนกาไรที่ได้จากการขายนมผงและนมอัดเม็ดในแต่ละวัน
ฟังก์ชันจุดประสงค์ คือ
อสมการข้อจากัด คือ
10. กาหนดให้โรงเรียนจัดอาหารชนิด A และ B ปริมาณ และ กรัมตามลาดับ
และให้ แทนราคาอาหารทั้งหมด
ฟังก์ชันจุดประสงค์ คือ
อสมการข้อจากัด คือ
37

39. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน
38

40. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
39

41. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
40

42. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้
41