63 ลำดับและอนุกรม ตอนที่5_อนุกรม

คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
ลาดับและอนุกรม
(เนื้อหาตอนที่ 5)
อนุกรม
โดย
อาจารย์ ดร. ศันสนีย์ เณรเทียน และอาจารย์ ดร. ไพโรจน์ น่วมนุ่ม

สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง

คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ

สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)

กระทรวงศึกษาธิการ

คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย

สื่อการสอน เรื่อง ลาดับและอนุกรม
สื่อการสอน เรื่อง ลาดับและอนุกรม มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 10 ตอน ซึ่งประกอบด้วย

1. บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม

2. เนื้อหาตอนที่ 1 ลาดับ
- แนวคิดเรื่องลาดับ
- ลาดับเลขคณิต
- ลาดับเรขาคณิต
3. เนื้อหาตอนที่ 2 การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
- การประยุกต์ของลาดับเลขคณิต
- การประยุกต์ของลาดับเรขาคณิต
4. เนื้อหาตอนที่ 3 ลิมิตของลาดับ
- การลู่เข้าและลู่ออกของลาดับ และลิมิตของลาดับ
- ทฤษฎีบทของลิมิตของลาดับ
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ผลบวกย่อย
- ผลบวกย่อย
- ผลบวกย่อยของลาดับเลขคณิต
- ผลบวกย่อยของลาดับเรขาคณิต
6. เนื้อหาตอนที่ 5 อนุกรม
- ความหมายของอนุกรม
- ความหมายของการลู่เข้า การลู่ออก และผลบวกของอนุกรม
- การตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรมเรขาคณิต
- ตัวอย่างการประยุกต์ของอนุกรมเรขาคณิต
7. เนื้อหาตอนที่ 6 ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
- ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
- ความสัมพันธ์ระหว่างการลู่เข้าของลาดับและอนุกรม
1


8. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)

9. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)

10. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)

คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้ สื่อชุดนี้ร่วมกั บการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ล าดับและ
อนุกรม นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อ การสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการ
ไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้าย
ของคู่มือฉบับนี้

2


เรื่อง ลาดับและอนุกรม (การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต)

หมวด เนื้อหา

ตอนที่ 5 (5/6)

หัวข้อย่อย 1. ความหมายของอนุกรม
2. ความหมายของการลู่เข้า การลู่ออก และผลบวกของอนุกรม
3. การตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรมเรขาคณิต
4. ตัวอย่างการประยุกต์ของอนุกรมเรขาคณิต

จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. เข้าใจความหมายของการลู่เข้าและการลู่ออกของอนุกรม
2. สามารถหาผลบวกของอนุกรมได้
3. แก้ปัญหาโจทย์ประยุกต์ของอนุกรมเรขาคณิตได้

ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. อธิบายความหมายของอนุกรมได้
2. อธิบายความหมายของการลู่เข้า การลู่ออกได้
3. อธิบายความหมายของผลบวกของอนุกรมได้
4. ตรวจสอบการลู่เข้าและการลู่ออกของอนุกรมได้
5. หาผลบวกของอนุกรม เมื่ออนุกรมที่กาหนดให้เป็นอนุกรมลู่เข้า ได้
6. ตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรมเรขาคณิตและหาผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตได้
7. แก้ปัญหาโจทย์ประยุกต์ของอนุกรมเรขาคณิตได้

3


เนื้อหาในสื่อการสอน

เนื้อหาทั้งหมด

4


1. ความหมายของอนุกรม

5


1. ความหมายของอนุกรม
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาเกี่ยวกับความหมายของอนุกรม และความหมายของอนุกรมจากัด และ
อนุกรมอนันต์

6


ครูสามารถนาตัวอย่างทั้งสองตัวอย่างที่ผ่านมา มาอธิบายประกอบเพื่อให้ผู้เรียนเข้าใจเกี่ยวกับการนิยามพจน์ที่ n ของ
อนุกรม

7


2. ความหมายของการลู่เข้า การลู่ออก
และผลบวกของอนุกรม

8


2. ความหมายของการลู่เข้า การลู่ออกและผลบวกของอนุกรม
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาเกี่ยวกับความหมายของการลู่เข้า การลู่ออก และผลบวกของอนุกรม โดย
การให้ความหมายดังกล่าวจะใช้ความรู้เรื่องผลบวกย่อย n พจน์แรกของลาดับที่ผู้เรียนได้ศึกษาแล้วในตอนก่อน
หน้า ดังนั้นครูอาจเริ่มต้นด้วยการทบทวนความรู้เกี่ยวกับผลบวกย่อย n พจน์แรกของลาดับ รวมถึงสูตรการหา
ผลบวกย่อย n พจน์แรกของลาดับเลขคณิตและลาดับเรขาคณิตให้ผู้เรียนก่อน คือ

ผลบวกย่อยn พจน์แรกของลาดับเลขคณิต
n
Sn   2a1  (n  1)d  หรือ Sn  n a1  a n 
2 2

เมื่อ a1 คือ พจน์แรก an คือ พจน์ที่ n และ d คือผลต่างร่วม

ผลบวกย่อยn พจน์แรกของลาดับเรขาคณิต
a1 (1  r n )
Sn  เมื่อ r 1
1 r

โดยที่ a1 คือ พจน์แรก และ r คืออัตราส่วนร่วม

ครูเน้นกับผู้เรียนว่าเราสามารถคานวณค่าของผลบวกย่อย n พจน์แรกของลาดับได้เสมอ และเราจะนาจานวนจริงที่ได้มา
เขียนเรียงเป็นพจน์ต่างๆ เป็นลาดับใหม่ ซึ่งจะเรียกว่า ลาดับของผลบวกย่อยนั่นเอง

9


ครูอาจอธิบายผู้เรียนเพิ่มเติมว่า การลู่เข้าและการลู่ออกของอนุกรมนั้น จะพิจารณาในกรณีที่เป็นอนุกรมอนันต์เท่านั้น
เนื่องจากอนุกรมจากัดนั้นจะเป็นอนุกรมที่ลู่เข้า และสามารถหาผลบวกของอนุกรมได้เสมอ และการลู่เข้าและการลู่ออก

10


ของอนุกรมอนันต์จะนิยามโดยพิจารณาการลู่เข้าและการลู่ออกของลาดับของผลบวกย่อย นอกจากนี้ผลบวกของ
อนุกรม (เมื่ออนุกรมเป็นอนุกรมลู่เข้า) จะมีค่าเท่ากับลิมิตของลาดับของผลบวกย่อยนั่นเอง จากนั้นครูอาจลองถาม
คาถามผู้เรียนก่อนที่จะเปิดสื่อต่อไปว่า จากนิยามข้างต้นถ้าผู้เรียนต้องการทราบว่าอนุกรมอนันต์
a1  a 2  a 3   an  เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออกนั้น จะมีขั้นตอนในการตรวจสอบอย่างไร

11


ครูอาจทบทวนหรือใช้คาถามกับผู้เรียนว่าเพราะเหตุใดลาดับ 1, 0, 1, 0, 1, 0, หรือเมื่อเขียนในรูปพจน์
 0 ; เมื่อ n เป็นจานวนคู่
ทั่วไป คือลาดับ Sn= 1 + 1 + + 1)n =  จึงเป็นลาดับลู่ออก
 1 ; เมื่อ n เป็นจานวนคี่

ตัวอย่างทั้งสามต่อไป จะเป็นตัวอย่างของการตรวจสอบการลู่เข้าและการลู่ออกของอนุกรม รวมถึงการหาผลบวกของ
อนุกรม เมื่ออนุกรมเป็นอนุกรมลู่เข้าเช่นเดียวกับตัวอย่างก่อนหน้า ซึ่งผู้เรียนทราบวิธีการในการหาคาตอบแล้ว เพียงแต่
ในการหาลาดับของผลบวกย่อยและหาลิมิตของลาดับของผลบวกย่อยของโจทย์ทั้งสามนี้จะซับซ้อนกว่า ดังนั้นครู
อาจจะต้องมีการอธิบายซ้าในแต่ละตัวอย่างให้กับผู้เรียนอีกครั้งหลังจากดูสื่อแต่ละข้อ หรืออาจลองให้ผู้เรียนได้หาลาดับ
ของผลบวกย่อย หรือหาลิมิตของลาดับของผลบวกย่อยด้วยตนเองในแต่ละข้อก่อนที่จะเปิดสื่อก็ได้

12


หลังจากจบตัวอย่างที่ 3 ครูควรเน้นย้ากับผู้เรียนเกี่ยวกับการตรวจสอบการลู่เข้าและการลู่ออกของอนุกรม จะต้อง
พิจารณาจากลาดับของผลบวกย่อยเป็นหลัก มิเช่นนั้นอาจเกิดความคลาดเคลื่อนเช่นเดียวกับตัวอย่างการตรวจสอบ
การลู่เข้าของลาดับ 1, 0, 1, 0, 1, 0,

13


แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง ความหมายของการลู่เข้า การลู่ออกและผลบวกของอนุกรม
1. จงหาลาดับของผลบวกย่อยของอนุกรมต่อไปนี้

1.1 81  27  9  3   35 n 

1.2 1  5  25  125   5n 1 

n 1
12 48 192 4
1.3 3      3(1) n   
5 25 125 5

n 1
7 7 7 7 7 1
1.4        
6 24 96 384 6 4

n 1
16 8 16  3 
1.5  46    
9 3 9 2

1.6 100  85  70  55   (115  15n) 

19 9 29  5n
1.7 12  7   
2 2 2

1.8 22  42  62  82   (2n)2 

1.9 343  49  7  1   (1)n 1 74n 

1.10 1  2  7  14   (n 2  2) 

1.11 216  36  6  1   64 n 

14


1.12 1  4  21  56   (n 3  2n) 

2. อนุกรมในข้อ 1 อนุกรมใดบ้างที่เป็นอนุกรมลู่เข้าและมีผลบวกเป็นเท่าใด

15



16


ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาเกี่ยวกับการตรวจสอบการลู่เข้าและการลู่ออกของอนุกรมเรขาคณิต ซึ่งมี
วิธีการพิจารณาโดยการสังเกตจากอัตราส่วนร่วม รวมถึงทราบสูตรผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต ซึ่งในสื่อนี้จะ
นาเสนอโดยละการพิสูจน์

ครูอาจอธิบายเพิ่มเติมเพื่อให้ผู้เรียนเข้าใจมากขึ้นโดยการแสดงที่มาของทั้งสองกรณีข้างต้นได้ โดยแยกพิจารณา
เป็นกรณีดังนี้

กาหนดให้อนุกรมเรขาคณิตที่มี a1 เป็นพจน์แรก และมี r เป็นอัตราส่วนร่วม นั่นคือ อนุกรมเรขาคณิต
a 1  a 1r  a 1r 2   a 1r n  และเนื่องจากอนุกรมเป็นอนุกรมที่เกิดจากลาดับเรขาคณิต ดังนั้น a1  0

กรณีที่ 1 เมื่อ | r | = 1 จะได้ว่า r = 1 หรือ r = 1

ถ้า r = 1 จะได้อนุกรมเรขาคณิต a1  a1  a1   a1  เมื่อพิจารณาลาดับของผลบวกย่อย จะได้
ว่า ลาดับผลบวกย่อย คือ ลาดับ a1 , 2a1 , 3a1 , , na1 , และ n  na1 ไม่มีค่า ดังนั้นอนุกรมเรขาคณิตนี้เป็น
lim

อนุกรมลู่ออก

ถ้า r = 1 จะได้อนุกรมเรขาคณิต a1  (a1 )  a1  (a1 )  เมื่อพิจารณาลาดับของผลบวกย่อย จะได้ว่า
ลาดับผลบวกย่อย คือ ลาดับ a1 , 0, a1 , 0, a1, และลิมิตของลาดับผลบวกย่อยไม่มีค่า ดังนั้นอนุกรมเรขาคณิต
นี้เป็นอนุกรมลู่ออก

17


กรณีที่ 2 เมื่อ | r |  1 จะได้ว่าผลบวกย่อย n พจน์แรกของลาดับเรขาคณิตหาได้จาก

a1 (1  r n ) a1  a1  n
Sn    r
1 r 1 r  1 r 

พิจารณาลิมิตของลาดับของผลบวกย่อย

ถ้า | r | < 1 จะได้ว่า n r n  0 ทาให้ได้ว่า
lim

a1  a  a1
lim Sn  lim   1  rn 
n  n  1 r  1 r  1 r

a1
ดังนั้นอนุกรมเรขาคณิตเป็นอนุกรมลู่เข้า และผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตเท่ากับ
1 r

a1  a 
ถ้า | r | > 1 จะได้ว่า lim Sn  lim   1  rn ไม่มีค่า ดังนั้นอนุกรมเรขาคณิตเป็น
n  n  1 r  1 r 
อนุกรมลู่ออก

18


ผู้สอนอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติม เพื่อให้ผู้เรียนเข้าใจทฤษฎีบทในการตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรม
เรขาคณิตมากขั้น ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1 อนุกรมเรขาคณิตแบบอนันต์ชุดหนึ่งมีพจน์แรกคือ 2 และมีผลบวกของอนุกรมเท่ากับ 4 จงหา
อัตราส่วนร่วมของอนุกรมนี้

วิธีทา ให้ S แทนผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต

จากโจทย์ S = 4 และ a1  2

a1
จาก S =
1 r

2
4 =
1 r

4 (1 – r ) = 2
1
r = #
2

19


ตัวอย่างที่ 2 อนุกรมเรขาคณิตแบบอนันต์ชุดหนึ่ง มีพจน์ที่สองเท่ากับ 9 และมีผลบวกของอนุกรมเท่ากับ 100

จงหาอนุกรมเรขาคณิตนี้

วิธีทา ให้อนุกรม a1  a1r  a1r 2  a1r 3   a1r n 1  เป็นอนุกรมเรขาคณิต และมีผลบวกของอนุกรม
เท่ากับ 100
9 a1
จากโจทย์ จะได้ a 1r  9 หรือ a1  และ 100 
r 1 r

9
จะได้ 100  r หรือ 100r 2  100r  9  0
1 r

(10r  9)(10r  1)  0

9 1
r= หรือ r=
10 10

9
กรณี r = จะได้ a1  10
10

1
กรณี r = จะได้ a1  90
10

n 1
 9 
ดังนั้น อนุกรมเรขาคณิตที่โจทย์ต้องการ คือ อนุกรม 10  9  81   10    หรือ
10  10 

n 1
9  1
อนุกรม 90  9    90    #
10  10 

20


เรื่อง การตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรมเรขาคณิต
อนุกรมเรขาคณิตที่กาหนดให้ต่อไปนี้ อนุกรมใดเป็นอนุกรมลู่เข้า หรือ อนุกรมลู่ออก พร้อมหาผลบวกของ
อนุกรม (ถ้ามี)

1. 125  25  5  1   54  n 

1
2. 100  10  1    (10)3 n 
10

1 4 16 64 4n 1
3.      
3 3 3 3 3

n 1
 5
4. 8  20  50  125   8   
 2

3 3 3 3 (1) n 1 3
5.      
4 16 64 256 4n

n 1
3 3  1
6. 15  3     15    
5 25  5

n 1
27 81 3
7. 15  9     15   
5 25 5

1 7 49 343 7 n 1
8.      
6 6 6 6 6

9. 6  36  216  1296   (1)n 1 6n 

n 1
2 3 3 3 9 3 2 3
10.        
3 2 8 32 34
21


4. ตัวอย่างการประยุกต์ของอนุกรมเรขาคณิต

22


เรื่อง ตัวอย่างการประยุกต์ของอนุกรมเรขาคณิต
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะแก้ปัญหาโจทย์ประยุกต์ของอนุกรมเรขาคณิตโดยใช้ความรู้จากหัวข้อการตรวจสอบ
การลู่เข้าของอนุกรมเรขาคณิต การทำโจทย์แต่ละข้อ ครูอาจเริ่มด้วยการเปิดสื่อเฉพาะส่วนของโจทย์ก่อน แล้วให้
ผู้เรียนวิเคราะห์สิ่งที่โจทย์กาหนดให้และสิ่งที่โจทย์ถาม รวมถึงลองหาแนวทางการแก้ปัญหาด้วยตนเองก่อน จึง
จะเปิดสื่อต่อไป

ครูอาจยกตัวอย่างโจทย์ประยุกต์เพิ่มเติมเกี่ยวกับทศนิยมซ้า ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนทศนิยมซ้า 4.7 ให้อยู่ในรูปเศษส่วน

วิธีทา จาก 4.7 = 4.777...

= 4  0.7  0.07  0.007 
23


พิจารณาอนุกรม 0.7  0.07  0.007 

จะเห็นว่า เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี a1  0.7 และ r  0.1

เนื่องจาก | r | < 1 อนุกรมนี้จึงเป็นอนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกเท่ากับ
a1 0.7 7
S = = =
1 r 1  0.1 9

7
ดังนั้น 4.7 = 4
9

43
= #
9

ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนทศนิยมซ้า 0.316 ให้อยู่ในรูปเศษส่วน

วิธีทา จาก 0.316 = 0.3161616...

= 0.3  0.016  0.00016  0.0000016 

พิจารณาอนุกรม 0.016  0.00016  0.0000016 

จะเห็นว่า เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี a1  0.016 และ r  0.01

เนื่องจาก | r | < 1 อนุกรมนี้จึงเป็นอนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกเท่ากับ
a1 0.016 0.016 16
S = = = =
1 r 1  0.01 0.99 990

16
ดังนั้น 0.316 = 0.3 
990

3 16
= 
10 990

313
= #
990
24


25


26


1. จงหาค่าของ x ที่ทาให้อนุกรม 1  3x  9x 2  27x 3  เป็นอนุกรมลู่เข้าและมีผลบวกของอนุกรม
4
เท่ากับ
9

n
1 1 1 1  1
2. จงหาค่า x ที่ทาให้อนุกรม   x  3   x  3   x  3   x  3      x  3 
2 3 4 n

2 4 8 16  2

เป็นอนุกรมลู่เข้า รวมทั้งหาผลบวกของอนุกรมนี้

3. จงเขียนทศนิยมซ้าต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปเศษส่วน

3.1 1.7 3.2 0.81 3.3 5.231

4. รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่งมีด้านยาวด้านละ a หน่วย รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่สองเกิดจากการลากส่วนของ
เส้นตรงเชื่อมจุดกึ่งกลางด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปแรก รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่สามเกิดจากการลากส่วนของ
เส้นตรงเชื่อมจุดกึ่งกลางด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่สอง และสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเช่นนี้เรื่อยๆ ไป จงหา
ผลบวกของความยาวของเส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมด ถ้ากระบวนการเกิดอย่างต่อเนื่องไม่มีสิ้นสุด
3
5. ลูกปิงปองตกจากโต๊ะสูง 5 ฟุต ถ้าทุกครั้งที่ลูกปิงปองตกกระทบพื้นจะกระดอนขึ้นเป็นระยะ ของความสูงที่
5
ตกลงมา จงหาระยะทางทั้งหมดที่ลูกปิงปองเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง

27


สรุปสาระสาคัญประจาตอน

28


29


ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม

30


เนื้อหาเพิ่มเติม
ครูอาจกล่าวถึงเนื้อหาเพิ่มเติมสาหรับผู้เรียนที่สนใจศึกษาในเรื่องอนุกรมในระดับอุดมศึกษาเพื่อให้เห็น
ความสัมพันธ์ของเนื้อหา เริ่มต้นที่การนิยามหรือการให้ความหมายอนุกรมจะมีความแตกต่างจากระดับ
มัธยมศึกษา กล่าวคือ ความหมายของอนุกรมในระดับมัธยมศึกษานั้น อนุกรมจะนิยามเป็นการเขียนแสดงผลบวก
ของพจน์ทุกพจน์ของลาดับ ขณะที่ในระดับอุดมศึกษาความหมายของอนุกรมนั้น อนุกรมเป็นลาดับชนิดหนึ่ง คือ
เป็นลาดับของผลบวกย่อย โดยนิยามดังนี้

นิยาม ให้ an เป็นลาดับของจานวนจริง และ
S 1 = a1

S 2 = a1 + a 2

S 3 = a1 + a 2 + a3

n
Sn= a1 + a2 + a3 + + an =  a k
k 1

เราเรียก Sn ว่า ผลบวกย่อย n พจน์แรกของลาดับ an และเรียกลาดับ Sn ว่าอนุกรมอนันต์ของจานวนจริง (หรือเรียก

สั้นๆ ว่า อนุกรม) ซึ่งจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  a n หรือ a1  a 2  a 3   an 
n 1

31


แบบฝึกหัดระคน
1. อนุกรมที่กาหนดให้ต่อไปนี้ อนุกรมใดเป็นอนุกรมลู่เข้าพร้อมหาผลบวกของอนุกรม หรือ เป็นอนุกรมลู่ออก
n 1
16 32  2
1. 1 12  8     12    
3 9  3

n 1
15 3 3 12 15  4 
1.2        
16 4 5 25 16  5 

n 1
27  3
1.3 100  30  9    100    
10  10 

n 1
125 5
1.4 16  20  25    16   
4 4

1 1 1 1
1.5      3n 5 
81 27 9 3

n 1
6 12 24  2
1.6 3     3   
7 49 343  7

35 34 37  n
1.7 12    11   
3 3 3

1.8 2  1  6  13   (n 2  3) 

1 5 7 2n  1
1.9 1    
3 3 3 3

2 2 2 2
1.10 2      
  1  2  1  2 
n 1
1 2 1 2
2 3

n 1
  2 3 
1.11 1      
3 9 27 3

1  cos 37   cos 37    cos 37    cos 37 
n 1
1.12
2 3
 

32


2 3 n 1
a  a   a   a 
1.13 1         เมื่อ a เป็นจานวนจริงที่มากกว่าศูนย์
a 1  a 1   a 1   a 1 

x
2. จงหาค่าของ x ที่ทาให้อนุกรม 2x  2x  x   เป็นอนุกรมลู่เข้าและมีผลบวกของอนุกรม
2

เท่ากับ 16

2x 22x 23x
3. ถ้าอนุกรม 1     มีผลบวกของอนุกรมเท่ากับ 9 แล้ว

1  2x 1  2x   
2 3
1  2x

log 9 x   log 9 x    log 9 x    log 9 x   มีค่าเท่าใด
2 3 4

4. จงหาค่า a และ r เมื่อ
1
a  ar  ar 2  ar 3   ar n 1  =
3

1
a  ar  ar 2  ar 3   (1)n 1ar n 1  =
9

5. จงเขียนทศนิยมซ้าต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปเศษส่วน

5.1 3.8 5.2 0.2 7 5.3 1.5 3 6

6. รูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปหนึ่งมีด้านยาวด้านละ p หน่วย รูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่สองเกิดจากการลากส่วน
ของเส้นตรงเชื่อมจุดกึ่งกลางด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปแรก รูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่สามเกิด
จากเกิดจากการลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุดกึ่งกลางด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่สอง และสร้าง
รูปสามเหลี่ยมเช่นนี้เรื่อยๆ ไป จงหาผลบวกของความยาวของเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าทั้งหมด ถ้า
กระบวนการเกิดอย่างต่อเนื่องไม่มีสิ้นสุด

33


2
7. ปล่อยลูกแทนนิสจากความสูง 10 ฟุต ลูกเทนนิสกระดอนขึ้นมา ของความสูงเดิมในแต่ละครั้ง
3

จงหาระยะเคลื่อนที่ทั้งหมดในแนวตั้งของลูกเทนนิส

34


ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด

35


เรื่อง ความหมายของการลู่เข้า การลู่ออก และผลบวกของอนุกรม
243   1  
n
1 n
1. 1. 1 ลาดับ 1     1.2 ลาดับ 5  1
2  3
 
 4 

5  4   14   1  
n n

1.3 ลาดับ     1 1.4 ลาดับ 1     
3  5 
 
 15   4  
 

32   3  
n

1.5 ลาดับ 1     1.6 ลาดับ n  215  15n 
9  2
 
 2

1.7 ลาดับ n 53  5n  1.8 ลาดับ 2
n(n  1)(2n  1)
4 3

2401   1   n(n  1)(2n  1)
n

1.9 ลาดับ 1      1.10 ลาดับ  2n
8   7
 
 6

  n

1.11 ลาดับ 1296 1   1 
   1.12 ลาดับ 1  n 4  2n 3  7n 2  4n 
5 
 6 
 4

2. อนุกรมในข้อ 1 ที่เป็นอนุกรมลู่เข้า ได้แก่
243
อนุกรมในข้อ 1.1 และมีผลบวกของอนุกรมเป็น
2

อนุกรมในข้อ 1.3 และมีผลบวกของอนุกรมเป็น  5
3

อนุกรมในข้อ 1.4 และมีผลบวกของอนุกรมเป็น 14
15

2401
อนุกรมในข้อ 1.9 และมีผลบวกของอนุกรมเป็น
8

อนุกรมในข้อ 1.11 และมีผลบวกของอนุกรมเป็น 1296
5

36


เรื่อง การตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรมเรขาคณิต
625
1. อนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกของอนุกรมเป็น
4

2. อนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกของอนุกรมเป็น 1, 000
11

3. อนุกรมลู่ออก

3
5

75
6

75
2



8 3
3

5
1. x มีค่าเท่ากับ
12

37


2. ค่า x ที่ทาให้อนุกรมที่กาหนดลู่เข้า คือ x  (1,5)

3 x
และอนุกรมที่กาหนดมีผลบวกของอนุกรมเท่ากับ
x 1

5,179
3. 3.1 16 3.2 9
3.3
9 11 990

4. 8  4 2  a หน่วย
5. 20 ฟุต

เฉลยแบบฝึกหัดระคน
36
1. 1.1 อนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกของอนุกรมเป็น
5
75
1.2 อนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกของอนุกรมเป็น
16
1, 000
13
1.4 อนุกรมลู่ออก
7
3
1.10 อนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกของอนุกรมเป็น 6  4 2
1.12 อนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกของอนุกรมเป็น 5
1.13 อนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกของอนุกรมเป็น a  1
2. 84 2

1
3.
3

38


1 1
4. a = และ r =
6 2

35 3 169
5. 5.1 5.2 5.3
9 11 110

6. 6p หน่วย

7. 50 ฟุต

39


รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน

40


รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน

เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย
(การหารลงตัวและตัวหารร่วมมาก)
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์

41


ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม

42


การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
การนับเบื้องต้น
.
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้

43

63 ลำดับและอนุกรม ตอนที่5_อนุกรม

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (20)

Similar a 63 ลำดับและอนุกรม ตอนที่5_อนุกรม

Similar a 63 ลำดับและอนุกรม ตอนที่5_อนุกรม (20)

Más de กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์

Más de กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์ (20)

63 ลำดับและอนุกรม ตอนที่5_อนุกรม