1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
(เนื้อหาตอนที่ 1)
บทนา (เนื้อหา)
โดย
อาจารย์ ดร.รตินันท์ บุญเคลือบ
สื่อการสอนชุดนี้ เกิดจากความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย และ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง สถิตและการวิเคราะห์ข้อมูล
ิ
สื่อการสอน เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 27 ตอน
ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
2. เนื้อหาตอนที่ 1 บทนา (เนื้อหา)
- ความหมายของสถิติ
- ข้อมูลและการนาเสนอข้อมูล
- การสารวจความคิดเห็น
3. เนื้อหาตอนที่ 2 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
- ค่ากลางของข้อมูล
4. เนื้อหาตอนที่ 3 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
- แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง
5. เนื้อหาตอนที่ 4 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
- ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
- มัธยฐาน
- ฐานนิยม
- ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต
- ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิก
6. เนื้อหาตอนที่ 5 การกระจายของข้อมูล
- ตาแหน่งของข้อมูล
7. เนื้อหาตอนที่ 6 การกระจายสัมบูรณ์ 1
- การกระจายสัมบูรณ์และการกระจายสัมพัทธ์
- พิสัย (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)
- ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)
- ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)
8. เนื้อหาตอนที่ 7 การกระจายสัมบูรณ์ 2
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)
- ความแปรปรวน
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
9. เนื้อหาตอนที่ 8 การกระจายสัมบูรณ์ 3
- พิสัย (ข้อมูลแจกแจงความถี่)
- ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (ข้อมูลแจกแจงความถี่)
- ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (ข้อมูลแจกแจงความถี่)
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ข้อมูลแจกแจงความถี่)
10. เนื้อหาตอนที่ 9 การกระจายสัมพัทธ์
- สัมประสิทธ์พิสัย
- สัมประสิทธ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์
- สัมประสิทธ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
- สัมประสิทธ์ของความแปรผัน
11. เนื้อหาตอนที่ 10 คะแนนมาตรฐาน
- คะแนนมาตรฐาน
- การแจกแจงปกติ
12. เนื้อหาตอนที่ 11 ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
- ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล
13. เนื้อหาตอนที่ 12 ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
- ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของข้อมูลที่อยู่ในรูปอนุกรมเวลา
14. เนื้อหาตอนที่ 13 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
- โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
15. เนื้อหาตอนที่ 14 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
- โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
16. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
17. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
18. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 3)
19. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 4)
20. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 5)
21. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
22. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การนาเสนอข้อมูล
23. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การวัดค่ากลางของข้อมูล
24. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การวัดการกระจายของข้อมูล
25. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การแจกแจงปกติ
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
26. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ความสัมพันธ์เชิงเส้นตรง
27. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ความสัมพันธ์เชิงพาราโบลาและความสัมพันธ์เชิงชี้กาลัง
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอน
สาหรับครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่
คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชา
คณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล (บทนา (เนื้อหา))
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 1 (1/14)
หัวข้อย่อย 1. ความหมายของสถิติ
2. ข้อมูลและการนาเสนอข้อมูลแบบต่างๆ
3. การสารวจความคิดเห็น
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. เข้าใจความหมายของสถิติและข้อมูล
2. เข้าใจวิธีการนาเสนอข้อมูลในแบบต่างๆ ตลอดจนตีความข้อมูลที่ถูกนาเสนอได้อย่างถูกต้อง
เห็นความสาคัญของการนาเสนอข้อมูลแบบต่างๆ และเลือกใช้การนาเสนอข้อมูลแบบต่างๆ ให้
เหมาะสม
3. เข้าใจวิธีการสารวจความคิดเห็น เห็นความสาคัญของการสารวจความคิดเห็นและสามารถสร้าง
แบบสอบถามที่ดีและเหมาะในการสารวจความคิดเห็น
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. อธิบายความหมายของสถิติ ตลอดจนจาแนกแยกจาพวกข้อมูลชนิดต่างๆ ได้
2. อธิบายขั้นตอนการนาเสนอข้อมูลแบบต่างๆ มีกาหนดข้อมูลมาให้ ตลอดจนตีความข้อมูลที่
ถูกนาเสนอได้
3. เลือกใช้วิธีการนาเสนอข้อมูลได้อย่างเหมาะสม
4. อธิบายขั้นตอนการสร้างตลอดจนสร้างแบบสอบถามที่ดีและเหมาะในการสารวจความ
คิดเห็นได้
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
เนื้อหาทั้งหมด
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ความหมายของสถิติ
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ความหมายของสถิติ
สื่อตอนนี้เป็นตอนแรกของเรื่องสถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล จึงมุ่งที่จะอรรถาธิบายภาพรวมของเนื้อหาทั้งหมดที่
ผู้จัดทาสื่อได้เรียบเรียงเอาไว้ทั้ง 14 ตอน อีกทั้งพยายามชักจูงให้นักเรียนเห็นความสาคัญของสถิติในการช่วย
กาหนดนโยบายหรือปรับปรุงการดาเนินการขององค์กรต่างๆ ตลอดจนวิเคราะห์ข้อมูลที่องค์กรต่างๆ สนใจเพื่อ
นาไปสู่การตีความว่าข้อมูลที่ได้มานี้มีนัยสาคัญอย่างไรบ้าง ทั้งนี้เนื้อหาส่วนหนึ่งในสื่อตอนนี้ รวมทั้งเนื้อหาที่ได้
นามาเรียบเรียงเป็นข้อมูลประกอบสื่อตอนนี้มาจากตาราสถิติเพื่อการวิจัยทางวิทยาศาสตร์ ของ รองศาสตราจารย์
ดร.ภัทรสินี ภัทรโกศล โดยสานักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย พิมพ์ครั้งที่ 1 พ.ศ. 2550
ในช่วงนี้ได้ยกตัวอย่างข้อสงสัยต่างๆ ที่สามารถหาคาตอบได้ด้วยวิธีการทางสถิติ
ในตอนนี้นักเรียนอาจยังไม่แน่ใจว่าวิธีการทางสถิติจะช่วยไขปัญหาที่ได้ถามไว้ข้างต้นได้อย่างไร ครูควรเตือน
นักเรียนว่าให้จดจาปัญหาเหล่านี้ไว้ก่อน ครั้นเมื่อพอได้เรียนเนื้อหาของสื่อเรื่องสถิติและการวิเคราะห์ข้อมูลหมด
ทั้ง 14 ตอนแล้ว ลองย้อนกลับมาพิจารณากันอีกครั้งว่าสิ่งที่นักเรียนได้เรียนไปทั้งหมดนั้นเพียงพอจะตอบคาถาม
เหล่านี้ได้หรือไม่ และตอบได้อย่างไร
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ต่อมาได้ให้ความหมายของสถิติ และกระบวนการทางสถิติ
จากนั้นได้เน้นลงไปที่การสุ่มตัวอย่างจากประชากรทั้งหมดที่สนใจ
เพื่อนาไปสู่ความหมายของสถิติเชิงพรรณนา (Descriptive statistics) และสถิติเชิงอนุมาน (Inferential statistics)
ซึ่งเป็นการจาแนกประเภทของสถิติตามลักษณะของการวิเคราะห์
ชวนคิด 1 เมื่อถึงตอนนี้ครูอาจให้นักเรียนช่วยกันหาความหมายของคาว่า “อนุมาน” จากพจนานุกรม เพื่อ
ตรวจสอบว่าความหมายตามพจนานุกรม และความหมายที่นักเรียนเข้าใจจากการอธิบายตัวอย่างในสื่อนี้
สอดคล้องกันหรือไม่
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
หลังจากอธิบายการจาแนกประเภทของสถิติตามลักษณะของการวิเคราะห์แล้ว สื่อได้ยกตัวอย่างของสถิติทั้งสอง
ประเภทเพื่อให้นักเรียนเห็นภาพที่ชัดเจนขึ้น
ชวนคิด 2 ครูอาจให้นักเรียนช่วยกันยกตัวอย่างข้อความที่เกี่ยวข้องกับสถิติจากหนังสือพิมพ์หรือนิตยสาร แล้ว
ช่วยกันอภิปรายว่าเป็นสถิติพรรณา หรือสถิติอนุมาน หากเป็นสถิติอนุมาน ให้นักเรียนช่วยกันตอบด้วยว่าอะไรคือ
ตัวอย่าง อะไรคือประชากร
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. ข้อมูลและการนาเสนอข้อมูล
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. ข้อมูลและการนาเสนอข้อมูล
หลังจากที่นักเรียนเข้าใจความหมายของสถิติ ตลอดจนแยกแยะความแตกต่างของสถิติพรรณนา และสถิติอนุมาน
ได้แล้ว สื่อได้นาเสนอกระบวนการทางสถิติโดยเริ่มจากขั้นแรกคือการเก็บรวมรวมข้อมูล ดังนั้นสิ่งที่ต้องรู้จักเป็น
อย่างดีเสียก่อนคือ ข้อมูล
ชวนคิด 3 จากตัวอย่างที่นักเรียนช่วยกันยกในชวนคิด 2 ครูควรให้นักเรียนย้อนกลับไปคิดแยกแยะว่าสิ่งใดคือ
ข้อมูลในตัวอย่างเหล่านั้น
หลังจากที่นักเรียนเข้าใจความหมายของข้อมูลแล้ว จึงเริ่มอธิบายการจาแนกแยกจาพวกข้อมูลเป็นประเภทต่างๆ
ทั้งนี้การจาแนกมีได้หลายแบบ ในชั้นต้นนี้ได้จาแนกข้อมูลตามวิธีการเก็บรวบรวม
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ชวนคิด 4 จากตัวอย่างที่นักเรียนช่วยกันยกในชวนคิด 2 ครูควรให้นักเรียนย้อนกลับไปคิดแยกแยะว่าข้อมูลจาก
ตัวอย่างเหล่านั้นเป็นข้อมูลปฐมภูมิ หรือข้อมูลทุติยภูมิ โดยให้นักเรียนบอกเหตุผลประกอบ และหากเป็นข้อมูล
แบบทุติยภูมิ ให้ระบุที่มาของข้อมูลด้วย
หลังจากที่นักเรียนเข้าใจการจาแนกแยกจาพวกข้อมูลตามวิธีการเก็บรวบรวมแล้วครูควรย้าว่าการใช้ข้อมูลทั้งสอง
แบบนี้มีปัญหาหรือข้อเสียอยู่บ้าง ดังนั้นการเลือกใช้ข้อมูล หรือการเลือกวิธีการเก็บรวบรวมข้อมูลที่นักเรียนอาจ
ได้นาไปใช้ในชีวิตจริงนั้นจึงขึ้นอยู่กับปัจจัยหลายประการ
ชวนคิด 5 ให้นักเรียน (อาจแบ่งเป็นกลุ่ม) ยกข้อมูลที่สนใจจะสารวจมาข้อมูลหนึ่ง แล้วทาการเก็บรวบรวมแบบ
ปฐมภูมิโดยครูกาหนดตัวอย่างหรือประชากรที่ต้องการสารวจข้อมูลมาให้ จากนั้นให้ช่วยนาเสนอปัญหาในการ
เก็บรวบรวมข้อมูลแบบปฐมภูมิที่นักเรียนได้เผชิญ
ชวนคิด 6 ให้นักเรียน (อาจแบ่งเป็นกลุ่ม) ยกข้อมูลที่สนใจจะสารวจมาข้อมูลหนึ่ง แล้วทาการเก็บรวบรวมแบบ
ทุติยภูมิโดยครูอาจช่วยแนะแหล่งข้อมูลที่นักเรียนจะไปนามา จากนั้นให้ช่วยนาเสนอปัญหาในการเก็บรวบรวม
ข้อมูลแบบทุติยภูมิที่นักเรียนได้เผชิญ
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ต่อมาได้จาแนกแยกจาพวกข้อมูลตามลักษณะของข้อมูลออกเป็นข้อมูลเชิงปริมาณ และข้อมูลเชิงคุณภาพ
ตลอดจนยกตัวอย่างข้อมูลทั้งสองประเภทนี้
ชวนคิด 7 จากตัวอย่างที่นักเรียนช่วยกันยกในชวนคิด 2 ครูควรให้นักเรียนย้อนกลับไปคิดแยกแยะว่าข้อมูลจาก
ตัวอย่างเหล่านั้นเป็นข้อมูลเชิงปริมาณ หรือข้อมูลเชิงคุณภาพ โดยให้นักเรียนบอกเหตุผลประกอบคาตอบ
นอกจากนี้ยังอาจจาแนกแยกจาพวกข้อมูลตามรูปแบบข้อมูล ได้เป็นข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่ และข้อมูลที่
แจกแจงความถี่แล้ว อย่างไรก็ดีข้อมูลที่แจกแจงความถี่เป็นรายข้อมูลนั้น หากมีข้อมูลหลายตัวจะทาให้ตารางแจก
แจงความถี่เยิ่นเย้อ โดยปกติจึงใช้การกาหนดข้อมูลเป็นช่วงๆ แล้วพิจารณาว่าข้อมูลในช่วงนั้นมีอยู่กี่ตัว จึงได้เป็น
ข้อมูลที่แจกแจงความถี่ในรูปอันตรภาคชั้น และกล่าวได้ว่าหากพิจารณาข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว จะหมายถึง
ข้อมูลที่แจกแจงความถี่ในรูปอันตรภาคชั้นนั่นเอง สาหรับการวิเคราะห์ข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่ และข้อมูล
ที่แจกแจงความถี่ในรูปอันตรภาคชั้นมีขั้นตอนที่แตกต่างกันอยู่บ้าง ซึ่งสื่อเรื่องสถิติและการวิเคราะห์ข้อมูลในตอน
ต่อๆ ไปได้อรรถาธิบายไว้โดยพิสดาร
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เมื่อเข้าใจความหมายของข้อมูลตลอดจนการจาแนกแยกจาพวกข้อมูลในแบบต่างๆ เป็นอย่างดีแล้ว สื่อจึงได้
อธิบายกระบวนการทางสถิติอีกขั้นหนึ่ง คือการนาเสนอข้อมูล ทั้งนี้ได้ข้ามขั้นตอนการวิเคราะห์ข้อมูลไปก่อน
เพราะจะนามาอธิบายขยายความในสื่อเรื่องสถิติและการวิเคราะห์ข้อมูลตอนต่อๆ ไป
เมื่อเห็นถึงความสาคัญของการนาเสนอข้อมูล ตลอดจนทราบปัจจัยในการเลือกวิธีการนาเสนอข้อมูลแล้ว สื่อจึงได้
แบ่งวิธีการนาเสมอข้อมูลออกเป็นสองแบบ คือไม่เป็นแบบแผน และเป็นแบบแผน ตลอดจนยกตัวอย่างการ
นาเสนอข้อมูลทั้งสองรูปแบบนี้
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ทั้งนี้ครูควรเน้นย้าว่านักเรียนได้รู้จักการนาเสนอข้อมูลในรูปแบบแผนภูมิและแผนภาพต่างๆ ตั้งแต่มัธยมศึกษา
ตอนต้นแล้ว หากใครหลงลืมขอให้กลับไปทบทวน
ชวนคิด 8 ครูอาจให้นักเรียนช่วยกันยกตัวอย่างการนาเสนอข้อมูลแบบต่างๆ จากหนังสือพิมพ์หรือนิตยสาร แล้ว
ช่วยกันอภิปรายว่าการนาเสนอข้อมูลที่เลือกมานั้นเป็นแบบไม่มีแบบแผน หรือเป็นแบบมีแบบแผน หากเป็นแบบ
มีแบบแผนให้ระบุว่าเป็นแผนภูมิแท่ง แผนภูมิวงกลม แผนภูมิรูปภาพ หรือแผนภูมิเส้น
เมื่อมาถึงตอนนี้เพื่อให้แน่ใจว่านักเรียนสามารถตีความสิ่งต่างๆ ที่ปรากฏในการนาเสนอข้อมูลในรูปแผนภูมิหรือ
แผนภาพได้อย่างถูกต้อง ครูอาจยกตัวอย่างนี้เพิ่มเติม
ตัวอย่าง 1 แผนภูมิวงกลมนี้แสดงจานวนนักเรียนทั้งหมด 400 คนของโรงเรียนแห่งหนึ่งจาแนกตามคะแนนสอบ
วิชาภาษาไทย
1
5 14%
26%
2
17%
4
3
23%
20%
โดย 1 คือ นักเรียนที่ได้คะแนน 1 20
2 คือ นักเรียนที่ได้คะแนน 21 40
3 คือ นักเรียนที่ได้คะแนน 41 60
4 คือ นักเรียนที่ได้คะแนน 61 80
5 คือ นักเรียนที่ได้คะแนน 81 100
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
จากแผนภาพจะเห็นว่าแต่ละส่วนคือร้อยละของนักเรียนที่ได้คะแนนในแต่ละช่วง ซึ่งสรุปเป็นตารางได้ดังนี้
คะแนน จานวนนักเรียน (คน)
1 20 0.14 400 56
21 40 0.17 400 68
41 60 0.20 400 80
61 80 0.23 400 92
81 100 0.26 400 104
ซึ่งเมื่อได้จานวนนักเรียนในช่วงคะแนนต่างๆ แล้วก็ทราบรายละเอียดของข้อมูลมากขึ้น เช่น นักเรียนที่สอบ
ได้คะแนนมากกว่า 40 คะแนน มีอยู่ 80 92 104 276 คน เป็นต้น
ตัวอย่าง 2 จากการสารวจนักเรียนกลุ่มหนึ่งจานวน 100 คน ได้ข้อมูลว่านักเรียนสวมรองเท้าเบอร์ต่างๆ กัน
ดังนี้
4 5 6 7 8 9 เบอร์รองเท้า
เมื่อเลือกนักเรียนมาหนึ่งคนจากนักเรียนกลุ่มนี้ ความน่าจะเป็นที่จะเลือกได้นักเรียนที่ไม่สวมรองเท้าเบอร์ 5
เป็นเท่าใด
วิธีทา จากแผนภาพจะได้ว่า นักเรียนที่ไม่สวมรองเท้าเบอร์ 5 มีอยู่ 100 12 88 คน
88
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะเลือกได้นักเรียนที่ไม่สวมรองเท้าเบอร์ 5 เป็น 0.88
100
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. การสารวจความคิดเห็น
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. การสารวจความคิดเห็น
ในตอนนี้ได้กล่าวถึงวิถีทางหนึ่งในการเก็บรวบรวมข้อมูลโดยการใช้แบบสารวจความคิดเห็น เมื่อมาถึงตอนนี้
ครูควรตะล่อมความคิดนักเรียนให้ได้แนวคิดหลักในการจะเริ่มสารวจความคิดเห็น โดยอาจนาอภิปรายใน
เรื่องต่างๆ ที่นักเรียนควรต้องคานึงในการสารวจความคิดเห็น เช่น
1. ควรกาหนดขอบเขตของการสารวจหรือไม่ เพราะเหตุใด
2. ควรเลือกสารวจเฉพาะตัวอย่างเพียงบางส่วนจากประชากรที่สนใจหรือไม่ เพราะเหตุใด ขอบเขตของการ
สารวจมีผลต่อการเลือกตัวอย่างมาสารวจหรือไม่
3. การสารวจความคิดเห็นจะได้เฉพาะข้อมูลเชิงคุณภาพเท่านั้นหรือไม่
4. ข้อมูลที่ได้จากการสารวจความคิดเห็นเป็นข้อมูลปฐมภูมิเท่านั้นหรือไม่
5. แบบสารวจความคิดเห็นที่ดีควรจะเป็นอย่างไร
เป็นต้น ทั้งนี้เพื่อให้นักเรียนได้แนวคิดคร่าวๆ เกี่ยวกับการสารวจความคิดเห็น แล้วจึงลองมาฟังการสรุปจาก
สื่ออีกครั้ง
19

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในช่วงนี้ได้อธิบายเกี่ยวกับของเขตการสารวจความคิดเห็น ลักษณะของกลุ่มตัวอย่างที่ดี ตลอดจนวิธีการเลือก
ตัวอย่างจากประชากร
สาหรับนักเรียนที่สนใจ ครูอาจอธิบายเพิ่มเติมเกี่ยวกับการเลือกตัวอย่าง โดยในทางสถิตินั้นการเลือก
ตัวอย่างมีสองวิธีหลักๆ คือ
1. การเลือกตัวอย่างโดยไม่อาศัยหลักการของความน่าจะเป็น ซึ่งการเลือกแบบนี้จะต้องอาศัยความชานาญ
และความสามารถเฉพาะตัวจึงจะได้ตัวอย่างที่เหมาะสม โดยต้องระวังเรื่องความลาเอียงของข้อมูลเป็นสาคัญ
การเลือกตัวอย่างแบบนี้แบ่งย่อยออกได้อีก 3 ลักษณะกล่าวคือ
1.1 การเลือกแบบบังเอิญหรือการเลือกแบบสะดวก ซึ่งเป็นการเลือกตัวอย่างที่ไม่มีเป้าหมายของ
ตัวอย่างที่แน่นอน และจานวนที่ต้องการก็กระทาจากความคิดที่ต้องการ
1.2 การเลือกแบบโควตา วิธีนี้ลดการเกิดความลาเอียงของข้อมูลได้โดยกาหนดสมบัติบางประการ
ของตัวอย่างที่ต้องการจะเลือก อย่างไรก็ดีวิธีนี้ยังไม่สามารถกาจัดความลาเอียงที่อาจเกิดขึ้นได้ทั้งหมด
1.3 การเลือกแบบเจาะจง วิธีนี้จะเน้นการหาข้อมูลจากกลุ่มที่เชื่อถือได้ว่าเป็นผู้เชี่ยวชาญ และถือว่า
ความเห็นของคนกลุ่มนี้จะทดแทนข้อคิดเห็นของคนหมู่มากได้ และถือว่าข้อมูลที่ได้จากกลุ่มผู้เชี่ยวชาญนี้
เป็นข้อมูลของประชากรทั้งหมด
2. การเลือกตัวอย่างโดยอาศัยหลักการของความน่าจะเป็น ซึ่งหลักการของความน่าจะเป็นดังกล่าวนี้หมายถึง
การแบ่งกลุ่มประชากรออกเป็นหน่วยย่อย ที่ทุกหน่วยมีสิทธิ์ในการเข้าทดลองเท่าเทียมกัน จึงถือว่าขจัด
ความลาเอียงออกไปได้ การกาหนดหน่วยทดลองนี้ต้องอาศัยขอบเขตของการเลือก หรือบัญชีประเภทของ
กลุ่มประชากรทั้งหมด การเลือกตัวอย่างแบบนี้แบ่งย่อยได้เป็น 5 ลักษณะกล่าวคือ
2.1 การเลือกตัวอย่างอย่างง่าย คล้ายกับการจับฉลาก ที่ฉลากทุกๆ ใบมีสิทธิ์ในการถูกจับเท่าๆ กัน
หรืออาจใช้การเลือกด้วยตารางเลขสุ่ม โดยกาหนดหมายเลขให้กับประชากรแต่ละหน่วย แล้วสุ่มโดยมี
ทิศทางที่เลือกให้แน่นอน เช่น เลือกตามแนวตั้งไปเรื่อยๆ หรือเลือกตามแนวนอนไปเรื่อยๆ เป็นต้น รูป
ต่อไปนี้แสดงตัวอย่างของตารางเลขสุ่ม (ที่มา http://ee.eng.usm.my/eeacad/Zalina/G4.html)
20

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
21

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2.2 การเลือกแบบระบบ โดยถือว่าประชากรมีหมายเลขกากับเป็น 1, 2, 3, ..., N และกาหนด
N
ขนาดของตัวอย่างเป็น n ใช้ช่วงการเลือกคือ k ทั้งนี้ต้องกาหนดจุดเริ่มต้นในการเลือกคือ R แล้ว
n
เลือกตั้งแต่ R, R k, R 2k, ... จนครบจานวน n ที่ต้องการ สังเกตว่าวิธีนี้ง่ายกว่าวิธีการเลือก
ตัวอย่างอย่างง่าย ตรงที่ไม่ต้องเปิดตารางเลขสุ่ม แต่อาจเกิดความลาเอียงได้เล็กน้อย
2.3 การเลือกแบบชั้นภูมิ วิธีการนี้อาศัยการพิจารณาว่าลักษณะของประชากรมีความหลากหลาย
และแตกต่างกันอย่างชัดเจน แล้วเลือกตัวอย่างมาตามสัดส่วนของกลุ่มที่มีความต่างกันนั้น
2.4 การเลือกแบบคลัสเตอร์ วิธีการนี้จะเริ่มจากการจัดประชากรเป็นกลุ่มๆ แม้ว่าประชากรจะมี
ความแตกต่างกัน แต่ความแตกต่างนั้นอยู่ร่วมกันในกลุ่มเดียวกัน โดยถือว่าความแตกต่างของประชากรที่เกิด
เกิดขึ้นนั้นอยู่ร่วมกันจนไม่สามารถแยกออกเป็นกลุ่มอิสระได้ ดังนั้นในการเลือกจะเลือก 1 กลุ่มจากทั้งหมด
มาเป็นตัวอย่าง และถือว่าเป็นตัวแทนของประชากรทั้งหมด
2.5 การเลือกแบบหลายชั้น การเลือกแบบนี้เหมาะกับประชากรที่มีขนาดใหญ่มากๆ เท่านั้น โดยจะ
ใช้วิธีการเลือกทุกวิธีที่ได้กล่าวมาข้างต้นตามความเหมาะสมกับลักษณะของกลุ่มประชากรย่อยๆ แต่ละกลุ่ม
22

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในตอนนี้ได้กล่าวถึงการสร้างแบบสารวจ องค์ประกอบต่างๆ ของแบบสารวจที่ดี ตลอดจนให้ข้อสังเกตเกี่ยวกับ
การสารวจความคิดเห็น
ชวนคิด 9 ครูอาจชวนนักเรียนแบ่งกลุ่มเพื่อสร้างแบบสารวจความคิดเห็นในสิ่งที่นักเรียนสนใจ แล้วให้เพื่อนๆ
ช่วยกันวิพากษ์ว่าเหมาะสมหรือไม่ ขาดองค์ประกอบใดที่ควรจะมีในแบบสอบถามหรือไม่
สุดท้ายได้เน้นให้นักเรียนเห็นความสาคัญของการสารวจความคิดเห็น ในการกาหนดนโยบายขององค์กร
ต่างๆ หรือการตัดสินใจในเรื่องบางอย่าง ตลอดจนการปรับปรุงบริการให้ดียิ่งขึ้น
23

25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
24

26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
25

27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
26

28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม
27

29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดระคน
1. อาจารย์ยิ่งศักดิ์ให้นักเรียน 80 คนแข่งกันทาอาหารมาคนละอย่างตามใจชอบ หลังจากชิมอาหารของแต่
ละคนแล้วผลสรุปเป็นดังนี้
ผลการชิม จานวนคน
อร่อยเลิศประเสริฐศรี 6
อร่อยเลิศ 30
อร่อย 34
ต้องเททิ้ง 10
ข้อมูลที่เก็บรวบรวมมานี้เป็นข้อมูลปฐมภูมิ หรือทุติยภูมิ และ เป็นข้อมูลเชิงปริมาณ หรือเชิงคุณภาพ
2. ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง ข้อใดต่อไปนี้เป็นเท็จ
ก. สถิติเชิงอนุมาน คือการวิเคราะห์ข้อมูลที่มุ่งอธิบายลักษณะกว้างๆ ของข้อมูลชุดนั้น
ข. ข้อมูลที่เป็นหมายเลขโทรศัพท์มือถือเป็นข้อมูลเชิงคุณภาพ
ค. ข้อมูลทุติยภูมิ คือข้อมูลที่ผู้ใช้เก็บรวมรวมจากแหล่งข้อมูลโดยตรง
ง. ข้อมูลที่รวบรวมจากรายงานต่างๆ ที่ได้จากหนังสือพิมพ์ หรือหน่วยงานราชการเป็นข้อมูลปฐมภูมิ
จ. นอกจากข้อมูล ข่าวสาร และสารสนเทศ แล้วความเชื่อ ยังเป็นอีกสิ่งหนึ่งที่มีผลกระทบต่อความถูกต้อง
ของการตัดสินใจโดยใช้สถิติ
3. ตารางแสดงส่วนสูงของนักเรียนจานวน 50 คนเป็นดังนี้
ส่วนสูง (เซนติเมตร) จานวน (คน)
130 139 5
140 149 6
150 159 14
160 169 18
170 179 7
ก. นักเรียนกลุ่มนี้ส่วนใหญ่มีส่วนสูงเท่าใด
ข. นักเรียนที่มีส่วนสูงมากกว่าหรือเท่ากับ 150 เซนติเมตรมีอยู่กี่คน
ค. นักเรียนที่มีส่วนสูงในช่วง 150 159 เซนติเมตรมีอยู่เป็นร้อยละเท่าใด
ง. นักเรียนที่มีส่วนสูงน้อยกว่า 170 เซนติเมตรมีอยู่เป็นร้อยละเท่าใด
28

30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
4. แผนภูมิต่อไปนี้แสดงจานวนผู้โดยสารในรถประจาทางจานวน 50 คันที่แล่นบนถนนสายหนึ่ง
21
11 10
6
2
22 23 24 25 26 จานวนผู้โดยสาร (คน)
รถประจาทางที่มีจานวนผู้โดยสารมากกว่า 24 คนมีจานวนร้อยละเท่าใดของจานวนรถประจาทางกลุ่มนี้
29

31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด
30

32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัดระคน
1. ปฐมภูมิ; คุณภาพ
2. เท็จ; จริง; เท็จ; เท็จ; เท็จ
3. 160 169 เซนติเมตร; 39 คน; 28 ; 86
4. 16
31

33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน
32

34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
33

35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
34

36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้
35