Dokumen tersebut membahas tentang teori pendugaan statistik dan beberapa contoh penerapannya dalam ekonomi, seperti survei pendukung calon presiden dan pendugaan inflasi. Dibahas pula berbagai jenis pendugaan seperti pendugaan titik parameter, interval keyakinan, dan memilih ukuran sampel yang tepat.
2. Kasus Pendugaan Dalam Ekonomi
Dalam kehidupan sosial, ekonomi, manajemen, keuangan, dan politik, pendugaan sangat penting
karena digunakan sebagai dasar sebuah perencanaan. Berikut ini satu dari contoh pendugaan dalam
ekonomi :
• Politik, Artis Calon Presiden : menjelang pilihan presiden 2009, banyak partai politik yang ingin
memenangkan Pilpres melakukan survei tentang tokoh yang diharapkan masyarakat dan dipilih
lewat pemilu. Fenomena terakhir menunjukan bahwa banyak kalangan artis terjun ke politik.
Pilkada Tangerang dimenangkan oleh Rano Karno, sedangan Pilkada Jawa Barat dimenangkan oleh
Dede Yusuf. Untuk menanggapi isu artis menjadi Capres ini, kompas melakukan survei. Survei
tersebut dilakukan tgl 7-8 juni 2008 dengan jumlah sampel 1.442 orang yang dipilih secara acak dari
buku petunjuk telepon di 33 ibu kota provinsi. Dengan tingkat kepercayaan 95% dan tingkat
kesalahan sebesar 2,5%. Hasilnya menunjukan bahwa Dedi Mizwar mendapatkan suara 26%, Dede
Yusuf 20%, Rano Karno 14%, Tukul Arwana 6%, dan Adjie Massaid mendapatkan suara 5%.
Apakah hasil survei ini akan cocok dengan hasil pemilu 2009? Kita nantikan saja hasilnya dari
pilihan rakyat Indonesia.
3. Pendugaan Titik Parameter Populasi
Pendugaan adalah seluruh proses dengan menggunakan statistik sampel untuk menduga
parameter yang tidak diketahui. Suatu pendugaan titik adalah pendugaan yang terdiri atas satu
nilai saja yang digunakan untuk menduga parameter. Sebagai contoh, presentase yang
menyatakan bahwa manusia sebagai penyebab bencana kekeringan, banjir, dan perubahan iklim
di dunia sebagaimana dikemukakan oleh Konferensi perubahan iklim di Bali 2007 adalah 72%
(=0,72 sebagai penduga dari P), tingkat inflasi semenjak kenaikan harga BBM pada bulan Mei
2008 dipekirakan sebesar 7,5% ( x̅ sebagai penduga dari 𝜇 ). Ingat bahwa p dan x̅ adalah
penduga, P dan 𝜇 merupakan parameter populasi.
Pendugaan Titik adalah suatu nilai (suatu titik) yang digunakan untuk menduga suatu parameter
populasi.
4. Pendugaan Titik Parameter Populasi
Sifat-sifat penduga : Penduga yang baik adalah penduga yang mendekati nilai parameter
sebenarnya. Ciri-ciri yang baik adalah tidak bias, efisien, dan konsisten.
Tidak bias : jika didalam sampel Random yang berasal dari populasi, rata-rata atau nilai
harapan dari statistik sampel sama dengan parameter populasi (𝜇)
Efisien : Penduga yang tidak bias dan mempunyai varians yang paling kecil (Sx
2) atau standar
deviasi (Sx) dari 𝑋1 lebih kecil dari 𝑋 2 maka dapat disimpulkan bahwa penduga 𝑋1 lebih baik
dari penduga 𝑋2. Penduga dengan standar devesiasi yang paling kecil adalah penduga yang
efisien.
Konsisten : Nilai dugaan ( 𝑋) yang semakin mendekati nilai sebenarnya dengan semakin
bertambahnya jumlah sampel(n).
5. Pendugaan Interval
Pendugaan interval yaitu suatu interval yang menyatakan selang dimana suatu parameter
populasi mungkin berada. Suatu interval keyakinan yang di batasi oleh dua nilai yang disebut
batas bawah dan batas lebih memungkinkan bahwa suatu parameter akan berada pada kisaran
interval tersebut. Interval keyakinan untuk rata rata hitung populasi adalah interval yang memiliki
probabilitas besar mengandung rata rata hitung populasi. Bentuk umum interval keyakinan
adalah sebagai berikut :
(S - Zsx < P < S + Zsx) = C
S : Statistik yang merupakan penduga parameter populasi (P)
P : Parameter populasi yang tidak diketahui
Sx : Standar deviasi distribusi sampel statistik
Z : Suatu nilai ditentukan oleh probabilitas yang berhubungan dengan penduga interval, nilai Z diperoleh dari tabel
luas dari tabel luas di bawah kurva normal
C : Probabilitas atau tingkat keyakinan yang di dalam praktik sudah ditentukan dahulu
S - Zsx : Nilai batas bawah keyakinan
S + Zsx : Nilai batas atas keyakinan
6. Kesalahan Standar dari Rata-rata
Hitung Sampel
Kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel adalah standar devisiasi distribusi sampel dari rata
rata hitung sampel. Rumusnya :
Untuk populasi yang tidak terbatas n/N < 0,05
Sx =
𝜎
√𝑛
Untuk populasi yang terbatas dan n/N > 0,05 N
Sx =
𝜎
√𝑛
𝑁−𝑛
𝑁−1
𝜎
Sx
7. Interval Keyakinan Untuk Rata-rata
Mulai
identifikasi
masalah
Menentukan
sampel (n) dan
nilai rata-rata X
Menentukan keyakinan
(C atau 𝜎/=(1-C) dan Nilai Z
Populasi tidak terbatas
X± Z 𝜎/2s/√𝑛
Populasi Terbatas
X± Z 𝜎/2s/√𝑛 x 𝑁 − 𝑛)/𝑁 − 1)
8. Lanjutan
Tahap pertama adalah menentukan masalah yang dihadapi, misalnya masalah tentang inflasi.
Setelah menentukan masalah, seperti inflasi, kemudian menentukan sampel. Dari sampel dapat
diketahui nilai rata-ratanya dan standar deviasinya, kemudian menentukan tingkat keyakinan
yang digunakan (99%,98%, 95%, atau lainnya) yang menentukan yang diperoleh nilai Z. Tahap
terahir adalah membuat interval dengan faktor koreksi, apakah populasinya terbatas atau tidak.
Contoh Pendugaan Interval Keyakinan :
Distribusi Normal dan Standar Devisiasi Populasi Diketahui
Distribusi Normal dan Standar Devisiasi Populasi Tidak Diketahui
Distribusi Sampling Mendekati Normal dan Standar Deviasi Populasi Tidak Diketahui
9. Interval Keyakinan untuk Proposi
Proposi mempunyai distribusi sampling yang bersifat normal, dan nilai rata-rata distribusi
proposi sampel merupakan penduga tidak bias terhadap proposi populasi.
Teori dan prosedur pendugaan untuk proposi populasi sama dengan pendugaan pada rata-rata
hitung sampel. Disebabkan nilai dari parameter kebanyakan tidak diketahui, maka penduga yang
baik dari standar deviasi proposi populasi p adalah standar deviasi proposi sampel Sp.
Sp =
𝑝(1−𝑝)
𝑛−1
𝑁−𝑛
𝑁−1
Sp =
𝑝(1−𝑝)
𝑛−1
Untuk populasi yang tidak terbatas
Untuk populasi yang terbatas
10. Pendugaan proposi dirumuskan :
Dimana :
p : Proposi sampel
Z 𝜎/2 : Nilai Z dari tingkat keyakinan
P : Proporsi populasi yang diduga
Sp : Standar error/kesalahan dari proposi
C : Tingkat keyakinan
𝜎 : 1 - C
( p – Z 𝜎/2.Sp < P < p + Z𝜎/2.Sp.Sp )
11. Interval Keyakinan Selisih Rata-rata
dan Proporsi
Untuk melihat apakah dua populasi mempunyai parameter atau statistik yang sama, selisih rata-
rata dan proporsi mempunyai distribusi yang bersifat normal. Apabila 𝑋1 dan 𝑋 2 merupakan rata-
rata sedangkan p1 dan p2 merupakan proporsi dari dua populasi yang mendekati normal, maka
selisihnya ( 𝑋1 - 𝑋 2 ) dan (p1 - p2) juga mempunyai sifat yang normal.
Interval keyakinan untuk selisih rata-rata
Probabilitas (( 𝑋1 - 𝑋 2 ) - Z𝛼/2sx1-x2 ) < (𝜇1−𝜇2 )
Dimana standar error dari nilai selisih rata-rata populasi adalah
𝜎x1-x2 =
𝜎2
x1
n1
𝝈
2
x2
n2
Dimana :
Standar error selisih rata-rata populasi
Standar deviasi dari dua populasi
Standar error selisih rata-rata sampel
Standar deviasi sampel dari dua populasi
Jumlah sampel setiap popula
12. Interval Keyakinan untuk Selisih
Proporsi
Probabilitas :
Standar error dari nilai selisih proporsi adalah :
sp1-p2 =
P1(1−P1)
n1−1
+
P2(1−P2)
n2−1
((P1−P2 )−Zα/2. Sp1-p2)< ( P1−P2) < ( P1−P2) + Z𝛼/2. Sp1-p2))
13. Memilih ukuran sampel
Apabila statistik dari populasi sama atau mendekati parameter populasi. Kondisi demikian
menghendaki jumlah sampel sama dengan jumlah populasi (n=N). Hal tersebut sulit terjadi
karena sensus atau sampel yang besar akan membutuhkan waktu dan biaya yang sangat besar.
Pertanyaan kemudian adalah beberapa jumlah sampel yang tepat? Sampel yang tidak tepat
tidaklah terlalu kecil atau terlalu besar. Sampel terlalu kecil akan menghasilkan kesimpulan yang
salah, dan sampel terlalu besar memerlukan biaya yang banyak.
Jumlah sampel untuk menduga rata rata populasi
Rumus jumlah sampel dalam populasi dirumuskan sebagai berikut :
N=[(Zα/2 .𝜎)/𝜀]2
Dari rumus tersebut dapat disimpulkan bahwa (a) semakin besar standar deviasi, maka akan
semakin besar n dan (b) semakin tinggi tingkat keyakinan, maka semakin besar pula jumlah
sampel (n).
