1. 1)Δίνεται η συνάρτηση 𝒇(𝒙) = 𝒆 𝒙
(𝒙 − 𝜶) και το σημείο 𝜜(𝜶, 𝟎) με 𝜶 > 0
i) Να μελετηθεί η 𝒇 ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα,
τα σημεία καμπής και τις ασύμπτωτες.
ii) Για τις διάφορες τιμές του 𝜶 να βρείτε την εξίσωση της καμπύλης στην
οποία κινείται
α) το ακρότατο της 𝒇
β) το σημείο καμπής της 𝒇
iii) Να βρεθεί το εμβαδόν 𝑬(𝝀) του χωρίου που ορίζεται από τον άξονα 𝒙΄𝒙
τη 𝑪 𝒇 και την ευθεία 𝒙 = 𝝀 < 0 .
iν) Να βρείτε το 𝐥𝐢𝐦
𝝀→−∞
𝜠(𝝀)
ν) Αν το 𝜜 κινείται με ταχύτητα 𝝊 = 𝟑𝒄𝒎/𝒔 , να βρείτε το ρυθμό
μεταβολής του εμβαδού,τη χρονική στιγμή κατά την οποία είναι 𝜶 = 𝟓.
Απαντήσεις
i) ελάχιστο για 𝑥 = 𝛼 − 1, το 𝑓(𝛼 − 1) = −𝑒 𝛼−1
, καμπή για 𝑥 = 𝛼 − 2 .
σημείο καμπής είναι το (𝛼 − 2 ,−2𝑒 𝛼−2
) ,
η ευθεία 𝑦 = 0 είναι οριζόντια ασύμπτωτη στο – ∞ .
ii)η καμπύλη του ακρότατου έχει εξίσωση 𝑦 = −𝑒 𝑥
, 𝑥 > – 1.
το σημείο καμπής κινείται στην καμπύλη 𝑦 = −2𝑒 𝑥
, 𝑥 > −2 .
iii) 𝛦( 𝜆) = 𝑒 𝜆
(𝜆 − 𝛼 − 1) + 𝑒 𝛼
iv) lim
𝜆→−∞
𝛦( 𝜆) = 𝑒 𝛼
v) 𝛦′(5) = −3𝑒 𝜆
+ 3𝑒5
2) Έστω η συνάρτηση 𝒇(𝒙) =
𝒙 𝟑
𝟑
−
𝒙 𝟐
𝟐
i) Να βρείτε το σύνολο τιμών της 𝒇 , τα διαστήματα μονοτονίας , τα
διαστήματα κυρτότητας και με βάση όλα αυτά να σχεδιάσετε τη 𝑪 𝒇
ii) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης 𝒇(𝒙) = 𝜶 ,
όπου 𝜶 ∈ 𝑹 .
Απαντήσεις
i) σύνολο τιμών είναι το ( − ∞,+∞) , τοπικό μέγιστο για 𝑥 = 0 , το 𝑓(0) = 0
τοπικό ελάχιστο για 𝑥 = 1 , το 𝑓(1) = −
1
6
ii) Όταν < −
1
6
,μία μόνο ρίζα .Όταν 𝛼 = −
1
6
,2 ρίζες .
Όταν −
1
6
< 𝛼 < 0 ,3 ρίζες . Όταν 𝛼 = 0 ,2 ρίζες . Όταν 𝛼 > 0 ,μία μόνο ρίζα.

2. 3) Έστω οι συναρτήσεις 𝒉 , 𝒈 συνεχείς στο [𝜶, 𝜷] . Δείξτε ότι
i) Αν 𝒇 παραγωγίσιμη με 𝒇( 𝒙) = 𝒆−𝒇(𝒙)
+ 𝒙 − 𝟏 για κάθε 𝒙 ∈ 𝑹,και 𝒇(𝟎) = 𝟎
να βρείτε την 𝒇 ΄ συναρτήσει της 𝒇
ii) Nα δείξετε ότι
𝒙
𝟐
< 𝒇( 𝒙) < 𝒙𝒇′(𝒙) για κάθε 𝒙 > 𝟎.
iii) Αν 𝜠 είναι το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη 𝑪 𝒇 και τις
ευθείες 𝒙 = 𝟎, 𝒙 = 𝟏, 𝒚 = 𝟎 , δείξτε ότι
𝟏
𝟒
< 𝜠 <
𝟏
𝟐
𝒇(𝟏) .
Απαντήσεις
i) 𝑓′( 𝑥) =
1
1+𝑒−𝑓(𝑥) ii) Θ.Μ.Τ για την 𝑓 στο [0 , 𝑥]
4) Έστω η συνάρτηση 𝒇(𝒙) = 𝒙 𝟑
και πραγµατικός αριθµός 𝜶 ∈ (𝟎, 𝟏). Να
βρείτε το εµβαδόν 𝜠(𝜶) του χωρίου, που ορίζεται από τη 𝑪 𝒇 και τις
ευθείες µε εξισώσεις 𝒚 = 𝒇(𝜶) , 𝒙 = 𝟎 , 𝒙 = 𝟏. Στη συνέχεια να αποδείξετε
ότι 𝜠(𝜶) ≥
𝟕
𝟑𝟐
.
Απαντήσεις
𝛦( 𝛼) = ( 𝛨𝛰𝛥)+ ( 𝛥𝛧𝛤) =
3
2
𝛼4
− 𝛼3
+
1
4
,
και μονοτονία της 𝛦( 𝛼)
5) Έστω η συνάρτηση 𝒇( 𝒙) =
𝟐𝒙
𝒙 𝟐+𝟒
, 𝒙 ∈ [𝟎, 𝟐]
i) Να εξετάσετε την 𝒇 ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα και να
βρείτε το σύνολο τιµών της.
ii) Να δείξετε ότι η 𝒇 αντιστρέφεται ,και θεωρώντας ότι η 𝒇–𝟏
είναι
συνεχής δείξτε ότι ∫ 𝒇( 𝒙) 𝒅𝒙 + ∫ 𝒇–𝟏 ( 𝒙) 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
𝟎
𝟐
𝟎
= 𝟏
Απαντήσεις
i) 𝑓 είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [0,2] , 𝑓( 𝛢) = [0,
1
2
]
ii) στο ∫ 𝑓–1 ( 𝑥) 𝑑𝑥
1
2
0
θέτω 𝑥 = 𝑓(𝑢) και ∫ 𝑓–1 ( 𝑥) 𝑑𝑥
1
2
0
= ∫ 𝑥𝑓′( 𝑥) 𝑑𝑥
2
0

3. 6) Έστω συνάρτηση 𝒇 ορισµένη στο 𝑹 και τέτοια ώστε για κάθε 𝒙 ∈ 𝑹 να
ισχύει (𝒇𝒐𝒇)(𝒙) + 𝒙 = 𝟎 . ∆είξτε ότι
i) Είναι “1─1”
ii) ∆εν είναι µονότονη
iii) Είναι περιττή
iν) 𝒇(𝟎) = 𝟎
Απαντήσεις
ii) με ατοπο iii) θετω 𝑥 = 𝑓(𝑥)
7) Έστω συνάρτηση 𝒇 συνεχής στο 𝑹 και τέτοια ώστε για κάθε 𝒙 ∈ 𝑹 να
ισχύει 𝒇 𝟐
(𝒙) + 𝒙𝒇(𝒙) − 𝟏 = 𝟎 µε 𝒇(𝟎) = −𝟏.
i) Να αποδείξετε ότι η 𝒇 διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο 𝑹
ii) Να βρείτε τον τύπο της 𝒇 .
iii) Να εξετάσετε την 𝒇 ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα
iν) Να βρείτε το σύνολο τιµών της 𝒇
Απαντήσεις
i)με άτοπο με BOLZANO (εστω 𝑓( 𝑥0) = 0…) iii) 𝑓 γνησίως φθίνουσα στο 𝑅
iv) 𝑓(𝐴) = ( −∞,0)
8) Έστω συνάρτηση 𝒇 παραγωγίσιµη στο [𝜶, 𝜷] ,µε 𝒇(𝜶) < 𝒇(𝜷) και την 𝒇 ΄
γνησίως αύξουσα στο [𝜶, 𝜷]. ∆είξτε ότι :
i) Υπάρχει 𝒙 𝟎 ∈ (𝜶, 𝜷) τέτοιο ώστε 𝒇( 𝒙 𝟎) =
𝒇( 𝜶)+𝒇(𝜷)
𝟐
ii) Υπάρχουν 𝒙 𝟏,𝒙 𝟐 ∈ (𝜶, 𝜷) τέτοια ώστε
𝟏
𝒇′(𝒙 𝟏)
+
𝟏
𝒇′(𝒙 𝟐)
= 𝟐
𝜷−𝜶
𝒇( 𝜷)−𝒇(𝜶)
iii) Για το 𝒙 𝟎 του ερωτήµατος (i) είναι 𝒙 𝟎 >
𝜶+𝜷
𝟐
Απαντήσεις
i) θεώρηµα Bolzano στο [α, β] για ℎ( 𝑥) = 𝑓( 𝑥) −
𝑓( 𝛼)+𝑓(𝛽)
2
ii) Θ.Μ.Τ για την 𝑓 στα [𝛼, 𝑥0] , [𝑥0, 𝛽]
iii) 𝑥1 < 𝑥2 και 𝑓 ΄ γνησίως αύξουσα αρα 𝑓′( 𝑥1) > 𝑓′( 𝑥2)…

4. 9) Έστω συνάρτηση 𝒇 δύο φορές παραγωγίσιµη στο 𝑹 και τέτοια ώστε
𝟐𝒇( 𝒙 𝟐)− 𝒇 𝟐
(𝒙) ≥ 𝟏 για κάθε 𝒙 ∈ 𝑹 . ∆είξτε ότι
i) Υπάρχει 𝒙 𝟎 ∈ (𝟎, 𝟏) ώστε 𝒇΄(𝒙 𝟎) = 𝟎
ii) 𝒇΄(𝟎) = 𝒇΄(𝟏) = 𝟎
iii) Η 𝒇 έχει δύο τουλάχιστον πιθανά σηµεία καµπής στο διάστηµα (𝟎, 𝟏)
Απαντήσεις
i) ROLLE για 𝑓 στο [0 ,1] ii) FERMAT iii) ROLLE για 𝑓 στα [0 , 𝑥0] ,[ 𝑥0 ,1]
10) ∆ίνεται η συνάρτηση 𝒇(𝒙) =
𝟏+𝒆 𝒙
𝟏+𝒆 𝒙+𝟏
i) Να µελετήσετε την 𝒇 ως προς τη µονοτονία.
ii) Να βρείτε τις ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της 𝒇.
iii) Nα υπολογίσετε το ολοκλήρωµα ∫
𝟏
𝒇(𝒙)
𝒅𝒙
𝟏
𝟎
iν) Για κάθε 𝒙 < 0 να αποδείξετε ότι 𝒇(𝟓 𝒙
) < 𝑓(𝟔 𝒙
)
Απαντήσεις
i) 𝑓 είναι γν. φθίνουσα ii)η ευθεία 𝑦 = 1 είναι οριζόντια ασύµπτωτη στο – ∞
η ευθεία 𝑦 =
1
𝑒
είναι οριζόντια ασύµπτωτη στο +∞
iii) ∫
1
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
1
0
= ∫
1+𝑒 𝑥+1+𝑒 𝑥−𝑒 𝑥
1+𝑒 𝑥 𝑑𝑥
1
0
= ⋯ = [ 𝑥 + ( 𝑒 − 1)ln(ex
+ 1)]0
1
iv)Επειδή η 𝑓 είναι γνησίως φθίνουσα , αρκεί να αποδείξουµε ότι 5 𝑥
> 6 𝑥
⟺ (
5
6
)
𝑥
> 1 εστω 𝑔( 𝑥) = (
5
6
)
𝑥
, 𝑥 < 0 ⇒ 𝑔 γν .φθίνουσα