Mathématiques s1

Semestre
Module
Elément
Enseignant

:2
: Méthodes Quantitatives
: Mathématiques Economiques
: Mr BENMOUSSA
Eléments du cours

Les Fonctions
Les Intégrales simples
Les Intégrales doubles
Extrêmes de fonctions de deux variables

Numérisation & Conception

Mr Mohamed-Fadil ZIADI

Le Portail des Etudiant d’Economie

www.e-tahero.net
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Professeur BENMOUSSA

Mathématiques Economiques

PROGRAMME

Les Fonctions :
- Fonctions trigonométriques.
- Fonctions ex.
- Fonction log x.
- Elasticité.

II-

Les Intégrales simples :
- Par parties.
- Par changement de variables.
- Fractions rationnelles.
- Fractions irrationnelles.
- Intégrales impropres.

IIIIV-

Les Intégrales doubles.
Extrêmes de fonctions de deux variables.

© www.e-tahero.net – Z.M.F

I-

Portail des Etudiants d’Economie

-2-



Chapitre 1 : FONCTIONS TRIGONOM2TRIQUES.

I-

Définition : cercle trigonométrique :

π/2

Sin

tan

+

Sin α

π
-1

α
cosα

2π
1

Cos

3π
2

Rayon = 1.
R=1 ⇒
α

-1 ≤ cos α ≤ 1
-1 ≤ sin α ≤ 1
- ∞ < tg α < + ∞
0

0

Tg α

-α

1

Sin α


Cos α

0

π

π

π

π

4
2
2
2
2

2

6
3
2
1
2

3

0
1

1

0

Sin (- α) = - sin α
cos (- α) = cos α
tg (- α) = - tg α


π-α

-3-

3
3

½
3
2
3

sin (π - α) = sin α
cos (π - α) = - cos α
tg (π - α) = - tg α



sin (π + α) = - sin α
cos (π + α) = - cos α
tg (π + α) = tg α

π+α

sin (
π
2

+α

cos (

π
2

π

2

+ α) = cos α
+α) = - sin α

π

tg ( + α) = 2

II-

1
= - cotg α.
tgα

Formules trigonométriques:

Sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b.
Sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b.
Cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b.
Cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b.
Sin 2a = 2 sin a cos a.
Cos 2a = cos2 a – sin2 a.
Théorème de Pythagore :
A

B

α

O

OA2 = AB2 + OB2
⇒ 12 = sin2 α + cos2 α
⇒ cos2 α + cos2 α = 1


⇒

cos 2 α + sin 2 α
1
=
.
2
cos α
cos 2 α
1
⇒ 1 + tg2 α =
cos 2 α

sin 2α
2 sin α . cos α
=
.
cos 2α
cos 2 α − sin 2 α
2 sin α .2 cos α
cos 2 α
=
cos 2 α − sin 2 α
cos 2 α

tg 2α =


=

-2-

2tgx
.
1 − tg 2α


III-


Dérivées des fonctions trigonométriques :
f ′ (x)

f (x)
sin x
cos x
tg x
cos (ax + b)
sin (ax + b)

IV-

V-

1
= 1 + tg2 x
2
cos x

- a . sin ( ax + b)
a . cos (ax + b)

Fonctions réciproques :

Y = cos x
Y = sin x
Y = tg x

cos x
- sin x

⇔

x = arcos y

⇔ x = arc sin y
⇔ x = arc tg y
Etude de la fonction (y = sin x) :
1- Domaine de définition :

Df = ℜ.
2- Parité :
Si f (-x) = f (x). ⇒ la fonction est paire.
Si f (-x) = - f (x) ⇒ la fonction est impaire.
Donc sin (-x) = - sin (x) ⇒ y est une fonction impaire.
3- Périodicité :


Une fonction est périodique de période T.
⇔ f (x + T) = f (x).
y = sin (x)

sin

sin (α + 2π) = sin α.
Sin (α + 4π) = sin α.
Sin (α + kπ) = sinα.

Sin α

α
Donc dans ce cas T = 2π


-2-

cos
cos α



4- Dérivée :
cos x ≥ 0 ⇔ -

π

cos x ≤ 0

y ′ = cos x ⇔

π

⇔

2

≤ x ≤

π

2
3π
≤x≤
2
2

5- Tableau de variation :
x

π

0

y′
y

3π
2

2

+

-

2π
+

1

0

0

-1

6- La courbe :
y

1

π

3π
2

2

x
2π

-1


T=2π

VI-

Etude de la fonction (y = cos x) :

La dérivée de cette fonction est la suivante :
y ′ = - sin x.
La table de variation se présente comme suit :


-3-



x
y′
y

π

0

2π

-

+

-

1

1
-1

y

1

0





π





π

2



3π
2







2π

-1

VII- Etude de la fonction (y = tg x) :
1- Période :
Tg (α + π) = tg α

⇒ tg α est périodique et T = π.

2- Parité :
tg (-x) = -tg x

⇒

y = tg x est impaire.


3- Dérivée :
y′=

1
cos 2 x

≠ 0.

4- Le tableau de variation :


-4-



x



−π
2

x
y′
y

π
2

+
+∞

-∞

5- La courbe :
y
y = tg x

x

Remarque : les asymptotes :

VIII- Exercices :


1/ Calculer le (sin x) et la (tg x), sachant que cos x = 1 2/ Résoudre dans RR les équations :
a2 sin 3 x = 1.
b-

cos 2 x =

3
2

Solution :
1- On sait que sin2x + cos2x = 1
⇒ sin2x = 1- cos2x.
On sait aussi que : cos x = 1- 2 .

-5-

2 .



⇒ cos2x = (1- 2 )2 = 1- 2 2 + 2.
⇒ sin2x = 1- (1- 2 2 + 2).
⇒ sin2x = 2 2 - 2 = 2( 2 - 1).
⇒ sin x = ± 2( 2 − 1) = ±

2 −1 × 2

• tg = ?
On sait que 1+ lg2 =
⇒ tg2 x =
⇒ tg x =
2

1
.
cos 2 x

1
-1.
cos 2 x
1

(1 − 2 )

2

-1=

2

⇒ tg2 x = -

(1 − 2 )

(1 − 2 )

2- a- 2 sin (3x) = 1
⇒ sin 3x = 1 2
⇒ sin 3x = sin

π

(1 − 2 )

= ±


2
( 2 − 1)

.

* x = α + 2kπ.
* x = - α + 2kπ.

π

sin 3x = sin .
3x =

π
6

6

+ 2kπ.

; (k∈Ζ)

π

3x = (π - ) + 2kπ.
6

⇒

2kπ
18
3
5π
2kπ
+
x=
18
3

x=

π

(1 − 2 ) 2

* x = α + 2kπ.
* x = (π - α) + 2kπ.

cos x = cos α ⇒

⇒

2( 2 − 1)

.

6

Observation: sin x = sin α ⇒

Donc :

=

2

.

−2

⇒ tg2 x = ±

1 − (1 − 2 ) 2

+


; (k∈Ζ)

-6-

.


b-


3
.
2

cos 2x =

⇒ cos 2x = cos
⇒

2x =

π
6

2x = -

6

+ 2kπ.
π
6

x=

; (k∈Ζ)

+ 2kπ.

2kπ
12
2
π
2kπ
x=- +
12
2

⇒

π

π

+

; (k∈Ζ)

Consequences:
Il existe quatre solutions :
• x1 =
• x2 =

π

12

.

π

12

• x3 = -

π

12

π

12

.
+ π.


• x4 = -

+π.


-7-


x

Chapitre 2 : FONCTION « y = e »

I-

Définition :

e0 = 1
e = 2,718.
II-

Propriétés :

1- y’ = ex.
2- ea+b = ea.eb
3- ea.b = (ea)b
4-

ea
eb

III-

= ea-b
Etude de la fonction f(x) = ex :

1- ex est strictement croissante.
2- Df = ℜ = ]− ∞,+∞[
3- lim ex = + ∞ .
+∞
lim
0

en −1
= 1.
h
x

lim e = 0.
−∞

Exercice:
1- Simplifier les expressions suivantes:
a- ex . e-2x
b- (e2x)2 . (e-3x)4.
c- (ex + e-x)2 – (ex – e-x)2.
2- Soit la fonction :

ex −1
.
ex +1
et lim f(x).

f(x) =

a- Calculer lim f(x)
−∞

+∞

e −1
).
3x


x

3- Calculer lim (
0
Solution:

1- a- ex.e-2x = e-x.
b- (e2x)2 . (e-3x)4 = e4x . e-12x = e-8x.
c- (ex + e-x) – (ex – e-x) = 4.

-8-



2- On considère que : f(x) =

ex −1
ex +1

lim f(x) = -1.
−∞

ex
lim f(x) = x
+∞
e

[

1− 1
1+ 1

ex

]

ex
1
= 0.
ex

Car on sait que lim
+∞
ex −1
3- lim
0
3x

IV-

= 1.

1
ex −1
= lim
.
3 0
x
1
= .
3

Tableau de variation:
x
y’
y

-∞

0
+
1

+∞
+∞

0
Car on sait que : y’ = ex ≠ 0.
La courbe :
y
y = ex

1
x


0

Vlim
+∞

Autres limites :

ex
x

= +∞.
x

lim x e = 0.
−∞


-9-


VI-


Equations et inéquations:

* ea = eb ⇒ a = b.
* ea > eb ⇒ a > b. Car ex est strictement croissante.
VII- Exercices :
1- Calculer lim f(x) = lim (ex – x + 1).
+∞
+∞
2- Etudier le sens de variation de la fonction : f(x) = (x – 2)ex.
Solution :
1- lim (ex – x + 1) = lim (
+∞
+∞

ex
1
- 1 + ) = +∞.
x
x

2- Df = ℜ = ]− ∞,+∞[ .
On sait qu’au règle générale : (f.g)’ = f’.g + f.g’
f’(x) = ex + (x – 2)ex = ex (1 + x – 2)
= ex (x – 1).

x
f’(x)
f(x)

-∞

1
0

-

+∞
+

0

+∞

y

0

І
1


-e


- 10 -

x



Chapitre 3 : FONCTIONS LOGARITHMES.

I-

Définition :

On appelle logarithmes de base « a » :
y=

log( x)
.
log(a )

Cas particulier : quand a = e ⇒ y = log x (c’est le logarithme népérien).
y = log x =

∫

x

1

1
dx.
x

x > 0.

Pour: x = 1 ⇒ log 1 = 0 =
Pour : x = 0 ⇒ log x = - ∞.

1

∫

1

1
dx.
x

+

1- Dérivée :
y = log x ⇒ y’ =

1
.
x

2- Propriétés:
* log (a.b) = log a + log b.
a
= log a – log b.
b
1
* log = - log a.
a

* log

* log an = n. log a
II-

Etudier la fonction y = log x :

* Df = ]0,+∞[


* y’ =

1
≠0.
x

x
y’
y

0+

1
+
0

-∞


- 11 -

+∞
+∞



y
y = log x

0

x

i
1

Exercices :
Etude des fonctions :
a- y = 3 log x + 2.
b- y = log (x – 2).
Solutions :
a- Df = ]0,+∞[
f’(x) =

3
.
x

x
f’(x)
f(x)

0+

1
+
2

+∞
+∞

-∞
b- Df = ]2,+∞[


f’(x) =

1
x−2

x
f’(x)
f(x)

2

3
+
0

-∞


- 12 -

+∞
+∞


III-


Limites :

* lim ln x = +∞.
+∞
* lim ln x = -∞.
0+

* lim
+∞

ln x
= 0x

* lim x lnx = 00
ln x
=1
x −1
ln( x + 1)
=1
* lim
0
x

* lim
1

IV-

Exercices:
1

1- Etude de la fonction : y = x2 e x .
Et tracer le graphique.
2- Etude de la fonction : y = x logx – 3x.
−

1

3- Etude de la fonction : y = (x – 2) e x .
Solution :
2

1
x

1- Etude de la fonction : y = x e .
* Df = ℜ * = ]− ∞,0[ ∪ ]0,+∞[
1
x

* y’ = 2x. e + x2 (-

1
). e
x2

car on a (x ≠ 1).
1
x

1

= (2x – 1). e x .
1

On a: y’ = 0 ⇔ 2x – 1 = 0

ou

e x = 0.
1
x

1
⇔ x=
2

1
x

on sait que e > 0 donc : e ≠ 0.


Donc le tableau de variation est le suivant :
x
y’
y

-∞

1
2

0
-

-

+∞


+

+∞

+∞
1 2
e
4

0

- 13 -

+∞



1

* lim f(x) = lim (x2. e x ) = +∞
−∞
−∞
2

1
x

2

1
x

* lim f(x) = lim (x . e ) = +∞
+∞
+∞
* lim f(x) = lim (x . e ) = 0
0−

0−

2

1
x

* lim f(x) = lim (x . e ) = 1
0+
0+
y

e2
4
0

1
2

x

2- Etude de la fonction : y = x log x – 3x.
* Df = ]0,+∞[ .
* y’ = (x log x)’ – (3x)’ = log x + x (log x)’ – 3
y’ = log x – 2.


On a : y’ = 0 ⇔ log x – 2 = 0.
⇔ x = e2 .
* Tableau de variation :
x
y’
y

e2
0

0
+∞

+
+∞

e
* lim f(x) = lim x.(log x – 3) = +∞.
+∞
+∞
* lim f(x) = lim x. log x – 3x = 0
0+
0+


+∞

- 14 -

-2



* Représentation graphique:
y

y = x log x – 3x.

e2

e3
x

-e2

3- Etude de la fonction : y = (x – 2) e

−

1
x

:

* Df = ℜ * = ]− ∞,0[ ∪ ]0,+∞[
* f’ (x) = e
=e
=e
=e

−

1
x

−

1
x

−

1
x

−

1
x

1

+ (x – 2).

−
1
.e x
2
x

x − 2 −x
+
.e
x2
x+2
(1 + 2 ).
x
2
x + x+2
(
).
x2

1

−

1

On a f’(x) = 0 ⇔ e x (
−

x2 + x + 2
)=0
x2

1
x


On sait que e ≠ 0 et x2 ≠ 0.
Donc x2 + x + 2 = 0
∆ = 9 = 32.
x1 = 1
et x2 = -2.
* Tableau de variation :
x
y’
y

-∞

-2
+

0
-

-

-4 2
-∞


1
0

-∞

- 15 -

+∞
+
+∞


* lim f(x) = lim (x – 2) e
−∞

−

1
x

= -∞.

−∞

* lim f(x) = lim (x – 2) e
+∞
+∞
* lim f(x) = lim (x – 2) e
0−

−

1
x

−

1
x

= +∞.
= -∞.

0−

* lim f(x) = lim (x – 2) e
0+
0+

−

1
x

= 0.

* Asymptotes obliques:
f ( x)
( x − 2).e
- lim
= lim
+∞
+∞
x
x
f ( x)
⇒ lim
= 1.
+∞
x

−

1
x

1

−
x
2
= lim . (1 - ) . e x .
+∞ x
x

- lim [f(x) – x] = lim (x – 2). e
+∞
+∞
= lim x e
+∞

−

1
x

= lim x [ e
+∞
On met:
Donc : lim +∞

X=-

−

−

1
x

-2 e
1
x

- x.
−

1
x

- x.
−

1

- 1] – 2 e x .

1
.
x

1
[eX – 1] – 2 eX = -3.
X

* Représentation graphique :


-

1
e

-4 e


- 16 -



Chapitre 4 : INTEGRALES

I-

Principes :

1- 1er cas :
Un train roule à la vitesse de v = 70 m s Durant un temps de t = 15 secondes.
Quelle est la distance parcourue par le train ?
On sait que : d = v.t donc : d = 70 * 15 = 1050 m.
v (ms )
v1 = 70

t (secondes)
t1 = 15
d = v.t = aire du rectangle hachuré.
2- 2ème cas :
La vitesse du train n’est pas constante et varie en fonction du temps « t », donc v= v(t).
On sait que : d = v.t.
Donc : d(t) = v(t) . t.
v (ms )
V(t)
v1 = 70


S

0

t (secondes)
t1 = 15


- 17 -


d = ∑ di =


15

∫ f (t )

dt = S.

0

C’est la somme des aires des petits rectangles.
II-

Intégrale d’une fonction sur un intervalle :

1- Définition :

f(x)
f(x)
v1 = 70
S

0

x
a

b

b

I=

∫ f ( x)

dx = aire S.

a

Remarque:
L’intégrale (aire) peut être positif ou négatif.
v (ms )


0

t (secondes)
a


b

- 18 -



2- Propriétés :
Si « f » est constante ⇒ I =

b

∫ kf ( x) dx.
a

I = k (b – a).
3- Valeur moyenne d’une fonction f(x) :
1
M=
(b − a )

III-

b

∫ f ( x) dx.
a

Propriétés générales d’une intégrale :

1- Théorème :
Toute fonction continue sur un intervalle I = [a, b] admet un intégrale.
2- Propriétés :
a

*

∫ f ( x)

dx = 0.

a
b

*

∫ f ( x)

a

dx = - ∫ f ( x) dx.

a

b

b

*

∫

c

f ( x) dx +

a

∫
b

b

*

c

f ( x) dx =

∫ kf ( x) dx
a

∫

dx.

a
b

=k

∫ f ( x) dx.
a

b

*

∫ f ( x)

b

f ( f + g )( x) dx =

a

a

* Si f(x) ≤ g(x) ⇒
IV-

∫

b

f ( x) dx +

∫ g ( x)

dx.

a

∫ f (x)

≤

∫ g (x) .

Primitives d’une fonction :


1- Théorème :
Soit f(x) une fonction continue sur I = [a, b] .
L’application : F : x → F(x) = ∫ f (t ) dt est dérivable sur I, et la dérivé de F(x) est F’(x) =
f(x).
2- Propriétés :


- 19 -



Toute fonction f(x) continue sur I possède plusieurs primitives.
Si « f » admet une primitive « F » sur I, alors « G = F + k » est aussi primitive de « f ».
Avec « k » constante.
L’intervalle « I »
ℜ
ℜ

Fonction « f »
a
x

ℜ

xn ; n∈ℵ

+
−
ℜ * ou ℜ *

1
x2
1
xn
1

+
−
ℜ * ou ℜ *

+
ℜ*

ℜ

+
*

r

x

ℜ

1
1+ x2
Cos x
Sin x

ℜ
ℜ

π
 π

 − 2 + kπ ; 2 + kπ 


]kπ ; π + kπ [
« u » est dérivable sur I et
strictement positive sur I
« u » est dérivable sur I et
strictement positive sur I

1
(cos) 2
1
1+ cotan2x =
(sin) 2
1+ tan2x =

u’ × un ; n ∈(Q/ {− 1} )

« u » est dérivable sur I


x
; r∈( Q/ {− 1} )

u'
u
u'
1+ u2
v'
v2
u’ + v’

« v » est dérivable et ne
s’annule pas sur I
« u et v » sont dérivables
sur I
sur I
sur I et v ≠ 0
« v » est dérivable sur I et
« u » est dérivable sur v(I)
ℜ
ℜ

sin (ax + b) ; a ≠ 0


Primitive « F »
ax + b
1 2
x +c
2
1 n+1
x +c
n +1
1
- +c
x
−1
+c
(n − 1) x n −1
2 x +c
1
xr+1 + c
r +1
Artan x + c
Sin x + c
- cos x + c
Tan x + c
- cotan x + c
1
un+1 + c
n +1
2 u +c
Arctan (u) + c
1
+c
v
u+v+c
-

u’v + uv’

u.v + c

u ' v − uv'
v2
u’(v(x)) × v’(x)

u
+c
v
(uov)(x) + c

Cos (ax + b) ; a ≠ 0

( 1 ) sin (ax + b) + c
a
- ( 1 ) cos (ax + b) + c
a

- 20 -


V-

∫ U '.V


Intégration par partie :

∫ U .V ' .

= U.V -

Exemples :
Calculer les intégrales suivantes :
π

I = ∫ x. cos x .dx .

1-

0

On pose:

I = [x. sin

V=x
U’ = cos x

V’ = 1
U = sin x

π

x]π0

- ∫ sin x .dx
0

x]π0

= [x. sin
+ [cos x]π0
= (π. Sin π - 0) + (cos π - cos 0).
I = -2.
2
x

I = ∫ ( x 2 + ) dx.

2-

I = ∫ x 2 dx +
I=

2

∫x

dx.

x3
+ 2 log x + k.
3
4

I = ∫ x x 2 + 4 dx.

3-

2

1
I=
2

4

∫ 2 x( x

2

+ 4)

dx.

2
1


2
 x2 + 4 
1

I= 
2  1

 +1 
 2


1
2

+1
3

1
dx . =
( x 2 + 4) 2 .
3

Car on sait que:
4-

I=

∫ 5x

3

m
∫ U '.U =

U m +1
.
m +1

x 4 + 1 dx.

1

I = ∫ 5 x 3 ( x 4 + 1) 2 dx.


- 21 -

1

5 ( x 4 + 1) 2
=
1
4
+1
3


+1

3

=

15 3
( x + 1) 2 .
16

e

I = ∫ log x dx.

5-

1

On pose :

U’ = 1
V = log x

I = [x log

U=x
V’ =

x]e1

1
x

e

- ∫ dx = [x log x –x]e1.
1

I = 1.
π

π

2

I = ∫ sin(2 x + ) dx.

6-

4

0

1
cos (ax + b).
a
1
π
1
π
π
Donc: I = [- cos (2x + )] = - [cos (π + ) – cos ].
2
4
2
4
4

∫ sin(ax + b)

On sait que :

On sait que : cos (π +
Donc : I = -

π

4

dx = -

) = -cos

π

4

.

1
2
2
1
[] = .
2
2
2
2

2

1

I = ∫ (2t − 4)e t dt.

7-

0

On pose :

U = (2t – 4)
V’ = et

U’ = 2
V = et .

1

1

0

0


I = ∫ (2t − 4)e t dt = [et (2t – 4)]10 - ∫ 2e t dt.
= [e (-2) – (-4)] – 2 [et]10.
= -4e + 6.


- 22 -



e

8-

I=

log x
dx.
2
1 x

∫

On pose : V = log x
U’ =

V’ =

1
x2

1
x

U=-

1
x

e

1
1
.log x]e1 + ∫ 2 dx.
x
1 x
1
1
= [ - . Log e + 1. log 1] – [ - 1].
e
e
2
+ 1.
=e

I = [-

π

9-

I = ∫ 2t sin t dt.
0

On pose :

V = 2t
U’ = sin t

V’ = 2
U = -cos t.

π

I = - [2t.cos t]π0 + ∫ 2 cos t dt.
0

= - [2 π cos π - 0] + 2 [sin t]π0.
= 2 π.
VI-

Décomposition :

1+ x
.
( x + 4) 2 ( x − 1)
1+ x
A
B
C
R(x) =
=
+
+
.
2
2
( x + 4)
( x − 1)
( x + 4) ( x − 1)
( x + 4)
3
* Calculer B : B =
5
2
* Calculer C : C =
25
2
* Calculer A : A = 25


Décomposition de : R(x) =

3- Lorsque d° P(x) ≥ d° Q(x) :
La méthode des calcules est la division euclidienne.


- 23 -



P(x)

Q(x)
p(x)

r(x)
P( x)
r ( x)
= p(x) +
Q( x)
Q( x)

avec d° r(x) < d° Q(x).

Exemple :
P( x)
x4
=
.
Q( x)
x( x + 1) 2

On a d° P(x) > d° Q(x).

x (x + 1)2 = x (x2 + 2x + 1).
= x3 + 2x2 + x.
x4
x4 + 2x3 + x2

x3 + 2x2 + x
x-2

3

2

- 2x – x
2x + 4x2 + 2x
3

3x2 + 2x

x4
x4
3x 2 + 2 x
= 3
= (x – 2) + 3
.
x( x + 1) 2
x + 2x
x + 2x 2 + x
3x + 2
= (x – 2) +
.
( x + 1) 2
x4
∫ x(x + 1) 2 dx.
3x + 2
I = ∫ x − 2 dx + ∫
dx.
( x + 1) 2

Calcul de I =


On pose: I1 = ∫ x − 2 dx.
I2 =
I2 =

3x + 2

∫ ( x + 1)

2

3x + 2

∫ ( x + 1)

dx. = 3
=

3
2

2

dx.
x

∫ (x + 1)

2

dx +

2x + 1 − 1
dx +
2
+ 2x + 1

∫x


2

∫ ( x + 1)

2

dx.
2

∫ ( x + 1)

2

- 24 -

dx



3
2x + 1
1
[∫
dx - ∫
dx] +
2
2
( x + 1)
( x + 1) 2
3
1
2
=
[log (x + 1) +
].
2
x +1
x +1

=

Donc : I + I1 + I2.
Exercice :
Calculer :

2x + 1

∫ ( x + 1)( x

dx

+ 1)
P( x)
2x + 1
A
Bx + C
=
=
+ 2
.
R(x) =
2
Q( x)
x +1
( x + 1)( x + 1)
( x + 1)
2

* Calculer A :
A = [R(x) × (x+1)]x = -1 = -

1
2

* Calculer B :
2x 2
Ax
=
3
x
x

Bx 2
=A+B=0
x2
1
⇒B=-A= .
2

+

* Calculer C :
On donne à x = 0. Donc 1 = A +

C
⇒ A + C = 1.
1

⇒ C = 1 – A.
⇒C=

3
.
2

3
1
 x+ 
2
2 dx +  2
I= ∫
∫ ( x 2 + 1) dx.
( x + 1)
1
I = - log x + 1 + I2
2
3
1
 x+ 
1 x+3
2
2
I2 = ∫  2
dx = ∫ 2
dx.
2 x +1
( x + 1)
1
x
3
dx
=
∫ x 2 + 1 dx + 2 ∫ x 2 + 1 dx.
2
1
2x
3
dx
=
∫ x 2 + 1 dx + 2 ∫ x 2 + 1 dx.
4
1
3
= log (x2 + 1) +
artang x.
4
2
1
1
3
artang x.
I = - log x + 1 + log (x2 + 1) +
2
4
2


−1


- 25 -

2

∫ ( x + 1)

2

dx.

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