esercizi sulle equazioni logaritmiche

1. Esercizi di Matematica – lezione del 10-12-2010 – classe 4A liceo
(docente: L. G. Cancelliere)
“Disequazioni Esponenziali”
-Esercizio 1
 x−2
 
2
3
⋅
3
2
1
notiamo che 3/2 è il reciproco di 2/3, ossia la frazione và solo arrovesciata per essere la medesima.
Effettuare il reciproco (o inverso) di una base, vuol dire elevare ad esponente negativo, ossia:
 x−2 −1
 
2
3
⋅
2
3
1
inoltre bisogna considerare che qualunque base elevata a 0 dà come risultato 1 (a 0 = 1, qualunque a) ,
quindi si può scrivere:
 x−2 −1 0
  
2
3
⋅
2
3

2
3
a questo punto applico la nota regola delle potenze (a n x am = an+m), al membro di sinistra, e quindi:
 x−2−1 0
 2
3

2
3
ora posso applicare il teorema delle equazioni / disequazione esponenziali che data un uguaglianza /
disuguaglianza con basi uguali, permette di scrivere la uguaglianza / disuguaglianza degli esponenti.
In questo caso specifico devo considerare che essendo la base minore di 1 il segno della disuguaglianza si
inverte1: e quindi concludo:
 x−30 x3
-Esercizio 2
x  x1
4 ⋅16 Innanzitutto noto che tutte le basi sono potenze di 2. Anche la costante 1
 x−3
1
8 può essere considerata come la potenza di 2 pari a 2 0 = 1. Esplicitiamo
quindi questo fatto:
2 2  x⋅2 4  x1 0 considerate le regole delle potenze (specificamente quelle relative al
2 l'elevamento di una potenza, ossia (an)m = anm ) si conclude:
2 3 x−3
2 2x⋅2 4 x1 0 a questo punto è opportuno operare sul denominatore della frazione per
3 x−3
2
2 portarlo al numeratore: 2x
2 ⋅2
4 x1
⋅2
−3 x−3
2
0
1 Il motivo dell'inversione del verso della disuguglianza è presto detto. Infatti per un numero minore di 1 nella base, il
risultato è tanto inferiore quanto è più alto l'elevamento, e da ciò si deduce che se a < 1 e a n > am significa che
n < m, ossia il verso della diseguaglianza è invertito.
1 A. Veneziani – esercizi su disequazioni esponenziali

2. quindi applicando la regola del prodotto di potenze (ossia an x am = an + m), si ha:
quindi a sinistra si sommano tutti gli esponenti fra loro, mantenendo la stessa base:
svolgiamo ora i calcoli relativi all'esponente di sinistra:
2x4x1−3x−3 0
2 2 2x4x 4−3x9 0 6x−3x13 0 3x13 0
2 2 2 2 2 2
a questo punto possiamo applicare il teorema che trasferisce uguaglianze/disuguaglianze agli esponenti per
risolvere l'equazione, ossia REGOLA:
se a > 1 a^f(x) > a^g(x) ==> f(x) > g(x)
se a < 1 a^f(x) > a^g(x) ==> f(x) < g(x)
(e viceversa nel caso di disequazione nel senso inverso)
3x130 3x−13 13
x−
3
-Esercizio 3
3 x1 1 Osserviamo come al solito che anche in questa espressione abbiamo tutte
  x 52
27 2x 3 basi uguali. Esplicitiamo quindi la base comune a tutti gli elementi, ossia 3,
e esprimiamo 27 come potenza di 3:
 x1
3 1
3 2x
  x 5 2
Adesso ricordando che per il prodotto di potenze vale (an)m = anm:
3  3 si può scrivere:  x1
3 1
6x
  x 5 2
3 3
Infine consideriamo i denominatori delle frazioni e quindi facendo i loro
reciproci invertiamo il segno degli esponenti ( vale a dire 1 / a = a ) n -n
2 dopodichè applicando le regole del prodotto di potenze con la stessa
3 x1⋅3−6x 1⋅3− x 5 base: 2
3−5x13− x −5
La base è comune e abbiamo due sole potenze ai due lati della disequazione, quindi possiamo applicare il
ben noto teorema delle equazioni esponenziali. La base delle potenze è > 1 e quindi il verso della
disequazione resta invariato rispetto a quello della espressione originaria:
−5x1−x 2−5
Perciò risulta:
2 Questa è una disequazione di secondo grado e si svolge come una comune
x −5x 60
equazione , 2 semplicemente poi realizzando un diagramma
x −5x 6=0
dei segni; calcoliamo quindi il delta della equazione:
2 2
=b −4ac=−5 −4⋅1⋅6=25−24=10
−b±  5±  1
quindi esistono soluzioni reali e distinte. Andiamo a trovarle: x1,2 = =
2a 2
2 A. Veneziani – esercizi su disequazioni esponenziali

3. Quindi le soluzioni risultano:
5  1 51 6 5−  1 5−1 4
x1 = = = =3 x 2= = = =2
2 2 2 2 2 2
Quindi l'equazione è scomponibile in:
x 2−5x6=x −2⋅ x −30
Si deve quindi studiare quando questo prodotto è minore di 0; come al solito impostiamo lo studio studiando
quando il prodotto è positivo (> 0) al di là di come sia posta la disequazione:
 x−2⋅ x−30
studiamo a sua volta quando i singoli fattori sono maggiori di 0:
x−20 quindi per x 2
x−30 quindi per x3
Il diagramma dei segni risulta:
2 3 X
In effetti il diagramma cartesiano di
questa disequazione risulta:
e quindi la disequazione di partenza
è verificata per 2 < x < 3
Ecco i diagrammi che mostrano la sovrapposizione (in effetti poco visibile anche con l'ausilio del calcolatore),
delle due curve oggetto della disequazione iniziale, nel punto iniziale 2 e nel punto finale 3,
3 A. Veneziani – esercizi su disequazioni esponenziali

4. ove la y1 e inferiore alla y2:
 x1
3 1
y 1 = 2x y 2=  x 2 5
e cerchiamo ove y 1 y 2
27 3
4 A. Veneziani – esercizi su disequazioni esponenziali