6. 6
บ้านเลขที่ 70 ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร
การพิสูจน์ (Proof)
การพิสูจน์ คือ การสรุปความจริงอย่างมีเหตุผลโดยมีหลักฐานยืนยัน
หลักฐาน (premise) ที่นามาอ้างจะต้องเป็นสิ่งที่ทุกคนยอมรับ เช่น ทุกคนยอมรับว่าเส้นตรงสองเส้นตัดกันที่จุดๆ
เดียว รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกัน เป็นต้น ความจริงที่ทุกคนยอมรับเช่นนี้
เรียกว่า สัจพจน์ (postulate)
การคิดหาเหตุผล (reasoning) ที่นามาใช้ จะต้องเป็นกระบวนการที่ทุกคนเห็นได้ชัดโดยปราศจากข้อสงสัย เช่น
เราเห็นได้ชัดว่า ถ้า a b และ b c แล้ว จะได้ว่า a c เป็นต้น กระบวนการที่เห็นได้โดยปราศจากข้อสงสัย
เช่นนี้ เรียกว่า สมบัติ (property) หรือ สิ่งที่เห็นจริงแล้ว (axiom)
สมบัติการเท่ากันทุกประการ
กาหนดรูป A , รูป B และรูป C เป็นรูปเรขาคณิตใดๆ
1. สมบัติสะท้อน รูป A รูป A
2. สมบัติสมมาตร ถ้ารูป A รูป B แล้ว รูป B รูป A
3. สมบัติสะท้อน ถ้ารูป A รูป B และ รูป B รูป C แล้ว รูป A รูป C
สัจพจน์ในวิชาเรขาคณิต
สัจพจน์ คือ ข้อความปกติทั่วไปยอมรับว่าเป็นเช่นนั้นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์
สัจพจน์ที่ 1 ลากเส้นตรงผ่านจุดๆหนึ่งได้เป็นจานวนไม่จากัด (มีจานวนไม่สิ้นสุด)
สัจพจน์ที่ 2 ลากเส้นตรงผ่านจุด 2 จุดได้เพียงเส้นเดียว
สัจพจน์ที่ 3 มุมๆหนึ่งมีเส้นแบ่งครึ่งมุมได้เพียงเส้นเดียว
สัจพจน์ที่ 4 ส่วนของเส้นตรงเส้นหนึ่งมีจุดแบ่งครึ่งเพียงจุดเดียว
สัจพจน์ที่ 5 ส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวเท่ากันย่อมทับกันสนิท
สัจพจน์ที่ 6 มุมที่มีขนาดเท่ากันย่อมทับกันสนิท
สัจพจน์ที่ 7 เส้นตรงสองเส้นตัดกันที่จุดๆเดียว
สัจพจน์ที่ 8 ขนาดของส่วนใหญ่ย่อมแบ่งเป็นส่วนย่อยได้ ผลบวกของส่วนย่อยเท่ากับส่วนใหญ่
สัจพจน์ส่วนย่อยของส่วนใหญ่
(1) ส่วนย่อยของความยาวของส่วนของเส้นตรง
จากรูปขวามือ จะได้ว่า
AD AB BC CD
AB AD BD
BC AD ABCD
A B C D
7. 7
บ้านเลขที่ 70 ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร
(2) ส่วนย่อยของขนาดของมุม
ตัวอย่างที่ 1 ถ้า AD 9 ซ.ม. AB 3 ซ.ม. และ CD 4 ซ.ม. ดังรูป
จงหาความยาวของ BC
ตัวอย่างที่ 2 ถ้า AB CD 3 ซ.ม. และ AD 8 ซ.ม. ดังรูป
จงหาความยาวของ BC
ตัวอย่างที่ 3 ถ้า ( ) 60 , ( ) 25 o o m AOD m AOB และ ( ) 20o m COD ดังรูป
จงหาขนาดของมุม BOC
ตัวอย่างที่ 4 กาหนดให้ O เป็นจุดบน AB ที่ทาให้ ( ) 110o m AOD และ ( ) 30o m BOC
จงหาขนาดของมุม COD
จากรูปซ้ายมือ จะได้ว่า
mAOD m(1) m(2) m(3)
m1 m(AOD) m(2) m(3)
O
D C
B
A
1
3
2
A B C D
A B C D
O
D
C
B
A
8. 8
บ้านเลขที่ 70 ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร
การพิสูจน์โดยใช้สัจพจน์ และสมบัติการเท่ากัน
ตัวอย่างที่ 5 กาหนดให้ AB CD ดังรูป จงพิสูจน์ว่า AC BD
พิสูจน์
ข้อความ เหตุผล
1. AB CD กาหนดให้
2. BC BC
3. AB BC CD BC
4. AC BD
ตัวอย่างที่ 6
พิสูจน์
ข้อความ เหตุผล
1. m(CAB) m(CBA)
2. m(DAB) m(DBA)
3. m(CAB) m(DAB) m(CBA) m(DBA)
4. m(CAD) m(CBD)
5. CAD CBD
A B C D
A
D
C
B
กาหนดให้ CAB CBA และ DAB DBA
จงพิสูจน์ว่า CAD CBD
9. 9
บ้านเลขที่ 70 ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร
แบบฝึกหัดที่ 3
1. กาหนดให้ AC BD ดังรูป จงพิสูจน์ว่า AB CD
พิสูจน์
ข้อความ เหตุผล
1. AC BD
2. BC BC
3.
4.
2.
พิสูจน์
ข้อความ เหตุผล
A B C D
E D
B C
A
กาหนดให้ AB AC และ AD AE
จงพิสูจน์ว่า BD CE
10. 10
บ้านเลขที่ 70 ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร
3.
พิสูจน์
ข้อความ เหตุผล
4.
พิสูจน์
ข้อความ เหตุผล
E D
B C
A
กาหนดให้ BD CE และ AD AE
จงพิสูจน์ว่า BA CA
A
D
B C
3 4
1 2
กาหนดให้ ABC และ DBC มี 1 2 และ 3 4
ดังในรูป จงพิสูจน์ว่า ABC ACB
11. 11
บ้านเลขที่ 70 ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร
5.
พิสูจน์
ข้อความ เหตุผล
สัจพจน์ เส้นตรงสองเส้นตัดกัน มุมตรงข้ามย่อมเท่ากัน
พิสูจน์
ข้อความ เหตุผล
A
E
D
C
B
ˆ1
ˆ3
ˆ2
กาหนดให้ ABC มี D และ E เป็นจุดบนด้าน BC
ทาให้ mBAE mCAD และกาหนดมุม 1 , 2 และ
3 ดังรูป จงพิสูจน์ว่า 1 2
2
4
3 1
จากรูป จงพิสูจน์ว่า m1 m3
และ m2 m4
12. 12
บ้านเลขที่ 70 ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร
สัจพจน์ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม
รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะเท่ากันทุกประการด้วยความสัมพันธ์ต่อไปนี้
1. สัจพจน์ ด้าน – มุม – ด้าน (SAS Postulate)
2. สัจพจน์ มุม – ด้าน – มุม (ASA Postulate)
3. สัจพจน์ มุม – มุม – ด้าน (AAS Postulate)
4. สัจพจน์ ด้าน – ด้าน – ด้าน (SSS Postulate)
1. สัจพจน์ ด้าน – มุม – ด้าน (SAS Postulate)
สามเหลี่ยมสองรูป ซึ่งด้านสองด้านยาวเท่ากัน และมุมระหว่างด้านมีขนาดเท่ากัน สามเหลี่ยมสองรูปนั้น
เท่ากันทุกประการ
ระหว่าง ABC และ DEF
ถ้า AB DE , BC EF และ mB mE จะได้ว่า ABCDEF
2. สัจพจน์ มุม – ด้าน – มุม (ASA Postulate)
สามเหลี่ยมสองรูป ซึ่งมุมสองมุมมีขนาดเท่ากัน และด้านระหว่างมุมเท่ามีความยาวเท่ากัน สามเหลี่ยมสอง
รูปนั้นเท่ากันทุกประการ
ระหว่าง ABC และ DEF
ถ้า m(B) m(E) , m(C) m(F) และ BC EF จะได้ว่า ABCDEF
A
B C
D
E F
B C
A
E F
D
13. 13
บ้านเลขที่ 70 ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร
3. สัจพจน์ มุม – มุม – ด้าน (AAS Postulate)
สามเหลี่ยมสองรูป ซึ่งมุมสองมุมมีขนาดเท่ากัน และด้านที่ไม่อยู่ระหว่างมุมเท่า มีความยาวเท่ากัน สามเหลี่ยม
สองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ
ระหว่าง ABC และ DEF
ถ้า m(A) m(D) , m(B) m(E) และ CA FD จะได้ว่า ABCDEF
4. สัจพจน์ ด้าน – ด้าน – ด้าน (SSS Postulate)
สามเหลี่ยมสองรูป ซึ่งมีด้านทั้งสามยาวเท่ากันตามลาดับ สามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ
ระหว่าง ABC และ DEF
ถ้า AB DE , BC EF และ CA FD จะได้ว่า ABCDEF
A
B C
D
E F
A
B C
D
E
F