1. ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริ กซ์
1
ใบความรู้
เรื่อง ระบบสมการเชิงเส้ น
ระบบสมการเชิงเส้ นและคาตอบของระบบสมการเชิงเส้ น
บทนิยาม
ให้ a, b, c, d, e, f เป็ นจานวนจริ งใด ๆ ที่ a, b ไม่เป็ นศูนย์พร้อมกัน และ c, d ไม่เป็ นศูนย์พร้อมกัน
ax by e
เรี ยก
ว่ าเป็ นระบบสมการเชิงเส้ นสองตัวแปร
cx dy f
โดยที่ x และ y เป็ นตัวแปร
คาตอบของระบบสมการนี้คือค่าของ x และ y ที่ทาให้สมการทั้งคู่เป็ นจริ ง
ตัวอย่ างที่ 1 จงแก้ระบบสมการ
x+y=0
2x – y = 3
x + y = 0 ………..(1)
x–y = 3 ………..(2)
(1)+(2) ; x + y + 2x – y = 0 + 3
3x = 3
วิธีทา
x=
3
3
=1
แทนค่า x = 1 ในสมการ (1) จะได้
1+y= 0
y = 0 – 1 = –1
คาตอบของสมการคือ x = 1 และ y = –1 หรื อ (1, –1)
นางธนาภรณ์ โคตรนารา
โรงเรี ยนระยองวิทยาคม
2. ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริ กซ์
2
วิธีแก้ระบบสมการ
วิธีการแก้ ระบบสมการ สามารถทาได้ 2 วิธี คือ
1) การกาจัดตัวแปรโดยวิธีการบวกลบสมการ (elimination by addition or subtraction ) ทาได้โดยการนา
สมการมาบวกหรื อลบกันเพือกาจัดตัวแปรให้เหลือตัวแปรเดียว แล้วหาค่าตัวแปรนั้นจากสมการที่ได้
่
จากนั้นให้นาค่าของตัวแปรที่ได้ไปแทนในสมการเดิมสมการใดสมการหนึ่ ง เพื่อหาค่าของตัวแปรที่
เหลือ
2) การกาจัดตัวแปรโดยวิธีการแทนค่า (elimination by substitution) ทาได้โดยเลือกสมการใดสมการ
่
หนึ่ง แล้วหาค่าตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งให้อยูในรู ปของอีกตัวแปรหนึ่ง นาผลที่ได้ไปแทนในอีกสมการ
หนึ่ง แล้วจะเหลือตัวแปรเพียงตัวเดียว จึงหาค่าของตัวแปรนั้นได้ เมื่อหาตัวแปรหนึ่งได้ก็จะหาตัว
แปรที่เหลือได้
ระบบสมการเชิงเส้ นและคาตอบของระบบสมการเชิงเส้ น
ในหัวข้อนี้จะศึกษาระบบสมการเชิงเส้น n ตัวแปร โดยที่ n 2
บทนิยาม
ให้ a1 ,a 2 ,a 3 ,...a n , b เป็ นจานวนจริ งใด ๆ ที่ a1 ,a 2 ,a 3 ,...a n ไม่เป็ นศูนย์พร้อมกัน เรี ยกสมการ
a1x1 a 2 x 2 a3x 3 ... a n x n b เป็ นสมการเชิงเส้น n ตัวแปร โดยที่ x1 ,x 2 ,x 3 ,...x n เป็ นตัวแปร
บทนิยาม
ระบบสมการเชิงเส้นที่มี x1 ,x 2 ,x 3 ,...x n เป็ นตัวแปร หมายถึงชุดของสมการเชิงเส้นที่ประกอบด้วยสมการ
เชิงเส้นที่มี x1 ,x 2 ,x 3 ,...x n เป็ นตัวแปรจานวน m สมการ โดยที่ m 2
คาตอบของระบบสมการนี้คือ ค่าของ x1 ,x 2 ,x 3 ,...x n ที่ทาให้สมการทั้ง m สมการเป็ นจริ ง
โดยทัวไปแล้ว เมื่อกาหนดระบบสมการเชิงเส้นที่มี m สมการ และ n ตัวแปร
่
a11x1 a12 x 2 a13 x3 ... a1n x n b1
a 21x1 a 22 x 2 a 23x 3 ... a 2n x n b 2
a m1x1 a m2 x 2 a m3x 3 ... a mn x n b m
เมื่อ a i1x1 a i2 x 2 a i3x 3 ... a in x n b i เป็ นสมการเชิงเส้นทุก i {1, 2, 3, …, m} นันคือ
่
a i1 ,a i2 ,a i3 x 3 ,...,a in ,b i เป็ นจานวนจริ งใด ๆ ที่ a i1 ,a i2 ,a i3 x 3 ,...,a in ,b i ไม่เป็ นศูนย์พร้อมกัน
นางธนาภรณ์ โคตรนารา
โรงเรี ยนระยองวิทยาคม
3. ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริ กซ์
3
ในระบบสมการเชิงเส้นที่มี n ตัวแปร มักนิยมแทนตัวแปรดังนี้
ถ้า n = 2 แล้ว จะให้ x, y
แทนตัวแปร
ถ้า n = 3 แล้ว จะให้ x, y, z
แทนตัวแปร
ถ้า n = 4 แล้ว จะให้ x, y, z, t แทนตัวแปร
ถ้า n 5 แล้ว จะให้ x1 ,x 2 ,x 3 ,...x n แทนตัวแปร
อาจใช้ x1 ,x 2 ,x 3 ,...x n แทนตัวแปร กรณี n = 2, 3 หรื อ 4 ก็ได้
สาหรับคาตอบของระบบสมการมักนิยมเขียนในรู ปของ n สิ่งอันดับ (ordered n-tuple) เช่น (x, y) , (x, y, z),
(x, y, z, t), ( x1 ,x 2 ,x 3 ,...x n )
ตัวอย่ างที่ 1 จงแก้ระบบสมการ
x+y+z = 2
x+y–z = 4
x + 2y + z = 4
วิธีทา
x+y+z = 2
…………………..(1)
x+y–z = 4
…………………..(2)
x + 2y + z = 4
…………………..(3)
(1) – (2) จะได้ 2z = –2
z = –1
(3) – (1) จะได้ y = 2
แทนค่า y = 2 และ z = –1 ลงใน (1)
จะได้ x + 2 – 1 = 2
x=1
อย่าลืม!ตรวจคาตอบนะจ๊ะ
ตรวจคาตอบโดยการนาค่า x = 1 , y = 2 และ z = –1 แทนลงใน (2) และ (3)
ได้ค่าเป็ นจริ งทั้งสองสมการ
ดังนั้น คาตอบของระบบสมการคือ (1, 2, –1)
นางธนาภรณ์ โคตรนารา
โรงเรี ยนระยองวิทยาคม
4. ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริ กซ์
4
ตัวอย่ างที่ 2 จงแก้ระบบสมการ
x + y + z = –2
x – 2y – 2z = 1
x + 2y + z = 0
วิธีทา
x + y + z = –2
…………………..(1)
x – 2y – 2z = 1
…………………..(2)
x + 2y + z = 0
…………………..(3)
(1) – (2) จะได้
(x + y + z) – (x – 2y – 2z) = –2 – 1
x + y + z – x + 2y + 2z = –3
(3) – (1) จะได้
3y + 3z = –3
y + z = –1 …………………..(4)
(x + 2y + z) – (x + y + z) = 0 – (–2)
x + 2y + z – x – y – z = 2
y= 2
แทนค่า y = 2 ลงใน (4)
จะได้
2 + z = –1
z = –3
แทนค่า y = 2 และ z = –3 ลงใน (1)
จะได้
x + 2 + (–3) = –2
x = –1
อย่าลืม!ตรวจคาตอบนะจ๊ะ
ตรวจคาตอบ โดยการนาค่า x = –1 , y = 2 และ z = –3 แทนลงใน (2) และ (3)
ได้ค่าเป็ นจริ งทั้งสองสมการ
ดังนั้น คาตอบของระบบสมการคือ (–1, 2, –3)
นางธนาภรณ์ โคตรนารา
โรงเรี ยนระยองวิทยาคม