примеры линейных нормированных_пространств

1. Примеры линейных нормированных пространств
1. Евклидово пространство Rn
En – линейная система xn = {1, 2… n} – n-мерный вектор
|| x || = 
n
i
i
1
2

Неравенство Минковского
ppn
i
i
pn
i
p
i
ppn
i
ii
1
1
1
1
1
1 






















  

2. Пространство Lp(0,1), состоящее из всех функций, суммируемых с p-
ой степенью

1
0
)( dttx
p
< 
Из интегрального неравенства Минковского
p
p
p
p
p
p
dttydttxdttytx
1
1
0
1
1
0
1
1
0
)()()()( 

















 
p
p
dttxx
1
1
0
)( 





 
Сходимость в Lp(0, 1) является сходимостью в среднем с показателем p.
xn  xo означает
.0)()(
1
0
 dttxtx
p
n
3. Пространство C(0,1). В линейной системе C(0,1) состоящей из всех
непрерывных на отрезке [0,1] функций, норма функций x(t) определяется как
)(max
10
txx
t

( , ) max ( ) ( )
[ , ]
x y x t y t
t
 
 0 1
-
есть максимальное расстояние между графиками. Сходимость {xn} к xo
означает равномерную сходимость последовательности функций xn(t) к xo(t).

2. 4. Пространство C(l)
(0,1). x  C(l)
(0,1) – всевозможные функции,
определенные на отрезке [0,1] и имеющие на этом отрезке непрерывные
производные до l-ой включительно. Алгебраические операции определяются
обычным образом



l
k
k
x
txx
0
)(
]1,0[
)(max