многочлены чебышева

1. Многочлены Чебышева
Многочлены Чебышева Tn(x) при n 0 определяется соотношениями
T0 (x) = 1;
T1 (x) = x;
Tn+1(x) = 2 x Tn (x) - Tn-1 (x) при n >0;
тогда
T2 = 2 x2
-1;
T3 = 4 x3
- 3 x;
T4 = 8 x4
- 8 x2
+ 1.
Старший член Tn+1 (x) получается из Tn (x) умножением на 2x и, следовательно, старший
член Tn (x) при n > 0 есть 2n-1
xn
.
Тогда
T2n (x) - четные
T2n+1 (x) - нечетные.
Рассмотрим тригонометрические преобразования:
cos(n + ) = cos() cos(n) - sin() sin(n) =
= cos() cos(n) - sin() (sin() cos((n-1)  ) + cos() sin((n-1) ) =
= cos() cos(n) - cos(n-1+ cos () cos((n-1) -- cos() sin() sin((n-1)) =
= cos() cos(n) - cos((n-1) ) + cos() (cos(сos((n-1)) -sin() sin((n-1)) =
= 2cos() cos(n) - cos((n-1)).
Полагая = arccos(x), получим
cos((n+1)arccos(x)) = 2x cos(n arccos(x)) - cos((n-1)arccos(x));
cos(0 arccos(x)) = 1 = T0 (x);
cos(1 arccos(x)) = x = T1 (x);
Tn (x) = cos(n arccos(x)).
Следовательно
| Tn (x) | < 1 при всех | x | < 1
Из уравнения Tn (x) = cos(n arccos(x)) получаем

2. Tn (x) = cos(arccos(x) n) = 0
n arccos(x)
2
)12( 

mm
m = 0, 1, ... , n - 1
xm = cos 




 
n
m
2
)2(
m = 0, 1, ... , m - 1
Точки экстремума будут иметь значение | T n(x) | = 1
n arccos(x) = m
x = cos
n
m
m = 0, 1, ... , n
Tn (x) = 2 1-n
Tn (x) = x n
+ ...
T n(x) - называются многочленами, наименее уклоняющимися от нуля.
Лемма. Если Pn (x) - многочлен степени n со старшим коэффициентом 1, то
   
n
nn xTxP 

 1
1,11,1
2)(max)(max
Доказательство.
Предположим противное. Многочлен Tn (x) - Pn (x) имеет степень n - 1; в то же время
sign (Tn (xm ) - Pn (xm )) = sign ((-1)m
21-m
- Pn (xm )) = (-1)m
,
т.к. согласно предположению |Pn (xm)| < 21-n
при всех m. Таким образом, между xm и x m+1
многочлен Tn(x) - Pn (x) меняет знак, т.е. он имеет n корней. Мы пришли к противоречию.
Заменой x' = x
abab
22



отрезок [-1,1] можно перевести в [a,b].
 
;
)(2
2)()( 1,








 
ab
abx
TabxT n
nnba
n
т.е.
   
  .2)(
,
maxmax 1
,,
)()( nn
baba
ab
ba
n
n
xTxP 

Нулями Tn
 ba, (x) являются точки
Xm = 


 


n
mabab
2
)12(
cos
22

; m = 0,1, ... , n-1
Минимизация оценки остаточного члена интерполяционной формулы.
Пусть f(x) приближается на [a,b] с помощью интерполяционного многочлена степени n-1 с
узлами интерполяции x , ... , x [a,b], пусть погрешность оценивается в норме f = sup
f(x) .

3. f(x) - Ln (x) =
n
xWf n
n
)()()(

;
тогда -
!
)(
n
Wf
Lf
n
n
n 
Займемся минимизацией правой части этой оценки за счет выбора узлов x , ... , x , для этой
цели и были введены многочлены Чебышева, наименее уклоняющиеся от нуля.
Многочлен Wn (x) имеет старший коэффициент 1, поэтому
Wn = (b - a) n
21-n
.
Следовательно, при таком расположении узлов справедлива наилучшая из оценок,
которая может быть получена
!
)(
n
2abf
Lf
1nnn
n


