Transferencia de massa livro

Edição de agosto de 2005
Universidade Federal da Bahia
Samuel Luporini
Transferência de Massa

OBJETIVOS:
1. Conhecimento básico das leis de transferência de massa indispensável a uma formulação correta
dos problemas correntes de engenharia química.
2. Desenvolvimento da capacidade para modelar matematicamente, simular e avaliar processos de
transferência de massa com ênfase em equipamentos de contato direto.
TRANSFERÊNCIA DE MASSA
1. Fundamentos da transferência de massa
1.1. Transferência de massa molecular
1.2. O coeficiente de difusão
1.3. Transferência de massa convectiva
2. Equações diferenciais de transferência de massa
2.1. A equação diferencial de transferência de massa
2.2. Formas especiais da equação de transferência de massa
2.3. Condições de contorno
2.4. Modelagem de processos envolvendo difusão molecular
3. Difusão molecular no estado estacionário
3.1. Transferência de massa independente de reação química
3.2. Sistemas associados com reação química
3.3. Sistemas de duas e três dimensões
3.4. Transferências simultâneas de momento, calor e massa
4. Difusão molecular no estado transiente
4.1. Difusão transiente e a segunda lei de Fick
4.2. Difusão transiente em meio semi-infinito
4.3. Difusão transiente em um meio finito sob condições de resistência de superfície
desprezível
4.4. Cartas de concentração tempo para formas geométricas simples
5. Transferência de massa convectiva
5.1. Considerações fundamentais em transferência de massa convectiva
5.2. Parâmetros significantes em transferência de massa convectiva
5.3. Analise dimensional
5.4. Análise exata da camada limite de concentração laminar
5.5. Análise aproximada da camada limite de concentração
5.6. Analogias entre transferência de massa, calor e momento
5.7. Modelos para coeficientes de transferência de massa convectiva

6. Transferência de massa convectiva entre fases
6.1. Equilíbrio
6.2. Teoria das duas resistências
7. Correlações para transferência de massa convectiva
7.1. Transferência de massa para placas, esferas e cilindros
7.2. Transferência de massa envolvendo escoamento através de tubos
7.3. Transferência de massa em colunas de parede molhada
7.4. Transferência de massa em leitos fixo e fluidizado
7.5. Transferência de massa gás-líquido em tanques agitados
7.6. Coeficientes de capacidade para torres de recheio
7.7. Modelagem para processos de transferência de massa envolvendo convecção
8. Equipamentos de transferência de massa
8.1. Tipos de equipamentos de transferência de massa
8.2. Operações de transferência de massa gás-líquido em tanques de mistura perfeita
8.3. Balanços de massa para torres de contatos contínuos
8.4. Balanço de entalpia para torres de contatos contínuos
8.5. Coeficientes de capacidade para transferência de massa
8.6. Analises de equipamentos de contatos contínuos
Bibliografia:
WELTY, J.R., WICKS, C.E., WILSON, R.E., RORRER, G., Fundamentals of Momentum, Heat
and Mass Transfer, 4th
Edition, John Wiley & Sons, Inc., 2001.
WELTY, J.R., WICKS, C.E., WILSON, R.E., Fundamentals of Momentum, Heat and Mass
Transfer, 3th
Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1984.
BIRD, R.B., STEWART, W.E., LIGTHFOOT, E.N., Fenômenos de Transporte, 2a. edição, LTC
EDITORA, 2004.
CREMASCO, M.A., Fundamentos de Transferência de Massa, 2ª. Edição revista, Editora
UNICAMP, 2002.
GEANKOPLIS, C.J., Mass Transfer Phenomena, Holt Rineart and Winston, Inc., 1972.
MILLS, A.F., Mass Transfer, Prentice Hall, 2001.
CUTLIP, M.B., SHACHAM, M., Problem Solving in Chemical Engineering with Numerical
Methods, Prentice Hall PTR, Chapter 7 Mass Transfer, 1999.

Fundamentos de Transferência de Massa 1.1
Samuel Luporini/DEQ/UFBA
1. FUNDAMENTOS DA TRANSFERÊNCIA DE MASSA
o Quando um sistema dois ou mais componentes na qual as concentrações variam de ponto a
ponto, há uma tendência natural da massa ser transferida, minimizando as diferenças de
concentração entre os sistemas.
o O transporte de um constituinte de uma região de alta concentração para aquela de menor
concentração é chamado de transferência de massa.
o Exemplos:
o A remoção de poluente a partir de uma corrente de descarga por absorção.
‘Stripping’ de gases por lavagem de água.
o Difusão de nêutron em um reator nuclear.
o A difusão de substâncias adsorventes dentro de poros de carbono ativado.
o A taxa de catalise química e reações biológicas.
o A transferência de massa pode ocorrer pelo movimento molecular ao acaso em fluidos
estagnados ou podem ser transferidos a partir de uma superfície para um liquido em movimento,
adicionado pelas características dinâmicas do escoamento.
o Dois modos distintos de transporte:
molecular
convectivo
simultâneos
1.1 TRANSFERÊNCIA DE MASSA MOLECULAR
1815 → Panot observou quantitativamente que uma mistura de gases contendo duas ou mais
espécies moleculares, na qual as concentrações relativas variam de um ponto ao outro, um processo
natural resulta em diminuir a desigualdade da composição, chamando de difusão molecular.
O fluxo líquido de cada espécie molecular ocorre na direção de um gradiente de concentração
negativo.
Teoria cinética dos gases.
A transferência de massa ou difusão ocorre somente em misturas.

CONCENTRAÇÕES:
densidadeoutotalmássicaãoconcentraç
Aespéciedamássicaãoconcentraç misturadavolume
Ademassa
A
=ρ
==ρ
(1.1)
(1.3)1w
(1.2)wmássicaFração
n
1i
i
A
n
1i
i
A
A
=
ρ
ρ
=
ρ
ρ
==
∑
∑
=
=
n = número de espécie da mistura
A concentração molar da espécie A, cA é o número de moles de A presentes por unidade de
volume da mistura.
1 mol de A ≡ massa equivalente ao seu peso molecular
M
c
A
A
A
ρ
= (1.4)
MA = peso molecular de A
Pela lei dos gases ideais pAV = nART, logo:
RT
p
V
n
c AA
A == (1.5)
Onde: PA = pressão parcial da espécie A na mistura
nA = número de moles da espécie A
V = volume do gás
Moléculas de espécie AMoléculas de espécie A

T = temperatura absoluta
R = constante dos gases
A concentração molar total, c, é o mole total da mistura por unidade de volume.
RT
P
V
n
cc
n
1i
total
i∑
=
=== (1.6)
P = pressão total
Fração molar de líquidos e sólidos: xA = cA/c
Gases: yA = cA/c (1.7)
Para uma mistura que obedece a lei dos gases ideais:
(1.9)1ye1x
DaltondeLei(1.8)
P
p
RTP
RTp
c
c
y
n
1i
i
n
1i
i
AAA
A
==
===
∑∑
==
Tabela 24.1 Concentrações em uma mistura binária com A e B (Welty)
Exemplo 1: A composição do ar é muitas vezes dada em termos das duas espécies principais na
mistura de gases:
79,0yN
21,0yO
2
2
N2
O2
=⇒
=⇒
Determinar a fração mássica de O2 e N2 e o peso molecular médio do ar a 25o
C e 1atm.
Velocidades
Num sistema multicomponentes as varias espécies n, moverá normalmente a diferentes
velocidades. A velocidade de mistura será a media das velocidades da cada espécie presente.

médiamolarevelocidadarelativaidedifusãodeevelocidadVv
médiamássicaevelocidadarelativaidedifusãodeevelocidadvv
molarmédiaadevelocid(1.11)
c
vc
V
ioestacionáreixoumparaideabsolutavelocidadev
mássicamédiaadevelocid(1.10)
vv
v
i
i
n
1i
ii
i
n
1i
ii
n
1i
i
n
1i
ii
=−
=−
=
=
ρ
ρ
=
ρ
ρ
=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
rr
rr
r
r
r
rr
r
De acordo com a lei de Fick um componente pode ter uma velocidade relativa para a velocidade
média molar ou mássica somente se existir gradientes de concentração.
Exemplo 2: Sabendo que as velocidades absolutas das espécies químicas presentes na mistura
gasosa são: cm/s;11vcm/s;19vcm/s;13vcm/s;10v z,NzO,HzO,zCO, 22
====
Determinar:
a) velocidade média molar da mistura
b) velocidade média mássica da mistura
c) velocidade de difusão de O2 na mistura relativa a velocidade média molar da mistura
d) velocidade de difusão de O2 na mistura relativa a velocidade média mássica da mistura
Fluxos
É um vetor quantitativo atribuído a quantidade da espécie particular, em unidade mássica ou molar,
que passa em um incremento de tempo através de uma área normal ao vetor.
Podem ser definidos com referência a coordenadas fixas no espaço, coordenadas que movem com a
velocidade média mássica ou molar.
O fluxo molar na direção z:

zd
cd
DJ A
ABz,A −= 1ª Lei de Fick (1.12)
DAB = difusividade mássica ou coeficiente de difusão do componente A difundindo em B.
dcA/dz = gradiente de concentração na direção z.
zd
yd
cDJ A
ABz,A −= (1.13)
O fluxo mássico na direção z:
zd
wd
Dj A
ABz,A ρ−= (1.14)
zd
d
Dj A
ABz,A
ρ
−= (1.15)
Para um sistema binário com uma velocidade média constante na direção z o fluxo molar
relativo a velocidade média molar é:
( )VcJ zz,AAz,A −ϑ= (1.16)
Igualando (1.13) com (1.16), temos:
( )
( ) ( )z,BBz,AAAzAz,BBz,AAz
zA
A
BA,z,AA
A
BA,zz,AAz,A
ccyVcoucc
c
1
V:sendo
Vc
dz
dy
cDc:Portanto
dz
dy
-cDVcJ
ϑ+ϑ=ϑ+ϑ=
+−=ϑ
=−ϑ=

( )
:quetemos
cNecN
:sãoioestacionáreixoaorelativoBeAscomponentedosfluxosOs
ccy
dz
dy
cDc:Logo
BBBAAA
z,BBz,AAA
A
BA,z,AA
ϑ=ϑ=
ϑ+ϑ+−=ϑ
rrrr
( )










+










=










++−=
soluçãodaglobal
movimentodo
resultantefluxo
difusiva
ãocontribuiçda
resultantefluxo
zeixoao
referênciac/
Adefluxo
NNy
dz
dy
cDN z,Bz,AA
A
BA,z,A
( )
:temosformamesmaDa
misturanaAdedifusãodeecoeficientD
(1.18)NyycDN
:nentemulticompomisturaumapara
(1.17)NNyycDN
MA,
n
1i
iAAMA,A
BAAABA,A
=
+∇−=
++∇−=
∑
=
rr
rrr
( )
( )B,zA,zA
A
A,BA,z
B,zA,zA
A
A,BA,z
nnw
dz
dw
Dn
liquidosparaNNx
dz
dx
cDN
++ρ−=
++−=

Exemplo 3: Sabendo que a mistura gasosa tem as velocidades relativas:
cm/s.11cm/s;19cm/s;13cm/s;10 z,Nz,OHz,Oz,CO 222
=ϑ=ϑ=ϑ=ϑ
Determine para a temperatura de 105º C e 1 atm:
a) Fluxo difusivo molar de O2 na mistura.
b) Contribuição do fluxo convectivo de O2 na mistura.
c) Fluxo molar total com referência ao eixo estacionário
2. COEFICIENTE DE DIFUSÃO
Lei de Fick ⇒ a constante de proporcionalidade é conhecida como coeficiente de difusão.
( )w,T,PfD
t
L
L1LM
1
tL
M
dzdc
J
D
AB
2
32
A
z,A
AB
=
≡








⋅






≡
−
=
Idêntico as dimensões fundamentais de outras propriedades de transporte.
Viscosidade cinemática: ν
Difusividade térmica: α = k/ρcp
Difusividade mássica de gases
- mistura gasosa de baixa densidade
- teoria cinética dos gases
Aumenta a
mobilidade da
molécula
Gases → 5 x 10-6
a 10-5
m2
/s
líquidos → 10-10
a 10-9
m2
/s
sólidos → 10-14
a 10-10
m2
/s
DAB
diminui

Figura 1.2 Movimento molecular para a superfície de um volume de controle
Transferência de massa
médiolivrecaminho
Nd2
1
acasoaomolecularevelocidad
m
kT8
C
C
3
1
D
y
C
3
1
j
2
AA
A
y,A
⇒
π
=λ
⇒
π
=
λ=
∂
ρ∂
λ=
?
k = constante de Boltzmann
N = concentração molecular
m = massa de uma molécula
CN
4
1
Z =
d = diâmetro da molécula esférica
Z = freqüência em que as moléculas alcançam a área ∆x ∆z
0 (estacionário)
( ) 0dv
t
dAn
CVCS
=ρ
∂
∂
+ϑρ ∫∫∫∫∫
rr
→ Fluxo para frente = fluxo para trás
∆y
∆x
x
y
ρA = ρA(y)

*AisótoposeueAEx
similares.moléculasdemisturaumadedifusãodeeCoeficient
m
Tk
Pd3
2
*D
PcRTNkT
:idealgásumPara
m
kT
Nd3
2
*D:Logo
2133
223AA
21
223AA








π
=
==






π
=
A equação de Chapman-Enkosg:
D
2
AB
21
BA
233
AB
P
M
1
M
1
T10x858,1
D
Ωσ






+
=
−
onde: DAB (cm2
/s)
MA e MB = pesos moleculares
P = pressão absoluta (atm)
σAB = diâmetro de colisão, parâmetro de Leonard-Jones (Å)
ΩD = integral de colisão
É válida para um par de gases apolares e moléculas não reagentes.






ε
=Ω
AB
kT
f TABELA K.1 WELTY
onde: k = constane de Boltzmann = 1,38 x 10-16
erg/K
εA = energia de interação molecular (ergs)
Os parâmetros de Leonard-Jones σ e εAB ⇒ TABELA K.2 WELTY
Na ausência de dados experimentais:

bA
cA
31
c
c
31
c
31
b
T15,1k
T77,0k
P
T
44,2
V841,0
V18,1
=ε
=ε






=σ
=σ
=σ
Vb = volume molar para o ponto normal de ebulição (cm3
/gmol) ⇒ TABELA 24.4 WELTY
Vc = volume molar crítico (cm3
/gmol)
Tc = temperatura crítica (K)
Tb = temperatura de ebulição normal (K)
Pc = pressão crítica em (atm)
Para pares de moléculas apolares, tem-se
BAAB
BA
AB
2
εε=ε
σ+σ
=σ
Para moléculas polar-polar e polar-apolar são discutidas por Bird e Cremasco
Predição de DAB variando com a P e T
2
1
1122
T,D
T,D
23
1
2
2
1
P,T,ABP,T,AB
T
T
P
P
DD
Ω
Ω












=
Apêndice J.1 de Welty
Exemplo 4: Avaliar o coeficiente de difusão para o CO2 no ar a 20ºC e 1 atm. Comparar com os
dados experimentais.

Quando os parâmetros de Lennard-Jones não são disponíveis pode-se utilizar a equação de Fuller.
( ) ( )[ ]231
B
31
A
21
BA
75,13
AB
P
M
1
M
1
T10
D
∑∑ ϑ+ϑ






+
=
−
ϑ ⇒ TABELA 24.3 WELTY
Exercicio 5 (24.12), itens a, b, e
Determinar os valores da difusividade dos seguintes gases.
a) CO2/ar 310 K e 1,5 x 105
Pa
b) Etanol/ar 325 K e 2,0 x 105
Pa
e) SO2/ar 300 K e 1,5 x 105
Pa
Exemplo 6. Reavaliar o coeficiente de difusão do dióxido de carbono em ar a 20º C e 1 atm,
utilizando a equação de Fuller, Schettler e Giddings e comparar o novo valor com o obtido no
exemplo 4.
Para compostos polares, tem-se a equação de Hirschfelder com a integral de colisão avaliada por:
( )
(K)ebuliçãodenormalpontoT
)gmol/(cmebuliçãodepontonolíquidodomolarvolumeV
(debyes)dipolomomento
TV
10x94,1
:onde
T
169,0
b
3
b
p
bb
p
3
21
BAAB
2
AB
DoD
=
=
=µ
µ
=δ
δδ=δ
δ
+Ω=Ω
∗

( )
( ) ( ) ( )*HTexp
G
*FTexp
E
*DTexp
C
*T
A
T3,1118,1
k
kkk
kT
T*
BDo
b
2
21
BAAB
AB
+++=Ω
δ+=
ε





 ε
+
ε
=
ε
ε
=
A = 1,06036 E = 1,03587
B = 0,15610 F = 1,52996
C = 0,19300 G = 1,76474
D = 0,47635 H = 3,89411
( )
31
2
b
21
BAAB
AB
3,11
V585,1
colisãodediâmetro








δ+
=σ
σσ=σ
=σ
Mistura de gases (WILKE)
yyyy
y
y1delivremolarFração
D
y
D
y
D
y
1
D
n432
2
2
n,1
n
3,1
3
2,1
2
mistura,1
+++
=′⇒
′′
+
′
=
L
L

Exemplo 7: Determinar a difusividade do monóxido de carbono através de uma mistura de gases na
qual a fração molar de cada componente são:
10,0y,70,0y,2,0y CONO 22
===
O gás esta a 298 K e 2 atm de pressão total.
Exemplo 8 (24.14 – WELTY)
Determinar a difusividade do dióxido de carbono em uma mistura de gases com as seguinte
Composição: O2 = 7%, CO = 10%, CO2 = 15% e N2 = 68%. T = 273 K e P = 1,5 x 105
Pa.
DIFUSIVIDADE MÁSSICA EM LÍQUIDOS
Equação de Stoke-Einsteim, da teoria hidrodinâmica.
B
AB
6
kT
D
πµ
= Solução diluída de não eletrólitos. É uma equação pouco precisa
Em geral: ( )Vf
kT
D AB
= Função do volume molar
Equação de Wilke-Chang para não eletrólitos:
( )
6,0
A
21
BB
8
AB
B
V
M10x4,7
T
D φ
=µ
−
Onde: µB = viscosidade da solução de não eletrólitos cP
VA = volume molar no ponto normal de ebulição (TABELAS 24.4 E 24.5– WELTY)
φB = parâmetro de associação para o solvente B (complemento da TABELA 24.5 –WELTY)
Deduções de compostos com anel (complemento da TABELA 24.5 –WELTY)
Exemplo 9
Estimar o coeficiente de difusão em liquido do etanol (C2H5OH) em solução diluída de água a 10o
C
O volume molecular do etanol pode ser avaliado usando valores da tabela 24.5.
Hayduk e Laudie propuseram a equação:
589,0
A
14,1
B
5
AB V10x26,13D −−−
µ= . Com resultados semelhantes a equação Wilke-Chang.

O coeficiente de difusão de um sal univalente em soluções diluídas pode ser calculado utilizando a
equação de Nernst
eequivalentCoulumbs/g96500Faradaydeconstante
CREMASCO-1.10Tabela
cm
eequivalentg
cm
voltAmp
zeroãoconcentraçaiônicaacondutânci,
gmol.K/J316,8R
11
RT2
D
33
oo
2
oo
AB
==ℑ












=λλ
=
ℑ








λ
+
λ
=
−+
−+
Substituindo 2 por 1/n+
+ 1/n-
onde n+
e n-
são as valências do cátion e anion.
Para temperaturas diferentes de 25o
C, estes parâmetros podem ser estimados a partir da seguinte
correlação:
( ) ( )
32
C25iTCiT
)25T(c)25T(b)25T(aoo −+−+−+λ=λ Tabela 1.11 – CREMASCO
Exemplo 10: Estimar o coeficiente de difusão em solução diluída do cloreto de potássio a 30o
C.
Comparar com o valor experimental de 2,233 x 10-5
cm2
/s.

DIFUSÃO EM SÓLIDOS CRISTALINOS

• Arranjos nas estruturas cristalina: cúbica, CCC, CFC.
• Movimento do soluto → ocupar vazios (falhas na estrutura cristalina ou nos interstícios
entre os átomos da matriz cristalina.
• A energia de vibração do átomo deve ser alta o suficiente para vencer a barreira energética
‘Q’ determinada pela energia de ativação.
Exercício 11: Estime a difusividade do carbono em Fe (CCC) e em Fe (CFC) a 1000º C. Analise os
resultados.
Q
difusão
z
Energia
RTQ
oAB eDD −
=
Q = energia de ativação difusional (cal/mol)
R = 1,987 cal/mol K
Do = coeficiente de difusão sem que
houvesse a necessidade de salto energético
Q e Do = TABELA 1.13 - CREMASCO

DIFUSÃO EM SÓLIDOS POROSOS
a) Difusão de Fick ou ordinária
b) Difusão de Knudsen
c) Difusão configuracional
Difusão ordinária
• Poros maiores que o livre caminho médio das moléculas difundentes.
dz
dC
DJ
A
efz,A −= 1ª Lei de Fick
Def = coeficiente efetivo aparece em razão da natureza tortuosa do sólido poroso.

τ
ε
=
p
ABef DD
εp = porosidade
τ = tortuosidade ⇒ TABELA 1.14 – CREMASCO
τ = 4,0
εp = 0,5 ⇒ Na ausência de dados tabelados
Difusão de Knudsen
Poros estreitos da ordem de tamanho do livre caminho médio do difundente, ocorre colisões
com as paredes dos poros.
pk d
3
1
D Ω=
dp = diâmetro médio dos poros (cm)
Ω = velocidade média molecular (cm/s)
[ ]
[ ]cm
S
V2
S
2
r
s/cm
M
T
r10x7,9D
p
B
p
p
2
21
A
p
3
k
=
ρ
ε
=






=

Onde: εp = porosidade do sólido
S = área da matriz porosa
ρB = massa especifica aparente do sólido
Vp = volume especifico do poro da partícula sólida
Quando a tortuosidade do poro é considerada, efetuar a correção:
τ
ε
=
p
KKef DD
Devido a estrutura do sólido poroso, um soluto gasoso, ao se difundir, pode deparar com vários
tamanhos de poros, ocorrendo a difusão ordinária e a de Knudsen, logo:
{ 321321
Knudsen
Kef
FickdeLei1
asegue
ordinária
ef
efetivo
Aef D
1
D
1
D
1
a
+=
Exemplo 1.12: Determine o coeficiente efetivo de difusão do dióxido de carbono em partícula
catalítica esférica de alumina a 30º C.
Difusão configuracional
• Ocorre em matrizes porosas (zeólitas).
• Macro e microporos.
• Arranjo tipo colméia → peneira molecular.
• A difusão ocorre devido a saltos energéticos do solutos pelos microporos.





 −
=
RT
Q
expDD oA zeo
⇒ TABELA 1.16 – CREMASCO

Difusão em membranas
• Osmose inversa
• Ultrafiltração
• Diálise
• Perevaporação
• Perpetração
• Podem ser de materiais cerâmicos → inorgânicos
• ou materiais poliméricos → orgânicos
• A difusão do soluto em polímeros ocorre por um processo de estado ativado, via saltos
energéticos, ocupando vazios na estrutura polimérica.






−=
RT
Q
expDD oa me
⇒ TABELA 1.17 - CREMASCO

Exemplo 1.13: Estime a difusividade do CO2 a 30º C para as seguintes situações:
a) difusão em um membrana de borracha butilica.
b) difusão em uma membrana de polibutadieno.
c) difusão em uma membrana de poli(dimetil butadieno).

TRANSFERÊNCIA DE MASSA CONVECTIVA
o Envolve um fluido em movimento e uma superfície ou entre dois fluidos em movimento
relativamente imiscíveis.
o Depende das propriedades de transporte e das características dinâmicas do fluido em
escoamento.
o Quando bombas ou outros equipamentos similares externos causam o movimento no fluido ⇒
convecção forçada.
o Movimento do fluido causado pela diferença de densidade, a qual é conseqüência da diferença
de concentração ou temperatura ⇒ convecção natural.
AcA ckN ∆= ⇒ Equação da taxa de transferência de massa convectiva, generalizada de uma
maneira análoga a lei de resfriamento de Newton.
NA = Transferência de massa molar,
∆cA = diferença entre a concentração da superfície e a concentração média da corrente de
fluido da espécie A se difundindo.
kc = coeficiente de transferência de massa convectivo.
o Transferência de massa molecular: a transferência de massa convectiva ocorre na direção do
decréscimo de concentração.
o kc inclui as características de escoamento laminar e turbulento.
o kc é uma função da: geometria, propriedades do fluido e escoamento, ∆cA.
o Similaridades entre kc e h ⇒ técnicas desenvolvidas para avaliar h, pode ser reaplicadas para kc.

Equações diferenciais em transferência de massa 2.1
CAPITULO 2: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EM TRANSFERÊNCIA DE MASSA
O balanço material para uma dada espécie química A através de um volume de controle apropriado
é:
controlede
volumenomassade
acúmulodeTaxa
controlede
volumenomassade
produçãodeTaxa
controlede
volumenosaique
massadeTaxa
controle
devolumenoentra
quemassadeTaxa










=










+










−










(2.1)
A transferência de massa através da área zy∆∆ para x será :
AAAxx,AA nouzy ϑρ=∆∆ϑρ
r
O fluxo líquido (entrada-saída) do constituinte A será:
zzA,zzzA,
yyA,yyyA,
xxA,xxxA,
yxnyxn:zdireçãoane
zxnzxn:ydireçãoan
zynzyn:xdireçãoan
∆∆−∆∆
∆∆−∆∆
∆∆−∆∆
∆+
∆+
∆+
A taxa de acúmulo de A no volume de controle será:
y∆
? y
x
y
z
x∆
z∆

zyx
t
A
∆∆∆
∂
ρ∂
Se A é produzido no interior do volume de controle por uma reação química a uma taxa rA (massa
de A produzida)/(volume⋅tempo), a taxa de produção de A é:
zyxrA ∆∆∆
Substituindo cada termo na equação (2.1) temos:
0r
tz
nn
y
nn
x
nn
:termososcancelandoe,zyxvolumepeloDividindo
0zyxrzyx
t
yxn
yxnzxnzxnzynzyn
A
AzzA,zzzA,yyA,yyyA,
xxA,xxxA,
A
A
zzA,
zzzA,yyA,yyyA,xxA,xxxA,
=−
∂
ρ∂
+
∆
−
+
∆
−
+
∆
−
∆∆∆
=∆∆∆−∆∆∆
∂
ρ∂
+∆∆−
∆∆+∆∆−∆∆+∆∆−∆∆
∆+∆+∆+
∆+∆+∆+
(2.3)0r
t
n
AcomponenteoparadecontinuidadaequaçãoA
(2.2)0r
tz
n
y
n
x
n
:temoszeroatendendo? ze? y? x,comlimiteoAvaliando
A
A
A
A
Az,Ay,Ax,A
=−
∂
ρ∂
+⋅∇
=−
∂
ρ∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
r
Uma equação da continuidade similar pode ser desenvolvida para o componente B.
0r
t
n B
B
B =−
∂
ρ∂
+⋅∇
r
(2.4)
Adicionando os dois componentes, nós obtemos:
Operador divergente

( )
( )
( ) 0rr
t
nn BA
BA
BA =+−
∂
ρ+ρ∂
++⋅∇
rr
Para uma mistura binária vale:
ϑρ=ϑρ+ϑρ=+
rrrrr
nn BBAABA
ρ=ρ+ρ BA
rr BA −=
Logo:
( ) 0
t
=
∂
ρ∂
+ϑρ⋅∇
r
(2.5)
Da definição de derivada substantiva:
∇⋅ϑ+
∂
∂
=
r
tDt
D
Figura 3.2 Cremasco
Logo:
0
Dt
D
=ϑ⋅∇ρ+
ρ r
em termos de fração molar:

0rJ
Dt
Dw
AA
A
=−⋅∇+ρ
r
0rJw
t
w
AAA
A
=−⋅∇+∇⋅ϑρ+
∂
∂
ρ
rr
Em termos de unidades molares:
0R
t
c
N A
A
A =−
∂
∂
+⋅∇
r
Componente A
0R
t
c
N B
B
B =−
∂
∂
+⋅∇
r
Componente B
e a mistura:
( )
( )
( ) 0RR
t
cc
NN BA
cA
BA
A
=+−
∂
+∂
++⋅∇
rr
ϑ=ϑ+ϑ=+
rrrrr
cccNN BBAABA
ccc BA =+
Não se pode tomar RA + RB = 0, salvo para cada mol de A produzido desaparece o mesmo
tanto de B (ou vice-versa).
BA ↔
em geral:
( ) 0RR
t
c
c BA =+−
∂
∂
+ϑ⋅∇
r
[ ] ( )BA RRcc
t
c
+=ϑ⋅∇+∇⋅ϑ+
∂
∂ rr

FORMAS ESPECIAIS DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA
Temos a equação para o componente A:
A
A
A R
t
c
N =
∂
∂
+⋅∇
r
Como: ( )BAAAABA NNyycDN
rrr
++∇−=
e seus equivalentes:
ϑ+∇−=
rr
AAABA cycDN
e ( )BAAAABA nnwwDn
rrr
++∇ρ−=
e seu equivalente:
ϑρ+∇ρ−=
rr
AAABA wDn
nós obtemos:
0r
t
wD A
A
AAAB =−
∂
ρ∂
+ϑρ⋅∇+∇ρ⋅∇−
r
(2.6)
0R
t
c
cycD A
A
AAAB =−
∂
∂
+ϑ⋅∇+∇⋅∇−
r
(2.7)
SIMPLIFICAÇÕES
a) Se a densidade da mistura, ρ, e o coeficiente de difusão, DAB, são assumidos constantes, a
equação (2.6) torna-se:
{ 0r
t
D A
A
A
decontinuidadaequação
0
AA
2
AB =−
∂
ρ∂
+ρ∇ϑ+ϑ⋅∇ρ+ρ∇−
=
rr

Dividindo cada termo pelo peso molecular
( ) ( )geração
difusiva
ãocontribuiç
acúmulo
convectiva
ãocontribuiç
RcD
t
c
c AA
2
AB
A
A
+





=+





+∇=
∂
∂
+∇⋅ϑ
r
(2.8)
b) RA = 0: sem reação química, ρ e DAB = constantes
A
2
AB
A
A cD
t
c
c ∇=
∂
∂
+∇⋅ϑ
r
ou A
2
AB
A
cD
tD
cD
∇=
c) 0=ϑ
r
, RA = 0: sem reação química, ρ e DAB = constantes
A
2
AB
A
cD
t
c
∇=
∂
∂
2ª Lei de Fick da difusão.
- Líquidos estagnados
- Sólidos
d) As equações dos itens a, b e c podem ser simplificadas se o processo esta em estado
estacionário, isto é:
0
t
cA
=
∂
∂
Se 0cA
2
=∇ temos a equação de Laplace.
Laplaciano 2
∇ : coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas.
2ª Lei de Fick








∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
2
A
2
2
A
2
2
A
2
AB
A
z
c
y
c
x
c
D
t
c
Coordenadas retangulares.









∂
∂
+
θ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
2
A
2
2
A
2
2
A
2
A
2
AB
A
z
cc
r
1
r
c
r
1
r
c
D
t
c
Coordenadas cilíndricas.








φ∂
∂
θ
+





θ∂
∂
θ
θ∂
∂
θ
+





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
2
A
2
2
A
2
A2
2AB
A c
senr
1c
sen
senr
1
r
c
r
rr
1
D
t
c
Coordenadas
esféricas.
A equação diferencial geral para transferência de massa do componente A, ou a equação da
continuidade de A são descritas nas 3 coordenadas, como:
A
z,Ay,Ax,AA
R
z
N
y
N
x
N
t
c
=








∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
( ) A
z,A,A
r,A
A
R
z
NN
r
1
Nr
rr
1
t
c
=







∂
∂
+
θ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ θ
( ) ( ) A
,A
,Ar,A
2
2
A
R
N
senr
1
senN
senr
1
Nr
rr
1
t
c
=








φ∂
∂
θ
+θ
θ∂
∂
θ
+
∂
∂
+
∂
∂ φ
θ
CONDIÇÕES DE CONTORNO E INICIAL MAIS COMUM
As condições de contorno e inicial utilizadas são muito similares à aquelas de transferência
de calor.
Condições iniciais:
Para t = 0, cA = cA0 (unidades molares)
Para t = 0, ρA = ρA0 (unidades mássicas)
As condições de contorno geralmente encontradas, são:
a) A concentração na superfície pode ser especificada:
cA = cA1 , frações molares
yA = yA1, gases

xA = xA1, líquidos e sólidos
ρA = ρA1, concentração mássica
wA = wA1, fração mássica
Quando o sistema é um gás pode-se utilizar a pressão parcial pela lei Dalton:
pA = pA1 = yA1P
Para casos específicos de difusão de um líquido dentro de uma fase gasosa, pode-se utilizar a
equação da lei de Rault:
pA1 = xAPA
onde: xA = fração molar da fase líquida
PA = pressão de vapor de A na transferência ao líquido
b) O fluxo mássico para a superfície pode ser especificado como, por exemplo:
jA = jA1 ou NA = NA1
O fluxo na superfície pode ser:
0z
A
ABz,A
dz
dw
Dj
=
ρ−=
Em superfícies impenetráveis: jA,z = 0
c) A taxa de reação química pode ser especificada:
1A11A ckN = reação de 1ª ordem, sendo k1 a constante da taxa.

d) Quando o fluido esta escoando sobre uma fase, a espécie pode ser perdida a partir da fase de
interesse por transferência de massa convectiva.
( )∞−= A1Ac1A cckN
cA∞ = concentração de A na corrente de fluido.
cA1 = concentração de A no fluido adjacente a superfície.
kc = coeficiente de transferência de massa convectivo.
EXEMPLO 2.1:
Num cilindro de combustível nuclear com material fissionável, a taxa de produção de nêutrons é
proporcional a concentração de nêutrons. Use a equação diferencial de transferência de massa para
escrever a equação diferencial que descreve o processo de transferência de massa. Liste suas
condições de contorno.
EXEMPLO 2.2:
Numa câmara de combustão, o oxigênio difunde através de um filme de ar para a superfície de
carbono, onde ele reage de acordo com a seguinte equação:
22 COCO2O2C3 +→+
a) Escreva a equação diferencial especifica para este processo em estado estacionário para o
componente O2.
b) Escreva a lei de Fick para o componente oxigênio.
z = 0
O2 CO CO2
z = δ

Difusão em regime permanente 3.1
CAPÍTULO 3: DIFUSÃO EM REGIME PERMANENTE
Temos a equação diferencial de transferência de massa:
0R
t
c
N A
A
A =−
∂
∂
+⋅∇
r
RA = taxa de produção química do componente A dentro da fase através da qual a massa esta sendo
transferida.
t
cA
∂
∂
= acumulo de A dentro da fase.
AN⋅∇ = taxa líquida de fluxo mássico do componente A.
t
cA
∂
∂
= 0 no estado estacionário, ou seja, a concentração de A não varia com o tempo.
TRANSFERÊNCIA DE MASSA UNIDIMENCIONAL INDEPENDENTE DE REAÇÃO
QUÍMICA
Num sistema binário, o componente z deste fluxo é expresso por:
( )z,Bz,AA
A
ABz,A NNy
dz
dy
cDN ++−=
3.1 DIFUSÃO ATRAVÉS DE UM FILME GASOSO INERTE E ESTAGNADO
Encontrar o fluxo molar da difusão através de um filme gasoso inerte e estagnado
Hipóteses: T e P = constantes
B é quimicamente inerte a A
Solubilidade de B em A é desprezível

Figura 3.1 Célula de difusão de Arnold
Solução:
( )
,lnB
2A1A
12
AB
z,A
y
yy
zz
cD
N
−
−
= (3.1)
Para um gás ideal:
P
p
ye
RT
P
V
n
c A
A === , substituindo em (3.1), temos:
( )
( )
ln,B
2A1A
12
AB
z,A
p
pp
zzRT
PD
N
−
−
= (3.2)
As equações (3.1) e (3.2), correspondente a difusão em estado estacionário de um gás
através de um segundo gás estagnado.
Um difunde e o outro não è absorção e umidificação.
A equação (3.2) tem sido usada para descrever o coeficiente de transferência de massa
convectivo pela teoria do filme.
Figura 3.2 Modelo do filme para a transferência de massa do componente A movendo para a
corrente gasosa.
Líquido puro A
z = z1
z = z2
∆z
NAz|z
NAz|z+∆z
Gás B escoando
Escoamento
de gás B
Líquido A
Líquido A
z = δ
z = 0 NAz
Corrente de gás principal
Filme de gás movendo lentamente

Neste caso z2 – z1 = δ, logo a equação (3.2) fica:
( )
ln,B
2A1AAB
z,A
p
pp
RT
PD
N
−
δ
=
Pela definição de convecção temos:
( )2A1Acz,A cckN −= ou
( )2A1A
c
z,A
RT
k
N ρ−ρ=
Por comparação o coeficiente de transferência de massa convectivo é:
δ
=
,lnB
AB
c
p
PD
k
Modelo do filme sugere que ABc Dk ∝
Outros modelos (capítulo 28 – Welty) 1a0,5n:onde,Dk n
ABc =∝
Determine o perfil de concentração para a difusão através de um filme gasoso inerte estagnado e
também sua concentração media.
Solução:
( ) ( )121 zzzz
1B
2B
1B
B
y
y
y
y
−−






= Perfil de concentração
( ) ,lnB
1b2B
1B2B
B y
yyln
yy
y =
−
= Concentração média

Exercício 3.1:
Através de uma abertura acidental de uma válvula, água foi espalhada no chão de uma planta
industrial em uma área remota de difícil acesso. Estimar o tempo necessário para evaporar a água
nas vizinhanças que esta estagnada. A camada de água é de 0,04’’, que pode ser assumida constante
a temperatura de 75º F. O ar esta a 75º F e 1 atm, com uma umidade absoluta de 0,002 lb de água/lb
ar seco. A evaporação é assumida constante e ocorre por difusão molecular através do filme de gás
de espessura 0,20 in.
Resposta: 2,73 hrs
3.2 DIFUSÃO PSEUDO-ESTACIONÁRIA NUM FILME GASOSO ESTAGNADO
• Um dos contornos move com o tempo
• Após um intervalo de tempo longo, nota-se a variação no nível do líquido a partir do topo do
capilar.
Figura 3.3 Célula de difusão de Arnold com liquido se movendo na superfície.
• Sobre um intervalo de tempo considerável somente uma pequena fração de difusão.
• t1 – t0 => longo tempo.
• O fluxo molar na fase gasosa estagnada é:
( )
zzzonde,
y
yy
z
cD
N 12
,lnB
2A1AAB
z,A =−
−
= (3.2.1)
∆z
z = z1 para t0 = zto
z = z1 para t1 = zt
Líquido puro A
NAz|z
NAz|z+∆z
Gás B escoando

• O fluxo molar NA,z esta relacionado com a quantidade de A deixando o liquido por:
líquidafasenaAdemolardensidade
M
onde,
dt
dz
M
N
A
L,A
A
L,A
z,A =
ρρ
= (3.2.2)
Em condições pseudo-estacionária, igualam-se (3.2.1) e (3.2.2),
( )
,lnB
2A1AAB
A
L,A
y
yy
z
cD
dt
dz
M
−
=
ρ
(3.2.3)
Integrando:
( ) ∫∫ −
ρ
=
t
0t
z
z2A1AAB
Aln,BL,A
t
0
dzz
yycD
My
dt
Rearranjando, temos:
( ) 








 −
−
ρ
=
2
zz
tyyc
My
D
2
t
2
t
2A1A
Aln,BL,A
AB
0
(3.2.4)
A equação (3.2.4) é utilizada para determinação do coeficiente de difusão do gás a partir dos
dados experimentais da célula de Arnold.
Exemplo 3.2:
E. M. Larson, usando uma célula de Arnold, mediu a difusividade do clorofórmio no ar a 25º C e 1
atm de pressão. A densidade do clorofórmio líquido a 25º C é 1,485 g/cm3
, e sua pressão de vapor a
25º C é 200 mmHg. No tempo tempo t = 0 a superfície do liquido de clorofórmio era 7,40 cm a
partir do topo do tubo, e após 10 hrs a superfície do líquido caiu de 0,44 cm. Se a concentração do
clorofórmio é zero no topo do tubo, qual seria o coeficiente de difusão do gás clorofórmio no ar?
Resposta: 9,3 x 10-6
m2
/s

3.3 CONTRADIFUSÃO EQUIMOLAR
• Destilação de 2 constituintes quando os calores latentes de vaporização são iguais.
• Fluxos iguais em direções opostas. z,Bz,A NN −=
0NA =⋅∇
• Considerando somente a direção z:
0N
dz
d
z,A =
• Lei de Fick
( )444 3444 2143421
bulk
z,Bz,AA
difusão
A
ABz,A NNy
dz
dc
DN ++−=
• Como z,Bz,A NN −= , logo:
dz
dc
DN A
ABz,A −= (3.3.1)
• Condições de contorno:
Para z = z1 temos: cA = cA1
Para z = z2 temos: cA = cA2
Integrando a equação (3.3.1) com as c.c., temos:
( )2A1A
12
AB
z,A cc
zz
D
N −
−
= (3.3.2)
Pela lei dos gases ideais:
e.e. = 0 sem reação = 0
0R
t
c
N A
A
A =−
∂
∂
+⋅∇
r

RT
p
V
n
c AA
A == , substituindo, fica:
( )
( )2A1A
12
AB
z,A pp
zzRT
D
N −
−
= (3.3.3)
As equações (3.3.2) e (3.3.3) são comumente referidas como equações da contradifusão
equimolar no estado estacionário.
Obter o perfil de concentração para contradifusão equimolar no estado estacionário.
Resposta:
21
1
2A1A
1AA
zz
zz
cc
cc
−
−
=
−
−
Por comparação:
( ) ( )
δ
=
−=−
δ
=
ABo
2A1A
o
2A1A
AB
z,A
D
k:Logo
cckcc
D
N
para a contradifusão equimolar.
Exemplo 3.3:
Calcule o fluxo molar da amônia gasosa, sabendo-se que ela se difunde num capilar de 10 cm de
comprimento com 2 reservatórios contendo nitrogênio. O sistema esta a 25º C e 1 atm. A pressão
parcial da amônia em um dos reservatórios é 90 mmHg e no outro 10 mmHg.
Resposta: -1,07 x 10-7
gmol/s.cm2
NA,z pA2 = 90 mmHg
pA1 = 10 mmHg
∆z
A ≡ amônia
B ≡ Nitrogênio

3.4 SISTEMAS ASSOCIADOS COM REAÇÕES QUÍMICAS
• Quando ocorre uniformemente através de uma fase => reação homogênea. Acontece em todos
os pontos do elemento de volume. Aparece diretamente na equação da continuidade do soluto.
• Toma lugar numa região restrita no contorno da fase => reação heterogênea.
{
0R
t
c
N
)(homogêneaAespécieda
toaparecimendetaxa
A
A
A =−
∂
∂
+⋅∇
r
(3.4.1)
• Numa reação heterogênea a taxa de aparecimento de A não aparece na equação diferencial,
desde que a reação não ocorra dentro do volume de controle, ao invés disto ela entra na analise
como uma condição de contorno:
0Aszz,AA ckNR ==
δ=
• A reação heterogênea as vezes aparece na equação da continuidade de A => sistemas pseudo-
homogêneo.
3.4.1 DIFUSÃO SIMULTÂNEA E HETEROGÊNEA, REAÇÃO QUÍMICA DE 1ª ORDEM:
DIFUSÃO COM VARIAÇÃO DE ÁREA
• Quando a taxa de reação é instantânea em relação a taxa de difusão => processo com difusão
controlada.
• Quando a taxa de reação para o componente transferido nos limites da superfície limita a taxa de
transferência de massa => processo com reação controlada.

Exemplo:
Partícula de carvão pulverizada dentro de uma câmara de combustão em leito fluidizado => difusão
controlada.
Moles de oxigênio transferido pelo tempo
Figura Difusão através de um filme esférico
( ) ( ) ( ) ( )gCOgCO2gO5,2sC3 22 +→+
Equação geral de transferência de massa em coordenadas esféricas:
( ) ( ) A
remnalunidirecio
difusão
0
,A
,Ar,A
2
2
ioestacionár
estado
0
A
R
N
senr
1
senN
senr
1
Nr
rr
1
t
c
=




















φ∂
∂
θ
+θ
θ∂
∂
θ
+
∂
∂
+
∂
∂
=
φ
θ
=
4444444 34444444 21321
RA = 0 se A = O2 => nenhuma reação homogênea ocorre ao longo do caminho da difusão.
( ) R
r,O
2
r
r,O
2
r,O
2
r,O
2
2222
NRNroucteNr0Nr
r
==⇒=
∂
∂
quadro
C
R
r∆r
NCO2,r
NO2,r
NCO,r
Ar nas vizinhanças

Equação da Lei de Fick para o O2 fica:
dr
dy
y2,01
cD
N 2
2
2
2
O
O
misO
z,O
+
−=
−
Condições de contorno:
r = R, yO2 = 0 ⇒ reação instantânea
r = ∞, yO2 = 0,21
Solução: 





=




 −
042,1
1
ln
2,0
cD
R
1
Nr
misO
z,O
2 2
2
Como ( )rO
2
2O 22
Nr4tempopelodotransferiOdeMolesW π==
( )042,1ln
2,0
cD
R4W
misO
O
2
2
−
π−=
A esfera de carvão oxida com o tempo => diminuição da esfera => pseudo-estacionário
Tempo para esfera de carbono encolher de um raio inicial para um final.
Balanço material para o carbono:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
dt
dR
R4
Mdt
dV
M
onde
dt
dV
M
w0
CCC
2
C
C
C
C
C
C
C
acumuladosaientra
π
ρ
=
ρ





 ρ
=−
=−
quadro
( )
( )042,1lncD12
RR
M
t
misO
2
f
2
i
C
C
2 −
−
ρ
=

PRODUÇÃO DE DIOXIDO DE CARBONO SOMENTE
( ) ( ) ( )gCOgOsC 22 →+
quadro
Equação da Lei de Fick para o O2 fica:
dr
dy
cDN 2
22
O
misOr,O −−=
r = R, a)instantâne(nãoordem1a.deReaçãockN sOsRrO 22
⇒−=
=
r = ∞, yO2 = yO2∞
Solução: ( )sOOmisOr,O
2
2222
yycD
R
1
Nr −−=





∞−
Como ( )rO
2
2O 22
Nr4tempopelodotransferiOdeMolesW π==
( )sOOmisOO 2222
yyRcD4W −π−= ∞−
C
R
r∆r
NCO2,r
NO2,r
Ar nas vizinhanças

quadro
ck
N
c
c
y
s
ROsO
sO
22
2
−
== logo:
Rk
D
1
yRcD4
W
s
misO
OmisO
O
2
22
2
−
∞−
+
π−
=
Se misOs 2
Dk −>>
∞−π−= 222 OmisOO yRcD4W
EXEMPLO 3
Um reator de leito fluidizado de carvão tem sido proposto para uma nova planta. Se operar a 1145
K, o processo será limitado pela difusão de oxigênio em contracorrente com dióxido de carbono,
formado na superfície da partícula. Assumir que o carvão é carbono puro sólido com densidade de
1,28 x 103
kg/m3
e que a partícula é esférica com diâmetro inicial de 1,5 x 10-4
m. Ar (21% O2 e
79% N2) existe a vários diâmetros da esfera. Sob as condições de combustão, a difusividade do O2
na mistura é 1,3 x 10-4
m2
/s a 1145 K. Se o processo esta em estado estacionário, calcular o tempo
necessário para reduzir o diâmetro da partícula de carbono a 5 x 10-5
m. O ar nas vizinhanças é uma
fonte infinita de transferência de O2, onde a oxidação do carbono na superfície da partícula é
diminuída pela transferência de O2. A reação na superfície é: ( ) ( ) ( )gCOgOsC 22 →+
Resposta: t = 0,92 s

3.4.2 DIFUSÃO COM UMA REAÇÃO QUÍMICA DE 1ª ORDEM HOMOGÊNEA
• Operações unitárias: um constituinte de uma mistura gasosa é preferencialmente dissolvido em
contato com um liquido. Dependendo da natureza química das moléculas envolvida a absorção
pode envolver reação química.
Condições de contorno: Em z = 0 ⇒ cA = cA0
Em z = δ ⇒ cAs = 0
Figura Absorção com reação química homogênea.
Fluxo molar: ( )444 3444 2143421
filme
dodentropequenamuitoé
Adeãoconcentraça0,
bulk
z,Bz,AA
difusão
A
ABz,A NNy
dz
dc
DN
≈
++−= (3.4.2.1)
Equação diferencial de transferência de massa no estado estacionário considerando apenas a direção
z:
{
0R
dz
dN
)(homogêneaAespécieda
mentodesaparecidetaxa
A
z,A
=− (3.4.2.2)
A1A ckR −= ⇒ Taxa de desaparecimento de A ⇒ reação química de 1ª ordem. (3.4.2.3)
Substituindo (3.4.2.3) e (3.4.2.1) em (3.4.2.2), temos:
z
z = 0
∆z
z = δ
NAz|z
NAz|z+∆z
Líquido B
Superfície
do líquido Mistura gasosa
(A e gás inerte)

0ck
dz
dc
D
dz
d
A1
A
AB =+





− , com DAB = constante, fica:
0ck
dz
cd
D A12
A
2
AB =+− (3.4.2.4)
A solução geral da equação (3.4.2.4) é:
z
D
k
senhcz
D
k
coshcc
AB
1
2
AB
1
1A +=
As condições de contorno permitem calcular c1 e c2 (quadro), e o perfil de concentração fica:
δ
−=
AB
1
AB
1
0A
AB
1
0AA
D
k
tgh
z
D
k
senhc
z
D
k
coshcc (3.4.2.4)
Fluxo molar:
dz
dc
DN A
ABz,A −=
Solução:
δ
δ
δ
=
=
AB
1
AB
1
0AAB
0zz,A
D
k
tgh
D
k
cD
N (3.4.2.5)
• Se não houver reação química:
δ
= 0AAB
z,A
cD
N
• Numero adimensional de Hatta = ⇒
δ
δ
AB
1
AB
1
D
k
tgh
D
k
mostra a influencia da reação química.

• Se a taxa da reação química aumenta (k1 aumenta) o fator δ
AB
1
D
k
tgh se aproxima de 1, e
( )0ckDN 0A1AB0zz,A −=
=
Por comparação com a equação da convecção: ( )2A1Acz,a cckN −= , temos que:
⇒∝ ABc Dk Teoria da penetração
Se ⇒∝ ABc Dk Teoria do filme
EXEMPLO 4
Considerando um processo unitário com um disco rotativo para o tratamento de fenol (espécie A)
em água. O biofilme contém um microrganismo em enzima peroxidase que degrada o fenol. A
concentração de A dentro do biofilme diminuirá à medida que o penetra, ou seja A é degradado.
Não há resistência convectiva entre o fluido e a superfície do biofilme.
Figura Tratamento de água de lavagem por biofilme.
É desejável tratar 0,1 m3
/h de água contendo 0,1 mol/m3
de fenol. Se a espessura do biofilme é 2 x
10-3
m, qual é a área do biofilme necessária para obter uma concentração de saída de 0,02 mol/m3
?
A taxa de degradação é descrita pela cinética de Michales-Menten:
AA
Amax,A
A
ck
cR
R
+
=
onde RA,max = 5,7 x 10-3
mol/m3
, kA = 0,3 mol/m3
e DAB = 2 x 10-10
m2
/s a T = 25º C.
Solução: S = 57 m2
Corrente de alimentação da
água de lavagem
CAi = moles/m3
Biofilme
Água de lavagem
tratada CAO
Mistura perfeita
Seção transversal do
biofilme
CAO
CA(z)
biofilme
Superfície
Sólida inerte
z = 0 z = δ
dcA/dz = 0
Capítulo 28 Welty

3.4.3 DIFUSÃO INTRAPARTICULAR COM REAÇÃO QUÍMICA (Cremasco)
Quando um sólido poroso apresenta sua área interna maior (30 m2
/g ou maior) ou da mesma
magnitude do que a sua superfície externa, considera-se o soluto, depois de atingir a superfície da
partícula, difunda no interior desta para depois ser absorvido e sofrer transformação por reação
química nas paredes dos sítios ativos do catalisador, conforme mostra a figura.
Figura - Difusão com reação química heterogênea no interior de um sólido poroso
• Termo reacional = aR”A, onde a = superfície do poro/unidade de volume da matriz porosa
(sistema pseudo-homogêneo)
• Equação geral para espécie A:
( ) ( ) A
remnalunidirecio
difusão
0
,A
,Ar,A
2
2
ioestacionár
estado
0
A
Ra
N
senr
1
senN
senr
1
Nr
rr
1
t
c
′′=




















φ∂
∂
θ
+θ
θ∂
∂
θ
+
∂
∂
+
∂
∂
=
φ
θ
=
4444444 34444444 21321
( ) Ar,A
2
2
RaNr
rr
1
′′=
∂
∂
∴ (3.4.3.1)
Sendo a reação de desaparecimento do soluto A escrita como:
AsA CkR −=′′ (3.4.3.2)
R”A
sólido
poro
A
B
CAs

O fluxo de A no interior da matriz porosa será dado por:
dr
dC
DN A
efr,A −= (3.4.3.3)
Supondo temperatura e pressão constantes e substituindo (3.4.3.2) e (3.4.3.3) em (3.4.3.1),
A
ef
s2A2
C
D
ak
r
dr
dC
r
dr
d
=





(3.4.3.4)
Denominando:
ef
s2
D
ak
=λ
A equação (3.4.3.4) fica na forma:
0C
dr
dC
r
2
dr
Cd
A
2A
2
A
2
=λ−+ (3.4.3.5)
a qual esta sujeita as seguintes condições de contorno:
C.C.1: em r = R → CA = CAs
C.C.2: em r = 0 → finitovalorClimou0
dr
dC
A
0r
A
==
→
(simetria da partícula)
Chamando: ψ=ArC
A equação (3.4.3.5) fica:
0
dr
d 2
2
2
=ψλ−+
ψ
(3.4.3.6)
A solução geral da eq. (3.4.3.6) é:
( ) ( )rsenhCrcoshC 21 λ+λ=ψ ou ( ) ( )[ ]rsenhCrcoshC
r
1
C 21A λ+λ= (3.4.3.7)
A determinação das constantes parte da aplicação das condições de contorno C.C.1 e C.C.2,
ficando:

( )
( )Rsenh
rsenh
r
R
C
C
As
A
λ
λ
= (3.4.3.8)
A eq. (3.4.3.8) fornece o perfil de concentração de A no interior da matriz porosa em função da
relação entre as resistências a difusão e a reação química irreversível de 1ª ordem que se processa
nos sítios internos da partícula.
O fator de efetividade
O fator de efetividade representa o efeito que a taxa da matéria exerce na taxa de reação
numa partícula, sendo definido como a razão entre a taxa real de reação química, Rsg, e a taxa da
reação baseada nas condições de superfície externa da partícula, como se toda a superfície ativa dos
poros estivesse exposta nas mesmas condições da superfície, sgR . Assim:
sg
sg
R
R
=ηε
com:
Rr
A
ef
2
R,A
2
sg
dr
dC
DR4NR4R
=
π−=π=
representado todo o soluto consumido na superfície externa da partícula transportado para dentro
dessa partícula. Substituindo a eq. (3.4.3.8) e efetuando a derivação, temos:
( ) ( )[ ]RcothR1CRD4R Asefsg λλ−π−=
Caso ocorra somente reação química irreversível de 1ª ordem, a taxa é:
Ass
3
A
3
sg CakR
3
4
RR
3
4
R π−=′′π=
Logo:
( ) ( )[ ]
( )2
R
1RcothR3
λ
−λλ
=ηε
O parâmetro λ pode ser reformulado da seguinte maneira: λ=φ neR , que é o modulo de Thiele,
indica a relação entre a taxa de reação química de 1ª ordem e a taxa de difusão. E Rne = Vp/Sm um
raio generalizado que depende da geometria da partícula. Pa esfera perfeita: Vp = 4πR3
/3 e Sm =
4πR2
, logo: λR = 3φ.

O perfil de concentração do soluto e o fator de efetividade em função do modulo de Thiele
no interior do catalisador esférico são fornecidos por:
( )
( )φ
φ
=
3senh
Rr3senh
r
R
C
C
As
A
( )
2
3
13coth3
φ
−φφ
=ηε
Para catalisadores muito ativos (ks elevado) → φ = elevado → baixos valores de ηε
Para catalisadores pouco ativos → altos valores de ηε → utilizam quase toda a área interna
do catalisador.
Exemplo
No craqueamento catalítico do petróleo utilizaram-se microesferas de sílica-alumina de diâmetro
igual a 1,8 mm e de área especifica dos poros de 3,2 cm2
/cm3
. Estime o valor do fator de efetividade
considerando que a reação química catalítica, cuja velocidade é 6,9 cm/s, é irreversível e de 1ª
ordem. O coeficiente efetivo de difusão é 8,0 x 10-4
cm2
/s.
Resposta: ηε = 0,187

3.5 SISTEMAS DE DUAS E TRÊS DIMENSÕES
• A transferência de condução de calor é análoga a transferência de massa molecular, as soluções
analíticas, analógicas e numéricas são similares (cap. 17 Welty).
• J.Crank – The Mathematics of Diffusion, Oxford University Press, London,1957.
Exemplo:
Considerar uma placa plana retangular fina, largura W e comprimento L. O topo é imerso em
inseticida (y = L).
Figura 3.5.1 – Modelo de três dimensões para o transporte de inseticida.
A equação geral de transferência de massa fica:
0R
t
c
N A
A
A =−
∂
∂
+⋅∇
r
ou
{
0R
t
c
z
N
y
N
x
N
química
reação
sem
0
A
ioestacionár
estado
0
A
0
AzAyAx
=−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
321321
(3.5.1)
( )444 3444 21
0bulktermo
BxAxA
A
ABAx NNy
dx
dC
DN
=
++−= (3.5.2)
x
y
CA = 0
CA = C(x)
CA = 0
CA = 0
L
0 W

( )444 3444 21
0bulktermo
ByAyA
A
ABAy NNy
dy
dC
DN
=
++−= (3.5.3)
Substituindo (3.5.3) e (3.5.2) em (3.5.1):
0
y
C
x
C
2
A
2
2
A
2
=
∂
∂
+
∂
∂
(3.5.4)
que é uma equação diferencial parcial, linear e homogênea com solução da forma:
( ) ( ) ( )yYxXy,xCA = (3.5.5)
Substituindo (3.5.5) em (3.5.4), temos:
2
2
2
2
yd
Yd
y
1
xd
Xd
x
1
=
Ambos os lados são constantes, logo:
0X
xd
Xd 2
2
2
=λ+ (3.5.6)
0Y
yd
Yd 2
2
2
=λ− (3.5.7)
A eq. (3.5.6) tem a solução geral da forma:
xBsenxcosAX λ+λ= (3.5.8)
A eq. (3.5.7) tem a solução geral da forma:
yy
EeDeY λλ−
+= (3.5.9)
A eq. (3.5.5) fica:
( ) ( )( )yy
A EeDexBsenxcosAy,xC λλ−
+λ+λ= (3.5.10)

Onde A, B, C e D são constantes avaliadas pelas condições de contorno:
x = 0 → CA = 0
x = W → CA = 0
y = 0 → CA = 0
y = L → CA = C(x)
Utilizando as três primeiras condições de contorno a solução é:
( )
W
yn
senh
W
xn
senAy,xC
1n
nA
ππ
= ∑
∞
=
(3.5.11)
Utilizando a ultima condição de contorno:
( )
W
Ln
senh
W
xn
senAxC
1n
nA
ππ
= ∑
∞
=
(3.5.12)
A avaliação de An é mostrada por Cremasco, a solução final é:
( ) ( ) dx
W
xn
senxC
W
xn
sen
W
Ln
senh
W
yn
senh
W
2
y,xC
W
0
A
1n
A ∫∑ 




 ππ

















 π





 π
=
∞
=
(3.5.13)
A equação (3.5.13) é resolvida após se conhecer a função CA(x).
Exemplo:
Considere a situação na qual ocorra o fluxo mássico de A através da superfície de um catalisador.
Ao entrar em contato com o catalisador, o soluto A se difunde nas direções x e y. Atingindo três das
quatro superfícies, a espécie A reage instantaneamente. Em y = L para qualquer x, a sua
concentração mantém-se constante em um valor β. Considerando a existência da contradifusão
equimolar entre produto e reagente, pede-se:
a) a distribuição mássica do soluto A.

3.6 TRANSFERÊNCIA SIMULTÂNEA DE MOMENTO, CALOR E MASSA
• Exemplo: Secagem de uma superfície molhada pelo calor de um gás quente e seco: energia
transferida a para superfície fria por convecção e radiação; transferência de massa associada a
entalpia na corrente gasosa se movendo.
• Os processos de transporte simultâneos são mais complexos, requerendo o tratamento
simultâneo de cada fenômeno de transporte envolvido.
3.6.1 Transferência simultânea de calor e massa
• Condições isotérmicas
∑
=
=
n
1i
ii
D
HN
A
q r
r
(3.6.1.1)
misturanumaideparcialmolarentalpiaH
mássicadifusãoporcalordefluxo
A
q
i
D
=
=
r
• Condições não isotérmicas (diferenças de temperatura)
{ { ∑
=
+∆−∇−=
n
1i
ii
convectivocondutivo
D
HNThTk
A
q r
r
(3.6.1.2)

Exemplo: Condensação de vapor em uma superfície fria
A condensação de um filme liquido escoando para baixo em uma superfície fria e um filme de gás
na qual o condensado é transferido por difusão molecular.
Figura Condensação de vapor em uma superfície fria.
z1 → yA1 = conhecido por psicometria
T1 = conhecido
T3 = conhecida (temperatura na superfície)
Na fase gasosa ocorre convecção natural onde h é estimado pela equação:
( )[ ] 94169
41
L
L
Pr/492,01
Ra670,0
68,0Nu
+
+=
A equação diferencial que descreve a transferência de massa na fase gasosa é:
0N
dz
d
z,A = ⇒ fluxo mássico é constante na direção z.
Se o componente A esta se difundindo através do gás estagnado, o fluxo é descrito pela seguinte
forma da lei de Fick:
dz
dy
y1
cD
N A
A
AB
z,A
−
−
=
Se o perfil de temperatura é conhecido:
Filme líquido
condensado Contorno do
filme gasoso
T1
T2
T3
T = T(z)
yA1
yA2
yA= yA(z)
z3 z2 z1

n
11 z
z
T
T






=
Podemos estimar o coeficiente de difusão que varia com a temperatura:
2n3
1
TAB
23
1
TABAB
z
z
D
T
T
DD
11 





=





=
A concentração também varia com a temperatura:
( )n
1zzR
P
RT
P
c ==
A equação de fluxo torna-se:
( ) dz
dy
z
z
y1RT
DP
N A
2n
1A1
TAB
z,A
1






−
−
=
Para uma pequena faixa de temperatura, pode-se aproximar para uma equação:
( )
( ) dz
dy
y1
cD
N A
A
médioAB
z,A
−
=
Com as condições de contorno:
Para z = z1 ⇒ yA = yA1
Para z = z2 ⇒ yA = yA2 = PA/P, Lei de Dalton,
Integrando a equação temos:
( ) ( )
( ) ln,B12
2A1AmédioAB
z,A
yzz
yycD
N
−
−
=
O fluxo de energia total é:
( ) ( ) ( )21Az,A21C32L
z
HHMNTThTTh
A
q
−+−=−=

2líquidodeplanonoEntalpiaH
1vapordeplanonoEntalpiaH
AdemolecularMassaM
gasosofilmenonaturalcalordenciatransferêdeconvectivoeCoeficienth
líquidofilmenocalordenciatransferêdeconvectivoeCoeficienth
2
1
A
C
L
=
=
=
=
=
Para resolver a equação de fluxo de energia, utiliza-se a técnica de tentativa e erro:
Assume o valor da temperatura da superfície liquida: T2
Calcula hC e (cDAB)médio.
Calcula yA2 = PA/P, com PA = pressão de vapor acima do liquido a T2 e P = pressão total do sistema
Quando os lados esquerdo e direito se satisfazerem o chute de T2 esta correto.
Exemplo:
Uma mistura de vapor etanol-água esta sendo destilada pelo contato da solução liquida etanol/água.
O etanol é transferido a partir do líquido para a fase vapor e a água é transferida na direção oposta.
A condensação de vapor de água fornece a energia para a vaporização do etanol. Ambos os
componentes estão se difundindo através do filme de gás de 0,1 mm de espessura. A temperatura é
368 K e a pressão é 1,013 x 105
Pa. Para estas condições, a entalpia de vaporização dos
componentes puros do etanol e água são 840 e 2300 kJ/kg, respectivamente.
a)Desenvolver a equação de fluxo para o vapor de etanol.
b) Desenvolver a equação de fluxo assumindo que os componentes tem calores equimolares de
vaporização.
Figura - Retificação adiabática de uma mistura etanol/água.
• Assumir uma direção
• Processo de transferência de massa molecular adiabático
• Espessura do filme δ
Parede
adiabática
Misturaliquidasaturadadeetanol/água
Filme
gasoso
(δ)
Vapor
etanol/água
NEtOH
(vapor)
NH2O
(condensado)

3.6.2 Transferência simultânea de momento e massa
• Absorção: A dissolução seletiva de um dos componentes de uma mistura gasosa por um líquido:
coluna de parede molhada.
• Escoamento de um filme ao longo de uma parede na qual esta em contato com uma mistura de
gás.
Suposições:
1. O comprimento para contato entre as duas fases é curto, portanto uma pequena quantidade de
massa é absorvida ⇒ propriedades do liquido são inalteradas.
2. A velocidade do filme não afetara o processo de difusão.
- Balanço de momento na direção x:
{ {
{
x
0
zxyx
0
xx
0
x
0
z
x
0
y
cte
0
x
x
ioestacionárestado
0
x
g
zyxx
P
zyxt
x
ρ+












∂
τ∂
+
∂
τ∂
+
∂
τ∂
−
∂
∂
−=
















∂
ϑ∂
ϑ+
∂
ϑ∂
ϑ+
∂
ϑ∂
ϑ+
∂
ϑ∂
ρ
===
==
=ϑ
321321321321
Logo, g
y
yx
ρ−=
∂
τ∂
(3.6.2.1)
As condições de contorno que devem ser satisfeitas:
C.C.1 para y = 0 ϑx = 0
C.C.2 para y = δ ∂ϑx/∂y = 0 ( contato do liquido com o gás)

Fluido newtoniano:
dy
d x
xy
ϑ
µ=τ
Substituindo em (1), temos:
21
2
x1
x
2
x
2
cyc
2
yg
cy
g
y
g
y
++
µ
ρ
−=ϑ⇒+
µ
ρ
−=
∂
ϑ∂
⇒ρ−=
∂
ϑ∂
µ (3.6.2.2)
Pela C.C.1 ⇒ c2 = 0
Pela C.C.2 ⇒ c1 = ρgδ/µ
Substituindo e após um rearranjo, temos:














δ
−
δ
δ
µ
ρ
−=ϑ
2
2
x
y
2
1yg
(3.6.2.3)
2
yxmax
2
g
δ
µ
ρ
=ϑ=ϑ δ=
(3.6.2.4)
Logo:














δ
−
δ
ϑ=ϑ
2
maxx
y
2
1y
2 (perfil de velocidade) (3.6.2.5)
Equação diferencial de transferência de massa
{
0R
t
c
N
química
reação
sem
0
A
ioestacionár
estado
0
A
A =−
∂
∂
+⋅∇
=
=
321
r
nas direções x e y apenas:
0
y
N
x
N y,Ax,A
=
∂
∂
+
∂
∂
(3.6.2.6)
Os fluxos molares são definidos pela Lei de Fick como:

( )444 3444 2143421
xAc
x,Bx,AA
curto.
muitoéliquidoocomvapordo
contatodetempoodesprezar,
A
ABx,A NNx
dx
dc
DN
ϑ=
++−= (3.6.2.7)
( )444 3444 21
BemAdedesolubilidaa
baixamuito,desprezar
y,By,AA
A
ABy,A NNx
dy
dc
DN ++−= (3.6.2.8)
Direção y: A é transportado principalmente por difusão.
Direção x: A é transportado principalmente por convecção.
Substituindo (3.6.2.7) e (3.6.2.8) em (3.6.2.6), temos:
( )
:logoapenas,ydedependenteécomo,0
y
c
D
x
c
x2
A
2
AB
xA
ϑ=
∂
∂
−+
∂
ϑ∂
0
y
c
D
x
c
2
A
2
AB
A
x =
∂
∂
−+
∂
∂
ϑ (3.6.2.9)
Sendo ϑx dado pela equação (3.6.2.5), ∴
0
y
c
D
x
cy
2
1y
2
2
A
2
AB
A
2
max =
∂
∂
−+
∂
∂














δ
−
δ
ϑ (3.6.2.9)
As condições de contorno para a película deslizando são:
C.C.1: para x = 0 → cA = 0
C.C.2: para y = 0 → 0
y
cA
=
∂
∂
(parede)
C.C.3: para y = δ → cA = cA0 (contato com o gás)
A qual pode ser resolvida numericamente pelo método das diferenças finitas.
Johnstone & Pigford (1942) resolveram a equação (3.2.6.9) analiticamente, e obtiveram a
concentração adimensional no fundo da coluna(Trans. AICHE, 38, 25, 1942):

L++
++=
−
−
−
−−−
δ==
δ==
n75,204
n64,105n318,39n1213,5
yA0xA
yALxA
e01811,0
e03500,0e1001,0e7857,0
cc
cc
(3.2.6.10)
Onde:
líquidonosolutododifusãodeecoeficientD
superfícienalocalizadafilme,domáximaevelocidad
películadaespessura
colunadaalturaL
colunadatoponosolutodoãoconcentraçc
liquido-gásinterfacenasolutodoãoconcentraçc
colunadafundonosolutodoãoconcentraçc
LD
n
AB
max
0xA
xA
LxA
max
2
AB
=
=ϑ
=δ
=
=
=
=
ϑδ
=
=
δ=
=
Teoria da penetração: modelo desenvolvido por Higbie (Trans, AICHE, 31, 368-389, 1935)
• Um soluto é transferido dentro de uma película em y = δ. O efeito da película deslizando sobre a
espécie difundindo, é tal que a velocidade do escoamento do fluido pode ser considerada
uniforme e igual a ϑmax.
• O soluto A não será afetado pela presença da parede, então o fluido pode ser considerado de
profundidade infinita.
Profundidade da penetração

Com estas simplificações, a equação (3.2.6.8) fica:
2
A
2
AB
A
max
y
c
D
x
c
∂
∂
=
∂
∂
ϑ
com as condições de contorno:
C.C.1: para x = 0 → cA = 0
C.C.3: para y = δ → cA = cA0 (contato com o gás)
C.C.3: para y = -∞ → cA = 0
Fazendo ξ = δ - y, temos:
2
A
2
AB
A
max
c
D
x
c
ξ∂
∂
=
∂
∂
ϑ
e as condições de contorno ficam:
C.C.1: para x = 0 → cA = 0
C.C.2: para ξ = 0 → cA = cA0 (contato com o gás)
C.C.3: para ξ = ∞ → cA = 0
Aplicando a Transformada de Laplace na direcao x, na equação acima, temos:
( )
2
A
2
ABAmax
s,c
D0cs
ξ∂
ξ∂
=−ϑ no domínio de Laplace
rearranjando:
( )
0
D
css,c
AB
Amax
2
A
2
=
ϑ
−
ξ∂
ξ∂
Esta equação diferencial ordinária de 2ª ordem, possui a solução geral de:
( ) 







ξ
ϑ
−+








ξ
ϑ
=ξ
AB
max
1
AB
max
1A
D
s
expB
D
s
expAs,c
As constantes A1 e B1 são avaliadas utilizando as condições de contorno transformada para o
domínio de Laplace:
C.C.1: para ξ = 0 → ( )
s
c
s,0c 0A
A = (contato com o gás)

C.C.2: para ξ = ∞ → ( ) 0s,cA =∞
Produzindo a solução:
( ) 







ξ
ϑ
−=ξ
AB
max0A
A
D
s
exp
s
c
s,c
Aplicando a inversa da transformada de Laplace, temos:
( )




























ϑ
−
ξ
−=ξ
max
AB
0AA
xD4
erf1c,xc ou
( )
















−
ξ
−=ξ
expAB
0AA
tD4
erf1c,xc
onde o tempo de exposição é definido como texp = x/ϑmax.
A função erro: erf() → apêndice L de Welty.
Fluxo:
{ { 









−
π
=
π
=
∂
∂
−==
==δ=
δ==ξ
0
2A
c
1A
exp
AB
exp
AB
0A
y
A
AByy,A0y,A cc
t
D
t
D
c
y
c
DNN
0A
Por comparação com a equação de convecção: ( )2A1Acy,A cckN −=
21
ABc
exp
AB
c Dkou
t
D
k ∝
π
= ⇒ Teoria da penetração.

Difusão molecular no estado transiente 4.1
CAPÍTULO 4: DIFUSÃO MOLECULAR NO ESTADO TRANSIENTE
• 2 variáveis independentes: posição e tempo
• Grandes quantidades de problemas de difusão podem ser resolvidos simplesmente olhando as
soluções do problema análogo à condução de calor. Quando a equação diferencial e a condição
inicial e de contorno do processo de difusão são exatamente da mesma forma daqueles do
processo de condução de calor, então a solução pode ser tomada com as mudanças apropriadas
na notação.
• Muitas soluções analíticas em:
o Carslaw & Jaeger, Heat conduction in solids, Oxford University Press, 1959, 2ª edição.
o J. Crank, The mathematics of diffusion, Oxford University Press, London, 1958.
• São peculiares apenas para transferência de massa:
o Difusão com reações químicas
o Difusão com velocidade media molar diferente de zero
o Difusão com mais de 2 componentes
o Convecção forçada com taxas de transferência de massa elevada
• Processos transientes:
o O processo na qual esta em estado não estacionário somente em sua partida inicial.
o O processo na qual é uma batelada (descontínuo) ou operações em sistemas fechados do
começo ao fim de sua duração.
SOLUÇÃO ANALÍTICA
A segunda lei de Fick, descreve uma situação onde:
• Não ocorre nenhuma contribuição ao movimento (bulk), isto é, 0=ϑ
r
• Nenhuma reação química, isto é, RA = 0
Logo:
{
0R
t
c
N
química
reaçãosem
0
A
A
A =−
∂
∂
+⋅∇
=
r
(1)

( )44 344 21
rr
r
0c
BAAAABz,A NNxxcDN
=ϑ=
++∇−= 1ª Lei de Fick, logo:
AABz,A cDN ∇−= (2)
Introduzindo (2) em (1), temos:
A
2
AB
A
cD
t
c
⋅∇=
∂
∂
2ª Lei de Fick (3)
Útil para:
• Difusão em sólidos, líquidos estacionários, ou em sistemas em contradifusão equimolar.
• Devido a taxa de difusão extremamente lenta em líquidos, a contribuição do movimento bulk,
da 1ª lei de Fick (isto é, ∑ iA Nx
r
) aproxima de zero para soluções diluídas, portanto satisfaz a
2ª lei de Fick.
4.1 DIFUSÃO TRANSIENTE EM UM MEIO SEMI INFINITO
• Transferência de massa unidirecional dentro de um meio estacionário semi-infinito com uma
concentração superficial fixa.
• Absorção de O2 a partir do ar na aeração de um lago.
• Processo de difusão na fase sólida envolvendo a dureza do aço em atmosfera rica em carbono.
• A equação diferencial a ser resolvida é:
2
A
2
AB
A
z
c
D
t
c
∂
∂
=
∂
∂
e as condições inicial e de contornos são:
C.I.: 0AA cc = para t = 0, para todo z
C.C.1: AsA cc = para z = 0, para todo t
C.C.2: 0AA cc = para z = ∞, para todo t, o soluto penetra uma distância muito pequena
durante o tempo finito de exposição em relação a profundidade do meio.

usando a transformação:
0AA cc −=θ
2
2
AB
z
D
t ∂
θ∂
=
∂
θ∂
(2)
e as condições inicial e de contornos são:
C.I.: ( ) 00,z =θ
C.C.1: ( ) 0AAs cct,0 −=θ
C.C.2: ( ) 0t, =∞θ
Pela transformada de Laplace da eq. (2), temos:
2
2
AB
z
D0s
∂
θ∂
=−θ ou
0
D
s
z AB
2
2
=
θ
−
∂
θ∂
(3)
E as condições de contorno na T.L.:
C.C.1: ( )
( )
s
cc
s,0 0AAs −
=θ
z
CA0CAs
z
t aumenta
CA0
CAs

C.C.2: ( ) 0s, =∞θ
A solução geral de (3) é:
zDszDs ABAB
BeAe
−
+=θ
Pelas condições de contorno: z = ∞ ⇒ A = 0
z = 0 ⇒ B = (cAs-cA0)/s
Logo:
zDs0AAs AB
e
s
cc −





 −
=θ (4)
A inversa da T.L. da eq. (4), fica:
( ) 







−=θ
tD2
z
erfccc
AB
0AAs ou








−=
−
−
tD2
z
erf1
cc
cc
AB0AAs
0AA
(perfil de concentração) (5)
erf( ): função erro, apêndice L de Welty ou no Excel.
O fluxo unidirecional de A na placa semi-infinita, na superfície do meio é:
( )0AAs
AB
0z
A
AB0zA cc
t
D
dz
dc
DN −
π
=−=
=
=
(6)
4.2 DIFUSÃO TRANSIENTE EM UM MEIO DIMENSIONAL FINITO SOB CONDIÇÕES
DE RESISTÊNCIA DE SUPERFÍCIE DESPREZIVEL
• Um corpo é submetido a uma mudança subta nas vizinhanças a qual influencia sua
concentração na superfície cAs.
• Consideramos uma lamina larga de madeira a qual possui uma espessura uniforme L.
• A distribuição de concentração inicial é uma função de z, ou seja, cA0(z).

• Condições:
C.I.: ( )zcc 0AA = para t = 0, para todo 0 ≤ z ≤ L
C.C.1: AsA cc = para z = 0, para t > 0
C.C.2: AsA cc = para z = L, para t > 0
A equação da 2ª lei de Fick, com a concentração adimensional,
As0A
AsA
cc
cc
Y
−
−
= , na direção z, fica:
2
2
AB
z
Y
D
t
Y
∂
∂
=
∂
∂
(1)
Com as condições inicial e de contorno adimensionais:
C.I.: ( )zYY 0= para t = 0, para todo 0 ≤ z ≤ L
C.C.1: 0Y = para z = 0, para t > 0
C.C.2: 0Y = para z = L, para t > 0
( ) 0t,2L
dz
dY
= , devido a simetria no meio da placa.
Resolvendo a equação (1) pelo método de separação de variáveis (Welty) leva a seguinte solucao
produto:
( ) tD
21
2
ABexsenCxcosCY λ−
λ+λ=
z = 0
CAsCAs
z = L

As constantes C1 e C2 e o parâmetro λ são obtidos da C.I. e das C.C.1 e C.C.2, obtendo:
( ) ( ) dz
L
zn
senzYe
L
zn
sen
L
2
cc
cc
Y
L
0
0
X2n
1nAs0A
AsA D
2
∫∑ 




 π





 π
=
−
−
= π−
∞
=
(2)
onde:
L5,3,1,n
L/2deticocaracterisocomprimentx
relativotempoderazão
x
D
X
1
1
AB
D
=
=
→=
Se a lamina tem uma concentração uniforme, no instante inicial, isto é Y0(z) = Y0, então a eq. (2),
fica:
( ) D
2 X2n
1nAs0A
AsA
e
L
zn
sen
n
14
cc
cc
Y π−
∞
=
∑ 




 π
π
=
−
−
= (3)
onde: n = 1, 3, 5, ...
O fluxo mássico para algum plano da placa de madeira pode ser avaliado por:
z
c
DN A
ABz,A
∂
∂
−=
( ) ( ) D
2 X2n
1n
0AAs
AB
z,A e
L
zn
coscc
L
D4
N π−
∞
=
∑ 




 π
−=
onde: n = 1, 3, 5, ...
No centro da placa (z = L/2), NA = 0 pois ( ) 0t,2L
dz
dcA
=

Exemplo:
Considerando a dopagem do fósforo no silício cristalino, semicondutor tipo n, a 1100º C, uma
temperatura capaz de promover a difusão do fósforo. A concentração da superfície do fósforo (cAs)
no silício é 2,5 x 1020
atomos de P/cm3
de Si sólido, que é relativamente diluído, desde que o silício
contem 5 x 1022
atomos de Si/cm3
de sólido. A cobertura rica de fósforo é considerada como uma
fonte infinita para a quantidade de átomos de P transferido, de maneira que, cAs é constante.
Predizer a profundidade do filme Si-P após 1 h, se a concentração é de 1% na superfície (2,5 x 1018
atomos de P/cm3
de silício sólido).
Resposta: 1,76 µm
z = 0
Si(s) + 2POCl3(g) → SiO2(s) + 3Cl2 + 2P(s)
P
POCl3 Cl2 Vapor de POCl3
Cobertura de SiO2(s) + 2P(s)
Placa de Si
Fonte rica de P
P Si
cAs

4.3 GRÁFICOS CONCENTRAÇÃO-TEMPO PARA FORMAS GEOMÉTRICAS SIMPLES
• Gráficos de “Gurney-Lurie” apresentam soluções para placa plana, esfera e cilindros longos.
• Equação diferencial para condução de calor análoga a equação diferencial para difusão
molecular ⇒ estes gráficos podem ser utilizados para ambos os fenômenos de transportes.
• Para difusão molecular, temos:
Y = mudança na concentração adimensional =
0AAs
AAs
cc
cc
−
−
XD = tempo relativo =
2
1
AB
x
tD
n = posição relativa =
1x
x
m = resistência relativa =
1c
AB
xk
D
=
internamolecularmassadenciatransferêdearesistênci
convectivamassadenciatransferêdearesistênci
x1 = comprimento característico, é a distância do ponto médio para a posição de interesse.
Condições:
a) Assumir a 2ª lei de Fick, isto é, 0=ϑ , nenhum termo de produção, RA = 0, e difusividade
constante.
b) O corpo tem um concentração inicial uniforme, cA0.
c) O contorno esta sujeito a uma nova condição que permaneça constante com o tempo.
1. Para formas onde o transporte ocorre em somente uma das faces, a razões adimensionais são
calculadas como se a espessura fosse duas vezes o valor verdadeiro.

1) Transporte em uma barra retangular com extremidades seladas:
Ybar = YaYb
Ya = avaliação com a largura x1 = a
Yb = avaliação com a espessura x1 = b
2) Paralelepípedo retangular
Ypar = YaYbYc
Ya = avaliação com a largura x1 = a
Yb = avaliação com a espessura x1 = b
Yc = avaliação com a espessura x1 = c
a a
b
b
c
c
a a
b
b
selada
selada

3) Cilindros, incluindo ambas as extremidades
Ycil = YcilindroYa, Ycilindro = avaliado em coordenada radial (x1 = R)
Ya = avaliado para placa plana, de espessura x1 = a (axial)
Exemplo
Uma placa de madeira 12 in por 12 in por 1 in, é exposta ao ar seco. As extremidades são
inicialmente seladas para limitar o processo de secagem para as faces planas mais largas da placa. O
liquido interno difunde para a superfície, onde é evaporada pela passagem da corrente de ar. O
conteúdo de umidade sobre a superfície permanece constante a 15% em peso. Após 10 hr de
secagem o conteúdo de umidade do centro diminui de 50 para 32% em peso Se o coeficiente de
transferência de massa convectivo pode ser considerado suficientemente elevado, a resistência
relativa m é aproximada para zero, calcule:
a) O coeficiente de difusão efetiva.
b) O conteúdo de umidade se as seis faces são usadas para o mesmo período de secagem.
c) O tempo necessário para diminuir o conteúdo de umidade do centro de um cubo de 1 ft de aresta
feito com a mesma madeira, de 50 para 32% em peso se todas as 6 faces são usadas. Assumir
que o coeficiente de difusão efetiva calculado em (a) é constante através do cubo.
Resposta: a) 8,85 x 10-5
ft2
/h; b) 0,471 lbm de água/lbm de madeira seca; c)650 h
a
a
R
R

4.4 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ANÁLISE DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA
TRANSIENTE
Enunciado:
Uma placa de material com uma espessura de 0,004 m tem uma superfície subitamente exposta a
uma solução do componente A com CA0 = 6 x 10-3
kg-mol/m3
enquanto que a outra superfície é
suportada sólido isolado permitindo nenhuma transferência de massa. Há um perfil de concentração
inicial linear para o componente A dentro da placa a partir de CA = 1 x 10-3
kg-mol/m3
para um lado
e CA = 2 x 10-3
kg-mol/m3
para o lado sólido. A difusividade DAB = 1x 10-9
m2
/s. O coeficiente de
distribuição. O coeficiente de distribuição entre a concentração na solução adjacente a placa CALi e
a concentração na placa sólida para a superfície CAi é definida por: K = CAli/CAi, onde K = 1,5. O
coeficiente de transferência de massa para a superfície da placa pode ser considerado infinito.
x = 0,004 m
CA3 CA5 CA7
CA1
CA2 CA4 CA6 CA8
1 2 3 4 5 6 7 8 9
x dx = 0,0005 m
CA9
Superfície exposta
Condições de contorno
CA1 é mantido a um
valor constante.
Figura 1 – Transferência de massa transiente em uma placa unidimensional
A equação diferencial parcial:
2
A
2
AB
A
x
C
D
t
C
∂
∂
=
∂
∂
2ª Lei de Fick
Condições iniciais
CA para t = 0, perfil linear de 1 x 10-3
a 2 x 10-3

Como a equação diferencial é de 2ª ordem são necessárias duas condições de contorno:
CC1:
k
C
C 0A
0xAi ==
, onde k = 1,5
CC2: 0
x
C
004,0x
A
=
∂
∂
=
, condição de fluxo difusional para o contorno isolado.
a) Calcular as concentrações dentro da placa até 2500 s. Utilize o método numérico em x com
intervalo entre nodos de 0,0005 m (ver fig. 1) correspondente a 9 nodos.
b) Fazer o gráfico da concentração versus tempo ate 2500 s.
Método numérico
O método de linhas (MOL: method of lines): o tempo é resolvido como equações diferenciais
ordinárias: método de Euler ou Runge Kutta por exemplo. O espaço é discretizado por diferenças
finitas.
Neste exemplo o espaço é dividido em N = 8 intervalos envolvendo N + 1 = 9 nodos (figura 1).
Utilizando a fórmula da diferença central para a 2ª derivada (equação A9), deixando o tempo como
uma derivada ordinária, temos:
( )1nn1n AAA2
ABA
CC2C
x
D
dt
dC
−+
+−
∆
= para 2 ≤ n ≤ 8
Superfície exposta
Neste exemplo em x = 0
( )
0x
A
AB1A0Ac
x
C
DKCCk
=
∂
∂
−=−
CA1
x = 0
CA0

Usando a formula das diferenças (A5) para o derivativo do lado direito desta equação temos:
( )
x2
C3C4C
x
C 1A2A3A
0x
A
∆
−+−
=
∂
∂
=
Logo: ( )
( )
x2
C3C4C
DKCCk 1A2A3A
AB1A0Ac
∆
−+−
−=−
Isolando CA1, que nos interessa temos:
xKk2D3
CD4CDxCk2
C
cAB
2AAB3AAB0Ac
1A
∆+
+−∆
=
no nosso exemplo temos que kc →∞ logo
K
C
C 0A
1A = , onde K = 1,5.
Superfície isolada
Neste exemplo em x = L
0
x
C
004,0x
A
=
∂
∂
=
Utilizando a formula da diferença finita (A7) para este derivativo, temos
0
x2
CC4C3
dx
dC 7A8A9A9A
=
∆
+−
=
Isolando CA9 que nos interessa, temos:
3
CC4
C 7A8A
9A
−
=
CA9
x = 0
isolante
x = L = 0,004m

Condição inicial
Perfil de concentração inicial, neste exemplo é lineal de 1 x 10-3
a 2 x 10-3
, ficando:
x em m CA x 103
Nodo n
0 1 1
0,0005 1,125 2
0,001 1,25 3
0,0015 1,375 4
0,002 1,5 5
0,0025 1,625 6
0,003 1,75 7
0,0035 1,825 8
0,004 2 9
dx = 0,0005
Equações discretizadas:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
7A8A9A
AB
8A
8
2
6A7A8A
AB
7A
7
2
5A6A7A
AB
6A
6
2
4A5A6A
AB
5A
5
2
3A4A5A
AB
4A
4
2
2A3A4A
AB
3A
3
2
1A2A3A
AB
2A
2
dx
CC2C
D
dt
dC
f
dx
CC2C
D
dt
dC
f
dx
CC2C
D
dt
dC
f
dx
CC2C
D
dt
dC
f
dx
CC2C
D
dt
dC
f
dx
CC2C
D
dt
dC
f
dx
CC2C
D
dt
dC
f
+−
==
+−
==
+−
==
+−
==
+−
==
+−
==
+−
==
CA9 e CA1 são diferentes devido as condições de contorno, logo
K
C
C
3
CC4
C
0A
1A
7A8A
9A
=
−
=

onde CA0 = 6 x 10-3
e K = 1,5
Neste exemplo usaremos o método de Euler para discretizar o tempo:
( ) ( )
( ) ( )j2A21j2A
j2A1j2A
2
2A
2
CtfC
t
CC
f
dt
dC
f
+∆=
∆
−
=
=
+
+
Neste exemplo ∆t = 1 s e j é o numero de tempos.

Fluxograma:
Dados
Condições
iniciais
J = 0 a 2500
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) 2
7A8A9AAB8
2
6A7A8AAB7
2
5A6A7AAB6
2
4A5A6AAB5
2
3A4A5AAB4
2
2A3A4AAB3
2
1A2A3AAB2
dxjCjC2jCDf
dxjCjC2jCDf
dxjCjC2jCDf
dxjCjC2jCDf
dxjCjC2jCDf
dxjCjC2jCDf
dxjCjC2jCDf
+−=
+−=
+−=
+−=
+−=
+−=
+−=
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) dtjt1jt
31jC1jC41jC
dtfjC1jC
dtfjC1jC
dtfjC1jC
dtfjC1jC
dtfjC1jC
dtfjC1jC
dtfjC1jC
KC1jC
7A8A9A
28A8A
27A7A
26A6A
55A5A
44A4A
33A3A
22A2A
0A1A
+=+
+−+=+
+=+
+=+
+=+
+=+
+=+
+=+
+=+
=+
Impressão

Módulo em VBA aplicado ao EXCEL
Public Sub Ptran()
Dim t(3000) As Double
Dim CA1(3000) As Double
'Dados
dx = 0.0005
CA0 = 0.006
K = 1.5
DAB = 0.000000001
tf = 2500
Cells(12, 1) = "dx ="
Cells(12, 2) = dx
Cells(13, 1) = "CA0 ="
Cells(13, 2) = CA0
Cells(14, 1) = "K ="
Cells(14, 2) = K
Cells(15, 1) = "DAB ="
Cells(15, 2) = DAB
'Condições iniciais
t(0) = 0
CA1(0) = 0.001
CA2(0) = 0.001125
CA3(0) = 0.00125
CA4(0) = 0.001375
CA5(0) = 0.0015
CA6(0) = 0.001625
CA7(0) = 0.00175

CA8(0) = 0.001825
CA9(0) = 0.002
dt = 1
'Solução numérica
For j = 0 To 2500
f2 = DAB * (CA3(j) - 2 * CA2(j) + CA1(j)) / dx ^ 2
CA1(j + 1) = CA0 / K
CA2(j + 1) = CA2(j) + f2 * dt
CA3(j + 1) = CA3(j) + f3 * dt
CA4(j + 1) = CA4(j) + f4 * dt
CA5(j + 1) = CA5(j) + f5 * dt
CA6(j + 1) = CA6(j) + f6 * dt
CA7(j + 1) = CA7(j) + f7 * dt
CA8(j + 1) = CA8(j) + f8 * dt
CA9(j + 1) = (4 * CA8(j + 1) - CA7(j + 1)) / 3
t(j + 1) = t(j) + dt
Next j
'impressão na planilha
For i = 0 To 8
Cells(18, 5 + i) = i * dx
te = 50
Next i
For j = 0 To 2500 Step te
Cells(20 + j / te, 4) = t(j)
Cells(20 + j / te, 5) = CA1(j)
Cells(20 + j / te, 6) = CA2(j)
Cells(20 + j / te, 7) = CA3(j)
Cells(20 + j / te, 8) = CA4(j)
Cells(20 + j / te, 9) = CA5(j)
Cells(20 + j / te, 10) = CA6(j)

Cells(20 + j / te, 11) = CA7(j)
Cells(20 + j / te, 12) = CA8(j)
Cells(20 + j / te, 13) = CA9(j)
Next j
End Sub
Planilha Placa_transiente_7_13.xls do EXCEL: Próxima pagina.

dx = 0.00050
CA0 = 0.00600
K = 1.50000
DAB = 1.00000E-09
distância x
0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004
tempo
(s) CA1 CA2 CA3 CA4 CA5 CA6 CA7 CA8 CA9
0 0.001 0.001125 0.00125 0.001375 0.0015 0.001625 0.00175 0.001825 0.002
50 0.004 0.001616 0.001294 0.001378 0.0015 0.001624 0.001741 0.001816 0.00184
100 0.004 0.001965 0.001394 0.001392 0.001501 0.001622 0.001733 0.001806 0.00183
150 0.004 0.002217 0.001514 0.001421 0.001505 0.00162 0.001726 0.001796 0.00182
200 0.004 0.002406 0.001635 0.001462 0.001514 0.001619 0.001719 0.001787 0.00181
250 0.004 0.002553 0.001751 0.00151 0.001527 0.001618 0.001713 0.001778 0.0018
300 0.004 0.002669 0.001859 0.001564 0.001544 0.00162 0.001707 0.00177 0.00179
350 0.004 0.002764 0.001957 0.00162 0.001565 0.001623 0.001703 0.001761 0.001781
400 0.004 0.002843 0.002047 0.001676 0.001589 0.001628 0.001699 0.001754 0.001772
450 0.004 0.00291 0.002128 0.001732 0.001615 0.001635 0.001696 0.001747 0.001764
500 0.004 0.002967 0.002202 0.001787 0.001643 0.001644 0.001695 0.00174 0.001756
550 0.004 0.003017 0.002269 0.001841 0.001673 0.001655 0.001694 0.001735 0.001748
600 0.004 0.003061 0.00233 0.001892 0.001703 0.001667 0.001695 0.00173 0.001741
650 0.004 0.003101 0.002386 0.001941 0.001734 0.001681 0.001697 0.001725 0.001735
700 0.004 0.003136 0.002438 0.001987 0.001765 0.001695 0.0017 0.001722 0.001729
750 0.004 0.003167 0.002485 0.002032 0.001795 0.00171 0.001704 0.00172 0.001725

800 0.004 0.003196 0.002529 0.002074 0.001825 0.001726 0.001709 0.001718 0.001721
850 0.004 0.003222 0.00257 0.002114 0.001855 0.001743 0.001715 0.001717 0.001718
900 0.004 0.003246 0.002608 0.002153 0.001884 0.00176 0.001721 0.001717 0.001716
950 0.004 0.003269 0.002643 0.002189 0.001913 0.001777 0.001728 0.001718 0.001715
1000 0.004 0.003289 0.002677 0.002224 0.00194 0.001795 0.001736 0.00172 0.001714
1050 0.004 0.003308 0.002708 0.002257 0.001968 0.001812 0.001745 0.001723 0.001715
1100 0.004 0.003326 0.002737 0.002288 0.001994 0.00183 0.001754 0.001726 0.001716
1150 0.004 0.003342 0.002764 0.002319 0.00202 0.001848 0.001764 0.00173 0.001719
1200 0.004 0.003358 0.00279 0.002347 0.002045 0.001865 0.001774 0.001735 0.001722
1250 0.004 0.003372 0.002814 0.002375 0.002069 0.001883 0.001785 0.00174 0.001726
1300 0.004 0.003386 0.002837 0.002401 0.002093 0.0019 0.001796 0.001747 0.00173
1350 0.004 0.003398 0.002859 0.002426 0.002115 0.001918 0.001807 0.001753 0.001736
1400 0.004 0.003411 0.00288 0.00245 0.002138 0.001935 0.001819 0.001761 0.001742
1450 0.004 0.003422 0.002899 0.002473 0.002159 0.001952 0.00183 0.001769 0.001748
1500 0.004 0.003433 0.002918 0.002495 0.00218 0.001969 0.001843 0.001777 0.001756
1550 0.004 0.003443 0.002936 0.002516 0.002201 0.001986 0.001855 0.001786 0.001763
1600 0.004 0.003453 0.002953 0.002537 0.002221 0.002003 0.001868 0.001796 0.001772
1650 0.004 0.003462 0.002969 0.002556 0.00224 0.002019 0.00188 0.001805 0.00178
1700 0.004 0.003471 0.002985 0.002575 0.002259 0.002035 0.001893 0.001816 0.00179
1750 0.004 0.003479 0.003 0.002594 0.002277 0.002052 0.001906 0.001826 0.001799
1800 0.004 0.003487 0.003014 0.002611 0.002295 0.002068 0.001919 0.001837 0.001809
1850 0.004 0.003495 0.003028 0.002628 0.002313 0.002083 0.001933 0.001848 0.00182
1900 0.004 0.003503 0.003041 0.002645 0.00233 0.002099 0.001946 0.001859 0.001831
1950 0.004 0.00351 0.003054 0.002661 0.002346 0.002114 0.001959 0.001871 0.001842
2000 0.004 0.003516 0.003066 0.002676 0.002363 0.00213 0.001973 0.001883 0.001853
2050 0.004 0.003523 0.003078 0.002691 0.002379 0.002145 0.001986 0.001895 0.001865

2100 0.004 0.003529 0.00309 0.002706 0.002394 0.00216 0.002 0.001907 0.001876
2150 0.004 0.003535 0.003101 0.00272 0.00241 0.002175 0.002013 0.00192 0.001888
2200 0.004 0.003541 0.003111 0.002734 0.002425 0.002189 0.002027 0.001932 0.001901
2250 0.004 0.003547 0.003122 0.002747 0.002439 0.002204 0.00204 0.001945 0.001913
2300 0.004 0.003552 0.003132 0.00276 0.002454 0.002218 0.002054 0.001958 0.001926
2350 0.004 0.003558 0.003141 0.002773 0.002468 0.002232 0.002068 0.001971 0.001938
2400 0.004 0.003563 0.003151 0.002786 0.002482 0.002246 0.002081 0.001983 0.001951
2450 0.004 0.003568 0.00316 0.002798 0.002495 0.00226 0.002095 0.001997 0.001964
2500 0.004 0.003573 0.003169 0.00281 0.002509 0.002274 0.002108 0.00201 0.001977

0.0010
0.0015
0.0020
0.0025
0.0030
0.0035
0.0040
0.0045
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600
tempo (s)
CA(kg-mol/m3
)
CA1 CA2 CA3 CA4 CA5 CA6 CA7 CA8 CA9

Aproximações por diferenças finitas úteis:

Transferência de massa por convecção 5.1
CAPÍTULO 5: TRANSFERÊNCIA DE MASSA POR CONVECÇÃO
⇒ Envolve o transporte de material entre uma superfície de contorno e um fluido escoando ou
entre dois fluidos relativamente imiscíveis em escoamento.
{ { {
ãoconcentraç
dediferença
A
convectivo
massade
ciatransferên
deecoeficient
c
ãoconcentraç
dedecréscimodo
direçãonaocorre
massadeFluxo
A ckN ∆=
→
sistemadogeometriaedinâmicasticascaracterisfluido,dodespropriendadasfunção
h
k c



é análogo a : Th
A
q
∆= da transferência de calor
Considerações fundamentais em transferência de massa
⇒ Camada extremamente fina junto à superfície → escoamento laminar.
⇒ Escoamento laminar: o transporte entre a superfície do fluido escoando é por meio molecular.
⇒ Escoamento turbulento: movimento físico de volume de material através de linhas de corrente,
transportada por turbilhões. Altas taxas de transferência de massa ou transferência de calor estão
associadas ao escoamento turbulento.
( )AAscA cckN −=
Onde:
fluidofasedadentropontoalgumparacomposicãoc
sistemadopressãoeratemperatuaparasólidoocomequilíbrio
emfluidodocomposiçãoaéinterface;nafluidonosolutodoãoconcentraçc
linterfaciaáreaxtempo
interfaceadeixandoAsolutodomoles
N
A
As
A
=
=
=
⇒ Há quatro métodos de avaliação do coeficiente de transferência de massa convectivo que serão
discutidos neste capítulo. Estes são:

1. Análise dimensional ligada a experimentos;
2. Análise exata da camada limite;
3. Análise aproximada da camada limite;
4. Analogia entre momento, energia e transferência de massa.
EXEMPLO 1
O ar escoa sobre uma placa sólida de dióxido de carbono congelado (gelo seco) com uma área
superficial exposta de 1 x 10-3
m2
. O CO2 sublima com uma corrente escoando a 2 m/s e taxa de
liberação de 2,29 x 10-4
mol/s. O ar está a 293 K e 1,013 x 105
Pa ( sm10x5,1D 25
ar,CO2
−
= e νar
= 1,55x10-5
m2
/s). Determine o coeficiente de transferência de massa do CO2 sublimando sobre o ar
escoando.
Resp.: 0,118 m/s
5.2. PARÂMETROS SIGNIFICANTES:
⇒ A difusividade molecular para cada fenômeno de transporte são:

















=
ρ
=α
ρ
µ
=ν
t
L
mássicadedifusividaD
térmicadedifusivida
c
k
momentodededifusivida
2
AB
p
⇒ Número de Schmidt (Sc)
mássicadedifusivida
momentodededifusivida
DD
Sc
ABAB
=
ρ
µ
=
ν
=
Sc (T.M.) é análogo ao Pr (T.C.)
⇒ Número de Lewis (Le)
mássicadedifusivida
térmicadedifusivida
Dc
k
D
Le
ABpAB
=
ρ
=
α
=
Le é importante quando o processo envolve transferência de massa de energia simultaneamente.

Figura 5.1 – Perfil de velocidade e concentração para um fluido escoando numa superfície sólida.
Na interface => mesmo fluxo do componente A deixando a superfície do fluido.
( )∞−= AAscA cckN deixando a superfície por convecção
( )
0y
AsA
ABA
dy
ccd
DN
=
−
−= Entrando no fluido por difusão melecular
Logo: ( )
( )
0y
AsA
ABAAsc
dy
ccd
Dcck
=
−
−=∞−
Rearranjando e multiplicando por L, ambos os lados, temos:
( ) ( )
⇒
∞−−
−=
=
L
cc
dy
ccd
D
Lk AAs
0y
AsA
AB
c
globalãoconcentraçdegradiente
superfícieaparaãoconcentraçdegradiente
fluidodoconvectivamassadenciatransferêdearesistênci
molecularmassadenciatransferêdearesistênci
=
ShouNu
D
Lk
AB
AB
c
=
NuAB: número de Nusselt para transferência de massa
Sh: número de Sherwood.
ϑ = ϑ(y)
ϑ∞
cAs - cA∞
cAs - cA = (cAs – cA)(y)
x
y
cAs na interface

EXEMPLO 2
Determine o número de Schmidt para o metanol em ar a 298 K e 1,013 x 103
Pa e em água líquida a
298 K.
5.3. ANÁLISE DIMENSIONAL DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA CONVECTIVA
Transferência em uma corrente escoando sob convecção forçada
⇒ Considerando a transferência de massa da parede de um tubo para o fluido escoando através do
conduite. (força direcional cAs – cA)
Variável Símbolo Dimensões
Diâmetro do tubo D L
Densidade do fluido ρ M/L3
Viscosidade do fluido µ M/Lt
Velocidade do fluido ϑ L/t
Difusividade do fluido DAB L2
/t
Coeficiente de transferência de massa kc L/t
D ρ µ ϑ DAB kc
M 0 1 1 1 0 1
L 1 -3 -1 0 2 0
t 0 0 -1 -1 -1 1
- Várias combinações de matriz 3 x 3.
- Variáveis incluem sistema geométrico, o escoamento, props. do fluido
- kc tem o interesse principal
- rank = 3 ⇒ r de uma matriz: significa o numero de coluna do maior determinante diferente de
zero, que se pode formar a partir dela.
i = no
de variareis – rank = 6 – 3 = 3 grupos adimensionais.
DAB, ρ e D → variáveis central (núcleo) pode conter qualquer das variáveis que, entre elas incluem
todas as dimensões básicas (MLt).

µρ=π
ϑρ=π
ρ=π
ihg
AB3
fed
AB2
c
cba
AB1
DD
DD
kDD
Escrevendo π1 na forma adimensional:
( ) 



















=
t
L
L
L
M
t
L
1 c
ba2
Equacionando os expoentes, temos:
1c
0b
1a
b0:M
1a0:t
1cb3a20:L
=
=
−=





=
−−=
++−=
{
Sherwooddeno.
massade
nciatransferêpara
Nusseltdeno.
AB
AB
c
1 ShouNu
D
Dk
321
≡=π
Os outros 2 grupos são determinados da mesma maneira, produzindo:
{
Schimidtdeno.AB
3
AB
2 Sc
D
e
D
D
≡
ρ
µ
=π
ϑ
=π
Dividindo π2 por π3:
{
Reynoldsdeno.
AB
AB3
2
Re
DD
D
D
≡
µ
ϑρ
=





µ
ρ





 ϑ
=
π
π
Portanto uma correlação poderia ser feita da forma:
Sh = NuAB = f(Re, Sc)
Que é análoga a correlação de transferência de calor,

Nu = f(Re, Pr)
Transferência dentro de uma fase na qual o movimento é devido a convecção natural
⇒ Correntes de convecção natural → desenvolvera se existir variação de densidade na fase líquida
ou gasosa. Ex.: parede plana vertical com um fluido adjacente.
As variáveis importantes, seus símbolos e representações adimensionais são:
Variável Símbolo Dimensões
Comprimento característico L L
Difusividade do fluido DAB L2
/t
Densidade do fluido ρ M/L3
Viscosidade do fluido µ M/Lt
Força de empuxo g ∆ρA M/L2
t2
Coeficiente de transferência de massa kc L/t
L DAB ρ µ g ∆ρA kc
L 1 2 1 1 1 0
M 0 0 -3 -1 -2 1
t 0 -1 0 -1 -2 -1
⇒ DAB, L e µ → variáveis central (núcleo) pode conter qualquer das variáveis que, entre elas
incluem todas as dimensões básicas (MLt).
⇒ Matriz 3 x 3 ⇒ maior det ≠ 0, portanto o rank = 3
⇒ i = no
de variareis – rank = 6 – 3 = 3 grupos adimensionais.
A
ihg
AB3
fed
AB2
c
cba
AB1
gLD
LD
kLD
ρ∆µ=π
ρµ=π
µ=π
Resolvendo os 3 grupos adimensionais, obtemos
AB
A
3
3
AB
2AB
AB
c
1
D
gL
,
Sc
1D
,Nu
D
Lk
µ
ρ∆
=π≡
µ
ρ
=π≡=π

Multiplicando π2 e π3
321
Grashofdeno
AB2
A
3
AB
A
3
AB
32 Gr
gL
D
gLD
≡








ρν
ρ∆
=








µ
ρ∆






µ
ρ
=ππ
Portanto sugere uma correlação da forma:
Sh = f(GrAB, Sc) para convecção natural.
⇒ As correlações de dados experimentais pode ser feita em termos de 3 variáveis ao invés de 6
originais, tanto para convecção forçada como para natural.
⇒ Correlações => equações empíricas capitulo 30 do Welty, 7 deste apontamento.
5.4 ANÁLISE EXATA DA CAMADA LIMITE LAMINAR DA CONCENTRAÇÃO
⇒ Extensão da solução exata desenvolvida por Blasius para a camada limite hidrodinâmica.
Figura – Camada limite de concentração para escoamento laminar em uma placa plana
A equação da continuidade em coordenadas retangulares; componentes A, ρ e DAB = constantes.
{ {
Ade
produção
enhuman
0
A
)y,x(fc
0
2
A
2
2
A
2
y
c
2
A
2
AB
A
0
z
A
y
A
x
ioestacionár
estado
0
A
R
z
c
y
c
x
c
D
z
c
y
c
x
c
t
c
A
2
A
2
=
=
=
∂
∂
<<
=
=
+




















∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=








∂
∂
ϑ+
∂
∂
ϑ+
∂
∂
ϑ+
∂
∂
321321321
x
y
Extremidade da C.L. de concentração
cA∞
cAs
cA = cA(y)

logo, temos:
2
A
2
AB
A
y
A
x
y
c
D
y
c
x
c
∂
∂
=
∂
∂
ϑ+
∂
∂
ϑ (13)
Equação similar as equações desenvolvidas a partir das equações de momento e energia para a
solução da camada limite hidrodinâmica e a camada limite térmica; portanto terá solução análoga as
estes fenômenos de transporte, pois as condições de contorno são análogas.
1
D
Sc
ypara1
cc
cc
e;0ypara0
cc
cc
AB
AsA
AsA
AsA
AsA
=
ν
=
∞==
−∞
−
==
−∞
−
AsA
AsA
s,x
s,xxx
cc
cc
222f
−∞
−
=
ϑ−ϑ
ϑ−ϑ
=
ϑ
ϑ
=′
∞∞
(14) e
xRe
x2
yx
x2
y
x2
y
=
ν
ϑ
=
ν
ϑ
=η ∞∞
(15)
( )
( )
( )∞ϑν
ψ
=η
x
y,x
f (16)
( )η′
ϑ
=
∂
ψ∂
=ϑ ∞
f
2y
x (17)
( )ff
x2
1
x
y −′η
νϑ
=
∂
ψ∂
=ϑ ∞
(18)
Introduzindo as equações (14) a (18) na (13), obtemos:
0fff =′′+′′′
com as condições de contorno:

∞=η=′
=η=′=
/p2f
0/p0ff
A solução análoga a transferência de momento sugere que:
( ) 328,1
Re
x2
y
d
cc
cc
2d
0f
d
fd
0y
x
AsA
AsA
=


















−∞
−
=′′=
η
′
=
(19)
A equação (19) pode ser rearranjada para obter uma expressão para o gradiente de concentração na
interface:
( ) 





−∞=
=
xAsA
0y
As
Re
x
332,0
cc
dy
dc
(20)
Eq. (20) ⇒ a taxa na qual a massa entra ou deixa a superfície da camada limite é tão pequena que
não altera o perfil de velocidade predito pela solução de Blasius, onde ϑy não é envolvido.
Se ⇒=ϑ
=
0
0yy contribuição bulk para a 1ª lei de Fick na direção y é zero, logo:
0y
A
ABy,A
y
c
DN
=
∂
∂
−= (21)
Substituindo (21) em (20), temos:
( )∞−





= AAsxABy,A ccRe
x
332,0
DN (22)
O fluxo de massa do componente A se difundindo é definido como:
( )∞−= AAscy,A cckN (23)
igualando as equações (22) e (23), temos:

xAB
AB
c
Re332,0Nu
D
xk
== (24)
onde: Sc = 1 e a transferência de massa entre a placa plana e a camada limite é baixa.
(19).equação0,332éinclinaçãoa
yemee,velocidaddeperfilosobreefeitonenhumtemnãomassadenciatransferêdetaxa
0Re
placa.aparafluidodopartiramassadenciatransferê0Re
limite.camadadadentroparaplacadapartiramassadenciatransferê0Re
21
x
ys
21
x
ys
21
x
ys



⇒
=
⇒=
ϑ
ϑ
⇒<
ϑ
ϑ
⇒>
ϑ
ϑ
∞
∞
∞
⇒ Em muitas operações físicas envolvendo transferência de massa 21
x
ys
Re
∞ϑ
ϑ
é desprezível,
valendo a equação (24).
⇒ Vaporização de um material volátil dentro de uma corrente gasosa escoando a baixa pressão, a
suposição de baixa transferência de massa não pode ser feita.

31
c
Sc=
δ
δ
Solução de Pohlhausen
δ = espessura da camada limite hidrodinâmica
δc = espessura da camada limite da concentração.
Para y = 0, temos:
( ) 





−∞=
=
3
xAsA
0y
As
ScRe
x
332,0
cc
dy
dc
Conduzindo a: 3
xx
AB
c
ScRe332,0Sh
D
xk
== (25)
Coeficiente de transferência de massa médio para uma placa plana (largura W e comprimento L)
∫
∫∫
∫
∫
−∞
∞






µ
ρϑ
=
⇒






µ
ρϑ
===
L
0
21
21
31
ABc
L
0
31
21
ABL
0
31
21
xAB
L
0
L
0
c
c
dxxScD332,0Lk
L
dxSc
x
x
D332,0
L
dxSc
x
ReD332,0
dxW
dxkW
k
Inclinação = 0,332
ϑys = 0
3121
x
ys
ScRe
∞ϑ
ϑ
∞−
−
AAs
AAs
cc
cc

Resolvendo e rearranjando, temos:
3121
LL
AB
c
ScRe664,0Sh
D
Lk
== (28)
O numero de Sherwood local para uma distancia x, esta relacionado com o numero de Sherwood
médio para uma placa plana pela relação:
ShL = 2 Shx|x=L
O parâmetro do limite da superfície, 0Re
21
x
ys
>
ϑ
ϑ
∞
, aumenta quando a inclinação da curva
decresce (ver gráfico). Como a magnitude do coeficiente de transferência de massa esta relacionado
com a inclinacao pela relação:
0y
AAs
AAs
c
dy
cc
cc
d
k
=
∞






−
−
= , o decréscimo na inclinação => o sistema
com valores elevados no limite da superfície terá um menor coeficiente de transferência de massa.
Escoamento turbulento
A mesma expressão encontrada para transferência de calor, na camada limite laminar
térmica, é encontrada para a camada limite laminar para a concentração, utilizando a equação
integral de von Kármán, onde o perfil de concentração é dado por:
71
,AA ycc ξ+η=− ∞
obtendo: 54
xx Re0292,0Sh = para Sc = 1 e aplicando a solução de Pohlhausen, extende-se para:
3154
xx ScRe0292,0Sh = , para Rex > 3 x 105
(29)

Transferencia de massa livro

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Transferencia de massa livro

Similar a Transferencia de massa livro (20)

Transferencia de massa livro