1. INFORMĀCIJAS SISTĒMU MENEDŽMENTA AUGSTSKOLA
Profesionālās bakalaura studijas programma – Informācijas sistēmas
Kvalifikācija – Sistēmu analītiķis
Izglītības ieguves forma – Vakara, klātiene
3414.grupas audzēknes
Lienes Lukaševičas
referāts diskrētajā matemātikā
1. KOPU TEORIJA
2. MATEMĀTISKĀ LOĢIKA
Rīgā
2013

2. SATURS
Saturs
Ievads
1. Kopu teorija
1.1. Kopu uzdošanas veidi
1.2. Apakškopas
1.3. Operācijas ar kopām
1.3.1. Šķelšana
1.3.2. Apvienošana
1.3.3. Atņemšana
1.3.4. Papildināšana
1.3.5. Simetriskā atņemšana
1.4. Divu kopu savstarpējie stāvokļi
1.5. Eilera-Venna diagrammas
1.6. Pētījums Eilera-Venna diagrammas
1.7. Kopu faktorizācija
1.8. Kopu tiešais reizinājums
2. Matemātiskā loģika
2.1. Izteikumi
2.2. Predikāti
2.3. Izteikumu un predikātu pielietojumu piemērs
2.4. Darbības ar izteikumiem
2.5. Matemātiskās loģikas formulas un to īpašības
2.6. Predikātu loģikas alfabēts
2.7. Būla funkciju un matemātiskās loģikas ģeometriskā un kopu teorētiskā interpretācija
3. Nobeigums un kopsavilkums
4. Izmantotā literatūra
2
lpp.
2
3
4
4
5
6
6
6
7
7
7
8
8
11
16
16
18
18
19
20
20
21
22
23
24
25

3. Ievads
Kopu teorija un matemātiskā loģika tiek uzskatītas par matemātikas stūrakmeņiem. Matemātiskā
loģika apraksta pareizas spriešanas paņēmienus, savukārt kopu teorija piedāvā paņēmienus, kā
aprakstīt matemātikā pētāmos priekšmetus jeb objektus.
Kopu teorija noformējāss kā patstāvīgaga matemātikas nozare XIX g. otrajā pusē, pateicoties
Veierštrāsa, Dedekinda un it īpaši Georga Kantora (1845–1918) darbam.
Kopā tā laika viņa ir veikusi garu attīstības ceļu, gandrīz nepārtraukti piesaistot sev matemātiķu
uzmanību, un patlaban ir jēdzieniskais un teorētiskais pamats gandrīz visai pašreizējai
matemātikai.
Terminam ’kopa’ matemātikā ir apmēram tas pats saturs kā mazāk ”oficiāliem“ vārdiem ’klase’,
’kopums’, ’saime’, ’grupa’, ’ansamblis’, ’kolekcija’, kaut arī dažiem no tiem dažādās
matemātikas nozarēs ir arī sava īpašāka nozīme. Būtībā ikvienā matemātiskā disciplīnā ir
jārīkojas ar tām vai citām kopām (pie kam starp kopā ietilpstošajiem objektiem un arī starp
dažādām kopām parasti pastāv kaut kādas saiknes), un tas tad arī nodrošina vispārīgajai kopu
teorijai visplašāko lietojumu.
Tai pašā laikā mēģinājumi definēt kopas jēdzienu, izmantojot citus, tikai reducējas uz vairāk vai
mazāk pilnīgu un precīzu aprakstīšanu, jo šis jēdziens ir viens no pamatjēdzieniem matemātikā.
Piemēram, kopu teorijas pamatlicējs Kantors rakstīja, ka kopa - tā ir noteiktu un dažādu mūsu
intuīcijas un intelekta objektu krājums, kuru domā kā kaut ko veselu, vienotu. Saprotams, tāda
”definīcija“ nevar derēt par apmierinošu pamatu matemātiskai teorijai, pie tam dažādu iemeslu
dēļ: piem., tajā atsaucas uz tādām nematemātiska rakstura lietām kā intelekts un intuīcija, un uz
nojēgumu par krājumu, kurš nebūt nav skaidrāks par pašu kopas jēdzienu (nosaukumu3s
’krājums’ un ’kopa’ pat var uzskatīt par vairāk vai mazāk sinonīmiskiem viens otram).
Jebkuras zinātnes izklāstam ir būtiska prasība pēc noteiktības (skaidrības, precizitātes) jēdzienos,
kuri tiek izmantoti – ieviešot kādu terminu, kas izsaka jaunu, agrāk neaplūkotu jēdzienu,
jānodrošina pareiza termina izpratne, terminam precīzi jāatsedz jēdziena saturs. Matemātisko
jēdzienu saturu parasti atsedz ar definīciju. Visbiežāk tiek lietoti divi definēšanas veidi:
1) nosaucot ģinti un sugas pazīmi(es), t.i. iepriekš zināmu vispārīgu jēdzienu un pazīmes, kas
definējamo jēdzienu atšķir no visiem citiem, kurus apvieno šis vispārīgais jēdziens, 2) aprakstot,
kā definējamais objekts rodas. Jēdzienu savstarpējā mijiedarbība tiek formulēta izteikumos
(spriedumos). Par izteikumiem vienmēr var viennozīmīgi pateikt, vai tie ir patiesi vai aplami.
Matemātikas kursā skolā jēdzienus spriedums un izteikums jāuztver kā sinonīmus, vienkāršības
labad lietojot tikai vienu no tiem – izteikumi. Matemātikā biežāk lietojamie izteikumi ir
aksiomas un teorēmas.
Viens un tas pats jēdziens bieži pieļauj dažādas definīcijas. Teorēmu formulējumi no valodas
viedokļa var būt ļoti dažādi, bet tos iespējams pārveidot standartformā: “Ja …, tad …” .
Definīciju un izteikumu lietošana un izpratne ir ļoti nozīmīgi komunikācijas prasmju
pilnveidošanā – svarīga prasme ir veidot matemātiski korektus apgalvojumus, piemēram, pareizi
lietot saikļus “un, vai”.
Par ļoti svarīgu uzskatāma prasme veidot atsevišķus izteikumus no vispārīgiem izteikumiem un
otrādi. Gan indivīda, gan cilvēces attīstības pirmajās pakāpēs par matemātisko patiesību izziņas
avotu kalpo novērojumi un pieredze – empīriskais, induktīvais izteikumu iegūšanas veids.
3

4. 1. Kopu teorija
Kopu teorija ir matemātikas nozare, kas pēta kopas un to īpašības. Tā ir arī viena no tām
matemātikas nozarēm, kas joprojām ļoti strauji attīstās. Jebkuru priekšmetu, objektu vai lietu
apkopojumu, kas apvienoti pēc kādas noteiktas pazīmes, sauc par kopu, bet kopu veidojošos
objektus sauc par kopas elementiem. Izmantojot zināšanas par kopām un to īpašībām,
matemātikā tiek izskaidrotas dažādas likumsakarības. Kopu teorijas valodu var izmantot gandrīz
visu matemātisko objektu definīcijās, jo tā elementārs (un pat uzskatīts par nedefinējamu)
matemātisku jēdzienu, uz kuru balstās matemātika.
Bez tam kopa ir tik plaši lietots jēdziens, ka mēs bieži operējam ar tām it kā automātiski,
nedomājot par to eksistenci.
Modernos kopu teorijas pētījumus aizsāka Georgs Kantors un Ričards Dedekinds ap 1870. gadu.
Pēc paradoksu atklāšanas naivajā kopu teorijā, 20. gs. sākumā tika piedāvātas daudzas aksiomu
sistēmas, no kurām labi pazīstamas ir Cermelo-Frenkela aksiomas un izvēles aksioma.
Kopai un tās elementiem piemīt šādas raksturīgas īpašības:
1) visi kopas elementi tiek uzskatīti par dažādiem;
2) starp kopas elementiem nav uzdota nekāda kārtība, hierarhija vai sakarība;
3) kopas elementiem var būt dažāda daba un vienā kopā var pastāvēt dažādas dabas
elementi.
Piemēri:
Kopa
Elementu skaits
Elementi
Latīņu alfabēta burtu kopa
26 elementi
a, b, c, d, e...
Latvijā universitāšu kopa
2013.gadā bija 6 elementi
Daugavpils Universitāte
Latvijas Lauksaimniecības
universitāte
Latvijas Universitāte
Liepājas Universitāte
Rīgas Stradiņa universitāte
Rīgas Tehniskā universitāte
Skaitļu kopa
Bezgalīgi daudz elementu
1, 2, 3, 4, 5...
Ciparu kopa
10 elementi
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Multikopa ir jebkuras dabas (iespējams, ar atkārtojumiem) elementu kopums, kas tiek uzskatīts
par vienotu veselu. Ja kāds elements multikopā atkārtojas “n” reizes, tad saka, ka šī elementa
multiplicitāte (kārta) dotajā multikopā ir vienāda ar “n”. Piemēram: visu automašīnu marku
multikopa (automašīnām ir vienādas markas, un tās atkārtojas).
Kopu uzdošanas veidi
Kopu uzskata par uzdotu, ja tiek uzskaitīti visi tās elementi vai arī norādīta kopas elementus
apvienojoša īpašība.
Kopu pierakstam izmanto figūriekavas {…}, kurās, ja ir iespējams, ieraksta visus kopas
elementus vai uzraksta kopas elementus raksturojošo īpašību. Uzskatāmības dēļ jebkuras kopas
elementus var attēlot plaknē ar punktu, bet kopu — kā ierobežotu plaknes daļu.
4

5. Ja kopa “A” satur galīgu skaitu elementu, tad to sauc par galīgu kopu un tās elementu skaitu
apzīmē ar pierakstu “|A|”. Katrs objekts, kas ir kādas kopas elements, tiek uzrādīts šajā kopā tikai
vienu reizi, piemēram, skaitļa 2342431 ciparu kopa ir {2; 3; 4; 1}.
Kopas, kas sastāv no vieniem un tiem pašiem elementiem, sauc par vienādām kopām.
• Ja kāds objekts a ir kopas A elements, tad raksta “a ∈ A”: lasa “a pieder kopai A” vai “
kopa A satur a”.
• Ja objekts a nav kopas A elements, tad raksta “a ∉ A”: lasa “a nepieder kopai A” vai
“kopa A nesatur a”.Arī šī kopa ir uzdota, nosaucot kopas elementus apvienojošo īpašību.
Piemērs: A — Latvijas pilsētu kopa. “Cēsis” ∈ A, “Madona” ∈ A, bet “Tartu” ∉ A.
Piemērs: Ja A ir veslo pāra skaitļu kopa, tad ir tiesa, ka
• √16 ∈ A, −1000 ∈ A, 1020 ∈ A, visi skaitļi, kas dalās ar 6, pieder A, 77 ∉ A,
bet nav tiesa, ka
• 1 ∈ A, 2, 999 . . . ∈ A, −1000 ∉ A, ja kāds vesels skaitlis nepieder A, tad arī
tam sekojošˇsais (pēc lieluma) nepieder.
Kopu, kas nesatur nevienu elementu, sauc par tukšu kopu (apzīmē ar simbolu ∅). Tukšo kopu
uzskata par galīgu kopu, bet skaitli 0 - par tās elementu skaitu. Kopu, kas satur vismaz vienu
elementu sauc par netukšu kopu.
Pretējā gadījumā kopu sauc par bezgalīgu kopu. Bezgalīgām kopām nav iespējams sastādīt
pilnīgu elementu sarakstu. Dažkārt tomēr arī bezgalīgas kopas raksturo ar elementu sarakstu,
piemēram, visu naturālo skaitļu kopa: N = {1; 2; ... ; n; ...} Tādu pierakstu drīkst izmantot tikai
tad, ja uzrakstītie elementi skaidri norāda, kā saraksts ir turpināms.
Ekstensionalitātes princips, kurš saka, ka kopu pilnībā nosaka tās elementi. To dažkārt sauc arī
par kopu vienādības principu.
Divas kopas, neatkarīgi no tā, kā tās definētas un kā pierakstītas, ir vienādas (A = B) tajā un tikai
tajā gadījumā, kad tās satur vienus un tos pašus elementus.
Divas kopas ir dažādas tad un tikai tad, ja vienai no tām ir tāds elements, kurš nepieder otrai (A ≠
B).
Datoru atmiņā kopas parasti uzdod masīvu – skaitļu, simbolu, vārdu veidā.
Kopu var pierakstīt, piemēram, arī tā: A = {x ∈ N | x dalās ar 5}; kur aiz kopas elementa
vispārīgā apzīmējuma (burta), velk vertikālu svītru un pieraksta kopas elementu raksturīgo
īpašību. Proti, piemērā kopa A sastāv no tiem naturālajiem skaitļiem, kas dalās ar 5.
Apakškopas
Kopu A sauc par kopas B apakškopu vai daļu, ja katrs kopas A elements ir arī kopas B elements.
Ja kopa A ir kopas B apakškopa, tad raksta A ⊂ B (lasa ”kopa A iekļaujas kopā B”) vai B ⊃ A
(lasa ”kopa B satur kopu A”). Ja kopa A nav kopas B apakškopa, tad raksta A ⊄ B (lasa ”kopa A
neiekļujas kopā B”) vai ”kopa B nesatur kopu A”. Par kopas apakškopu ir jādomā kā par kopas
daļu.
Piemēram:
A — skolas visu ISMA studentu kopa un B — Inormācijas sistēmu visu ISMA studentu kopa, tad
B ⊂ A, jo katrs Inormācijas sistēmu students ir arī ISMA students.
Apakškopas jēdzienisko nozīmi bieži izmanto klasifikācijā.
Piemēram:
Bioloģijā, ja M — mugurkaulnieku kopa (tips), Z — zīdītāju kopa (klase), K — kukaiņēdāju
kopa (kārta) un E —ežveidīgo kopa (ģints), tad, izmantojot apakškopu simboliku, to var
pierakstīt šādi: E ⊂ K ⊂ Z ⊂ M.
Ja dota kopa “A”, tad šīs kopas visu apakškopu kopu apzīmē pierakstu “P (A)” un sauc par šīs
kopas būleānu (par godu britu matemātiķim Būlam (Boole) vai pakāpes kopu).
5

6. Operācijas ar kopām
Šķelšana
Par divu kopu šķēlumu sauc kopu, kura satur tos un tikai tos priekšmetus, kuri pieder abām
dotajām kopām. Kopu šķēlumu pieraksta: A ∩ B. Lai pārbaudītu, vai kāds elements pieder divu
kopu šķēlumam, jāpārliecinās, vai tas pieder katrai no dotajām kopām. Par kopu šķēlumu ir
jādomā kā par šo kopu kopējo daļu. Arī šajā gadījumā nav svarīgi, kāds ir universs.
Piemēri:
• Dotas kopas A = [0; 5) un B = (2; 7]. Lai noteiktu šo kopu šķēlumu (kopīgos elementus),
izveidosim abu kopu grafisko attēlu. Intervālu galapunkti 2 un 5 kopu šķēlumam
nepieder, jo tie vienlaicīgi nepieder abām dotajām kopām, t. i., 2 ∈ A, bet 2 ∉ B.
Savukārt 5 ∈ B, bet 5 ∉ A.
•
•
•
•
Dotas kopas A = {2; 4; 6} un B = {1; 2; 3; 4; 5}. Lai noteiktu kopu šķēlumu, jāatrod
elementi, kas pieder gan kopai A, gan kopai B. Tie ir skaitļi 2 un 4. Tātad A ∩ B = {2;
4}.
A = {x | x ir skaitļa 12 dalītāji} un B = {y | y ir skaitļa 10 dalītāji}. A ∩ B = {1; 2}, jo A
= {1; 2; 3; 4; 6; 12}, bet B = {1; 2; 5; 10}, kur 1 un 2 ir vienīgie abu kopu kopējie
elementi.
Kopu [0, 1) un (−1, 0] šķēlums ir kopa {0} (bet ne skaitlis 0 !).
Kopām (0, 1) un (−1, 0) šķēums eksistē - tā ir tukšā kopa.
Apvienošana
Par divu kopu apvienojumu sauc tādu kopu, kura satur tos un tikai tos priekšmetus, kuri pieder
vismaz vienai no dotajām kopām. Kopu apvienojumu pieraksta: A ∪ B. Lai elements piederētu
divu kopu apvienojumam, tam jāpieder vismaz vienai no dotajām kopām.
Piemēri:
• Dotas kopas A = [0; 5) un B = (2; 7]. Lai noteiktu šo kopu apvienojumu, izveidosim kopu
grafi sko att ēlu:
•
Ja A — ISMA tūrisma novirziena studentu kopa, B — ISMA inormācijas sistēmu
studentu kopa, tad A ∪ B ir ISMA visu studentu kopa. Šajā situācijā A ∩ B = Ø, jo nav
6

7. •
•
tādu elementu (studentu), kas būtu gan turisma gan inormācijas sistēmu novirziena
studenti.
Kopu [0, 1) un (−1, 0] apvienojums ir (−1, 1)
Kopām (0, 1) un (−1, 0) abu pusintervālu apvienojuma pierakstīšanai nav nekā labāka par
burtisko (−1, 0) [ (0, 1), kas, protams, nav tas pats intervāls (−1, 1).
Atņemšana
Par divu kopu starpību sauc kopu, kura satur tos un tikai tos priekšmetus, kas pieder pirmajai, bet
nepieder otrajai kopai. Šo kopu starpību pieraksta: A B. Lai noteiktu kopu A un B starpību
AB, no kopas A elementiem “jāizslēdz” kopas B elementi, ja tādi ir. Savukārt, nosakot kopas B
un A starpību BA, no kopas B elementu skaita “jāizslēdz” kopas A elementi.
AB nav vienāds ar BA.
Piemēri:
• Dotas kopas A = [0; 5] un B = (2; 7]. Lai noteiktu AB un BA, izveidosim kopu grafi sko
att ēlu.
•
•
•
Dotas kopas A = {2; 4; 6} un B = {1; 2; 3; 4; 5}. Lai noteiktu AB, no kopas A
elementiem “jāizslēdz” tie elementi, kas pieder arī kopai B — tātad 2 un 4. Līdz ar to
AB = {6}. Savukārt, lai noteiktu BA, no kopas B elementiem “jāizslēdz” tie elementi,
kas pieder arī kopai A — tātad 2 un 4. Līdz ar to BA = {1; 3; 5}.
{a, b, c, d} {d, c, e} = {a, b}, un {d, c, e} {a, b, c, d} = {e}.
[0, 1) (−1, 0] = (0, 1), un arī (0, 1) (−1, 0) = (0, 1). Bet šo pašu intervālu (0, 1) un (−1,
0) apvienojumu ([0, 1) un (−1, 0] apvienojums ir (−1, 1)) tagad var uzrakstīt arī kā (−1, 1)
{0}.
Papildināšana
Par kopas papildinājumu (līdz U) sauc visu to priekšmetu kopu, kuri nepieder šai kopai. Par
kopas papildinājumu ir jādomā kā par kopu, kas paliek pāri, ja no universa “izmet ārā” visus
kopas “A” elementus. Kopas A papildinājumu apzīmēar A` vai −A.
Piemērs:
• Ja A = {1,2,3,4,5} un U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, tad A` = {6,7,8,9,10}
• Ja A = visu pāra saitļu kopa un U = N, tad A` ir visu nepāra skaitļu kopa
• Tukšās kopas papildinājums ir pilnā kopa, un otrādi. Ja U = R, tad segmenta (0, 1]
papildinājums ir apvienojums (−∞, 0] [ (1,∞). Ja turpretī U = R+, tad −(0, 1] = (1,∞).
Simetriskā atņemšana
Par divu kopu simetrisko starpību sauc visu to priekšmetu kopu, kuri pieder tieši vienai no abām
kopām. Kopu A un B simetrisko starpību visbiežāk apzīmē ar A Δ B.
7

8. Piemēri:
• {a, b, c, d} Δ {d, c, e} = {a, b, e} = {d, c, e} Δ {a, b, c, d}.
• [0, 1) Δ (−1, 0] = (0, 1) ∪ (−1, 0) = (0, 1) Δ (−1, 0).
Divu kopu savstarpējie stāvokļi
a) A = B
b) B ⊂ A
c) A ∩ B ≠ ∅ ^ A B ≠ ∅ ^ B A ≠ ∅ (vispārīgākā situācija)
d) A ∩ B = ∅
1.zīm.
Kopu vizualizācijas metode: Eilera-Venna diagrammas
Džons Venns (1834—1923) bija angļu filozofs un matemātiķis. Viņš radīja ērtu paņēmienu —
Venna diagrammas, kas ļāva vizuāli attēlot kopas un visus to savstarpējos mijiedarbības
stāvokļus. Šādas diagrammas mēdz saukt arī par Eilera-Venna diagrammām, jo arī šveiciešu
matemātiķis Leonards Eilers (1707—1783) izmantoja līdzīgas diagrammas, lai attēlotu kopu
savstarpējo stāvokli.
Formulas, kuras satur divas vai trī kopas, visvienkāršāk pierādāmas grafski. Tā sauc Eilera
diagrammu paveidu, kurās kopas attēlotas "vispārīgā stāvoklī" tā, lai visi to savstarpējie šķēlumi
būtu netukši (1. c zīm. un 2. zīm.).
8

9. 2. zīm.: Venna diagrammu pamatapgabali 3 kopām
A = {f4; 5; 6; 7},
B = {1; 2; 4; 5}, C = {f2; 3; 5; 6}.
A B = {6; 7};
(A B) C = {7};
A C = {4; 7};
(A C) B = {7}:
Rezultātā (A B) C = {7} = (A C) B.
Piemēram, attēlojot kopu A ar apli, kopu B - ar citu apli, bet kopu C - ar trešo apli (2. zīm.),
izveidojas 7 iekšējie apgabali, kurus zīmējumā apzīmējam ar skaitļiem no 1 līdz 7, un viens
ārējais apgabals (2. zīm. apzīmējām ar skaitli 8) Tagad ērti pierādāmas formulas, kuras satur 3
kopas.
Formulas (A B) C = (A C) B. Pierādījums ilustrēts 3.zīmējumā
9

10. 3.zīm.
a) A B,
b) (A B) C,
c) A C,
d) (A B) C.
Formulas A (B ∩ C) = (A B) ∪ (A C) pierādījums ilustrēts 4. a) zīm. Te gaiši pelēkā tonī
iekrāsots apgabals, kas atbilst kopu šķēlumam B ∩ C.
Tā mēs varam pārliecināties, ka 4. a zīm. tumši tonētais apgabals atbilst kopai A (B ∩ C).
10

11. 4. zīm.: Venna diagrammas: a) A (B ∩ C),
b) A (B ∪ C).
Taču jāatzīst, ka 4. a zīm. ne pārāk pārliecinoši demonstrē, ka tumši pelēkajam apgabalam tiešām
atbilst kopa (A B) ∪ (A C), tāpēc nepieciešami papildus apsvērumi, piemēram, varam
sanumurēt visus apgabalus, kā jau iepriekš tas parādīts 2. zīm. Tagad var pieņemt, ka
A = {4; 5; 6; 7};
B = {1; 2; 4; 5};
C = {2; 3; 5; 6}:
Šai gadījumā
B ∩ C = {2; 5};
A (B ∩ C) = f4; 6; 7};
A B = {6; 7};
A C = {4; 7};
(A B) ∪ (A C) = {6; 7} ∪ {4; 7} = {4; 6; 7}:
Tā rezultātā A (B C) = {4; 6; 7} = (A B) ∪ (A C).
Diagrammas ļauj atpazīt arī tās formulas, kas nav spēkā Tā 5. zīm. parādīts, ka kopu atņemšana
nav komutatīva, proti, vispārīga gadījumā A B ≠ B A. Tas nebūt nenozīmē, ka nav iespējams
piemeklēt tādas kopas A un B, kurām izpildās vienādība, piemēram, ja A = B, tad A B = B A.
5. zīm: Komutatīvā likuma A B = B A atspēkojums ar Venna diagrammām: a) A B, b) B A.
11

12. Pētījums:
10 draugu kopa {alex, blair, casey, drew, erin, francis, glen, hunter, ira, jade} Ikviens draugs ir
kopas elements (vai objekts)
Pieņemsim, ka alex, casey, drew un hunter spēlē futbolu “Soccer”:
Soccer = {alex, casey, drew, hunter}
(Kopa "Soccer" sastāv no elementiem alex, casey, drew un hunter).
Savukārt casey, drew un jade spēlē tenisu “Tennis”:
Tennis = {casey, drew, jade}
Ievietoju viņu vārdus divos atsevišķos apļos:
Apvienošana
Tagad sarakstu draugus, kuri spēlē Soccer VAI Tennis. Tā saucas kopu apvienošana un tiek
apzīmēta ar ∪:
Soccer ∪ Tennis = {alex, casey, drew, hunter, jade}
Ne visa draugu kopa – tikai tie draugi, kuri spēlē futbolu vai tenisu
Arī šo norādu Vienna diagrammā:
Venna Diagramma: 2 kopu apvienošana
Domāju, ka Venna diegramma ļoti skaidra un sniedz daudz inormāciju:
• Kā redzams alex, casey, drew un hunter ir "Soccer" kopā
• Kā arī casey, drew un jade ir "Tennis" kopā
• Un saprotams ir arī, ka: casey un drew atrodas ABĀS kopās!
12

13. Krustošanās
Krustošanās ir tad, ja Tu atrodies ABĀS kopās. Mūsu gadījumā tas nozīmē, ka viņi spēlē gan
futbolu, gan tenisu, kā to dara casey un drew. Un simbols tam ir: ∩
Soccer ∩ Tennis = {casey, drew}
Venna Diagrammā izskatās šādi:
Venna Diagramma: 2 kopu krustošana
Trīs kopas
Venna Diagrammu var taisīt arī no 3 kopām.
Pieņemšu, ka trešā kopa būs volejbols "Volleyball", kuru spēlēs drew, glen un jade:
Volleyball = {drew, glen, jade}
Lai izskatītos “matemātiskāk”, izmantošu CAPS burtus kopu apzīmēšanai:
• S = Soccer kopa
• T = Tennis kopa
• V = Volleyball kopa
Venna Diagramma tagad izskatās šādi:
3 kopu apvienošana: S ∪ T ∪ V
Redzamais piemērs:
• drew spēlē Soccer, Tennis un Volleyball
• jade spēlē Tennis un Volleyball
• alex un hunter spēlē Soccer, bet nespēlē Tennis vai Volleyball
• neviens nespēlē tikai Tennis
Veicu dažādus paraugus ar apvienotajām kopām ...
13

14. Šī ir tikai S kopa
S = {alex, casey, drew, hunter}
T ∪ V = {casey, drew, jade, glen}
Apvienotās kopas T un V
Krustošanās kopām S un V
S ∩ V = {drew}
• izmantoju iepriekšējo kopu S ∩ V
• tad atņemu T:
14

15. Tā ir krustošanā kopām S un V mīnus kopa T
(S ∩ V) − T = {}
Sanāk tukša kopa. Tā joprojām ir kopa, kurai izmantojam tukšas iekavas: {}
Universālās kopas
Universālā kopa “U” - var ietvert visu mums šobrīd interesējošo – mūsu gadījumā 10 draugu
kompāniju.
U = {alex, blair, casey, drew, erin, francis, glen, hunter, ira, jade}
Univeršalās kopas attēlojums Venna Diagrammā uzzīmējot rāmi ap kopām.
Nu ir redzami visi 10 draugi glīti sagrupēti katrs savā sporta spēļu grupā.
Var veikt interesantas kombinācijas ņemot visu kopu un atņemot tikai to, kur spēlē futbolu:
15

16. Izskatās šādi:
U − S = {blair, erin, francis, glen, ira, jade}
Saka: "Universālā kopa mīnus futbola kopa ir kopa {blair, erin, francis, glen, ira, jade}"
Citiem vārdiem "ikviens, kurš nespēlē futbolu".
Kopu faktorizācija
Faktorizācija ir svarīga kopu teorijas operācija, kas ļauj pāriet no kopas uz šīs kopas daļu kopu,
kuru elementiem piemīt kopīgas īpašības.
Strādājot ar faktorkopām ir lietderīgi sadalījuma klašu vietā strādāt ar šo klašu elementiem –
klašu pārstāvjiem: lai aprakstītu faktorkopu, ir pietiekami atrast vienu elementu katrā sadalījuma
klasē.
PIEMĒRI.
Pāra skaitļu kopa un nepāru skaitļu kopa veido visu veselu skaitļu kopas sadalījumu, šajā
gadījumā faktorkopa satur divus elementus, kurus var identificēt ar skaitļiem 0 un 1 –
atlikumiem, kurus iegūst, dalot ar 2 naturālus skaitļus.
Cilvēku kopā sadalījums pēc, piemēram, pilsonības vai acu krāsas pazīmes definē faktorkopas,
kuras elementiem atbilst valstis vai krāsas.
Plaknes punktu kopā taisnes, kas paralēlas fiksētai taisnei, veido sadalījumu, kuram atbilstošās
faktorkopas elementus var identificēt ar taisnes punktiem šādā veidā: uzzīmēsim vēl vienu taisni
“l”, kas nav paralēla nevienai no dotajām taisnēm, katra no paralēlajām taisnēm krusto taisni “l”
vienā punktā, pie tam jebkurām divām dažādām taisnēm šie krustpunkti ir dažādi un katrs taisnes
“l” punkts ir viens no šiem krustpunktiem, visi šie apsvērumi kopumā nozīmē, ka faktorkopas
elementus var identificēt ar taisnes “l” punktiem.
Kopu tiešais reizinājums
Par sakārtotu pāri sauc kopu, kas satur divus elementus un kurā ir definēta kārtība: tiek norādīts,
kurš no diviem elementiem ir pirmais, un kurš – otrais.
Sakārtotu pāri apzīmē ieslēdzot kopas elementus parastajās iekavās vai kvadrātiekavās noteiktajā
kārtībā, pirmais elements tiek rakstīts kreisajā pusē, otrais – labajā pusē; piemēram (a, b) - vai .
[a, b] Par sakārtotu “n” elementus garu virkni(n-virkni) sauc kopu, kas satur “n” elementus un
kurā katram elementam ir piešķirts kārtas numurs(no “l” līdz “n”).
Sakārtotu virkni apzīmē ieslēdzot kopas elementus parastajās iekavās vai kvadrātiekavās
noteiktajā kārtībā, elementi tiek rakstīti no kreisās puses uz labo; piemēram (a1, a2,...,an) vai [a1,
a2,...,an].
Par bezgalīgu virkni sauc bezgalīgu kopu, kurā katram elementam ir piešķirts kārtas
numurs(naturāls skaitlis).
Par divu kopu A un B tiešo vai Dekarta reizinājumu(par godu franču matemātiķim Dekartam)
sauc kopu (apzīmē ar pierakstu A x B) , kuras elementi ir visi sakārtoti elementu pāri, kuros
pirmais elements pieder kopai A, bet otrais elements pieder kopai B: A x B = {[a, b]} | a ∈ A un
b ∈ B}
16

17. Kopas, kas piedalās tiešajā reizinājumā, sauc par tā reizinātājiem. Ja tiešajā reizinājumā visi
reizinātāji ir vienādi(Ai = A katram i), tad tiešo reizinātāju sauc par A pakāpi (apzīmē ar A n). Ja
vismaz no reizinātājiem ir tukša kopa, tad reizinājums ir tukša kopa.
Piemēri
A = {a, b} un A = {x, y}, tad A x B = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y)}; ja A = R (skaitļu taisne), tad A
x A = A2 var identificēt ar plakni šādā veidā: definēsim plaknē Dekarta koordinātes, katram
plaknes punktam Dekarta koordinātes (sakārtots skaitļu pāris) ir viennozīmīgi noteiktas, un
otrādi, katrs sakārtots skaitļu pāris viennozīmīgi nosaka punktu dotajā Dekarta koordinātu
sistēmā.
Pēdējais piemērs rāda, ka par divu kopu A un B tiešo reizinājumu A x B ir lietderīgi domāt kā
par tabulu, kuras rindas tiek indeksētas ar pirmās kopas A elementiem un kolonnas tiek
indeksētas ar otrās kopas B elementiem, tabulas rūtiņai, kuras rindai atbilst elements a ∈ A un
kuras kolonnai atbilst elements b ∈ B, atbilst tiešā reizinājuma elements (a, b).
Ja A ≠ B, tad acīmredzami A x B ≠ B x A.
17

18. 2. Matemātiskā loģika
Matemātisko loģiku var uzskatīt par formālo loģiku, kas lieto matemātiskas metodes un
matemātiska tipa simboliku. Lai arī cik vilinoši neliktos siloģismi, tomēr tas nav mūsdienu
matemātiskās loģikas maģistrālais virziens.
Loģika ir viena no vecākajām zinātnēm, kas radusies 4. gs. p. m. ē. Tā pēta likumsakarības,
kurām seko organizēta un pareiza domāšana.
Def. Matemātiskā loģika (teorētiskā loģika, simboliskā loģika) ir matemātikas nozare, kas pēta
matemātisko pierādījumu formas, formālās valodas izteikumus un operācijas ar izteikumiem.
Matemātiskā loģika apvieno vienā disciplīnā matemātiku un loģiku, aprakstot pareizai
domāšanai raksturīgās formālās kārtulas.
Izteikumi
Izteikuma jēdziens ir pamatjēdziens un netiek definēts. Izteikumus, kas nav attiecināmi uz
konkrētu piemēru vai situāciju un kuri vispārīgi (parasti ar mainīgo vai parametru palīdzību)
apraksta kādu faktu vai procesu, sauc par vispārīgiem izteikumiem tie ir patiesi tad un tikai tad,
ja patiesi ir visi tam atbilstošie atsevišķie izteikumi.
Šādu atsevišķo izteikumu, kas pierāda, ka vispārīgais izteikums nav patiess, sauc par
pretpiemēru.
Izteikums “Ja skaitlis n , kas ir lielāks nekā 24, dalās ar 6 un 4, tad šis skaitlis n dalās ar 24.”
Pretpiemērs “Skaitlis 36 ir lielāks nekā 24, dalās ar 6 un 4, bet nedalās ar 24.”
Aprakstoši paskaidrojot, var teikt, ka par izteikumu saucam tādu apgalvojumu, kas ir vainu
patiess, vai aplams. Rezultātā parādās arī patiesumvērtības jēdziens, kas arī ir pamatjēdziens.
Loģikā pieņemts drusku formālāks izteikšanās veids: saka ka izteikumam ir viena no divām
iespējamām patiesumvērtībām: 1 (patiess) un 0 (aplams). Izteikumi ir līdzīgi no valodas mācības
pazīstamajiem stāstījuma teikumiem, bet te nav nekas vairāk par nosacītu līdzību.
Izšķir vienkāršus izteikumus - tādus, par kuru iekšējo saturu matemātiskā loģika neinteresējas,
izņemot to patiesumu vai aplamību, un saliktus izteikumus - tādus, kas veidoti no vienkāršiem
izteikumiem ar matemātiskās loģikas darbību (un", vai", izriet" u. c.) palīdzību.
Piemēram:
Salikts izteikums “ja naturāla skaitļa pēdējais cipars ir pāra, tad tas dalās ar 2” sastāv no diviem
vienkāršiem izteikumiem “naturāla skaitļa pēdējais cipars ir pāra” un “naturāls skaitlis dalās ar
2”. Saliktus izteikumus izmanto, lai matemātikā formulētu definīcijas, īpašības un teorēmas.
Daži izteikumu un tai pašā laikā stāstījuma teikumu piemēri:
• A=
“2x2=5”,
• B=
“Rīga ir Latvijas galvaspilsēta 2001. gadā”,
• C=
“uz Marsa ir dzīvība”
A, B, C ir izteikumi, pie tam izteikums A ir aplams, izteikums B ir patiess un par izteikumu C uz
šī teksta rakstīšanas brīdi nav zināms, vai tas ir patiess vai aplams.
18

19. “Manā akvārijā ir zelta zivtiņa" ir vienkāršs izteikums. No matemātiskās loģikas viedokļa
mūs interesē tikai, vai tas ir patiess vai aplams. Pārējais tā saturs attiecas uz sadzīvi,
zooloģiju utml.
• Frāzes “šodien ir labs laiks”,“3”, ”cik laika ir palicis līdz lekcijas beigām?” nav izteikumi
mūsu definīcijas nozīmē, jo par tiem nevar nekādā nozīmē apgalvot, ka tie ir pareizi vai
aplami.
Izteikuma patiesumvērtība ir objektīvs tā raksturojums. Piemēram, izteikums:
“Zeme riņķo ap Sauli” ir, kā zināms, patiess, neraugoties uz to, ka ikdienas pieredze rāda otrādi.
•
Dažkārt minētā izteikumu satura salīdzināšana ar īstenību ir neiespējama, visbiežāk tāpēc, ka tas
(saturs) ir neskaidrs vai pat absurds vai arī tāpēc, ka nav skaidru salīdzināšanas kritēriju:
Pēteris, šķiet, ir 20 gadu vecs.
Skaitlis 987654321 nav sevišķi liels,
Vislielākais naturālais skaitlis ir pārskaitlis
Tradicionālā loģika šādus nenoteiktus izteikumus neaplūko (precīzāk, tās atzinumi šādos
gadījumos nav piemērojami).
Aplūkošu divus izteikumus.
• Katrs rombs ir paralelograms.
• Ne katrs rombs ir paralelograms.
Skaidrs, ka 1. izteikums ir patiess, savukārt, 2. izteikums ir aplams. To jēdzieniskā nozīme ir
pretēja. Šādās situācijās mēdz teikt, ka viens izteikums ir otra izteikuma noliegums. Parasti, ja
runājot vai rakstot vēlamies ko noliegt, mēs sakām “nē”, “ne”, “nepareizi” u.tml.
Par izteikuma A noliegumu sauc izteikumu “ne A”. Vienlaikus patiess var būt tikai viens no
izteikumiem A un ne A.
Aplūkošu vēl vienu izteikumu A, B un izteikuma “A ir tad un tikai tad, ja B” patiesumu.
Izteikums A: “Šodien ir pirmā Jaunā gada diena”.
Izteikums B: “Šodien ir 1. janvāris”.
Izteikums “A ir tad un tikai tad, ja B”: “Šodien ir pirmā Jaunā gada diena tad un tikai tad, ja
šodien ir 1. janvāris”.
Ja A un B ir patiesi, tad izteikums “Šodien ir pirmā Jaunā gada diena tad un tikai tad, ja šodien ir
1. janvāris” — ir patiess.
Pieņemšu, ka ir 15. aprīlis. Tad izteikumi “Šodien ir pirmā Jaunā gada diena” un “Šodien ir 1.
janvāris” ir aplami, tomēr izteikums “Šodien ir pirmā Jaunā gada diena tad un tikai tad, ja šodien
ir 1. janvāris” — protams, ir patiess.
Lai frāze būtu apgalvojums, tam ir jābūt apgalvojuma formā (nevar būt jautājums, izsaukuma
formā, komanda, lūgums, nepabeigts u.c.).
Predikāti
Izteikumu sauc par predikātu, ja tas ir izteikums, kas ir atkarīgs no mainīgiem lielumiem. Par
predikātiem ir jādomā kā par funkcijām, kuru vērtības apgabals ir patiesumvērtību kopa.
Tradicionāli biežāk lietotās patiesuma operācijas ir: negācija, disjunkcija, konjunkcija,
implikācija un ekvivalence.
19

20. Izteikumu un predikātu pielietojumu piemērs
Nosacītās pārejas un ciklu operatori programmēšanā:
“if” (“ja”) operators, “while”(“kamēr”) operators. “until”(“līdz”) operators
Programma, kas drukā 1, ja ievadīts pozitīvs skaitlis un 0, ja ievadīts 0 vai negatīvs skaitlis.
Operators “if X then A else B”: ja izteikums, kas seko pēc “if” ir patiess, tad izpildīt komandu A,
ja aplams, tad izpildīt komandu B.
input n;
if n>0 then print 1;
else print 0;
Darbības ar izteikumiem
Saliktu izteikumu veido no vienkârðiem vai citiem (jau izveidotiem) saliktiem izteikumiem ar
šādām darbībām (šeit un turpmāk par izteikumu sauksim vienkāršu vai saliktu izteikumu):
1) kā izteikuma A noliegumu jeb negāciju (no latīņu valodas) (¬A) (lasa “ne A"),
2) kā izteikumu A un B konjunkciju (no latīņu valodas burtiski “sajūgumu") (A ∧ B) (lasa “A un
B"),
3) kā izteikumu A un B disjunkciju (no latīņu valodas burtiski “atjūgumu") (A ∨ B) (lasa “A vai
B"),
Noliegums, konjunkcija un disjunkcija ir vienkāršākās operācijas kā no dotiem izteikumiem
konstruēt saliktus izteikumus.
4) kā izteikumu A un B stingro jeb izslēdzošo disjunkciju (A ⊕ B) (lasa “tieši viens no A vai B"
vai “A vai B, bet ne abi"),
5) kā izteikuma B secināšanu jeb implikāciju (no latīņu valodas burtiski “iepīšanu") no izteikuma
A (A → B) (lasa “ja A, tad B" vai “no A izriet B", vai “no A seko B"),
6) kā izteikumu A un B pielīdzināšanu jeb ekvivalenci (latīņu valodā ”tikpat stiprs") (A ≡ B)
(lasa “A tad un tikai tad, ja B" vai “A līdzvērtīgs B", vai “A ekvivalents B").
Implikācija un ekvivalence ir operācijas ar izteikumiem, kuras ir lietderīgi izmantot pierādot
matemātiskus apgalvojumus.
Frāze ’tiek teikts, ka arguments nav patiess’ negācijas definīcijā nav jāuztver kā garantējums, ka
šis arguments patiešām nav patiess.
Teikt, ka apgalvojums A nav patiess, var gan par aplamu, gan arī patiesu A.
Lieku reizi atgādinām jau agrāk runāto, ka apgalvojums, kuru izsaka izteikums, var būt nevien
patiess, bet arī aplams. Tālab negācijas operāciju nevajadzētu uzskatīt par rīku, kura uzdevums ir
aplamus izteikumus ”uzlabot“ par patiesiem. Tā vienkārši ir līdzeklis izteikuma ar pretēju saturu
iegūšanai.
Tādas pat piezīmes attiecas arī uz pārējām loģiskajām operācijām. Tā, piemēram, nevajadzētu
iedomāties, ka divu izteikumu konjunkcija ir (atbilstoši definīcijai) patiesa tikai tāpēc vien, ka
kāds grib apgalvot abu tās locekļu vienlaicīgu patiesumu.
Vēl piezīmēsim, ka iegūto salikto izteikumu sauc tāpat, kā izmantoto loģisko operāciju: piem,
izteikumu, kurš ar konjunkcijas operāciju iegūts no izteikumiem A un B sauc par A un B
konjunkciju. Iesākumā tas var radīt nelielus pārpratumus, bet pie tā jāpierod: te nav tādu
izteikšanās iespēju, kā aritmētikā, kur summu var atšķirt no saskaitīšanas vai reizinājumu no
reizināšanas.
20

21. Salikto izteikumu patiesumvērtības nosaka no to veidojošo izteikumu patiesumvērtībām
atbilstoši šai tabulai:
Piemērs:
A = ”Jānis dzīvo Rīgā”, tad
¬ A = ”nav tiesa, ka Jānis dzīvo Rīgā”, ja
B = ”Andris dzīvo Rīgā”, tad
A ∧ B = “Jānis un Andris dzīvo Rīgā”,
A ∨ B = “Jānis vai Andris dzīvo Rīgā”.
To patiesumvērtību izvēles motivācija ir saistīta ar šādiem novērojumiem: no patiesa
apgalvojuma loģisku secinājumu ceļā var iegūt kādu citu patiesu apgalvojumu un nav iespējams
iegūt aplamu apgalvojumu, savukārt no aplama apgalvojuma var iegūt gan aplamu, gan patiesu
apgalvojumu, tātad izteikums “ja A, tad B ” ir noteikti aplams tad, ja A ir patiess un B ir aplams,
un var būt patiess visos citos gadījumos.
Implikāciju un ekvivalenci pielietojumos izmanto relatīvi retāk nekā konjunkciju un disjunkciju.
Vēl ir dažas praktiski bieži sastopamas matemātiskās loģikas operācijas, piemēram xor.
Sākot strādāt kādā programmēšanas valodā, ir jāiepazīstas ar šajā valodā izmantotajām
matemātiskās loģikas operācijām un to apzīmējumiem.
Mēs varam matemātikā pierastā manierē domāt, ka nosacījuma teikuma darināšana ir it kā
darbība jeb operācija izteikumu kopā — tai vajadzīgi divi izteikumi kā argumenti, un tās izpildes
rezultātā rodas atkal izteikums. Var pat sastādīt priekšrakstu tādas operācijas izpildei:
(i) uzraksti vārdu ’ja’, (ii) tālāk raksti pirmo argumentu un liec aiz tā komatu, (iii) pēc tam raksti
otro argumentu, (iv) visbeidzot, raksti otro argumentu, bet aiz tā liec punktu.
Līdzīgā kārtā saliktus izteikumus var izveidot arī, izmantojot citus saikļus1ai, un, tikai tad - ja,
tāpēc - ka, bet, vai utt.
Retāk gadās darināt jaunu izteikumu no trijiem; tomēr shematisks piemērs ’nevis A, bet B, jo C’
rāda, ka arī tas nev nekas nedabisks.
Operācijas, ar kurām no viena vai no vairākiem izteikumiem veido jaunu izteikumu, sauksim par
loģiskām operācijām.
Matemātiskās loģikas formulas un to īpašības
Matemātiskajā loģikā ir lietderīgi uzskatīt saliktus izteikumus par formulām vai vārdiem noteiktā
alfabētā. Par alfabētu sauksim jebkuru netukšu kopu A, kas satur elementāro izteikumu
apakškopu, operāciju simbolus ¬, ∨, ∧, ⇒, ⇔ un iekavu simbolus (,). I zteikumu loģikas
alfabēts ir daļa no predikātu loģikas alfabēta.
Par vārdu matemātiskās loģikas alfabētā sauksim par matemātiskās loģikas formulu vai
vienkārši formulu (arī polu ormula), ja izpildās šādi nosacījumi:
• jebkurš elementārais izteikums ir formula;
21

22. •
•
ja A un B ir formulas, tad par vārdiem alfabētā sauc jebkuru virkni, kuras elementi ir
alfabēta elementi: (¬ A), (A ∧ B), (A ∨ B), (A ⇒ B), (A ⇔ B) - arī ir formulas;
citu formulu nav.
Vārdu “x” sauc par apakšvārdu vārdā “w”, ja eksistē vārdi “u” un “v” tādi, ka “w = uxv”.
Ja ir dots matemātiskās loģikas alfabēts un katra elementārā izteikuma patiesumvērtība, tad par
formulas patiesumvērtību sauc formulai atbilstošā izteikuma patiesumvērtību.
Patiesumvērtības ir ērti apzīmēt ar skaitļiem 1 (patiess) un 0 (aplams) vai vārdiem “patiess”
(“true”), “aplams”(“false”).
Predikātu loģikas alfabēts
Par formulas F apakšformulu sauc jebkuru F apakšvārdu, kas ir formula.
Matemātiskās loģikas formula ir jebkurš izteikums, ko var konstruēt no dotajiem
(elementārajiem) izteikumiem izmantojot definētās operācijas ar izteikumiem.
Matemātiskā loģika ietver metodes, kā no noteikta izteikumu kopuma iegūt zināmus
secinājumus. Šo metožu izprašana vai apgūšana palīdz saprast, kā programma loģiskās
programmēšanas valodā nonāk pie rezultāta.
Lietojot matemātiskās loģikas formulas praktiski, parasti neraksta tās iekavas, kuras nav svarīgas
formulas interpretācijai, piemēram pēdējas operācijas (ārējās) iekavas.
Par matemātiskās loģikas formulu var domāt kā par funkciju, kas piekārto elementāro mainīgo
patiesumvērtību virknei formulas patiesumvērtību. Tādas funkcijas sauc par Būla funkcijām.
Ja ir dota formula, tad elementāro izteikumu virkni (X1,...Xn ), kas piedalās formulā, sauksim par
formulas argumentu sarakstu.
Funkciju, kas katram formulas mainīgajam piekārto patiesumvērtību, sauksim, par saraksta
novērtējumu vai vērtību sarakstu.
Apzīmēšu vērtību sarakstu kā virkni, kuras elementi ir skaitļi 1 vai 0.
Piemēram, ja formulā ir trīs elementārie mainīgie: X 1, X2, X3, tad pieraksts (X1, X2, X3 ) = (1, 0,
1) nozīmē, ka izteikums X1 ir patiess, izteikums X2 ir aplams un izteikums X3 ir patiess.
Formulas patiesumvērtību, ja mainīgo vērtības ir vienādas ar saraksta vērtībām, sauksim par
formulas vērtību ar doto vērtību sarakstu.
Divas formulas A un B , kas ir atkarīgas no viena mainīgo saraksta sauc par līdzvērtīgām
(apzīmē ar pierakstu A ≡ B), ja šo formulu vērtības ir vienādas ar jebkurām saraksta vērtībām,
tas ir, jebkuram vērtību sarakstam X izpildās vienādība A(X) = B(X) .
Formulu līdzvērtība ir ekvivalences attieksme formulu kopā līdzīgi kā funkciju vienādība ir
ekvivalence funkciju kopā.
Piemēram: formulas (((¬ X1 ) ∧ X2 ) ∨ X3) un ((¬ X1 ∧ X3) ∧ (X2 ∨ X3)) ir līdzvērtīgas.
Vēl divi matemātiskās loģikas formulu pieraksta veidi – “formācijas koks” un ”poļu pieraksts”
Matemātiskās loģikas formulas formācijas koks – katra virsotne ir dotās formulas apakšformula,
katras virsotnes dēli ir tās priekšteču apakšformulas. Var tikt zīmēts arī saīsinātā veidā, kad katra
22

23. virsotne ir operācija, lapas ir elementārie mainīgie. Ērti tāpēc, ka nav vajadzīgas iekavas
(atmiņas ekonomija) un koka struktūra parāda operāciju pielietošanas secību. Formulas vērtības
aprēķināšana notiek, sākotnēji piešķirot patiesumvērtības lapām un pēctecīgi piešķirot
patiesumvērtības tēvu virsotnēm, ja dēlu virsotņu vērtības ir zināmas.
Visas formulas pierāda aprēķinot labo un kreiso pušu vērtības visām mainīgo vērtībām.
Būla funkciju un matemātiskās loģikas ģeometriskā un kopu
teorētiskā interpretācija
Bināru virkni ar garumu n var domāt kā n-dimensiju vienības kuba virsotnes koordinātu virkni.
n-dimensiju vienības kuba (hiperkuba) Hn virsotnēm koordinātes ar būt 0 vai 1.
Ja ir dota matemātiskās loģikas formula (Būla funkcija) F no n argumentiem, tad to var
identificēt ar funkciju no Hn virsotņu kopas uz kopu {0,1}. Var pētīt šīs funkcijas nesējkopu
S(F) = f-1 (1) – to kuba virsotņu kopu, uz kuras elementiem funkcijas vērtība ir 1. Var redzēt, ka
nesējkopas raksturīgā funkcija ir F.
23

24. 3. Nobeigums un kopsavilkums
Apkopojot izzināto par kopām un matemātisko loģiku secināju, ka, izmantojot gan referātā
aprakstītās formulas, gan pievienojot citus izteikumu alfabēta vārdus – iespējams uzrakstīt stāstu.
Tas varbūt nesastāvētu no liriskiem un emociju bagātiem tekstiem, bet savu domu tādā veidā
varētu izteikt un pamatot.
Un vēl, pavisam loģisks, sadzīvisks un bērnišķīgs problēmas atrisinājums (skat.1.zīm). Šķietamā
bezizejā atrast izeja: kāpēc mums vispār vajadzīgs vilks?
1.zīm.
24

25. 4. Literatūra
•
Jānis Cīrulis, “Matemātiskā loģika un kopu teorija”, 2008.g.
•
http://www.dundaga.lv/skola/faili/macibumateriali/
•
http://de.du.lv/matematika.html
•
http://www.mathsisfun.com/sets
25