3rd Seminar On New Perspectives In Teaching Mathematics 2011 - Uutta ja vanhaa matematiikan opetuksessa: http://intmath.org/newperspectives2011/uuttajavanhaaII/

1. Uutta ja vanhaa matematiikan opetuksessa
15.00–16.30
Mitä hyvää ja huonoa matematiikan ((((( oppimisessa on
opetuksessa
(
tapahtunut (opetusmenetelmät, opiskelijat, . . . ) ja pitäisi tapahtua
noin vuosina 1970 – 2020
Vesa Linja-aho
Metropolia
24. lokakuuta 2011
Vesa Linja-aho (Metropolia) Uutta ja vanhaa matematiikan opetuksessa 15.00–16.30 24. lokakuuta 2011 1 / 25

2. Mitä teen täällä?
Vesa Linja-aho (Metropolia) Uutta ja vanhaa matematiikan opetuksessa 15.00–16.30 24. lokakuuta 2011 2 / 25

3. Oma tausta
DI, sähkömagnetiikka ja piiriteoria (2000–2006)
TKK:lla sekalaisissa opetustehtävissä 2003–2009
Informaatioteorian jatko-opintoja 2008–2009
MikroPC/Tietoviikko-lehdissä toimittajana 2009–2010
Kokopäiväinen amk-lehtori (autoelektroniikka) 2010–
Erdősin luku 3.
Vesa Linja-aho (Metropolia) Uutta ja vanhaa matematiikan opetuksessa 15.00–16.30 24. lokakuuta 2011 3 / 25

4. Mikä matematiikan osaamisessa mättää – vai mättääkö?
Omia ja kollegoiden arkihavaintoja (ei vahvistettu tieteellisesti)
Perusalgebran (”kaavanpyörittelyn”) osaamisessa puutteita.
Päässälaskutaito on huonontunut — melko yksinkertaisetkin asiat
naputellaan suoraan laskimeen.
Faktojen muistamisen tai ylipäätään muistamisen arvostuksen lasku.
PISA-huippumenestyksemme selittyy Gaussin käyrän vasemman
laidan pärjäämisellä, huippuosaajia on vähän (mutta niitä kuitenkin
on, esim. IMO-mitalistit).
Mikä näistä on oikeasti uusi ongelma?
Vrt. valmistumisaikakeskustelu (jo 1920-luvulla teekkarit valmistuivat 7
vuodessa ja arkkarit 10 vuodessa, mikä aiheutti porua.
Noin yleisesti meillä menee hyvin
Asioita kannattaa silti yrittää parantaa. Kukaan ei tykkää kitisijöistä ja
valittajista, olkaamme positiivisia!
Vesa Linja-aho (Metropolia) Uutta ja vanhaa matematiikan opetuksessa 15.00–16.30 24. lokakuuta 2011 4 / 25

5. Tiedonkulku tehokkaammaksi lukio ↔ yliopisto
”Mikäköhän siinä on, että kompleksilukuja osataan nykyään
huonosti?”
”Ei näitä oo opetettu lukiossa moneen vuoteen, isoveli oli viimeisellä
luokalla joilla ne oli.”
”Ja sitten kerrataan osittaisintregrointi!”
”Hei, ei toi oo enää meille pakollinen!”
Sosiaalinen media on osittain parantanut tiedonkulkua, myös MAOLiin
liittymisestä voi olla apua.
Vesa Linja-aho (Metropolia) Uutta ja vanhaa matematiikan opetuksessa 15.00–16.30 24. lokakuuta 2011 5 / 25

6. Harrastustoiminnan merkitystä ei voi aliarvioida
Itse opiskelin sähköoppia ominpäin yläkouluikäisenä, suomenkielisistä ja
englanninkielisistä yliopistotason oppikirjoista. En pitänyt kirjaa, mutta
lähes joka ilta luin 15 min – tunnin alan kirjallisuutta. Esimerkiksi 2
vuotta, 365 päivää ja puoli tuntia päivässä tekee
365 tuntia.
Jos tämä suhteutetaan yliopisto-opiskeluun (5 op = (1,5 tuntia luentoja +
1,5 tuntia laskuharjoituksia) * 12 vko + 2*4 tuntia tenttiinlukua = 44
tuntia) niin opiskelin ≈ 41 opintopistettä sähkötekniikkaa yläkoulussa.
Asiat myös pysyivät mielessä, vaikka lukioaikana en aktiivisesti enää
harrastanutkaan.
Esimerkiksi päässälaskusta voisi tulla suositumpaa, jos sitä markkinoitaisiin
itämaisten taistelulajien kaltaisena harrastuksena.
Vesa Linja-aho (Metropolia) Uutta ja vanhaa matematiikan opetuksessa 15.00–16.30 24. lokakuuta 2011 6 / 25

7. Matematiikan markkinoinnissa on parantamisen varaa
http://linja-aho.blogspot.com/2011/05/mika-tassa-meni-pieleen
Kommentteja lukiessa ensimmäinen ajatus on ”tuon porukan kanssa
en halua olla missään tekemisissä”.
Vaikka kahdenkeskisessä sähköpostinvaihdossa kaikki ovat oikein
miellyttäviä!
Ja keskustelun laatu kyllä parani loppua kohti.
Onko Suomessa yhtään kokopäiväistä henkilöä vastaamassa tämän
”toimialan” markkinoinnista nuorille?
Tylsä perusasia yliopistossa voi olla mielenkiinnon sytyttäjä
yläkouluikäiselle.
Vesa Linja-aho (Metropolia) Uutta ja vanhaa matematiikan opetuksessa 15.00–16.30 24. lokakuuta 2011 7 / 25

8. Matematiikan huippuosaaminen ei poikkea viulunsoiton tai
jääkiekon huippuosaamisesta...
. . . jos puhutaan harjoitteluun tarvittavasta ajasta.
Jääkiekkoilija treenaa, viulisti treenaa, mutta joku on vain ”hyvä
matikassa”. Muka.
Osaamiserot alkavat jo ykkösluokalta – vrt. 2-vuotiaana numerot ja
luvut oppinut vrt. 7-vuotiaana niitä opetteleva.
Tätä tosiasiaa ei ainakaan käytännön tasolla tunnusteta, vaan
höpistään matikkapäästä ja kielipäästä.
Vesa Linja-aho (Metropolia) Uutta ja vanhaa matematiikan opetuksessa 15.00–16.30 24. lokakuuta 2011 8 / 25

9. (Epäoleellisuuksissa) mokaamisen pelkääminen
Suurin huolenaihe opiskelijoilla tuntuu olevan,
mitä välivaihteita pitää merkitä esille
saako käyttää lukiossa opittua symbolia jännitelähteelle
voiko tehdä niin, että laskee ilman yksiköitä ja sitten merkitä yksikön
viimeiselle riville
ja jos voi niin pitääkö se laittaa sulkuihin.
saako ilmoittaa likiarvon vai pitääkö olla tarkka arvo?
Vesa Linja-aho (Metropolia) Uutta ja vanhaa matematiikan opetuksessa 15.00–16.30 24. lokakuuta 2011 9 / 25

10. ............................................________
....................................,.-‘”...................‘‘~.,
.............................,.-”...................................“-.,
.........................,/...............................................”:,
.....................,?......................................................,
.................../...........................................................,}
................./......................................................,:‘^‘..}
.............../...................................................,:”........./
..............?.....__.........................................:‘.........../
............./__.(.....“~-,_..............................,:‘........../
.........../(_....”~,_........“~,_....................,:‘........_/
..........{.._$;_......”=,_.......“-,_.......,.-~-,},.~”;/....}
...........((.....*~_.......”=-._......“;,,./‘..../”............../
...,,,___.‘~,......“~.,....................‘.....}............../
............(....‘=-,,.......‘........................(......;_,,-”
............/.‘~,......‘-...................................../
.............‘~.*-,.....................................|,./.....,__
,,_..........}.>-._...................................|..............‘=~-,
.....‘=~-,__......‘,.................................
...................‘=~-,,.,...............................
................................‘:,,...........................‘..............__
.....................................‘=-,...................,%‘>--==‘‘
........................................_..........._,-%.......‘
...................................,<‘.._|_,-&‘‘................‘
Jos ei opeteta alaindeksien kursivointisääntöjä sun muuta kivaa, niin miksi ruoskia
näissä muissakaan?
(Ainoa asia jolla on oikeaa merkitystä on se, että jos pyöristelee välituloksia niin
virhe kertautuu lopputulokseen.)
Vesa Linja-aho (Metropolia) Uutta ja vanhaa matematiikan opetuksessa 15.00–16.30 24. lokakuuta 2011 10 / 25

11. Laskin on apuväline
Merikapteeniopiskelijoille opetetaan edelleen merimerkit ja navigointi
ilman apuvälineitä.
Sama koskee lentolupakirjaa, ajokorttia . . .
Apuvälineet esiin vasta, kun perusasiat tulevat (oikeasti) selkäytimestä.
Vesa Linja-aho (Metropolia) Uutta ja vanhaa matematiikan opetuksessa 15.00–16.30 24. lokakuuta 2011 11 / 25

12. Entäs se taulukkokirja?
Itse asiassa MAOL-taulukot ei ole taulukkokirja, vaan kaavakokoelma.
Aluksi kannatin, mutta olen muuttanut mieleni.
Tietty määrä ulkoa osaamista on hyväksi asiantuntijuuden
kehittymiselle.
Jos ymmärtää asian, muistaa myös kaavan.
Riski
Kokeista tulee sijoita kaavaan -tyyppisiä, vrt. jotkut yliopistojen
peruskurssit.
Vesa Linja-aho (Metropolia) Uutta ja vanhaa matematiikan opetuksessa 15.00–16.30 24. lokakuuta 2011 12 / 25

13. Tietotekniikan hyödyntäminen
ATK = automaattinen tietojenkäsittely
Tietokone on väsymätön treenikaveri ja matematiikan alkeisiin löytyy
jo ihan mielekkäitä opetusohjelmia.
Internet + sosiaalinen media = rajaton mutta sekalainen määrä
tietoa.
Mahdollistaa opiskelun maantieteellisistä rajoista riippumatta
(Stackoverflow, P2PU, Openstudy, USolvit, Resurscenter . . . )
Opetusohjelmien maine pilattu tuomalla keskeneräisiä tuotteita
markkinoille. Korjattava. Hyviäkin on, esim. Geogebra.
Pieni kielialue asettaa omat haasteensa.
Vesa Linja-aho (Metropolia) Uutta ja vanhaa matematiikan opetuksessa 15.00–16.30 24. lokakuuta 2011 13 / 25

14. Millaiset asiat jäävät mieleen?
Mielenkiintoiset asiat (Enigma-salauslaite).
Tarinat (jyvät shakkilaudalla).
Tunteita herättävät asiat (”14-vuotias kuoli kun hoitaja sössi
mikrogrammat ja milligrammat keskenään”).
Vitsit ja läpät (”jokaisessa baarissa on sata kiloa paskaa”).
Vesa Linja-aho (Metropolia) Uutta ja vanhaa matematiikan opetuksessa 15.00–16.30 24. lokakuuta 2011 14 / 25

15. Standardoidun testaamisen haitallisuus
http://en.wikipedia.org/wiki/Perverse_incentive
Mitä vaikutusta on lukion lopussa olevalla standardoidulla kokeella?
Jumita koulussa kolme vuotta, että varmasti saat hyvät yo-arvosanat.
Älä opiskele mitään ylimääräistä yliopiston puolelta, harjoittele vain
ylioppilaskirjoituksiin.
Kahdeksan laudaturia on kovempi suoritus kuin pari ällää ja 60 op
yliopistokursseja.
Tämä tehtävä on ollut joka toinen vuosi, nyt teidän luokan kannata
opetella tätä asiaa.
Massoilla teetettävien standardoitujen kokeiden haitat ovat hyötyjä
suuremmat.
Vesa Linja-aho (Metropolia) Uutta ja vanhaa matematiikan opetuksessa 15.00–16.30 24. lokakuuta 2011 15 / 25

16. Oletko kuullut tämän?
Faktojen pänttääminen on tylsää ja vanhanaikaista, haluan
oppia/opettaa taitoja. Faktathan voi aina tarkistaa netistä.
Ulkoa osaamisen sijasta tulee harjoitella kriittistä ajattelua.
Faktojen opettamisen sijaan tulee laittaa opiskelijat itse keräämään ja
arvioimaan tietoa.
Mutta!
Faktatiedon osaamisen tulee edeltää taitojen oppimista. Kriittinen ajattelu
ei onnistu, jos ei ole pohjatietoa.
Vesa Linja-aho (Metropolia) Uutta ja vanhaa matematiikan opetuksessa 15.00–16.30 24. lokakuuta 2011 16 / 25

17. Ulkoa osaaminen on aliarvostettua
Alan termistö täytyy tuntea, jotta edes voi ymmärtää, mistä on kyse.
Ihmismieli ei toimi kuten laskukone, joka osaa muutaman proseduurin
ja osaa soveltaa niitä mihin numeroihin tahansa.
Ajattelu vaatii aina taustatietoa!
Oppikirjoihin ei voida aina sisällyttää joka ikistä mahdollista esitietoa.
Muuten kirjoista tulee tolkuttoman paksuja ja vaikealukuisia.
Tiettyjen asioiden osaaminen ulkoa nopeuttaa ajattelua.
Vesa Linja-aho (Metropolia) Uutta ja vanhaa matematiikan opetuksessa 15.00–16.30 24. lokakuuta 2011 17 / 25

18. Matematiikka on etuoikeutettu oppiaine
Käytännössä jokainen peruskoulu- ja lukiomatematiikan asia on
perusteltavissa joko arkijärjellä tai yhdelle sivulle mahtuvalla aiemmin
opittuun nojaavalla todistuksella.
Varsinaista ”ulkoa pänttäämistä” ei tarvita (vrt. kielten sanojen
opetteleminen).
Onko ma-fy-ke-opettajalla aikaa miettiä opetuksensa sisältöä?
Muutkin erikoistuvat, mikseivät myös opettajat?
Lukion matematiikan opettajan pitäisi olla lukion matematiikan opettaja,
ei ma-fy-ke-opettaja.
Entä jos rakastaa matematiikkaa, mutta ei pidä fysiikasta ja kemiasta, tai
päinvastoin?
Vesa Linja-aho (Metropolia) Uutta ja vanhaa matematiikan opetuksessa 15.00–16.30 24. lokakuuta 2011 18 / 25

19. Miksi taustatieto ja ”ulkoa osaaminen” on tärkeää
Muisti on ensisijainen ongelmanratkaisukeino: haetaan ratkaisua
muistista.
Esimerkki: ne shakinpelaajat, jotka ovat parhaita normaalipelissä (1
tunti), ovat parhaita myös salamaturnauksissa (5 min).
Psykologien arvion mukaan huippupelaajilla saattaa olla jopa 50 000
eri peliasetelmaa ulkomuistissa!
”The best geologist is the one who has seen most rocks.”
Taustatieto parantaa muistia! Uusien asioiden oppiminen on helpompaa,
jos tietää aiheesta edes jotain. Lue kirjoja, lehtiä ja sanomalehtiä!
Vesa Linja-aho (Metropolia) Uutta ja vanhaa matematiikan opetuksessa 15.00–16.30 24. lokakuuta 2011 19 / 25

20. Miksi abstraktien asioiden ymmärtäminen on niin vaikeaa?
Miksi oppilas, joka on juuri osannut laskea pöydän pinta-alan, ei osaa
laskea jalkapallokentän pinta-alaa?
Ymmärrämme uusia asioita peilaten niitä muistamiimme asioihin, ja
muistamamme asiat ovat yleensä konkreettisia.
Vesa Linja-aho (Metropolia) Uutta ja vanhaa matematiikan opetuksessa 15.00–16.30 24. lokakuuta 2011 20 / 25

21. Onko harjoittelemisessa järkeä?
Työmuistin koko on pahin jarru!
Harjoitteleminen on ainoa tapa kiertää tätä ongelmaa.
Työmuistin kokoa ei pysty parantamaan.
Riittävä harjoittelu tekee prosessin automaattiseksi (kengännauhat,
ajaminen. . . ), jolloin työmuistia vapautuu varsinaiseen
ongelmanratkaisuun.
Harjoittelu helpottaa syvärakenteen ymmärtämistä ja tiedon
siirtymistä (”transfer”). Kun on ratkaissut tuhansia ongelmia,
syvärakenne hahmottuu nopeasti.
Vesa Linja-aho (Metropolia) Uutta ja vanhaa matematiikan opetuksessa 15.00–16.30 24. lokakuuta 2011 21 / 25

22. Jatkuva harjoittelu estää unohtamisen
Unohtamisen vauhti on sama, saipa kurssista vitosen tai ykkösen.
Vain jatkuva harjoittelu estää unohtamisen. Kun on harjoiteltu
riittävästi, unohtaminen on todella hankalaa (fillarilla ajaminen, 1.
asteen yhtälön ratkaiseminen).
Harjoittelu kannattaa ryhmittää useammalle päivälle!
Jos haluat päästä tentistä helpolla, älä lue edellisenä iltana!
Vesa Linja-aho (Metropolia) Uutta ja vanhaa matematiikan opetuksessa 15.00–16.30 24. lokakuuta 2011 22 / 25

23. Virheelliset älykkyyskäsitykset oppimisen jarruna
Kansainvälisen tason huippuosaajat ovat älykkäitä, mutteivät
mitenkään poikkeuksellisen älykkäitä.
Ainoa yhdistävä tekijä on työnarkomania.
Huippuosaajaksi kehittyminen tarvitsee tuhansia tunteja harjoittelua.
Älykkyys paranee opiskelemalla. On olemassa tekijä g, joka vaikuttaa
erilaisten älykkyyksien kehitykseen, mutta tutkimus on kesken.
Vesa Linja-aho (Metropolia) Uutta ja vanhaa matematiikan opetuksessa 15.00–16.30 24. lokakuuta 2011 23 / 25

24. Ei-utopistiset ratkaisuehdotukseni
Ylioppilastutkinto pois.
Lahjakkaille oma verkko-oppimiskeskus (jos sellainen on jo,
markkinoikaa paremmin).
Systemaattinen vaikuttamistyö matematiikan arvostuksen
nostamiselle (lärvikirjasta OKM:ään).
Sisäisen keskustelun tason nostaminen ja tieteellistäminen.
Esiintymistaitoisilta matematiikan opettajilta (peruskoulusta
professoritasoon) 3-5 minuutin populaarivideoita Youtubeen.
Opettajien yhteistyö niin materiaalin tekemisen kuin ideoiden
vaihtamisen kanssa.
Suomeen matematiikan popularisoinnin professori.
Kierretään pienen kielialueen haaste: englannin- ja ruotsinkieliset
materiaalit käyttöön.
Vesa Linja-aho (Metropolia) Uutta ja vanhaa matematiikan opetuksessa 15.00–16.30 24. lokakuuta 2011 24 / 25

25. Utopistiset ratkaisuehdotukseni
Matematiikan opettaja = matematiikan opettaja, ei
ma-fy-ke-opettaja.
Pienempi viikkotuntimäärä opettajille.
Kurssimuotoisen lukion järkevyyden uudelleenarviointi.
Vesa Linja-aho (Metropolia) Uutta ja vanhaa matematiikan opetuksessa 15.00–16.30 24. lokakuuta 2011 25 / 25