Dr. TALEB Lotfi Maître assistant ESSECT

1. Cours de gestion financière 2ème ESSEC
Mr TALEB Lotfi
Introduction aux calculs financiers
I) Intérêts simple, Intérêt composé, Annuité :
1) L’intérêt simple :
a) Définition : L’intérêt simple est défini comme étant la rémunération d’un prêt
d’argent ou d’un placement, c’est le prix payé par l’emprunteur au préteur pour rémunérer
une somme d’argent pendant une période déterminée.
b) Principe et formule de calcul :
L’intérêt simple se calcul toujours sur le principal. Il ne s’ajoute pas au capital pour porter
des intérêts. Les intérêts simples sont proportionnels au capital prêté ou emprunté. Le
montant de l’intérêt dépend de plusieurs variables :
 Du capital prêté ou emprunté : C
 De la durée de prêt exprimée en années, en mois ou en jours : n
 Du taux de prêt, d’emprunt ou de placement : t
L’intérêt simple se calcul comme suit :
Exemple : Calculer l’intérêt simple d’un placement de 1000 D pendant 3 ans au taux
annuel de 10%.
C= 1000
n = 3 ans D300
100
1031000





100
ntC
I
t = 10%
Remarques :
 Pour une période de placement exprimée en jours l’usage fait que l’intérêt est
calculé sur la base de l’année commerciale qui comporte 360 jours et non
l’année civile de 365 ou 366 jours.
 Le prêteur des fonds est appelé créancier
joursenexpriméeestnduréelasi
36000
tnC
moisenexpriméeestnduréelasi
1200
tnC
annéeenexpriméeestnduréelasi
100
tnC





I
CHAPVI

2. Cours de gestion financière 2ème ESSEC
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 L’emprunteur est appelé débiteur
b) Valeur acquise :
On appelle valeur acquise pour un capital (C’) la somme du montant du capital en
question et des intérêts produits pendant toutes les périodes.
c) Intérêt précompté et taux effectif de placement :
L’intérêt simple peut être précompté ou postcompté, tout dépend de la nature de l’opération.
 L’intérêt est pos compté lorsqu’il est versé en fin de période : il est appelé à terme échu ;
 L’intérêt est précompté (intérêt à échoi) lorsque les intérêts sont versés par l’emprunteur
le jour de la conclusion du contrat du prêt, jour ou l’emprunteur reçoit le capital prêté.
C’est ainsi que les fonds engagés procurent au prêteur un taux effectif supérieur au taux
stipulé.
Soit C un capital prêté à intérêt précompté au taux t pour une durée de n années. Le capital
effectivement prêté est égal à
100
Ctn
CIC 
Le taux effectif i’ du prêt est calculé d’après l’égalité suivante :
jours)enexpriméestnsi(i
mois)enexpriméestnsi(i
année)enexpriméestnsi(100
Ctn
-C
e
e
nt
t
nt
t
nt
t
nt
t
i
ntC
ni
e















36000
36000
1200
1200
100
100
100
1
100100
)( '
C’
= C +I
)
36000
1(*
)
100
1(
nt
C
nt
C


'
'
C:joursenexpriméestnSi
C:annéeenexpriméestnSi*

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2) L’intérêt composé :
a) Principe et formule de calcul :
i) Principe
Un capital est dit placé à intérêt composé lorsque à l’issu (fin) de chaque période de
placement, les intérêts simples produits périodiquement sont ajoutés au capital pour
constituer un nouveau capital qui produira des intérêts au cours des périodes suivantes.
 L’addition des intérêts au capital s’appelle capitalisation des intérêts
 L’intervalle de temps qui sépare deux capitalisations successives s’appelle : période
de capitalisation.
 Le capital placé est dit principal
 La somme du capital placé et des intérêts cumulées s’appelle valeur acquise
ii) Formule de calcul :
Soit C0 le capital initial, i le taux d’intérêt correspondant à une période, n le nombre de
période de placement et Cn le capital obtenu (valeur acquise) au bout de n périodes de
placements. Le tableau suivant présente la méthode de calcul et de capitalisation des
intérêts :
Périodes Capital au
début de
période
Intérêts de
la période
Valeur acquise à la fin de chaque
période
1
2
.
.
.
n
C0
C1=C0 (1+i)
Cn= C0 (1+i)n-1
C0×i
C0 (1+i) ×i
C0 (1+i)n-1×i
C0+ C0×i= C0(1+i)
C0(1+i)+ C0(1+i)i= C0(1+i)2
C0(1+i)n-1+ C0(1+i)n-1×i= C0(1+i)n=Cn
La valeur acquise à la fin de la même période est donc :
n
iC )1(0 nC
Remarque :
 Cette formule n’est applicable que si le taux d’intérêt et la durée sont homogènes
cad exprimé dans la même unité de temps. C’est ainsi que si la capitalisation est
annuelle, le taux d’intérêt et la durée de placement doivent êtres exprimées en
années.
 L’application de la formule fondamentale peut être résolue soit par les tables
financières soit par l’utilisation du Logarithme puisque cette formule peut être
exprimée de la manière suivante : i)(1LogCLogCLog 0n 
 Contrairement à la formule relative au calcul des intérêts simples qui fournit
directement la valeur de l’intérêt produit au bout d’une certaine période, la

4. Cours de gestion financière 2ème ESSEC
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formule de calcul des intérêts composés fournit la valeur acquise du capital C à
l’échéance.
 1)1(
)1(


n
n
n
iCI
CiCCCIICnC
Exemple 1 : Un capital de 25000D est placé pendant 3 ans à un taux semestriel
d’intérêt composé de 8%.Calculer la valeur acquise à la fin de la 3ème année.
D860.3967125000  6
n 0.08)1(C
Exemple 2 : Une somme placée pendant 5 ans au taux annuel composé de
14.25% a acquis une valeur de 52558.72D.Déterminer le montant du capital placé.
DCCiC
ansnC
27000)1425.01(525558)1(
72.52558;5/.?
5
0
0


n
n
C
C
c) La notion de valeur actuelle : l’actualisation
On appelle valeur actuelle ( la valeur présent) d’un capital Cn la somme qu’il faut placer à
intérêt composé pendant n périodes au taux d’intérêt i pour obtenir un capital Cn
L’actualisation est l’opération inverse à la capitalisation.
Exemple : Une personne veut constituer un capital de 4000D au bout de 4 ans. Quel
montant doit-il placer aujourd’hui au taux de 8%
DC 2940
%)81(
4000
40 


C0
n
n iCC )1(0 
Capitalisation
Actualisation
n
n
i
C
C
)1(
0



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3) Les annuités :
a) définition : On désigne par annuité une série de versements d’un montant égal et
intervenant à des intervalles de temps régulier.
Une annuité est définie si les 4 éléments suivants sont bien définis :
La date du 1er versement
La période (la durée) qui sépare deux versements consécutifs : elle peut être
annuelle, mensuelle, trimestrielle, semestrielle.
Le nombre de versement
Le montant de chacun des versements.
Le versement des annuités peut s’effectuer soit pour :
 Constituer un capital : Annuité de placement ou de capitalisation
 Rembourser une dette ou un emprunt : annuité de remboursement ou
d’amortissement.
Les annuités peuvent être versées en début de période ou en fin de période
b) Annuité constante de fin de période :
Soit une suite d’annuité définie par les variables suivantes :
a : le montant de chacun des versements
n : le nombre de versements
t : le taux d’intérêt
Vn : Valeur acquise par la suite d’annuité
V0 : Valeur actuelle par la suite d’annuité
i) Valeur acquise par une suite d’annuité de fin de période :
On appelle valeur acquise d’une série de n annuités constante à la date du dernier
versement la somme des valeurs acquises de ces n annuités
On suppose que n annuités d’un montant a sont versés chaque année. L’origine de la
série se situe à la fin de la première période et la valeur acquise est calculée à la fin de
la dernière période (dernier versement) : il s’agit d’annuité de fin de période.
Fin 1ère
période
Fin 2ème
Périodes
Fin nième
périodes
a a a a
0
Capitalisation et accumulation des annuités
Fin n-1ième
périodes
1
)1( 
 n
ta
2
)1( 
 n
ta
)1( ta 
a

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t
t)(1
aV
i).....(1....................i)(1a(1
V
n
n
1neti)(1qdeegéométriqusuite
1-n
n
0
1
)
)1(................)1()1( 12


 




n
iaiaiaa
Exemple : Calculer la valeur acquise par une suite de 12 annuités de fin de période de
7000D d’échéance au moment du dernier versement sachant que le taux de
capitalisation est de 5.5%.
D14.114699
%5.5
1%)5.51(
7000
12


12V
ii) La valeur actuelle d’une suite d’annuité constante de fin de période :
(Évaluée une période avant le 1er versement de la 1ère annuité)
La valeur actuelle d’une suite de n anuités évaluées une période avant le versement de
la 1ère annuité (origine de la série) est égale à la somme des valeurs actuelles des n
annuités escomptées (actualisées) au taux t.
Fin 1ère
période
Fin 2ème
périodes
Fin nième
périodes
a a a a
0
Fin n-1ième
périodes
)1( ta 
n
ta 
 )1(
1
)1( 
 ta
2
)1( 
 ta

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La valeur actuelle V0 de la série est égale à :







 

 




t
t
aV
tatata
n
n
)1(1
)1(...................)1()1(
0
21
1-1-
t)(1qett)a(1termepremierdegémétriquesuite
0V
iii) Relation entre valeur acquise et valeur actuelle :
 La valeur acquise d’une série d’annuité constante est le résultat de la capitalisation
de la valeur actuelle. n
n tVV )1(0 
 La valeur actuelle d’une suite d’annuité est le résultat de l’actualisation de la valeur
acquise. n
n tVV 
 )1(0
III) Taux proportionnel et taux équivalent :
Les taux d’intérêts sont généralement exprimés en taux annuel mais on peut
parfois considérer une période plus courte que l’année (mois, trimestre,
semestre…). Ainsi lorsque le taux d’intérêt est annuel et qu’on considère une
période inférieure à l’année, le taux d’intérêt adapté à la période doit être calculé. Il
existe deux méthodes de calcul :
 Taux proportionnel :
Deux taux correspondants à deux périodes différentes sont dits proportionnels lorsque leur
rapport est égal au rapport de leur période de capitalisation.
Soit :
 I : le taux d’intérêt annuel
 p : Le nombre de période par année
 ip : Le taux proportionnel de la période
Le taux proportionnel est détermine comme suit :
Exemple :
Si i (taux annuel) = 12%
Le taux semestriel proportionnel is = 6
2
12
2

i
Le taux trimestriel proportionnel it = 3
4
12
4

i
p
i
i p 

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 Taux équivalent ou taux actuariel:
Deux taux correspondants à des périodes de capitalisations différentes sont dits équivalents
lorsqu’ils produisent la même valeur acquise lorsqu’ils sont appliqués au même capital.
Soit à désigner par :
o I : le taux d’intérêt annuel
o n : le nombre d’année de placement
o k : le nombre de sous période de durée égale qui partage l’année
Le taux périodique ik est équivalent au taux annuel i si au bout de n années, les taux
donnent pour un capital C0 la même valeur acquise.
1)1(
)1()1()
/1
/1


k
k
k
kk
ii
iii(1i)(1 k
Ainsi on peut avoir selon la période de capitalisation :
- du taux annuel au taux mensuel équivalent : 1)i1(i 12/1
am 
- Du taux annuel au taux semestriel équivalent : 1)i1(i 2/1
as 
- Du taux annuel au taux trimestriel équivalent : 1)i1(i 4/1
at 
Exemple : Calculer respectivement les taux semestriel, trimestriel et mensuel
équivalent au taux annuel i = 8%
%9.3)08.01(i
%9.11)08.01(i
%6.01)08.01(i
2/1
s
4/1
t
12/1
m


