Una efficace presentazione sugli stimatori delle mie bravissime studentesse di 5A Turismo

1. Gli Stimatori
e le loro Proprietà

2. Definizione
Uno stimatore T(x) consente la stima* di un
parametro θ (valore caratteristico di una
popolazione, come può essere media, mediana o
varianza di una popolazione).
Si tratta dunque di una funzione di tutte le
possibili ennuple campionarie che si possono
estrarre da una popolazione.
*stima: valore che lo stimatore assume in una specifica ennupla
campionaria.

3. Prima di procedere col definire le proprietà degli stimatori, è
necessario ripassare le proprietà del valor medio e della
varianza.
• Proprietà Valor Medio
E(ax) = aE(x)
E(ax + b) = aE(x) + b
E(x + y) = E(x) + E(y)
E(x – y) = E(x) – E(y)
• Proprietà Varianza
Var (ax) = a2 Var(x)
Var(ax + b) = a2 Var(x)
Var(x + y) = Var(x) +
Var(y)
Var(x – y) = Var(x) + Var
(y)
X e Y sono indipendenti

4. Proprietà degli stimatori
Per proprietà degli stimatori si intendono quelle proprietà
che un generico stimatore Tn = f (X1, …, Xn) deve
possedere perché le sue stime risultino affidabili.
Sono proprietà di uno stimatore le seguenti:
CORRETTEZZA
o NON
DISTORSIONE
CONSISTENZA EFFICIENZA

5. 1. Correttezza di uno stimatore
Si dice che uno stimatore è corretto o non distorto
se il suo valor medio è uguale al parametro da
stimare
E [T(x)] = θ
Qualora tale condizione non si verificasse, si
tratterebbe della distorsione.
La distorsione è la differenza tra il valore che
abbiamo ottenuto calcolando il valor medio dello
stimatore e il valore che avremmo dovuto ottenere
affinché lo stimatore fosse stato corretto.
d(θ) = E[T(x)] - θ

6. 2. Consistenza di uno stimatore
Questa proprietà indica la capacità di Tn di
fornire le stime migliori al crescere della
numerosità campionaria.
Esistono due tipi di consistenza:
1. consistenza in probabilità o in senso debole;
2. consistenza in media quadratica o in senso
forte.

7. Consistenza in probabilità o in senso debole
Se uno stimatore è asintoticamente non distorto è anche
consistente in probabilità, ossia quando il valor medio
del mio stimatore è diverso dal parametro da stimare
ma il limite di n che tende a + ∞ del valor medio dello
stimatore è esattamente uguale al parametro da
stimare.
E (T(x)) ≠ θ ma lim
n→ + ∞
E (T(x)) = θ

8. Consistenza in media quadratica o in senso forte
La consistenza in media quadratica si verifica
quando
lim n → + ∞ E [T(x) – θ]2 = 0
Per chiarire questa nozione, fissiamo il concetto di
errore quadratico medio dello stimatore.

9. Errore quadratico medio di uno stimatore
L’EQM dello stimatore T(x) è dato da
Var(Tx) + [d(θ)] 2
*d: distorsione
Se il limite di n → + ∞ dell’errore quadratico
medio dello stimatore è uguale a 0, allora si
tratterà di uno stimatore consistente in senso
forte.

10. 3. Efficienza di uno stimatore
Efficienza tra due stimatori
Dati due stimatori, T1(x)e T2(x),
quale dei due sarà più efficiente?
Lo stimatore T1 (x) sarà più efficiente dello stimatore T2
(x) se EQM (T1) < EQM (T2).
Ciò comporta che se gli stimatori fossero non distorti,
basterebbe porre
Var(T1) < Var(T2)
per poter stabilire che lo stimatore T1 è più efficiente
rispetto allo stimatore T2.

11. Classe 5 A TUR
Elena Burgio
Valentina Vecchio
Martina Angeleri
Andrea Lisa Palazzo
Elisa Campaci
Alessia Fornasini