[Vnmath.com] tong hop cong thuc toan cap 3

GV: Trần Phong
www.facebook.com/luyenthidaihoc.bmt
________________________________________________________________________________
Mục lục:
Nhớ 1: ..........................................................................................................2
Nhớ 2: ..........................................................................................................2
Nhớ 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬT HAI...........................................................2
Nhớ 4: XÉT DẤU NHỊ THỨC ( BẬT NHẤT)...........................................2
Nhớ 5: XÉT DẤU TAM THỨC (BẬT HAI)...............................................2
Nhớ 6: SO SÁNH NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VỚI CÁC SỐ.............103
Nhớ 7: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC......................................116
Nhớ 8: BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC.............................164
Nhớ 9: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI..............................179
Nhớ 10: BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI...................187
Nhớ 11: BẤT ĐẲNG THỨC...................................................................201
Nhớ 12: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC .....................................................3
Nhớ 13: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC .............................................38
Nhớ 14: HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC.......................46
Nhớ 15: MỘT SỐ BÀI TOÁN CẦN NHỚ TRONG TAM GIÁC............60
Nhớ 16: HÀM SỐ LIÊN TỤC...................................................................71
Nhớ 17: HÀM SỐ MŨ.............................................................................103
Nhớ 18: HÀM SỐ LOGA........................................................................116
Nhớ 19: CÔNG THỨC ĐẠO HÀM VÀ CÁC NGUYÊN TẮC..............164
Nhớ 20: TÍCH PHÂN...............................................................................179
Nhớ 21: ĐẠI SỐ TỔ HỢP -HOÁN VỊ-CHỈNH HỢP.............................187
Nhớ 22: SỐ PHỨC...................................................................................201
Nhớ 23: PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXY..........................3
Nhớ 24: PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ ....................38
Nhớ 25: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN GIẢI TOÁN “HHKG”...........46
05 Trần Quốc Toản-bmt tel: 09272449631

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
NHÔÙ 1: ĐỪNG NHÌN VỀ QUÁ KHỨ HÃY NHÌN VỀ TƯƠNG LAI
VÀ HÀNH ĐỘNG Ở HIỆN TẠI!
NHÔÙ 2: KHÔNG CÓ 2 TỪ “THẤT BẠI” CHỈ LÀ CHƯA THÀNH
CÔNG!
NHÔÙ 3 : PHÖÔNG TRÌNH BAÄT HAI MOÄT AÅN
ax
2
+ bx + c = 0 ( a ≠ 0)
∗ ∆ = b
2
– 4ac
∆ > 0 a
b
x
2
1
∆+−
=
, a
b
x
2
2
∆−−
=
∆ = 0 Nghieäm keùp a
b
xx
2
21 −==
∆ < 0 Voâ nghieäm
∗ ∆
/
= b
/ 2
– ac
∆
/
> 0 a
b
x
//
1
∆+−
= , a
b
x
//
2
∆−−
=
∆
/
= 0 Nghieäm keùp a
b
xx
/
21 −==
∆
/
< 0 Voâ nghieäm
Chuù yù: a + b + c = 0 : nghieäm x1 = 1, x2 = a
c
a – b + c = 0 : nghieäm x1 = –1, x2 = a
c
−
NHÔÙ 4 : DAÁU NHÒ THÖÙC
f(x) = ax + b ( a ≠ 0)
x – ∞ a
b
−
+∞
f(x) Traùi daáu a 0 cuøng
daáu a
NHÔÙ 5 : DAÁU TAM THÖÙC
f(x) = ax
2
+ bx + c ( a ≠ 0) ( Nhôù : TRONG TRAÙI
NGOAØI CUØNG)
Neá Thì

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
u



>
<∆
0
0
a



<
<∆
0
0
a
f(x) > 0, ∀x
f(x) < 0, ∀x



>
=∆
0
0
a



<
=∆
0
0
a
f(x) > 0, ∀x ≠ a
b
2
−
f(x) < 0, ∀x ≠ a
b
2
−
∆ >
0
x – ∞ x1 x2
+∞
f(x) cuøng 0 trái 0 cuøng
daáu a
Lưu ý:
* nếu là hàm đa thức ax +……… thì ta xét dấu như sau:
B1: Tìm nghiệm của đa thức với x;x;x ……..x là nghiệm của phương trình
B2: qui tắc xét: ngoài cùng lớn nhất (ngoài cùng phía phải) cùng dấu với
hệ số a đi từ phải sang trái nếu qua nghiệm lẻ (bậc lẻ) thì hàm số đổi dấu
còn nếu là nghiệm chẳn (bậc chẳn) thì hàm số giữ nguyên dấu.
Nghiệm lẻ là nghiệm có số lần lặp lại lẻ cùng bằng 1 giá trị
ví dụ: x=x=x = ( 3 lần lặp lại)
Nghiệm chẳn là nghiệm có số lần lặp lại chẳn cùng bằng 1 giá trị
ví dụ: x=x=x=x= ( 4 lần lặp lại)
* nếu không xác định được nghiệm lẻ hoặc chẳn và hàm muốn xét dấu là 1
hàm bất kì muốn xét dấu ta làm như sau:
B1: Tìm nghiệm của đa thức với x;x;x ……..x là nghiệm của phương trình
B2: qui tắc xét: muốn xét dấu ở khoảng nào thì lấy 1 giá trị của x ở đoạn
đó thay vào hàm muốn xét nếu được giá trị nhỏ hơn 0 thì khẳng định cả cái
đoạn đó mang dấu âm còn nếu được giá trị lớn hơn 0 thì khẳng định cả cái
đoạn đó mang dấu dương.

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
Tùy vào từng hoàn cảnh mà chọn 1 cách xét dấu cho thích hợp.
NHÔÙ 6 : SO SAÙNH NGHIEÄM CUÛA TAM THÖÙC
BAÄC HAI VÔÙI
CAÙC SOÁ
Cho: f(x) = ax
2
+ bx + c ( a ≠ 0) vaø α, β laø hai soá thöïc
1/. Muoán coù x1 < α < x2 ta phaûi coù af(x) < 0
2/. Muoán coù x2 > x1 > α ta phaûi coù







>−
>
>∆
0
2
0)(
0
α
α
S
af
3/. Muoán coù x1 < x2 < α ta phaûi coù







<−
>
>∆
0
2
0)(
0
α
α
S
af
4/. Muoán coù x1< α < β < x2 ta phaûi coù



<
<
0)(
0)(
β
α
af
af
5/. Muoán coù x1< α < x2 <β ta phaûi coù



>
<
0)(
0)(
β
α
af
af
6/. Muoán coù 


<<<
<<<
21
21
xx
xx
βα
βα
ta phaûi coù 0)()( <βα ff
7/. Muoán coù α < x1 < x2 <β ta phaûi coù








<<
>
>
>∆
βα
β
α
2
0)(
0)(
0
S
af
af
 Chuù yù:
1/. Muoán coù x1 < 0 < x2ta phaûi coù P < 0

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
2/. Muoán coù x2 > x1 > 0ta phaûi coù





>
>
>∆
0
0
0
S
P
3/. Muoán coù x1 < x2 < α ta phaûi coù





<
>
>∆
0
0
0
S
P
NHÔÙ 7 : PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN
1/.



=
≥
⇔= K
K
BA
B
BA 2
2
0
2/.



≥≥
=
⇔=
)0(0
22
hayBA
BA
BA KK
NHÔÙ 8 : BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN
1/.





<
>
≥
⇔<
K
K
BA
B
A
BA
2
2
0
0
2/.










>
≥



≥
<
⇔>
K
K
BA
B
A
B
BA
2
2
0
0
0
3/.
1212 ++
<⇔< KK
BABA
NHÔÙ 9 : PHÖÔNG TRÌNH COÙ DAÁU GIAÙ TRÒ
TUYEÄT ÑOÁI

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
1/.










≥
−=



≥
=
⇔=
0
0
B
BA
B
BA
BA
2/. 


−=
=
⇔=
BA
BA
BA
Chuù yù:










≤
=−



≥
=
⇔=
0
)()(
0
)()(
)()(
x
xgxf
x
xgxf
xgxf
NHÔÙ 10 : BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA GIAÙ TRÒ
TUYEÄT ÑOÁI
1/.



>
<<−
⇔<
0B
BAB
BA
2/.













≥
−<



≥
>
<
⇔>
0
0
0
B
BA
B
BA
B
BA 3/.
22
BABA >⇔>
NHÔÙ 11 : BAÁT ÑAÚNG THÖÙC
1/. Ñònh nghóa :

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
Daïng : A > B, A ≥ B
A < B, A ≤ B
2/. Tính chaát :
a) abba <⇔>
b) ca
cb
ba
>⇒



>
>
c) cbcaba +>+⇔>
d) 


<<
>>
⇔>
0,
0,
cbcac
cbcac
ba
e) dbca
dc
ba
+>+⇒



>
>
f) bdac
dc
ba
>⇒



>>
>>
0
0
g)






<>
><
⇒>
0;
11
0;
11
abkhi
ba
abkhi
ba
ba
3/. BÑT Coâ Si :
Cho n soá töï nhieân khoâng aâm a1, a2, a3,......, an
n
n
n
aaaa
n
aaaa
.......
.......
321
321
≥
++++
hay
n
n
n
n
aaaa
aaaa 




 ++++
≤
.......
....... 321
321
Daáu ñaúng thöùc xaûy ra ⇔ a1 = a2 = a3 = ......... = an
4/. BÑT Bunhia Coâp ski :
Cho a1, a2, a3,......, an, b1, b2, b3,......, bn laø nhöõng soá töïc khi
ñoù:
)....)(....().....(
22
2
2
1
22
2
2
1
2
2211 nnnn bbbaaabababa ++++++≤+++

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
Daáu ñaúng thöùc xaûy ra ⇔ ai = k.bi , i = 1 , 2 , 3,......, n
5/. BÑT BecnuLi :
Cho : a > –1, n ∈ N Ta coù : (1 + a)
n
≥ 1 + na
Ñaúng thöùc xaûy ra 


=
=
⇔
1
0
n
a
6/. BÑT tam giaùc :
BABA +≤+
Ñaúng thöùc xaûy ra ⇔ AB ≥ 0
NHÔÙ 12 : COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC
A.HEÄ THÖÙC CÔ BAÛN ( 6 coâng thöùc )
1/. 122
=+ xCosxSin
2/. Cosx
Sinx
Tanx =
3/. Sinx
Cosx
Cotx =
4/. 1. =CotxTanx
5/. xCos
xTan 2
2 1
1 =+
6/. xSin
xCot 2
2 1
1 =+
Ñieàu kieän toàn taïi :
• Tanx laø x ≠ π/ 2 + kπ , k ∈ Z
• Cotx laø x ≠ kπ , k ∈ Z
• Sinx laø – 1 ≤ Sinx ≤ 1
• Cosx laø – 1 ≤ Cosx ≤ 1
Chuù yù :
• a
2
+ b
2
= ( a + b)
2
– 2ab
• a
3
+ b
3
= ( a + b)
3
– 3ab( a + b)
B. COÂNG THÖÙC COÄNG ( 8 coâng thöùc )
7/. SinaSinbCosaCosbbaCos −=+ )(
8/. SinaSinbCosaCosbbaCos +=− )(
9/. CosaSinbSinaCosbbaSin +=+ )(

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
10/. CosaSinbSinaCosbbaSin −=− )(
11/. TanaTanb
TanbTana
baTan
−
+
=+
1
)(
12/. TanaTanb
TanbTana
baTan
+
−
=−
1
)(
13/. CotbCota
CotaCotb
baCot
+
−
=+
1
)(
14/. CotbCota
CotaCotb
baCot
−
+
=−
1
)(
C.COÂNG THÖÙC NHAÂN
I. NHAÂN ÑOÂI : ( 3 coâng thöùc)
15/. SinaCosaaSin 22 =
16/. aSinaCosaSinaCosaCos 2222
21122 −=−=−=
17/. aTan
Tana
aTan 2
1
2
2
−
=
II. NHAÂN BA : ( 3 coâng thöùc)
18/. CosaaCosaCos 343 3
−=
19/. aSinSinaaSin 3
433 −=
20/. aTan
aTanTana
aTan 2
3
31
3
3
−
−
=
III. HAÏ BAÄC : ( 4 coâng thöùc)
21/. 2
212 aCos
aSin
−
=
⇒ aSinaCos 2
221 =−
22/. 2
212 aCos
aCos
+
=
⇒ aCosaCos 2
221 =+
23/. 4
333 aSinSina
aSin
−
=
24/. 4
333 aCosCosa
aCos
+
=
IV. GOÙC CHIA ÑOÂI : ( 3 coâng thöùc)
25/. 2
1
2
t
t
Sinx
+
=
26/. 2
2
1
1
t
t
Cosx
+
−
= , vôùi 2
x
Tant =
27/. 2
1
2
t
t
Tanx
−
=
D. TOÅNG THAØNH TÍCH : ( 8 coâng thöùc)
28/. 22
2
ba
Cos
ba
CosCosbCosa
−+
=+

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
29/. 22
2
ba
Sin
ba
SinCosbCosa
−+
−=−
30/. 22
2
ba
Cos
ba
SinSinbSina
−+
=+
31/. 22
2
ba
Sin
ba
CosSinbSina
−+
=−
32/. CosaCosb
baSin
TanbTana
)( +
=+
33/. CosaCosb
baSin
TanbTana
)( −
=−
34/. SinaSinb
baSin
CotbCota
)( +
=+
35/. SinaSinb
baSin
CotbCota
)( −−
=−
E.TÍCH THAØNH TOÅNG : ( 3 coâng thöùc)
36/. ( )[ ])(
2
1
baCosbaCosCosaCosb ++−=
37/. [ ])()(
2
1
baCosbaCosSinaSinb +−−=
38/. [ ])()(
2
1
baSinbaSinSinaCosb ++−=
F.CUNG LIEÂN KEÁT :
Cos ñoái Cos(–α) = Cosα ; Sin(–α) = – Sinα
Sin buø Sin(π – α) = Sinα ; Cos(π – α) = – Cosα
Phuï
cheùo
Sin(π/2 – α) = Cosα ; Cos(π/2 – α) = Sinα
Khaùc π
Tan
Tan(π + α) = Tanα ; Cot(π + α) = Cotα
Sai keùm
π/ 2
Sin(π/2 + α) = Cosα ; Cos(π/2 + α) = – Sinα
NHÔÙ 13 : PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC
A.CÔ BAÛN :
Sinu = Sinv k ∈ Z
Cosu = Cosv π2kvu +±=⇔
Tanu = Tanv πkvu +=⇔
Cotu = Cotv πkvu +=⇔

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
Sinu = 0 πku =⇔
Sinu = 1 ππ 22/ ku +=⇔
Sinu = –1 ππ 22/ ku +−=⇔
Cosu = 0 ππ ku +=⇔ 2/
Cosu = 1 π2ku =⇔
Cosu = – 1 ππ 2ku +=⇔
B. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT ÑOÁI VÔÙI Sin
vaø Cos
Daïng aSinx + bCosx = c ( a
2
+ b
2
≠ 0 )
Phöông phaùp :
Caùch 1: Chia hai veá cho
22
ba +
Ñaët :
αα Sin
ba
b
Cos
ba
a
=
+
=
+ 2222
;
Ta coù 22
)(
ba
c
xSin
+
=+α
(*)
(*) Coù nghieäm khi 1
22
≤
+ba
c
222
cba ≥+⇔
(*) Voâ nghieäm khi
222
cba <+⇔
Caùch 2:
• Kieåm chöùng x = (2k + 1)π coù phaûi laø nghieäm cuûa
phöông trình hay khoâng?
• Xeùt x ≠ (2k + 1)π Ñaët : 2
x
Tant =
Theá 2
2
2
1
1
;
1
2
t
t
Cosx
t
t
Sinx
+
−
=
+
=
Vaøo phöông trình ⇒ t ?
⇒ x ?
C.PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI:
1/. Ñoái vôùi moät haøm soá löôïng giaùc:
Giaû söû a≠ 0
02
=++ cbSinxxaSin ( ñaët 1, ≤= tSinxt
)

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
02
=++ cbCosxxaCos (ñaët 1, ≤= tCosxt
)
02
=++ cbTanxxaTan ( ñaët π
π
kxTanxt +≠=
2
,
)
02
=++ cbCotxxaCot ( ñaët πkxCotxt ≠= ,
)
2/. Phöông trình ñaúng caáp ñoái vôùi Sinx, Cosx
Daïng: 022
=++ xcCosbSinxCosxxaSin (1)
03223
=+++ xdCosxcSinxCosxCosxbSinxaSin (2)
Phöông phaùp :
Caùch 1:
∗ Kieåm x = π/ 2 + kπ coù phaûi laø nghieäm cuûa phöông
trình ?
∗ Chia hai veá cho Cos
2
x ( daïng 1), chia Cos
3
x ( daïng 2) ñeå
ñöa phöông trình ñaõ cho veà daïng phöông trình baäc hai,
baäc ba ñoái vôùi Tanx.
Caùch 2:
Daïng (1) coù theå söû duïng coâng thöùc haï baäc vaø
2
2xSin
SinxCosx =
theá vaøo
3/. Phöông trình ñoái xöùng cuûa Sinx, Cosx:
Daïng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*)
Phöông phaùp: Ñaët : 2),
4
(2 ≤+=+= txSinCosxSinxt
π
0
2
1
(*)
2
=+
−
+⇔ c
t
bat
t⇒ ( neáu coù)
x⇒
Chuù yù: Daïng a(Sinx – Cosx) + bSinxCosx + c = 0
(*) giaûi töông töï :
Ñaët : 2),
4
(2 ≤−=−= txSinCosxSinxt
π
0
2
1
(*)
2
=+
−
+⇔ c
t
bat ⇒ t ? ( neáu coù) ⇒ x ?
D. PHÖÔNG TRÌNH ÑAËC BIEÄT :
1/. Toång bình phöông :

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
• A
2
+ B
2
+ ........+ Z
2
= 0 ⇔ A = B = ......= Z = 0
• A ≥ 0, B ≥ 0,......, Z ≥ 0
Ta coù : A + B + .... + Z = 0 ⇔ A = B = .....= Z = 0
2/. Ñoái laäp :
Giaû söû giaûi phöông trình A = B (*)
Neáu ta chöùng minh



≥
≤
KB
KA



=
=
⇔
KB
KA
(*)
3/.





+=+
≤
≤
klBA
kB
lA



=
=
⇔
kB
lA
4/. 1,1 ≤≤ BA



=
=
⇔=
1
1
1
B
A
AB hay



−=
−=
1
1
B
A
NHÔÙ 14: HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG
Tam giaùc thöôøng ( caùc ñònh lyù)
Haøm soá Cosin • bcCosAcba 2222
−+=
• bc
acb
CosA
2
222
−+
=
Haøm soá Sin
• R
SinC
c
SinB
b
SinA
a
2===
• R
a
SinARSinAa
2
,2 ==
Haøm soá Tan • ba
ba
BA
Tan
BA
Tan
+
−
=
+
−
2
2
Caùc chieáu •
cCosBbCosCa +=

H
B C
A
GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
Trung tuyeán • 4
)(2 222
2 acb
ma
−+
=
Phaân giaùc •
2 .
2
a
A
bc Cos
l
b c
=
+
Dieän tích
Dieän tích
• cba chbhahS
2
1
2
1
2
1
===
• abSinCacSinBbcSinAS
2
1
2
1
2
1
===
•
prS =
• R
abc
S
4
=
•
))()(( cpbpappS −−−=
Chuù yù:
• 2
)(
2
)(
2
)(
C
Tancp
B
Tanbp
A
Tanap
p
S
r −=−=−==
• SinC
c
SinB
b
SinA
a
S
abc
R
2224
====
• a, b, c : caïnh tam giaùc
• A, B, C: goùc tam giaùc
• ha: Ñöôøng cao töông öùng vôùi caïnh a
• ma: Ñöôøng trung tuyeán veõ töø A
• R, r : Baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi, noäi tieáp tam
giaùc.
• 2
cba
p
++
= Nöõa chu vi tam giaùc.
Heä thöùc löôïng tam giaùc vuoâng:
•ACABBCAH
CHBHAH
..
.2
=
=
•
BCBHAB .2
=
• CBCHAC .2
=
•
222
ACABBC +=
NHÔÙ 15: MOÄT SOÁ BAØI TOÙAN CAÀN NHÔÙ
Cho tam giaùc ABC :
1/. 222
4
C
Cos
B
Cos
A
CosSinCSinBSinA =++
222
111
ACABAH
+=

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
2/. 222
41
C
Sin
B
Sin
A
SinCosCCosBCosA +=++
3/. TanCTanBTanATanCTanBTanA ..=++
( tam giaùc ABC
khoâng vuoâng)
4/. 2
.
2
.
2222
C
Cot
B
Cot
A
Cot
C
Cot
B
Cot
A
Cot =++
5/. 1
2
.
22
.
22
.
2
=++
A
Tan
C
Tan
C
Tan
B
Tan
B
Tan
A
Tan
6/. CosCCosBCosACSinBSinASin ..22222
+=++
7/. CosCCosBCosACCosBCosACos ..21222
−=++
8/. SinCBASin =+ )(
CosCBACos −=+ )(
; 22
C
Cos
BA
Sin =
+
22
C
Sin
BA
Cos =
+
; 22
C
Cot
BA
Tan =
+
9/. 8
33
.. ≤SinCSinBSinA
10/. 8
1
.. ≤CosCCosBCosA
11/. 8
33
2
.
2
.
2
≤
C
Cos
B
Cos
A
Cos
12/. 8
1
2
.
2
.
2
≤
C
Sin
B
Sin
A
Sin
13/. 4
3222
≥++ CCosBCosACos
14/. 9
4222
≤++ CSinBSinASin
15/. 9222
≥++ CTanBTanATan
16/. 1
2224
3 222
<++≤
C
Sin
B
Sin
A
Sin
17/. 4
9
222
2 222
≤++<
C
Cos
B
Cos
A
Cos
18/. 1
222
222
≥++
C
Tan
B
Tan
A
Tan
19/. 9
222
222
≥++
C
Cot
B
Cot
A
Cot
20/. 2
33
222 ≤++ CSinBSinASin
21/. 2
3
222 −≥++ CCosBCosACos
NHÔÙ 16 : HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC
Ñònh nghóa 1: Haøm soá )(xfy =
goïi laø lieân tuïc taïi ñieåm x
= a neáu :

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
1/. )(xf
xaùc ñònh taïi ñieåm x = a
2/.
)()(lim afxf
ax
=
→
Ñònh nghóa 2: )(xf
lieân tuïc taïi ñieåm x = a
)()(lim)(lim afxfxf
axax
==⇔ −+
→→
Ñònh lyù : Neáu )(xf
lieân tuïc treân [a, b] vaø 0)().( <bfaf
thì
toàn taïi ít nhaát moät ñieåm c∈ (a, b) sao cho 0)( =cf
NHÔÙ 17 : HAØM SOÁ MUÕ
1/. Ñònh nghóa : Cho a > 0, a ≠ 1 ( coá ñònh). Haøm soá muõ laø
haøm soá xaùc ñònh bôûi coâng thöùc : y = ax
( x ∈ R)
2/. Tính chaát :
a) Haøm soá muõ lieân tuïc treân R
b) y = ax
> 0 moïi x ∈ R
c) a > 1 : Haøm soá ñoàng bieán
21
21
xxaa xx
<⇔<
d) 0 < a < 1 : Haøm soá nghòch bieán
21
21
xxaa xx
>⇔<
Chuù yù : )10(21
21
≠<=⇔< axxaa xx
3/. Ñoà thò :
(a> 1) y ( 0 < a < 1) y
1 1
NHÔÙ 18 : HAØM SOÁ LOGARIT
1/. Ñònh nghóa :
a) Cho 0,1,0 >≠> Naa

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
Logarit cô soá a cuûa N laø soá muõ M sao cho : a
M
= N
Kyù hieäu : logaN = M
b) Haøm soá logarit theo cô soá a ( a > 0, a ≠ 1 ) cuûa ñoái soá x
laø haøm soá ñöôïc cho bôûi coâng thöùc: y = logax ( vôùi x >
0, a > 0, a ≠ 1)
2/. Tính chaát vaø ñònh lyù cô baûn veà logarit :
Giaû söû logarit coù ñieàu kieän ñaõ thoûa maõn
TC1 : logaN = M ⇔ a
M
= N
TC2 : loga a
M
= M , Ma Ma
=log
TC3 : loga 1 = 0, loga a = 1
TC4 : loga (MN) = loga M + loga N
TC5 : NM
N
M
aaa logloglog −=
TC6 : Ñoåi cô soá
a
b
a
N
N
b
a
c
c
a
log
1
log;
log
log
log ==
3/. Ñoà thò :
(a> 1) y ( 0 < a < 1) y
1
1
0 x 0
x
4/. Phöông trình Logarit :
)()()(log)(log xgxfxgxf aa =⇔=
( f(x) hoaëc g(x) > 0 , 0 < a ≠ 1 )
5/. Baát phöông trình Logarit :
(*))(log)(log xgxf aa <

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________



<
>
 →← >
)()(
0)(
(*) 1
xgxf
xfa



>
>
 →← <<
)()(
0)(
(*) 10
xgxf
xga
NHÔÙ 19 : ÑAÏO HAØM
I/. Ñònh nghóa ñaïo haøm :
Cho haøm soá y = f(x) , xaùc ñònh treân ( a, b) , x0 ∈ ( a, b). Ta
noùi f(x) coù ñaïo haøm taïi x0 neáu giôùi haïn 0→∆
∆
∆
xkhi
x
y
toàn
taïi.
x
xfxxf
x
y
xf
xx ∆
−∆+
=
∆
∆
=
→∆→∆
)()(
limlim)( 00
00
0
'
∗ Ñaïo haøm beân traùi : x
y
xf
x ∆
∆
= −
→∆
−
0
0
'
lim)( ( toàn
taïi )
∗ Ñaïo haøm beân phaûi : x
y
xf
x ∆
∆
= +
→∆
+
0
0
'
lim)( ( toàn
taïi )
 Cho y = f(x) xaùc ñònh treân (a, b)
y = f(x) coù ñaïo haøm taïi x0 ∈ (a, b) ⇔ f ‘
(x0
+
) = f ’
(x0
–
)
II/. Qui taéc tính ñaïo haøm :
1/.
''''
.......).....( cbacba +++=+++
2/.
'''
..)( babaab +=
''''
......)( cbacbacbaabc ++=
3/. 2
'''
b
abba
b
a −
=





( b ≠ 0)
)(.)( ''
Rcuccu ∈=
2
''
1
u
u
u
−=





III/. Baûng ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sô caáp cô baûn
:
TT Haøm soá Ñaïo haøm
1
y = c y’
= 0

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
2
y = x y’
= 1
3
α
xy =
α
uy =
1'
. −
= α
α xy
'1'
.. uuy −
= α
α
4
x
y
1
=
xy =
uy =
2
' 1
x
y −=
x
y
2
1'
=
u
u
y
2
'
'
=
5 Sinuy
Sinxy
=
=
Cosuuy
Cosxy
.''
'
=
=
6
Cosxy =
Cosuy =
Sinxy −='
Sinuuy .''
−=
7
Tanxy =
Tanuy =
xCos
y 2
' 1
=
uCos
u
y 2
'
'
=
8
Cotxy =
Cotuy =
xSin
y 2
' 1
−=
uSin
u
y 2
'
'
−=
9 arcSinxy = 2
'
1
1
x
y
−
=
10 arcCosxy = 2
'
1
1
x
y
−
−=
11 arcTanxy = 2
'
1
1
x
y
+
=
12 arcCotxy = 2
'
1
1
x
y
+
−=
13
x
ay =
u
ay =
Lnaay x
='
Lnaauy u
..''
=
14
u
ey =
u
ey =
x
ey ='
u
euy ''
=
15
Lnxy =
Lnuy =
x
y
1'
=
u
u
y
'
'
=
16
xLny =
uLny =
x
y
1'
=
u
u
y
'
'
=

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
17 xy alog=
xLna
y
1'
=
NHÔÙ 20 : BAÛNG TÍCH PHAÂN
1/. Coâng thöùc NewTon _ Leibnitz :
[ ]∫ −==
b
a
b
a aFbFxFdxxf )()()()(
vôùi F(x) laø nguyeân haøm cuûa f(x) treân [a, b}
2/. Tích phaân töøng phaàn :
∫ ∫−=
b
a
b
a
b
a vduvuudv ].[
vôùi u, v lieân tuïc vaø coù ñaïo haøm lieân tuïc treân [a, b]
3/. Ñoåi cô soá :
[ ]∫∫ =
β
α
ϕϕ dtttfdxxf
b
a
)(.)()( '
vôùi x = ϕ(t) laø haøm soá lieân tuïc vaø coù ñaïo haøm ϕ’
(t)
lieân tuïc treân [a, b] , α ≤ t ≤ β
a = ϕ(α), b = ϕ(β), f[ϕ(t)] laø haøm soá lieân tuïc treân [α,β ]
4/. Tính chaát :
a) ∫ ∫−=
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
b) 0)( =∫
a
a
dxxf
c) ∫∫∫ +=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
d) ∫ ∫∫ ±=±
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
e) ∫ ∫ ∈=
b
a
b
a
RKdxxfKdxxKf ,)()(
f) Neáu m ≤ f(x) ≤ M thì
)()()( abMdxxfabm
b
a
−≤≤− ∫
5/. Baûng tích phaân :
TT Coâng thöùc
1 )1(
1
1
−≠+
+
=
+
∫ α
α
α
α
c
x
dxx
2 c
bax
a
dxbax +
+
+
=+∫
+
1
)(
.
1
)(
1
α
α
α

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
3 ∫ ≠+
−
−= −
)1(
)1(
11
1
α
α αα
c
x
dx
x
4 ∫ ≠+
+−
−=
+ −
)1(
))(1(
1
)( 1
α
α αα
c
baxabax
dx
5 ∫ += cxLn
x
dx
6 ∫ ++=
+
cbaxLn
abax
dx 1
7
∫ ∈+= RKcKxKdx ,
8
∫ += cedxe xx
9 ∫ += ++
ce
a
dxe baxbax 1
10 ∫ += c
Lna
a
dxa
x
x
11
∫ +−= cCosxSinxdx
12 ∫ ++−=+ cbaxCos
a
dxbaxSin )(
1
)(
13
∫ += cSinxCosxdx
14 ∫ ++=+ cbaxSin
a
dxbaxCos )(
1
)(
15 ∫ += cTanx
xCos
dx
2
16 ∫ +−= cCotx
xSin
dx
2
17 ∫ +=
+
carcTanx
x
dx
12
18 ∫ +=
+
c
a
x
arcTan
aax
dx 1
22
19 ∫ +
+
−
=
−
c
ax
ax
Ln
aax
dx
2
1
22
20 ∫ +
−
+
=
−
c
xa
xa
Ln
axa
dx
2
1
22
21 ∫ >+=
−
)0(
22
ac
a
x
arcSin
xa
dx
22
chxxLn
hx
dx
+++=
+
∫
2
2
23 ∫ >++−=− )0(
22
2
2222
ac
a
x
arcSin
a
xa
x
dxxa
24 chxxLn
h
hx
x
dxhx +++++=+∫
222
22
NHÔÙ 21 : HOAÙN VÒ _ TOÅ HÔÏP _ CHÆNH HÔÏP
1/. Hoaùn vò : !nPn =
2/. Toå hôïp : )!(!
!
KnK
n
C K
n
−
=

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________

Kn
n
K
n CC −
=

10
== n
n
n CC

K
n
K
n
K
n CCC =+ −
−−
1
11

nn
nnn CCC 2......10
=+++
3/. Chænh hôïp : )0(
)!(
!
nK
Kn
n
AK
n ≤≤
−
=
NHÔÙ 22 : SOÁ PHÖÙC
1/. Pheùp tính :
∗ Cho z = a + bi
z’ = a’ + b’i
z ± z’ = ( a ± a’) + ( b ± b’)i
z.z’ = (a.a’ – b.b’) + ( a.b’ + a’.b)i
∗ z = r.(Cosα + i.Sinα)
z’ = r’(Cosβ + i.Sinβ) z, z’ ≠ 0
z.z’ = r.r’[Cos(α + β) + i.Sin(α + β)]
)]()([
''
βαβα −+−= iSinCos
r
r
z
z
2/. MoaVrô :
)()]([ αααα iSinnCosnriSinCosr nn
+=+
3/. Caên baäc n cuûa soá phöùc z = r.( Cosα + i.Sinα) :
)
2
.
2
(
n
K
Sini
n
K
CosrZ n
K
παπα +
+
+
=
vôùi K = 0, 1, 2,......, n – 1
NHÔÙ 23 : PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ OXY
VECTÔ VAØ TOÏA ÑOÄ :
•
→→→
+=⇔ 21),( yexeOMyxM
• Cho A( xA, yA )
B( xB, yB )
1). ),( ABAB yyxxAB −−=
→
2).
2
),( ABAB yyxxAB −−=

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
3). Toïa ñoä trung ñieåm I cuûa AB :






+
=
+
=
2
2
BA
BA
yy
y
xx
x
4). Toïa ñoä ñieåm M chia AB theo tæ soá k ≠ 1 :






−
−
=
−
−
=
k
yky
y
k
xkx
x
BA
BA
1
.
1
.
• Pheùp toaùn : Cho ),( 21 aaa =
→
),( 21 bbb =
→
1).



=
=
⇔=
→→
22
11
ba
ba
ba
2). ),( 2211 bababa ±±=±
→→
3). ),(. 21 mamaam =
→
4). 2211 bababa +=
→→
5).
2
2
2
1 aaa +=
→
6). 02211 =+⇔⊥
→→
bababa
7). 2
2
2
1
2
2
2
1
2211
.
,
bbaa
baba
baCos
++
+
=




 →→
B. ÑÖÔØNG THAÚNG
1/. Phöông trình tham soá :



+=
+=
tayy
taxx
20
10
Vectô chæ phöông ),( 21 aaa =
→
2/. Phöông trình toång quaùt : Ax + By + C = 0 ( A2
+
B2
≠ 0)

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
• Phaùp vectô ),( BAn =
→
y
• Vectô chæ phöông ),( ABa −=
→
( hay ),( ABa −=
→
)
• Heä soá goùc )0( ≠−= B
B
A
K
0
x
3/. Phöông trình phaùp daïng :
0
222222
=
+
+
+
+
+ BA
C
y
BA
B
x
BA
A
4/. Phöông trình ñöôøng thaúng qua M( x0, y0) coù heä
soá goùc K :
)( 00 xxKyy −=−
5/. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A(xA, yA) vaø B(xB,
yB) :
(x – xA)(yB – yA) = (y – yA)(xB – xA)
hay AB
A
AB
A
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
6/. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A( a, 0) , B( 0,b)
( ñoïan chaén)
1=+
b
y
a
x
7/. Phöông trình chính taéc : b
yy
a
xx 00 −
=
−






=
→
),(),,( 00 baayxM
* Quy öôùc : 0
0
0
00
=−⇔
−
=
−
xx
b
yyxx
0
0
0
00
=−⇔
−
=
−
yy
yy
a
xx
8/. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A(a, 0), B(0, b)
( ñoaïn chaén ) :
1=+
b
y
a
x
9/. Khoaûng caùch töø moät ñieåm M(x0, y0) ñeán Ax +
By + C = 0 :
22
00
BA
CByAx
+
++
10/. Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng : d1: A1x +
B1y + C1 = 0
d2: A2x + B2y + C2 = 0
2
1
2
1
B
B
A
A
D =

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
2
1
2
1
B
B
C
C
Dx
−
−
=
2
1
2
1
C
C
A
A
Dy
−
−
=
* d1 caét d2
0≠⇔ D
*



≠
=
⇔
0
0
// 21
xD
D
dd hay



≠
=
0
0
yD
D
* 021 ===⇔≡ yx DDDdd
Chuù yù : A2, B2, C2 ≠ 0
d1 caét d2 2
1
2
1
B
B
A
A
≠⇔
2
1
2
1
2
1
21 //
C
C
B
B
A
A
dd ≠=⇔
2
1
2
1
2
1
21
C
C
B
B
A
A
dd ==⇔≡
11/. Goùc cuûa hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2 :
Xaùc ñònh bôûi coâng thöùc : 2
2
2
2
2
1
2
1
2121
BABA
BBAA
Cos
++
+
=ϕ
12/. Phöông trình ñöôøng phaân giaùc cuûa caùc goùc
taïo bôûi d1 vaø d2 :
2
2
2
2
222
2
1
2
1
111
BA
CyBxA
BA
CyBxA
+
++
±=
+
++
* Chuù yù :
Daáu cuûa
→→
21 nn
Phöông trình
ñöôøng phaân
giaùc goùc nhoïn
taïo bôûi d1, d2
Phöông trình
ñöôøng phaân
giaùc goùc tuø taïo
bôûi d1, d2
– t1 = t2 t1 = – t2

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
+ t1 = – t2 t1 = t2
C.ÑÖÔØNG TROØN :
1/. Ñònh nghóa : M ∈ (c) ⇔ OM = R
2/. Phöông trình ñöôøng troøn taâm I( a, b) baùn kính R :
Daïng 1 :
2 2 2
( ) ( )x a y b R− + − =
Daïng 2 :
2 2
2 2 0x y ax by c+ − − + =
Vôùi
2 2 2
0R a b c= + − ≥
3/. Phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn taïi M( x0, y0)
(x0 – a).(x – a) + (y0 – b).(y – b) = R
2
( Daïng 1)
x0x + y0y – a(x0 + x) – b(y0 + y) + c = 0 ( Daïng 2)
D. ELIP
PT
chính taéc
Lyù thuyeát
2 2
2 2
2 2
1
( )
x y
a b
a b
+ =
>
2 2
2 2
2 2
1
( )
x y
a b
a b
+ =
<
Truïc lôùn,
ñoä daøi
Ox, 2a Oy, 2b
Truïc nhoû,
ñoä daøi
Oy, 2b Ox, 2a
Lieân heä a,
b, c
c
2
= a
2
– b
2
c
2
= b
2
– a
2
Tieâu ñieåm F1(– c, 0), F2( c, 0) F1(0,– c), F2( 0, c)
Ñænh
A1,2( ± a, 0)
B1,2(0, ± b)
A1,2( ± a, 0)
B1,2(0, ± b)
Taâm sai
c
e
a
=
c
e
b
=
Ñöôøng
a
x
e
= ±
b
y
e
= ±

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
chuaån
Baùn kính
qua tieâu
MF1 = a + ex
MF2 = a – ex
MF1 = b + ey
MF2 = b – ey
Pt tieáp
tuyeán taïi
M(x0 , y0)
0 0
2 2
1
x x y y
a b
+ = 0 0
2 2
1
x x y y
a b
+ =
Pt hình chöõ
nhaät cô sôû
x a
y b
= ±

= ±
x a
y b
= ±

= ±
Ñieàu kieän
tieáp xuùc
vôùi Ax + By
+ C = 0
A
2
a
2
+ B
2
b
2
= C
2
A
2
a
2
+ B
2
b
2
= C
2
E.HYPEBOL
PT
chính taéc
Lyù thuyeát
2 2
2 2
1
x y
a b
− =
2 2
2 2
1
y x
b a
− =
Truïc thöïc,
ñoä daøi
Ox, 2a Oy, 2b
Truïc aûo,
ñoä daøi
Oy, 2b Ox, 2a
Lieân heä a,
b, c
c
2
= a
2
+ b
2
c
2
= a
2
+ b
2
Tieâu ñieåm F1(– c, 0), F2( c, 0) F1(0,– c), F2( 0, c)
Ñænh A1,2( ± a, 0) B1,2(0, ± b)
Taâm sai
c
e
a
=
c
e
b
=

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
Ñöôøng
chuaån
a
x
e
= ±
b
y
e
= ±
Tieäm caän
b
y x
a
= ±
b
y x
a
= ±
Baùn kính
qua tieâu
M ∈
nhaùnh phaûi
MF1 = ex + a
MF2 = ex – a
M ∈
nhaùnh traùi
MF1 = – (ex + a)
MF2 = – (ex – a)
M ∈
nhaùnh phaûi
MF1 = ey + b
MF2 = ey – b
M ∈
nhaùnh traùi
MF1 = – (ey + b)
MF2 = – (ey – b)
Pt tieáp
tuyeán taïi
M(x0 , y0)
0 0
2 2
1
x x y y
a b
− = 0 0
2 2
1
y y x x
b a
− =
Ñieàu kieän
tieáp xuùc
vôùi Ax + By
+ C = 0
A
2
a
2
– B
2
b
2
= C
2
B
2
b
2
– A
2
a
2
= C
2
F. PARAPOL
Pt
chính taéc
Lyù thuyeát
y
2
= 2px y
2
= – 2px y
2
= 2py y
2
= – 2py
Tieâu ñieåm ,0
2
p
F
 
 ÷
 
,0
2
p
F
 
− ÷
 
0,
2
p
F
 
 ÷
 
0,
2
p
F
 
− ÷
 
Ñöôøng
chuaån
2
p
x = −
2
p
x =
2
p
y = −
2
p
y =
Ñieàu kieän
tieáp xuùc
vôùi Ax + By
B
2
p =
2AC
B
2
p = –
2AC
A
2
p =
2BC
A
2
p = –
2BC

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
+ C = 0
NHÔÙ 24 :PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ OXYZ
A.VECTÔ VAØ TOÏA ÑOÄ :
• ( ) 1 2 3, ,M x y z OM x e y e z e
→ → → →
⇔ = + +
• 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , )a a a a a a e a e a e
→ → → → →
= ⇔ = + +
•Cho ( , , ), ( , , )A A A B B BA x y z B x y z
1). ( , , )B A B A B AAB x x y y z z
→
= − − −
2).
2 2 2
( ) ( ) ( )B A B A B AAB x x y y z z= − + − + −
3). Toïa ñoä trung ñieåm I cuûa AB :
2
2
2
A B
A B
A B
x x
x
y y
y
z z
z
+
=

+
=

+
=

4). Toïa ñoä ñieåm M chia AB theo tæ soá k ≠ 1 :
1
1
1
A B
A B
A B
x kx
x
k
y ky
y
k
z kz
z
k
+
= −

+
=
−
+
= −
•Pheùp toaùn : Cho 1 2 3( , , )a a a a
→
=
1 2 3( , , )b b b b
→
=
1).
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
→ →
=

= ⇔ =
 =
2). 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b a b
→ →
± = ± ± ±
3). 1 2 3( , , )m a ma ma ma
→
=
4). 1 1 2 2 3 3a b a b a b a b
→ →
= + +
5).
2 2 2
1 2 3a a a a
→
= + +
6). 1 1 2 2 3 3 0a b a b a b a b
→ →
⊥ ⇔ + + =

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
7).
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
,
.
a b a b a b
Cos a b
a a a b b b
→ → + + 
= ÷
  + + + +
8). Tích voâ höôùng cuûa hai Vectô
3 32 1 1 2
2 3 3 1 1 2
, , ,
a aa a a a
a b
b b b b b b
→ →   
=  ÷   ÷   
Ñieàu kieän ñoàng phaúng :
, ,a b c
→ → →
Ñoàng phaúng , 0a b c
→ → →
 
⇔ =  
* Dieän tích tam giaùc ABC :
1
,
2
S AB AC
→ → 
=  
 
B. PHÖÔNG TRÌNH CUÛA MAËT PHAÚNG :
0 1 1 1 2
0 2 1 2 2 1 2
0 3 1 3 2
,( , )
x x a t bt
y y a t b t t t R
z z a t b t
= + +

= + + ∈
 = + +
Caëp Vectô chæ phöông ( VCP) 1 2 3 1 2 3( , , ), ( , , )a a a a b b b b
→ →
= =
2/. Phöông trình toång quaùt :
Ax + By + Cz + D = 0
( , , )n A B C
→
= Vectô phaùp tuyeán ( VPT)
Ñaëc bieät :
• By + Cz + D = 0 song song truïc ox
• Cz + d = 0 song song maët phaúng oxy
• Ax + By + Cz = 0 qua goác toïa ñoä
• By + Cz = 0 chöùa truïc ox
• z = 0 maët phaúng oxy
3/. Phöông trình maët phaúng qua M( x0, y0, z0) ,coù
VPT ( , , )n A B C
→
= laø:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
4/. Phöông trình maët phaúng theo caùc ñoaïn chaén teân
caùc truïc toïa ñoä: 1
x y z
a b c
+ + =
5/. Cho α : A1x + B1y + C1z + D1 = 0
β: A2x + B2y + C2z + D2 = 0

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
a/. Goùc giöõa 2 maët phaúng : Tính bôûi coâng thöùc :
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2.
A A B B C C
Cos
A B C A B C
ϕ
+ +
=
+ + + +
b/. Vuoâng goùc : 1 2 1 2 1 2 0A A B B C Cα β⊥ ⇔ + + =
c/. Vò trí töông ñoái :
• α caét β 1 1 1 2 2 2: : : :A B C A B C⇔ ≠
•
1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
α β≡ ⇔ = = =
•
1 1 1 1
2 2 2 2
//
A B C D
A B C D
α β ⇔ = = ≠
Vôùi A2, B2, C2, D2 ≠ 0
d/. Phöông trình cuûa chuøm maët phaúng coù daïng
1 1 1 1 2 2 2 2( ) ( ) 0m A x B y C z D n A x B y C z D+ + + + + + + =
Vôùi m
2
+ n
2
≠ 0 vaø α caét β
C.PHÖÔNG TRÌNH CUÛA ÑÖÔØNG THAÚNG:
0 1
0 2
0 3
,
x x a t
y y a t t R
z z a t
= +

= + ∈
 = +
Vôùi 1 2 3( , , )a a a a
→
= Vectô chæ phöông
2/. Phöông trình toång quaùt :
1 1 1 1
2 2 2 2
0
:
0
A x B y C z D
d
A x B y C z D
+ + + =

+ + + =
Vôùi 1 1 1 2 2 2: : : :A B C A B C≠
2 2 2
1 1 1 0A B C+ + >
2 2 2
2 2 2 0A B C+ + >
d coù Vectô chæ phöông laø 1 2,a n n
→ → →
 
=   
3/. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A(xA, yA, zA), B(xB,
yB, zB) laø
A A A
B A B A B A
x x y y z z
x x y y z z
− − −
= =
− − −
D. VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI
1/. Hai ñöôøng thaúng :
d qua M(x0, y0, z0) coù Vectô chæ phöông 1 2 3( , , )a a a a
→
=

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
'
d qua
' ' '
0 0 0( , , )N x y z
coù Vectô chæ phöông 1 2 3( , , )b b b b
→
=
* d, d’ cuøng naèm trong maët phaúng , . 0a b MN
→ → →
 
⇔ =  
* d cheùo d’ , . 0a b MN
→ → →
 
⇔ ≠  
* Goùc giöõa d vaø d’ laø :
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3.
a b a b a b
Cos
a a a b b b
ϕ
+ +
=
+ + + +
2/. Ñöôøng thaúng vaø maët phaúng :
• d qua M(x0, y0, z0) coù Vectô chæ phöông 1 2 3( , , )a a a a
→
=
• maët phaúng (α
) : Ax + By + Cz + D = 0 coù vectô phaùp
tuyeán ( , , )n A B C
→
=
* d // (α
)
0 0 0
. 0
0
a n
Ax By Cz D
→ →
 =⇔ 
+ + + ≠
* d caét (α
) . 0a n
→ →
⇔ ≠
* d α⊂
0 0 0
. 0
0
a n
Ax By Cz D
→ →
 =⇔ 
+ + + =
* d α⊥ 1 2 3: : : :a a a A B C⇔ =
* Goùc cuûa ñöôøng vaø maët phaúng : ñöôïc tính bôûi coâng
thöùc
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 .
a A a B a C
Sin
a a a A B C
ϕ
+ +
=
+ + + +
E.KHOAÛNG CAÙCH :
1/. Khoaûng caùch töø moät ñieåm M(x0, y0, z0) ñeán Ax + By +
Cz + D = 0
0 0 0
2 2 2
Ax By Cz D
A B C
+ + +
+ +
2/. Khoaûng caùch töø moät ñieåm N(x’0, y’0, z’0) ñeán moät
ñöôøng thaúng d qua M(x0, y0, z0) vaø coù VCP laø 1 2 3( , , )a a a a
→
=
laø :

d a
b
β
α
d
a
β
α
GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
,MN a
a
→ →
→
 
 
 
3/. Khoaûng caùch hai ñöôøng thaúng cheùo nhau d vaø d’ :
,
,
a b MN
a b
→ → →
→ →
 
  
 
  
F.MAËT CAÀU :
Phöông trình maët caàu taâm I(a, b, c), baùn kính R
• (x – a)
2
+ (y – b)
2
+ (z – c)
2
= R
2
• x
2
+ y
2
+ z
2
– 2ax – 2by – 2cz + d = 0
Vôùi R
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
– d ≥ 0
NHÔÙ 25 : MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN VAØ
THÖÔØNG DUØNG TRONG VIEÄC GIAÛI TOAÙN
HÌNH HOÏC KHOÂNG GIAN.
TT HÌNH VEÕ KIEÁN THÖÙC
1 // //
//
d
d
a b
d a
a
d b
b
α β
α β
β
α
∩ =

 ⇒ ≡ ⊂  ≡ ⊂
2 a//α
neáu vaø chæ neáu treân α
coù
a’ , a’//a
3 //
//
d
a a d
a
α β
β
α
∩ =

⊂ ⇒


4 d
a
βα
// //
//
d
a a d
a
α β
α
β
∩ =

⇒


5
a
b
β
α Neáu α
chöùa a vaø b caét nhau,
trong ñoù a//β
, b//β
thì α
//β

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
6 //
//
P a
P b a b
α
β
α β
∩ =

∩ = ⇒


7
C'
B'
A'
C
B
A
R
Q
P
ba
Neáu P // Q // R thì chuùng seõ chaén
tr6n hai caùt tuyeán baát kyø a, b
nhöõng ñoaïn thaúng tæ leä.
' '
' '
AB A B
BC BC
=
8 R
QP
b
da
// //
//
P Q d
R P a
a b d
R Q b
d R
∩ = 
∩ = 
⇒
∩ = 

9 Neáu a α⊥ thì a b⊥ , b α∀ ⊂
10 a α⊥ neáu vaø chæ neáu a vuoâng
goùc vôùi hai ñöôøng thaúng b, c caét
nhau trong α
11
ba
α
• Neáu a//b vaø a α⊥ thì b α⊥
• Neáu a α⊥ thì b α⊥ thì a//b
12
a
β
α
• //α β
vaø a α⊥ thì a β⊥
• Neáu a α⊥ vaø a β⊥
thì //α β
13
b
α a
b
a
β
α
Neáu a cheùo b
* Coù moä tvaø chæ moät ñöôøng
vuoâng goùc chung
* Coù moät vaø chæ moät maët
phaúng chöùa ñöôøng thaúng naøy
vaø song song vôùi ñöôøng kia
* Coù hai maët phaúng song song
vaø moãi maët chöùa moät ñöôøng
P
b
a
β
α

a
d
β
α
P
d
βα
GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
14
H
O
A'
B
A
α
ÑÖÔØNG VUOÂNG GOÙC VAØ
ÑÖÔØNG XIEÂN
* Ñoaïn vuoâng goùc chung OH laø
ñoaïn ngaén nhaát
* Hai ñoaïn xieân daøi baèng nhau coù
hình chieáu daøi baèng nhau vaø
ngöôïc laïi.
OA = OA’⇔
HA = HA’
*Hai ñoaïn xieân coù ñoä daøi khaùc
nhau thì ñoaïn xieân daøi hôn coù
hình chieáu daøi hôn vaø ngöôïc laïi.
OB > OA⇔
HB > HA
15 b'
a
b
α
ÑÒNH LYÙ 3 ÑÖÔØNG VUOÂNG
GOÙC
a α⊂
vaø ñöôøng xieân b coù hình
chieáu vuoâng goùc treân α
laø b’ , ta
coù :
'
a b a b⊥ ⇔ ⊥
16 •
a
a
α
α β
β
⊂
⇒ ⊥
⊥
• Neáu α β⊥
vaø dα β∩ =
thì vôùi
moïi a α⊂
maø a d⊥ thì a β⊥
•
d
P d P
P
α β
α
β
∩ =

⊥ ⇒ ⊥
 ⊥
17 S : Dieän tích cuûa moät hình phaúng
H
S’: Dieän tích cuûa hình chieáu
vuoâng goùc cuûa H laø H’

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
α
: Goùc giöõa maët phaúng chöùa H
vaø maët phaúng chöùa H’
'
.S S Cosα=
18
C'
B'
A'
C
B
A HÌNH LAÊNG TRUÏ
1/. Ñònh nghóa : Hình laêng truï
laø moät hình ña dieän coù hai maët
naèm trong hai maët song song goïi
laø hai ñaùy vaø caùc caïnh khoâng
thuoäc hai ñaùy ñeàu song song
nhau
2/. Caùc loaïi :
* Hình laêng truï ñöùng laø hình
laêng truï coù caùc caïnh beân
vuoâng goùc vôùi ñaùy
* Hình laêng truï ñeàu laø hình
laêng truï ñöùng coù moãi ñaùy laø
ña giaùc ñeàu.
Ngoaøi ra coøn coù laêng truï xieân
3/. Sxq, STP, V :
* Sxq baèng toång dieän tích caùc
maët beân
* Sxq baèng chu vi thieát dieän
thaúng nhaân vôùi ñoä daøi caïnh
beân.
* Sxq laêng truï ñöùng hay ñeàu
baèng chu vi ñaùy nhaân ñoä daøi
caïnh beân

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
* STP = Sxq + 2Sñaùy
* V = B.h
B : dieân tích ñaùy
h : chieàu cao
19
D
S
CB
A
HÌNH CHOÙP
1/. Ñònh nghóa : Hình choùp laø
moät hình ña dieän coù moät maët
laø moät ña giaùc, caùc maët coøn
laïi ñeàu laø nhöõng tam giaùc coù
chung moät ñænh
* Hình choùp ñeàu laø hình choùp
coù ñaùy laø moät ña giaùc ñeàu vaø
caùc caïnh beân ñeàu baèng nhau
* Hình choùp cuït laø phaàn cuûa
hình choùp naèm giöõa ñaùy vaø
moät thieát dieän song song vôùi
ñaùy
2/. Sxq, STP, V :
• Sxq cuûa hình choùp vaø hình
choùp cuït laø toång dieän tích
taát caû caùc maët beân cuûa
moãi hình ñoù
• Hình choùp : STP = Sxq + Sñaùy
• Hình choùp cuït :
STP = Sxq + Sñaùy lôùn + Sñaùy
nhoû

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
• Hình choùp ñeàu :
1
2
xqS =
chu vi ñaùy x trung ñoaïn
• Hình choùp cuït ñeàu :
1
2
xqS =
( CV ñaùy lôùn + CV ñaùy
beù) x trung ñoïan
• Theå tích hình choùp :
1
.
3
V B h=
B : dieän tích ñaùy
h : chieàu cao
• Theå tích hình choùp cuït :
( )' '1
.
3
V h B B B B= + +
B, B’ : dieän tích hai ñaùy
h : chieàu cao
20
HÌNH TRUÏ TROØN XOAY
1/. Ñònh nghóa :
* Hình chöõ nhaät OO’A’A khi quay
quanh caïnh OO’ taïo neân moät hình
goïi laø hình truï troøn xoay( hay hình
truï)
_ Hai caïnh OA vaø O’A’ vaïch
thaønh hai hình troøn baèng
nhau goïi laø hai ñaùy.
_ Caïnh AA’ vaïch thaønh moät
maët troøn xoay goïi laø maët
xung quanh cuûa hình truï

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
_ OO’ goïi laø truïc hay ñöôøng
cao cuûa hình truï.
2/. Sxq, STP, V :
• 2xqS Rhπ=
• 2 ( )TPS R h Rπ= +
•
2
V R hπ=
R : baùn kính
h : ñöôøng cao
*Thường xuyên mở các lớp ôn thi Đại Học và
lớp 10 - 11- 12 môn Toán.
*Khai giảng hàng năm vào ngày 10/6
* lớp ôn thi đại học cấp tốc hàng năm vào
ngày 5/6 học liên tục 6 buổi 1 tuần.
* mọi chi tiết xin liên hệ số điện thoại hoặc
facebook để biết địa chỉ và lịch học cụ thể.
:0927244963
www.facebook.com/phongmath.bmt
Địa chỉ: 77 Nơ trang Ghưh-bmt-DakLak

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________
“ Chưa thử sức thì không bao giờ biết hết năng lực của mình!”
“ chiến thắng bản thân là chiến thắng to lớn nhất của cuộc đời”

GV: Trần Phong
________________________________________________________________________________

[Vnmath.com] tong hop cong thuc toan cap 3

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (6)

Destacado

Destacado (16)

Similar a [Vnmath.com] tong hop cong thuc toan cap 3

Similar a [Vnmath.com] tong hop cong thuc toan cap 3 (20)

Último

Último (20)

[Vnmath.com] tong hop cong thuc toan cap 3