Αναλύσεις γινομένων

1. Γραμμική ΄Αλγεβρα
Ανάλυση PLU
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
13 Νοεμβρίου 2013

2. Επίλυση Συστήματος με Παραγοντοποίηση A = PLU
Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την PLU
παραγοντοποίηση του

3. Επίλυση Συστήματος με Παραγοντοποίηση A = PLU
Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την PLU
παραγοντοποίηση του
Ax = b ⇒ PLUx = b ⇒ L(Ux) = Pb

4. Επίλυση Συστήματος με Παραγοντοποίηση A = PLU
Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την PLU
παραγοντοποίηση του
Ax = b ⇒ PLUx = b ⇒ L(Ux) = Pb
Θέτω y = Ux και έχω Ly = Pb

5. Επίλυση Συστήματος με Παραγοντοποίηση A = PLU
Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την PLU
παραγοντοποίηση του
Ax = b ⇒ PLUx = b ⇒ L(Ux) = Pb
Θέτω y = Ux και έχω Ly = Pb
Λύνω το Ly = Pb για να υπολογίσω το y

6. Επίλυση Συστήματος με Παραγοντοποίηση A = PLU
Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την PLU
παραγοντοποίηση του
Ax = b ⇒ PLUx = b ⇒ L(Ux) = Pb
Θέτω y = Ux και έχω Ly = Pb
Λύνω το Ly = Pb για να υπολογίσω το y
Λύνω το Ux = y για να υπολογίσω το x

7. Παράδειγμα


1 1 1
A= 1 1 1 
2 5 8

8. A = AT ⇒ A = LDLT
όπου
L κάτω τριγωνικός με μονάδες στην διαγώνιο
και τους πολλαπλασιαστές κάτω απο αυτήν
D διαγώνιος πίνακας
˜
Αν A = AT και A = LU ⇒ A = LD U τότε
˜
˜
˜
LD U = (LD U)T = U T DLT

9. A = AT ⇒ A = LDLT
όπου
L κάτω τριγωνικός με μονάδες στην διαγώνιο
και τους πολλαπλασιαστές κάτω απο αυτήν
D διαγώνιος πίνακας
˜
Αν A = AT και A = LU ⇒ A = LD U τότε
˜
˜
˜
LD U = (LD U)T = U T DLT
Απο την μοναδικότητα της παραγοντοποίησης LU
έχουμε
˜
˜
˜
LD = U T D ⇒ L = U T ⇒ U = LT

10. ΄Ασκηση
Θεώρημα
Ο ανάστροφος του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το
ανάστροφο γινόμενο των αναστρόφων των πινάκων.

11. ΄Ασκηση
Θεώρημα
Ο ανάστροφος του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το
ανάστροφο γινόμενο των αναστρόφων των πινάκων. Δηλαδή
(AB)T = B T AT

12. ΄Ασκηση
Θεώρημα
Ο ανάστροφος του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το
ανάστροφο γινόμενο των αναστρόφων των πινάκων. Δηλαδή
(AB)T = B T AT
Απόδειξη.
j, i AB ΄Αρα στην θέση j, i AB έχει

13. ΄Ασκηση
Θεώρημα
Ο αντίστροφος του αναστρόφου ενός πίνακα ισούται με τον
ανάστροφο του αντιστρόφου.
Απόδειξη.
Πρέπει να αποδείξουμε ότι
AT
−1
= A−1
T

14. Λυμένες Ασκήσεις
Προσοχή!
Χρησιμοποιήστε τον παρακάτω σύνδεσμο με πολύ προσοχή!

15. Λυμένες Ασκήσεις
Προσοχή!
Χρησιμοποιήστε τον παρακάτω σύνδεσμο με πολύ προσοχή!
http://math.hecker.org/