3. Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε
Τι είναι Γραμμική ΄Αλγεβρα;
Η γραμμική άλγεβρα είναι τομέας των μαθηματικών και της
άλγεβρας ο οποίος ασχολείται με τη μελέτη διανυσμάτων,
διανυσματικών χώρων, γραμμικών απεικονίσεων και
συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Η αναλυτική γεωμετρία
αποτελεί έκφρασή της και η ίδια αποτελεί κεντρικό συνδετικό
ιστό των σύγχρονων μαθηματικών, ιδιαιτέρως μέσω της
αφηρημένης έννοιας του διανυσματικού χώρου η οποία μπορεί
να μοντελοποιήσει πολλά διαφορετικά προβλήματα που
συναντώνται στην πράξη. (από την Βικιπαίδεια)
4. Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε
Τι είναι Γραμμική ΄Αλγεβρα;
΄Αλγεβρα που έχει να κάνει με γραμμές:
5. Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε
Τι είναι Γραμμική ΄Αλγεβρα;
΄Αλγεβρα που έχει να κάνει με γραμμές:
y = 2x + 1
y = −3x + 7
6. Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε
Τι είναι Γραμμική ΄Αλγεβρα;
΄Αλγεβρα που έχει να κάνει με γραμμές:
y = 2x + 1
y = −3x + 7
αλλά τι γραμμές και πόσες;
10. Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε
Χαρακτηριστικά Γραμμικής ΄Αλγεβρας
Εύκολη
΄Ομορφη
Χρήσιμη
Σημαντική
11. Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε
Εξίσωση ευθείας γραμμής:
b
m
1
} x
y
12. Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε
Εξίσωση ευθείας γραμμής:
b
m
1
} x
y
y = mx + b
13. Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε
Εξίσωση ευθείας γραμμής:
b
m
1
} x
y
y = mx + b
y − mx = b
14. Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε
Εξίσωση ευθείας γραμμής:
b
m
1
} x 1
2
x
y = mx + b
y − mx = b
x2 − mx1 = b
15. Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε
Εξίσωση ευθείας γραμμής:
b
m
1
} x 1
2
x
y = mx + b
y − mx = b
x2 − mx1 = b
−mx1 + x2 = b
16. Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε
Εξίσωση ευθείας γραμμής:
b
m
1
} x 1
2
x
y = mx + b
y − mx = b
x2 − mx1 = b
−mx1 + x2 = b
⇓ (⇑ a2 = 0)
a1x1 + a2x2 = b
17. Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε
Γραμμική εξίσωση ως προς τις εξής μεταβλητές x1, ..., xn:
a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b
όπου τα a1, ..., an και ενδεχομένως το b είναι γνωστά εκ των
προτέρω.
18. Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε
Γραμμική εξίσωση ως προς τις εξής μεταβλητές x1, ..., xn:
a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b
όπου τα a1, ..., an και ενδεχομένως το b είναι γνωστά εκ των
προτέρω.
Λύση είναι μια λίστα αριθμών s1, ..., sn τέτοιων ώστε
a1s1 + a2s2 + . . . + ansn = b
19. Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε
Γραμμική εξίσωση ως προς τις εξής μεταβλητές x1, ..., xn:
a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b
όπου τα a1, ..., an και ενδεχομένως το b είναι γνωστά εκ των
προτέρω.
Λύση είναι μια λίστα αριθμών s1, ..., sn τέτοιων ώστε
a1s1 + a2s2 + . . . + ansn = b
Παράδειγμα 1: Για την εξίσωση της γραμμής a1x1 + a2x2 = b:
Το ζεύγος s1, s2 είναι λύση ⇐⇒ το σημείο (s1, s2) βρίσκεται
πάνω στην γραμμή.
20. Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε
Παράδειγμα 2 Υπολογισμός του τελικού βαθμού στο μάθημα:
x1 ο βαθμός της τελικής εξέτασης μου
x2 ο μέσος όρος των βαθμών των εξετάσεων προόδου μου
x3 ο μέσος όρος των βαθμών των τεστ μου
x4 ο βαθμός των διαγωνισμών μου
21. Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε
Παράδειγμα 2 Υπολογισμός του τελικού βαθμού στο μάθημα:
x1 ο βαθμός της τελικής εξέτασης μου
x2 ο μέσος όρος των βαθμών των εξετάσεων προόδου μου
x3 ο μέσος όρος των βαθμών των τεστ μου
x4 ο βαθμός των διαγωνισμών μου
Τότε
συνεπάγεται
0.5x1 + 0.4x2 + 0.1x3 + 0.05x4 = b
22. Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε
Σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ένα σύνολο γραμμικών
εξισώσεων:
24. Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε
Σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ένα σύνολο γραμμικών
εξισώσεων:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
Λύση του συστήματος είναι μια λίστα
s1, ..., sn ∈ R
η οποία αποτελεί λύση όλων των m εξισώσεων ταυτόχρονα.
25. Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε
Σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ένα σύνολο γραμμικών
εξισώσεων:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
Λύση του συστήματος είναι μια λίστα
s1, ..., sn ∈ R
η οποία αποτελεί λύση όλων των m εξισώσεων ταυτόχρονα.
Δηλαδή, όλες οι m εξισώσεις αληθεύουν όταν
x1 = s1, x2 = s2, ..., xn = sn.
32. Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε
Υπάρχουν ακριβώς τρία ενδεχόμενα
33. Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε
Υπάρχουν ακριβώς τρία ενδεχόμενα
Δεν υπάρχει καμμία λύση
34. Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε
Υπάρχουν ακριβώς τρία ενδεχόμενα
Δεν υπάρχει καμμία λύση
Υπάρχει μια μοναδική λύση
35. Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε
Υπάρχουν ακριβώς τρία ενδεχόμενα
Δεν υπάρχει καμμία λύση
Υπάρχει μια μοναδική λύση
Υπάρχει απειρία λύσεων
36. Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε
Υπάρχουν ακριβώς τρία ενδεχόμενα
Δεν υπάρχει καμμία λύση
Υπάρχει μια μοναδική λύση
Υπάρχει απειρία λύσεων
Στόχοι:
Μελέτησε το ποιό ενδεχόμενο ισχύει.
37. Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε
Υπάρχουν ακριβώς τρία ενδεχόμενα
Δεν υπάρχει καμμία λύση
Υπάρχει μια μοναδική λύση
Υπάρχει απειρία λύσεων
Στόχοι:
Μελέτησε το ποιό ενδεχόμενο ισχύει.
Δώσε την λύση αν είναι μοναδική.
38. Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε
Υπάρχουν ακριβώς τρία ενδεχόμενα
Δεν υπάρχει καμμία λύση
Υπάρχει μια μοναδική λύση
Υπάρχει απειρία λύσεων
Στόχοι:
Μελέτησε το ποιό ενδεχόμενο ισχύει.
Δώσε την λύση αν είναι μοναδική.
Βρές έναν τρόπο να περιγράψεις όλες τις λύσεις όταν αυτές
είναι πολλές.
39. Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε
Η κρίσιμη πληροφορία βρίσκεται στα aij , bi .
40. Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε
Η κρίσιμη πληροφορία βρίσκεται στα aij , bi .
΄Αρα τοποθέτησε όλους αυτούς τους αριθμούς σε έναν πίνακα
a11x1 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + . . . + a2nxn = b2
...
am1x1 + . . . + amnxn = bm
41. Εισαγωγή Γραμμικές Εξισώσεις Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδε
Η κρίσιμη πληροφορία βρίσκεται στα aij , bi .
΄Αρα τοποθέτησε όλους αυτούς τους αριθμούς σε έναν πίνακα
a11x1 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + . . . + a2nxn = b2
...
am1x1 + . . . + amnxn = bm
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn
m × n πίνακας συντελεστών
