Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com

1. lisari.blogspot.com
Ερωτήσεις Κατανόησης Σχολικού βιβλίου / σελ. 236
Εισαγωγή
Οι παραπάνω ασκήσεις προκύπτουν άμεσα από την παράγραφο 3.6. Θεώρημα Μέσης
Τιμής Ολοκληρωτικού Λογισμού (ή αλλιώς ΘΜΤ του Ολοκληρωτικού Λογισμού). Θα
προτείνουμε ενδεικτικές απαντήσεις με την υπάρχουσα ύλη. Προτείνουμε και ενθαρρύνουμε
τους μαθητές να μελετήσουν όλες τις ερωτήσεις κατανόησης του σχολικού βιβλίου, κρύβουν
εξαιρετικές ιδέες.
Σημείωση
Σε όλες τις παραπάνω ερωτήσεις κατανόησης θεωρείται δεδομένο ότι η συνάρτηση f είναι
συνεχής στο διάστημα που ορίζεται αφού εμφανίζεται μέσα σε ολοκλήρωμα. Το βιβλίο δεν το
τονίζει αν και κατά τη γνώμη μας θα έπρεπε να είχε σημειωθεί.
Ενδεικτικές Απαντήσεις (Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος)
12. Έστω η αρχική συνάρτηση F της f στο διάστημα  α,β άρα    F x f x  για κάθε
 x α,β . Έχουμε,          
β
α
f x dx 0 F β F α 0 F β F α     
 Η F είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα  α,β
 παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα  α,β
 και    F β F α
άρα η συνάρτηση F ικανοποιεί το θεώρημα Rolle στο κλειστό διάστημα  α,β επομένως
υπάρχει ένα τουλάχιστον  ξ α,β τέτοιο ώστε:    F ξ 0 f ξ 0    .
13. Έστω ότι η συνάρτηση f δεν παίρνει ετερόσημες τιμές, άρα διατηρεί πρόσημο στο
κλειστό διάστημα  α,β , οπότε
 αν  f x 0 για κάθε  x α,β και επειδή η f δεν είναι παντού μηδέν στο  α,β
από θεωρία έχουμε
β
α
f (x)dx 0 0 0   άτοπο.
 αν  f x 0 για κάθε  x α,β και επειδή η f δεν είναι παντού μηδέν στο  α,β
έχουμε
β
α
f(x)dx 0 0 0   άτοπο.
Οπότε υπάρχουν  1 2x ,x α,β τέτοια ώστε    1 2f x f x 0 .