Επιμέλεια: lisari team αποκλειστικά για το lisari

1. ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι
ΕΠΑ.Λ
ΠΕΜΠΤΗ 19 – 05 – 16
11:10 πμ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ
lisari team
ΘΕΜΑ Α
ΜΑΡΙΑ
ΠΑΠΑΔΟΜΑΝΩΛΑΚΗ
ΘΕΜΑ Β
ΓΙΑΝΝΗΣ ΒΕΛΑΩΡΑΣ
ΑΝΔΡΕΑ ΜΑΝΩΛΗΣ
ΘΕΜΑ Γ
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΜΠΑΔΕΜΗΣ
ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΙΣΚΑΣ
ΘΕΜΑ Δ
ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΟΥΣΤΕΡΗΣ
ΜΑΚΗΣ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ
ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ
ΓΙΆΝΝΗΣ ΖΑΜΠΕΛΗΣ
SITE
http://lisari.blogspot.gr
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΛΥΣΕΙΣ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ
ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2016
ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

2. Οι απαντήσεις και οι λύσεις
είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς
των μελών της lisari team
http://lisari.blogspot.gr/2014/10/blog-post_13.html
2η έκδοση: 19 – 05 – 2016 (συνεχής ανανέωση)
Οι λύσεις διατίθεται αποκλειστικά
από το μαθηματικό blog
http://lisari.blogspot.gr

3. Πρόλογος
Στο παρόν αρχείο περιλαμβάνονται οι λύσεις των Πανελλαδικών Εξετάσεων στο
μάθημα Μαθηματικά I των ΕΠΑ.Λ. Η παρουσίαση των λύσεων είναι πλήρης και
αναλυτική στο μέγιστο δυνατό, προκειμένου οι μαθητές να μπορούν να μελετήσουν
και να επεξεργαστούν εύκολα το αρχείο.
Η εργασία αυτή εκπονήθηκε αποκλειστικά από τη γνωστή διαδικτυακή ομάδα
Μαθηματικών από διάφορα μέρη της Ελλάδος, τη lisari team.
Την αρχική συγγραφή των λύσεων ακολούθησαν ενδελεχείς έλεγχοι, διορθώσεις και
βελτιώσεις με στόχο μια πληρέστερη και ποιοτική παρουσίαση. Ζητούμε συγνώμη
για τυχόν παραλείψεις, λάθη ή αστοχίες που ενδεχομένως θα έχουν διαφύγει της
προσοχής μας, γεγονός αναπόφευκτο δεδομένων των στενών χρονικών περιθωρίων.
Θα ακολουθήσουν επόμενες εκδόσεις, όπου η εν λόγω παρουσίαση θα βελτιωθεί, ίσως
εμπλουτιστεί και με εναλλακτικές λύσεις. Οποιαδήποτε σχόλια, παρατηρήσεις,
διορθώσεις και βελτιώσεις επί των λύσεων είναι ευπρόσδεκτα στην ηλεκτρονική
διεύθυνση lisari.blogspot@gmail.com.
Με εκτίμηση
lisari teaμ
19 – 05 – 2016

4. lisari team
1. Αντωνόπουλος Νίκος (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου "Κατεύθυνση" - Άργος)
2. Αυγερινός Βασίλης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου "ΔΙΑΤΑΞΗ" - Ν. Σμύρνη και Νίκαια)
3. Βελαώρας Γιάννης (Φροντιστήριο "ΒΕΛΑΩΡΑΣ" - Λιβαδειά Βοιωτίας)
4. Βοσκάκης Σήφης (Φροντιστήριο "Ευθύνη" - Ρέθυμνο)
5. Γιαννόπουλος Μιχάλης ( Θεσσαλονίκη - Αμερικάνικη Γεωργική Σχολή)
6. Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης (Φροντιστήριο "Αστρολάβος" - Άρτα)
7. Δούδης Δημήτρης (3ο Λύκειο Αλεξανδρούπολης)
8. Ζαμπέλης Γιάννης (Φροντιστήρια "Πουκαμισάς" Γλυφάδας)
9. Ηλίας Ζωβοΐλης (Μαθηματικός - Χαϊδάρι)
10. Κακαβάς Βασίλης (Φροντιστήριο "Ώθηση" - Μαρούσι)
11. Κάκανος Γιάννης (Φροντιστήριο "Παπαπαναγιώτου – Παπαπαύλου" - Σέρρες)
12. Κανάβης Χρήστος (Διδακτορικό στο ΕΜΠ – 2ο ΣΔΕ φυλακών Κορυδαλλού)
13. Καρδαμίτσης Σπύρος (Πρότυπο Λύκειο Αναβρύτων)
14. Κοπάδης Θανάσης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίων "19+" - Πολύγωνο)
15. Κουλούρης Ανδρέας (3ο Λύκειο Γαλατσίου)
16. Κουστέρης Χρήστος (Φροντιστήριο "Στόχος" - Περιστέρι)
17. Μανώλης Ανδρέας (Φροντιστήριο "Ρηγάκης" - Κοζάνη)
18. Μαρούγκας Χρήστος (3ο ΓΕΛ Κηφισιάς)
19. Δημήτρης Μπαδέμης (Φροντιστήριο "Πουκαμισάς" - Γλυφάδας)
20. Νάννος Μιχάλης (1ο Γυμνάσιο Σαλαμίνας)
21. Νικολόπουλος Θανάσης (Λύκειο Κατασταρίου, Ζάκυνθος)
22. Παγώνης Θεόδωρος (Φροντιστήριο "Φάσμα" - Αγρίνιο)
23. Παπαδομανωλάκη Μαρία (Συνιδιοκτήτρια Πρότυπου Κέντρου Μάθησης "ΔΙΑΚΡΙΣΙΣ" - Ρέθυμνο)
24. Παπαμικρούλης Δημήτρης (Εκπαιδευτικός Οργανισμός "Ρόμβος")
25. Πάτσης Ανδρέας (Βόνιτσα - Μαθηματικός)
26. Ποδηματάς Θωμάς ( Σπουδαστήριο Μαθηματικών Θωμάς και Ρόζα Ποδηματά - Βόλος)
27. Ράπτης Γιώργος (6ο ΓΕΛ Βόλου)
28. Σίσκας Χρήστος (Φροντιστήριο "Μπαχαράκης" - Θεσσαλονίκη)
29. Σκομπρής Νίκος (Συγγραφέας – 1ο Λύκειο Χαλκίδας)
30. Σπλήνης Νίκος (Φροντιστήριο "ΟΡΙΖΟΝΤΕΣ" - Ηράκλειο Κρήτης)
31. Σταυρόπουλος Παύλος (Ιδιωτικά Εκπαιδευτήρια Δούκα)
32. Σταυρόπουλος Σταύρος (Γραμματέας Ε.Μ.Ε Κορινθίας - Γυμνάσιο Λ.Τ. Λεχαίου Κορινθίας)
33. Τρύφων Παύλος (1ο Εσπερινό ΕΠΑΛ Περιστερίου)
34. Τσακαλάκος Τάκης (συνταξιούχος αλλά ενεργός μαθηματικός)
35. Χαραλάμπους Σταύρος (Θεσσαλονίκη - Μουσικό Λύκειο)
36. Χατζόπουλος Μάκης (1ο ΓΕΛ Πετρούπολης)

5. Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής http://lisari.blogspot.gr
Γ΄ Λυκείου 19– 05 – 2016
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team
1
lisari team / σχολικό έτος 2015 – 16
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΕΠΑ.Λ (ΟΜΑΔΑΣ Α)
ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΠΕΜΠΤΗ 19 ΜΑΙΟΥ 2016
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ)
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6 ) ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έχουμε ,
     f x h f x x h x h     
και για h 0 έχουμε,
   f x h f x h
1
h h
 
 
Επομένως,
   
h 0 h 0
f x h f x
lim lim1 1
h 
 
 
άρα,
 x 1 
Α2. Διάμεσος (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα
σειρά ορίζεται ως η μεσαία παρατήρηση όταν το ν είναι περιττός αριθμός.
Α3. α) Σωστό β) Λάθος γ) Σωστό δ) Σωστό ε) Σωστό

6. Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής http://lisari.blogspot.gr
Γ΄ Λυκείου 19– 05 – 2016
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team
2
ΘΕΜΑ Β
Β1. Είναι
2 2 1ν Ν ν 9 5 4     και 3 3f % 10 f 0,1   άρα 3 3v f v 0,1 20 2   
Επίσης από την υπόθεση 5 1ν v 5  . Τέλος
4 1 2 3 5ν v v v v v 20 5 4 2 5 4          
Επειδή i 1 2 iN v v ... v    θα είναι 1 1N v 5  , 3N 11 , 4N 15 και 5N 20
Επειδή i
i
v
f
v
 θα είναι 1f 0,25 , 2f 0,20 , 3f 0,10 , 4f 0,20 άρα και
5f 0,25 άρα 1f % 25 , 2f % 20 , 3f % 10 , 4f % 20 και 5f % 25
Αριθμός
πιστωτικών
καρτών
xi
Αριθμός
Υπαλλήλων
νi
Αθροιστική
συχνότητα
Νi
Σχετική
συχνότητα
fi%
xiνi
0 5 5 25 0
1 4 9 20 4
2 2 11 10 4
3 4 15 20 12
4 5 20 25 20
ΣΥΝΟΛΑ 20 100 40
B2. Για τη μέση τιμή έχουμε
1 1 2 2 3 3 4 4x x x x 40
x 2
20
      
  

Β3. Ο αριθμός των υπαλλήλων που έχουν το πολύ 3 πιστωτικές κάρτες είναι
4 15 
Β4. Το ποσοστό των υπαλλήλων που έχουν τουλάχιστον 2 πιστωτικές κάρτες είναι
3 4 5f % f % f % 10% 20% 25% 55%     
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. Είναι   2
x 1
f x
2x 1
 

για κάθε x  R

7. Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής http://lisari.blogspot.gr
Γ΄ Λυκείου 19– 05 – 2016
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team
3
Οπότε για κάθε x  R έχουμε:
 
     
 
 
 
 
2 2
2 2 22
2
22
2 2
22
2
22
x x 1 x 1 xx 1 x 1
f x
2 2x 1 x 1 x 1
x 1 2x x
x 1
x 1 2x
x 1
1 x
x 1
                    
       
  


 





Γ2. Ο ρυθμός μεταβολής της f στο σημείο 1x 1  είναι
 
 
   
2
2 22
1 1 1 1 0
f 1 0
41 11 1
  
     
  
 
Ο ρυθμός μεταβολής της f στο σημείο 2x 1 είναι
 
   
2
2 22
1 1 1 1 0
f 1 0
41 11 1
 
    

Γ3. Είναι
 
 
2
2 2
22
1 x
f x 0 0 1 x 0 x 1 x 1 ή x 1
x 1

            

Το πρόσημο της  f x εξαρτάται μόνο από τον αριθμητή 2
1 x αφού  
22
x 1 0  για κάθε
x  R
x  1 1 
 f x   
f > < >
 Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο  1 , 1    και στο  3 1,   , ενώ είναι γνησίως
αύξουσα στο  2 1,1   .
 Η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο 1x 1  με τιμή
 
 
2
1 1 1 1
f 1 0
2 2 21 1
 
     
 

8. Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής http://lisari.blogspot.gr
Γ΄ Λυκείου 19– 05 – 2016
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team
4
 Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο 2x 1 με τιμή
  2
1 1 1 1
f 1 1
2 2 21 1
    

Γ4. Παρατηρούμε ότι το 2015 και το 2016 ανήκουν στο διάστημα  3 1,   που η f είναι
γνησίως φθίνουσα. Έχουμε:
   
f:
2015 2016 f 2015 f 2016  
>
ΘΕΜΑ Δ
Δ1. Δίνεται
2
x 4
x 6x 8
lim
x 4
 
 

(1)
Υπολογίζουμε το παραπάνω όριο:
  
 
2
x 4 x 4 x 4
x 4 x 2x 6x 8
lim lim lim x 2 4 2 2
x 4 x 4  
  
     
 
Η παραγοντοποίηση του τριωνύμου 2
x 6x 8  έγινε με σχήμα Ηorner όπως φαίνεται παρακάτω
1 6 8 4 
4 8
1 2 0
Επομένως λόγω της (1) προκύπτει
2 
Δ2. Για 2  ο τύπος της συνάρτησης f γίνεται
  2
f x x 2x 3  
Επομένως η παράγωγος συνάρτηση της f είναι :
             2 2
f x x 2x 3 f x x 2x 3 f x 2x 2              
Δ3. Έστω y x    η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της
συνάρτησης f .

9. Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής http://lisari.blogspot.gr
Γ΄ Λυκείου 19– 05 – 2016
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team
5
 Υπολογίζουμε το  f 2
         
2
f 2 2 2 2 3 f 2 4 4 3 f 2 3              
Το ζητούμενο σημείο   2,f 2   είναι το  2, 3  
 Υπολογίζουμε το λ
Γνωρίζουμε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης λ της εξίσωσης της εφαπτομένης ισούται με την
παράγωγο της συνάρτησης ,δηλαδή
   f 2 2 2 2 2            
 Υπολογίζουμε το β
Αντικαθιστούμε στην y x    όπου x,y τις συντεταγμένες του σημείου Μ και λ το – 2
οπότε έχουμε:
 3 2 2 3 4 7               
Άρα η ζητούμενη εξίσωση της εφαπτομένης είναι η y 2x 7  
Δ4. A΄ τρόπος
Εφόσον τα σημεία 1 2 3 4 5, , , ,     ανήκουν στην ευθεία με εξίσωση
y 2x 7  
Οι συντεταγμένες τους θα την επαληθεύουν επομένως έχουμε :
1 1y 2x 7   (1)
2 2y 2x 7   (2)
3 3y 2x 7   (3)
4 4y 2x 7   (4)
5 5y 2x 7   (5)
H μέση τιμή των τετμημένων 1 2 3 4 5x ,x ,x ,x ,x δίνεται από τον τύπο
1 2 3 4 5x x x x x
x
5
   

όμως x 2 άρα:
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
x x x x x
2 x x x x x 10
5
   
      

10. Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής http://lisari.blogspot.gr
Γ΄ Λυκείου 19– 05 – 2016
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team
6
H μέση τιμή των τεταγμένων 1 2 3 4 5y ,y ,y ,y ,y δίνεται από τον τύπο
1 2 3 4 5y y y y y
y
5
   

Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (1),(2),(3),(4),(5) προκύπτει
         
 
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
2x 7 2x 7 2x 7 2x 7 2x 7
y
5
2 x x x x x 35
5
2 10 35
5
11
             

     

  

 
Β΄ τρόπος
Γνωρίζουμε ότι αν οι τιμές ενός δείγματος με μέση τιμή x πολλαπλασιαστούν με έναν αριθμό c
τότε η νέα μέση τιμή y μπορεί να υπολογιστεί απευθείας πολλαπλασιάζοντας την x με τον
αριθμός c, δηλαδή
y c x 
Γνωρίζουμε ότι αν στις τιμές ενός δείγματος με μέση τιμή x προσθέσουμε έναν αριθμό c τότε η
νέα μέση τιμή y μπορεί να υπολογιστεί απευθείας προσθέτοντας στην x τον αριθμός c, δηλαδή
y c x 
Επομένως από τις δεδομένες σχέσεις καταλαβαίνουμε ότι οι παρατηρήσεις 1 2 3 4 5x ,x ,x ,x ,x
πολλαπλασιάζονται με το – 3 και μετά προσθέτουμε τον αριθμό – 7 άρα με βάση τα παραπάνω
έχουμε :
y 2x 7 y 2 2 7 y 11          