Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος για το 3ο ΓΕΛ Πετρούπολης lisari.blogspot.gr

1. 13ο
ΓΕΛ Πετρούπολης – Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Προσαρμοσμένα Θέματα εξετάσεων 2016
με ύλη 2.6 - 27 (μονοτονία – ακρότατα).
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με
εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x0, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν
 f x  0 στο  α,x 0
και  f x  0 στο  x , β0
τότε να αποδείξετε ότι το είναι τοπικό μέγιστο της f.
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση   x
f x ,x
x
 

2
2
1
R.
B1. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως
φθίνουσα και τα ακρότατά της. Μονάδες 6
B2. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα σημεία ακροτάτων της f .
Μονάδες 9
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνάρτηση      x
f x e x , x
2
2
1 R.
Γ1. Να λύσετε την εξίσωση    f x ,x0 R . Μονάδες 4
Γ2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f  είναι γνησίως αύξουσα.
Μονάδες 4
Γ3. Να λυθεί η εξίσωση:        f ημx f ημx f x f x    3 3
όταν x  0 . Μονάδες 9
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο R , με
συνεχή δεύτερη παράγωγο, για την οποία ισχύει ότι:
•  f π π και  f R R
•


0x
f(x)
lim 1
ημx
•  
  f x x
e x f f x e   για κάθε και x  R .
Δ1. Να δείξετε ότι  f  0 1 .
Μονάδες 3
Δ2. α) Να δείξετε ότι η f δεν παρουσιάζει ακρότατα στο R . (μονάδες 4)
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R . (μονάδες 4)
Μονάδες 8
(50 μονάδες από δύο παραγράφους!!)