Τριγωνομετρικές εξισώσεις [2018]

Σελίδα 1 από 51
28/12/2017
ΑΓΓΕΛΟΣ ΠΑΠΑΙΩΑΝΝΟΥ - ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΜΑΥΡΟΦΡΥΔΗΣ – ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΑ
ΚΟΥΡΤΙΔΟΥ - ΣΩΤΗΡΙΟΣ ΤΣΑΝΤΙΛΑΣ – ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΙΦΑΚΗΣ
ΤΡΙΓ ΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ
ΕΞΙΣ ΣΕΙΣ
ΓΡΟΘΙΑ ΣΤΗΝ
ΜΕΤΡΙΟΤΗΤΑ
Knowledge you
should!
Yoda 28/12/2017
http://www.serifis.com/forum/viewtopic.php?f=24&t=227

ΠΡΟΛΟΓΟΣ
Μια ομάδα μαθηματικών, αποτελούμενη από τους Άγγελο Παπαϊωάννου, Βασίλη
Μαυροφρύδη, Κωνσταντία Κουρτίδου, Σωτήρη Τσαντίλα και Χρήστο Τσιφάκη
ετοίμασαν μια δουλειά πάνω στις τριγωνομετρικές εξισώσεις.
Όποιες αβλεψίες εμφανιστούν θα διορθωθούν στην επόμενη έκδοση της προσπάθειάς μας.
Ευελπιστούμε να δώσουμε και τις λύσεις όλων των ασκήσεων σε μεταγενέστερη έκδοση.
Ο τρόπος λύσης
είναι λογικό να μην είναι ομοιόμορφος,
αφού οι λύτες είναι διαφορετικοί.
Στόχος είναι να καλυφθούν όλοι οι μαθητές, τόσο οι αδύνατοι όσο και αυτοί που είναι
προχωρημένου επιπέδου. Τις απαιτήσεις του σχολείου τις καλύπτουν οι πρώτες εννιά
κατηγορίες εξαιρουμένης της 8ης αφού πρώτα εξαντληθούν οι ασκήσεις του σχολικού!
Η παράδοση της παραγράφου έχει μείνει συνειδητά εκτός συλλογής και αφήνεται στον
διδάσκοντα. Μια αναζήτηση στο διαδίκτυο θα επιστρέψει αρκετά σενάρια με φύλλα
εργασίας πάνω σε διαδραστική παράδοση με χρήση ΤΠΕ. Για πιο ολοκληρωμένη μελέτη
ο μέσος μαθητής μπορεί να δει και κάποιες συνδυαστικές. Οι υπόλοιπες ασκήσεις αφορούν
τους μαθητές που έχουν έφεση και αγάπη προς τα μαθηματικά Περιμένουμε τις
παρατηρήσεις σας.
Τέλος ευχαριστούμε τον Νίκο Ζανταρίδη για το υλικό που μας διέθεσε από μια
παρουσίαση του στα Ιωάννινα το 2017 με τίτλο
«H ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΥΠΗΡΕΣΙΑ
ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ-ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ»
Η συλλογή μπορεί να φωτοτυπηθεί ελεύθερα και να διανεμηθεί με τον ίδιο τρόπο
αναφέροντας πάντα την πηγή.
Δεκέμβριος 2017

ΠΕΡΙΕΧΌΜΕΝΑ
ΠΡΟΛΟΓΟΣ ........................................................................................................................................... 3
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ..................................................................................................................................... 5
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.................................................................................................... 6
ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 1 ........................................................................................................................................ 6
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ......................................................................................................... 7
ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 2 .................................................................................................................................... 8
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ......................................................................................................... 9
ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 3 .................................................................................................................................. 10
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ....................................................................................................... 11
ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 4 .................................................................................................................................. 12
ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 5 .................................................................................................................................. 14
ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 6 .................................................................................................................................. 16
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ...................................................................................................... 18
ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 7 .................................................................................................................................. 18
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ....................................................................................................... 20
ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8 .................................................................................................................................. 21
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ....................................................................................................... 22
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΟ ΔΙΠΛΑΣΙΟ ΤΟΞΟ............................................................................................... 24
ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 9 .................................................................................................................................. 24
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ....................................................................................................... 27
ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 10 ................................................................................................................................ 28
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ (ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ ΚΑΙ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ) ............. 30
Εκθετικές - τριγωνομετρικές...................................................................................................... 36
Λογαριθμικές –τριγωνομετρικές................................................................................................ 39
Τριγωνομετρικές και ακολουθίες .............................................................................................. 41
Αυξημένων απαιτήσεων ............................................................................................................ 44
ΠΗΓΕΣ ................................................................................................................................................. 46
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ - ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ..................................................................... 48

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Η επίλυση των τριγωνομετρικών εξισώσεων χρησιμοποιεί τις παρακάτω
ισοδυναμίες
 ημx ημθ x 2κπ θ ή x 2κπ π θ
συνx συνθ x 2κπ θ
π
ε x ε θ,x κπ x κπ θ
2
σ x σ θ,x κπ x κπ θ
                        
            
                            
                        
με κ Z .
Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις μπορούν να κατηγοριοποιηθούν κατά το
μεγαλύτερο μέρος τους.
Οι συνηθέστερες περιπτώσεις για να έχουμε περιορισμούς στον άγνωστο είναι
όταν ο άγνωστος βρίσκεται στο όρισμα της εφαπτομένης, συνεφαπτομένης,
ρίζας, λογαρίθμου και σε παρονομαστή κλάσματος.
ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 1
Θεμελιώδεις τριγωνομετρικές εξισώσεις
Μορφή ημx α,συνx α,  εφx α,σφx α  με α 0 .
Τεχνική: Αν α 1 προφανώς οι δύο πρώτες είναι αδύνατες. Γράφουμε το α ως
κατάλληλο τριγωνομετρικό αριθμό α ημθ,α συνθ,α εφθ,α σφθ    και έπειτα
έχουμε:
 ημx ημθ x 2κπ θ,2κπ π θ
συνx συνθ x 2κπ θ
π
εφx εφθ,x κπ x κπ θ
2
σφx σφθ,x κπ x κπ θ
                    
            
                    
                
με κ Z .
Παράδειγμα 1: Να λυθεί η εξίσωση:
π 3
ημ 2x
3 2
 
  
 
.
ΛΥΣΗ
Είναι
π 3 π π
ημ 2x ημ 2x ημ
3 2 3 3
   
        
   
π π
2x 2κπ
3 3
   ή
π π
2x 2κπ π
3 3
 
    
 
, κZ .

π
2συν x 3 0
1821
 
   
 
ΛΥΣΗ
Είναι
π π π 3
2συν x 3 0 2συν x 3 συν x 1
1821 1821 1821 2
     
              
     
αδύνατη.
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Ασκήσεις σχολικού βιβλίου από την παράγραφο 3.5 ομάδα Α: i iii i iii ii iii ii1,3,7 ,8 ,9 ,11  
1. Να λύσετε τις εξισώσεις
α)
π 1
συν x
4 2
 
  
 
β)
π
3εφ x 3 0
4
 
   
 
γ)
1
2
π
ημ x
3

 
 
 
δ)
π
ημ 2x
4
1 0
3
 
 
   
α)
1
1
2 συνx


β)
σφx 1 σφx 2
2
2 3
 
 
γ)
   εφ 2x 1 3 εφ 2x 11
3 2 6
 
  δ)
π π
ημ x 1 5 ημ x
6 6
1
3 4
   
      
    

Υποκατηγορία θεμελιωδών εξισώσεων
Μορφή ημx α,συνx α,εφx α,σφx α    με α 0 .
Τεχνική: Αν α 1  προφανώς οι δύο πρώτες είναι αδύνατες. Πρώτα αγνοούμε
το μείον και γράφουμε το α ως τριγωνομετρικό αριθμό κάποιας γωνίας πρώτου
τεταρτημορίου, δηλαδή
ημx ημθ
συνx συνθ
εφx εφθ
σφx σφθ
 
 
 
 
Έπειτα βάζουμε το μείον (-) μέσα στο όρισμα ΕΚΤΟΣ από το συνημίτονο
του οποίου το όρισμα γίνεται π θ , δηλαδή για τις παραπάνω εξισώσεις έχουμε
διαδοχικά
 
ημx ημθ ημx ημ( θ)
συνx συνθ συνx συν π θ
εφx εφθ εφx εφ( θ)
σφx σφθ σφx σφ( θ)
                
                
                
                
3
2
ημx
  .
ΛΥΣΗ
Αρχικά έχουμε
ημx 0 x 2κπ 0    και  x 2κπ π 0 x 2κπ     και
 x 2κ 1 π x λπ,λ    Z όπου λ 2κ ή λ 2κ 1  
Οπότε
3 3 π
2 2ημx 3 ημx ημx ημ
ημx 2 3
           
π π
ημx ημ x 2κπ
3 3
   
        
   
ή
π
x 2κπ π
3
  
      
  
π
x 2κπ
3
  ή
4π
x 2κπ ,κ
3
  Z οι οποίες είναι δεκτές (γιατί;)
Παράδειγμα 2: Να λυθεί η εξίσωση: 3 εφx 0 
ΛΥΣΗ
Αρχικά έχουμε ότι
π
x κπ ,κ
2
  Z .
Οπότε
π π
3 εφx 0 εφx 3 εφx εφ εφx εφ
3 3
 
            
 
οι αντικαταστάσεις εξηγούνται
από την αναγωγή στο πρώτο
τεταρτημόριο.
σε αυτό το βήμα δεν μπορούμε
να πάρουμε τύπους για το x

π π
x κπ x κπ ,κ
3 3
 
       
 
Z οι οποίες είναι δεκτές (γιατί;)
π 3
συν x
6 2
 
   
 
.
ΛΥΣΗ
Έχουμε
π 3 π π
συν x συν x συν
6 2 6 6
     
            
     
π π π π
συν x συν π x 2κπ π
6 6 6 6
     
             
     
2π
x 2κπ π ή x 2κπ ,κ
3
    Z
π
σφ 3x 1
3
 
   
 
ΛΥΣΗ
Αρχικά έχουμε:
π π κπ π
3x κπ 3x κπ x ,κ
3 3 3 9
        Z .
Οπότε
π π π π π
σφ 2x 1 σφ 2x σφ σφ 2x σφ
3 3 4 3 4
       
                  
       
π π π π π κπ π
2x κπ 2x κπ 2x κπ x , κ
3 4 3 4 12 2 24
 
               
 
Z
οι οποίες είναι δεκτές (γιατί;)
Ασκήσεις σχολικού βιβλίου από την παράγραφο 3.5 ομάδα Α: ii ii i2,4,7 ,8 ,9
α)
π
ημ 3x 2
3
 
   
 
β)
π
εφ x 3 0
6
 
   
 
γ)
1
1
συνx
  δ)  σφ 2x 1 0 
2. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε η εξίσωση  2 λ συνx λ 1  
να είναι αδύνατη.
3. Να λύσετε την εξίσωση  ημx σφ 2x συνx  

Εξισώσεις της μορφής
 2
α ημ x β ημx γ 0,α 0                     (1) όπου αντί για ημx μπορούσαμε να
έχουμε συνx,εφx ή σφx .
 2
α ημ x β συνx γ 0,α 0                     ή 2
α συν x β ημx γ 0,α 0                     (2)
 α εφx β σφx γ 0,α 0                     ή β 0 (3)
Τεχνική: Όλες οι παραπάνω μορφές επιλύονται με την βοήθεια εξισώσεων β΄
βαθμού
 Στην (1) θέτουμε  ημx y 1,1         και επιλύουμε την β΄ βαθμού που
προκύπτει. Ομοίως δουλεύουμε και για τους άλλους τριγωνομετρικούς
αριθμούς της περίπτωσης (1).
 Στην (2) χρησιμοποιούμε την ταυτότητα 2 2
ημ x συν x 1     ώστε με
κατάλληλη αντικατάσταση να προκύπτει εξίσωση της μορφής (1).
 Στην (3) χρησιμοποιούμε την ταυτότητα εφx σφx 1     ώστε με
κατάλληλη αντικατάσταση να προκύπτει εξίσωση της μορφής (1).
Παράδειγμα 1: Να λυθεί η εξίσωση 2
2ημ x ημx 1 0   . (μορφή 1)
ΛΥΣΗ
Έχουμε
   
2
2
1 9
2y y 1 0,Δ 9 y
2ημ x ημx 1 0 4
y ημx 1,1
y ημx 1,1
  
      
      
      
   
1 3 1
y y 1 ή y
4 2
y ημx 1,1 y ημx 1,1
  
    
  
       
π
ημx ημ
2
  ή
π
ημx ημ
6
 
π
ημx ημ
2
 
  
 
ή
π
ημx ημ
6
 
π
x 2κπ
2
  ή
π
x 2κπ π
2
 
   
 
ή
π
x 2κπ
6
  ή
π
x 2κπ π
6
 
    
 
π
x 2κπ
2
  ή
π
x 2κπ
6
  ή
5π
x 2κπ , κ
6
  Z
Παράδειγμα 2: Να λυθεί η εξίσωση: 2
2συν x 9 9ημx  . (μορφή 2)
ΛΥΣΗ
Έχουμε  
2 2
συν x 1 ημ x
2 2 2
2συν x 9 9ημx 2 1 ημ x 9 9ημx 2ημ x 9ημx 7 0
 
          
     
2 9 5 7
y y 1 απορ. ή y 12y 9y 7 0,Δ 25
4 2
y ημx 1,1
y ημx 1,1 y ημx 1,1
  
            
    
          

π π
ημx ημ ημx ημ
2 2
 
      
 
π
x 2κπ
2
 
   
 
ή
π
x 2κπ π
2
  
      
  
π
x 2κπ
2
  ή
ίδιες
λύσεις
3π π
x 2κπ x 2κπ ,κ
2 2
     Z .
Παράδειγμα 3: Να λυθεί η εξίσωση εφx 3 σφx 3 1   . (μορφή 3)
ΛΥΣΗ
π
x κπ
2
  και
κπ
x κπ x ,κ
2
   Z .
Οπότε
 
εφx σφx 1
21
εφx 3σφx 3 1 εφx 3 3 1 εφ x 3 3 1 εφx
εφx
 
            
     
2
2
2 y 3 1 y 3 0,Δ 3 1
εφ x 3 1 εφx 3 0
εφx y
      
     
 
y 3 ή y 1
εφx y
   


π
εφx εφ
3
  ή
π
εφx εφ
4
 
   
 
π
x κπ
3
  ή
π
x κπ ,κ
4
  Z
οι οποίες είναι δεκτές (γιατί;)
Ασκήσεις σχολικού βιβλίου από την παράγραφο 3.5 ομάδα Α: i10 11 , ομάδα Β : ii2
α) 2
ημ x 3ημx 2 0   β) 2
3συν x 4συνx 1 0  
γ)  2
3εφ x 1 3 εφx 1 0    δ) 2
3σφ x 4σφx 3 0  
α) 2
2συν x 5ημx 4 0   β) 2
ημ x 5συνx 5 0   γ) 2εφx 2σφx 3 
δ) 2 2
εφ x σφ x 2  ε) 2
4
9 13συνx 0
1 εφ x
  

στ)
2
4ημ x 3
0
2συνx 1



α) 4 2
2συν x 5συν x 4 0   β) 4 2
συν x 5συν x 4 0  
γ) 4 2
ημ x 5συν x 5 0   δ) 4 2
εφ x 4εφ x 3 0  

Μορφή
ημx συνy
ή
εφx σφy


. Προφανώς δεν μπορούμε να πάρουμε τύπους λύσεων ,
αφού δεν έχουμε ίδιο τριγωνομετρικό αριθμό στα μέλη.
Τεχνική: Αλλάζουμε τον ένα εκ των δύο τριγωνομετρικό αριθμό , δηλαδή
γράφουμε
π
ημx συν x
2
    
        
    
(για την πρώτη εξίσωση) και την
π
σφy εφ y
2
    
        
    
(για την δεύτερη εξίσωση).
Οπότε οι εξισώσεις μετασχηματίζονται στις
π
συν x συνy
2
ή
π
εφx εφ y
2
    
        
    
    
        
    
από όπου
επιλύονται εύκολα.
π
ημx συν x 0
4
 
   
 
(σχολική 1 β ομάδα)
ΛΥΣΗ
Έχουμε  
π π π
ημx συν x 0 συν x ημx συν x ημ x
4 4 4
     
                
     
 
π π π π
συν x συν x συν x συν x
4 2 2 4
       
                     
π π
x 2κπ x
2 4
 
    
 
3π
0x 2κπ , αδύνατη
4
π
ή x κπ ,κ
8
π
x κπ
8
 
    
 
Z .
π
εφ2x σφ 3x 0
3
 
   
 
(σχολική 1 β ομάδα)
ΛΥΣΗ
π κπ π
2x κπ x
2 2 4
    
και
π κπ π
3x κπ x ,κ
3 3 9
     Z .
Έχουμε
π π π π
εφ2x σφ 3x 0 εφ2x σφ 3x εφ2x εφ 3x
3 3 2 3
      
                
      

π π π
εφ2x εφ 3x 2x κπ 3x 5x κπ
6 6 6
κπ π
x ,κ
5 30
 
          
 
  Z
οι οποίες είναι δεκτές (γιατί;).
Ασκήσεις σχολικού βιβλίου από την παράγραφο 3.5 ομάδα Β : 1
α)    ημ 3x συν 2x β)  
π x
ημ 3x συν 0
4 3
 
   
 
γ)
π
συν 2x
3
1
π
ημ x
3
 
 
  
 
 
 
δ)
π
εφ 2x σφx 0
3
 
   
 
ε)
π
εφ 2x σφx 1
3
 
   
 
α) 2 2π
ημ x συν x
4
 
  
 
β)  2 2π
ημ x συν 2x 1
4
 
   
 
γ)    2 2
1 εφ x ημ 3x 1 

Εξισώσεις των οποίων η μορφή δεν ανάγεται σε κάποια από τις προηγούμενες
μορφές (συνήθως είναι τριγωνομετρικές παραστάσεις που περιέχουν γινόμενα
τριγωνομετρικών αριθμών).
Τεχνική: Φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος και κάνουμε
παραγοντοποίηση για να φτάσουμε στην μορφή ΓΙΝΟΜΕΝΟ = 0 (θυμόμαστε
ότι α β 0 α 0 ή β 0     ).
Παράδειγμα 1: Να λυθεί η εξίσωση: σφx συνx 1 σφx συνx   
ΛΥΣΗ
Αρχικά έχουμε x κπ,κ Z .
Είναι σφx συνx 1 σφx συνx σφx συνx 1 σφx συνx 0          
      σφx 1 συνx 1 συνx 0 1 συνx σφx 1 0         
ήσυνx 1 σφx 1    συνx συν0  ή
π
σφx σφ
4
 
 συνx συν π 0  ή
π
x κπ
4
  
x 2κπ π   ή
π
x κπ
4
  
x 2κπ π   ή
π
x κπ ,κ
4
  Z
όμως οι x 2κπ π,κ  Z απορρίπτονται λόγω περιορισμών, άρα
π
x κπ ,κ
4
  Z .
Παράδειγμα 2: Να λυθεί η εξίσωση: ημx συνx 4 4συνx ημx    .
ΛΥΣΗ
Έχουμε ημx συνx 4 4συνx ημx ημx συνx 4 4συνx ημx 0          
      ημx συνx 1 4 συνx 1 0 συνx 1 ημx 4 0        
συνx 1  ή ημx 4 1  αδύνατη 
συνx συνπ x 2κπ π   
ιδιες
λυσεις
x 2κπ π,κ   Z .
Επειδή σε αυτή την κατηγορία ασκήσεων γίνεται αρκετά συχνά λανθασμένη επίλυση την
παραθέτουμε με σκοπό την ανάδειξη του λάθους για διδακτικούς λόγους.
ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΗ ΕΠΙΛΥΣΗ:
4 4 4 4 0          x x x x x x x x       
 1x x   4 1 x 4 x αδύνατη. Επειδή διαγράψαμε, διαιρώντας, το
1x χωρίς να ξέρουμε αν είναι 0, χάσαμε μία ομάδα λύσεων.

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου από την παράγραφο 3.5 ομάδα Β : i2
1. Να λυθούν οι εξισώσεις
α) 2
2ημ x 3ημx 3 2ημx   β)
3 3
ημx εφx 3συνx
2 2
  
α)  
ημx
2 1 συνx
1 συνx
 

β) 3
2
1
εφ x 3εφx 4
συν x
  
α) 2
1
2εφx 0
συν x
  β)  1 2ημxσυνx 3 ημx συνx 0   

Μορφή: Εξισώσεις οι οποίες λύνονται σε διάστημα Δ. Όπου  Δ α,β ή  α,β ή
 α,β ή α,β .
Τεχνική:
1. Λύνουμε την εξίσωση και βρίσκουμε τους γενικούς τύπους λύσεων (για
παράδειγμα
π
x κπ
3
  ).
2. Τοποθετούμε την γενική λύση ανάμεσα στα άκρα του διαστήματος. Έτσι
δημιουργούμε μια ανίσωση ως προς τον ακέραιο κ
(για παράδειγμα  
π
x π,2π π x 2π π κπ 2π
3
        ).
3. Λύνουμε την παραπάνω ανίσωση ως προς κ (για
παράδειγμα
π 2 5
π κπ 2π κ
3 3 3
      ).
4. Βρίσκουμε τις ακέραιες λύσεις της παραπάνω ανίσωσης ,αφού κ ακέραιος
(για παράδειγμα
κ2 5
κ κ 1
3 3

   
Z
).
5. Αντικαθιστούμε ,αν υπάρχουν , όλες τις ακέραιες τιμές του κ στους
γενικούς τύπους λύσεων, από όπου βρίσκουμε τις ζητούμενες λύσεις (για
παράδειγμακ 1 οπότε 1
π 4π
x 1 π
3 3
    ).
Παράδειγμα : Να λυθεί η εξίσωση:
π
2συν 2x 1
3
 
  
 
στο διάστημα  4π,5π
(σχολική σελίδα 58)
ΛΥΣΗ
Έχουμε
π π 1 π π π π
2συν 2x 1 συν 2x συν 2x συν 2x 2κπ
3 3 2 3 3 3 3
     
                 
     
π π
2x 2κπ
3 3
   ή
π π
2x 2κπ
3 3
   
2π
2x 2κπ
3
  ή 2x 2κπ 
π
x κπ
3
  ή x κπ,κ Z
Όμως  
π
x 4π,5π 4π x 5π 4π κπ 5π
3
        ή 4π κπ 5π  
11π 14π
κπ
3 3
  ή
11 14
4 κ 5 κ
3 3
     ή 4 κ 5  
κ
κ 4

 
Z
(άρα έχουμε μοναδική λύση )
Η ζητούμενη λύση προκύπτει εάν αντικαταστήσουμε την τιμή του κ στον αντίστοιχο
τύπο γενικών λύσεων.

Για κ 4 : 1
π 13π
x 4 π
3 3
   
Ασκήσεις σχολικού βιβλίου από την παράγραφο 3.5 ομάδα Α: 12, 13 ομάδα Β : 3, 4, 5
1. Να λύσετε την εξίσωση συν η
π π
2x x,x 0,
3 2
μ
 
 
 
 

  

2. Να λύσετε την εξίσωση
 
 
ημ 5
1
x
x 2π,
ημ
0,
x

3. Να λύσετε την εξίσωση    x σφ 2x 1, 2εφ x 0, π  
4. Να λύσετε την εξίσωση 2
3ημx 3 2 xσυν  όταν x [0,2π)
5. Να λύσετε την εξίσωση  x 2 3 3σφx 0,xεφ 0,3π   
6. Να λύσετε την εξίσωση 2 2 π
συν ημ x
π π
2x ,x 0,
3
0
22
   
     

 
     

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ – ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ
Μορφή : Εξισώσεις που λύνονται με την βοήθεια των τύπων αθροίσματος και
διαφοράς
Τεχνική: Αξιοποιούμε τους τύπους
ημ(α β)=ημαiiii συνβ ημβiiii συνα για όλες τις γωνίες α,β
συν(α β)=συναiiii συνβ ημαiiii ημβ για όλες τις γωνίες α,β
εφα εφβ π
εφ(α β) με α,β,α β κπ ,κ Ζ
1 εφα εφβ 2

                    
iiii
σφα σφβ 1
σφ(α β) με α,β,α β κπ , κ Ζ
σφβ σφα
                

iiii
Παράδειγμα 1: Να λύσετε την εξίσωση:
π π
συν(x ) συν(x ) 1
4 4
   
ΛΥΣΗ
Η εξίσωση ορίζεται για κάθε x R και ισοδύναμα γράφεται:
π π π π π π
συν(x ) συν(x ) 1 συνx συν ημx ημ συνx συν ημx ημ 1
4 4 4 4 4 4
π 2 2 π
2 συνx συν 1 2 συνx 1 συνx συνx συν
4 2 2 4
π
x 2κπ ,κ Ζ
4
         
       
  
i i i i
i i i i
Παράδειγμα 2: Να λύσετε την εξίσωση:
π
ημx συν(x )
6
 
ΛΥΣΗ
Η εξίσωση ορίζεται για κάθε x R και ισοδύναμα γράφεται:
π π π 3 1
ημx συν(x ) ημx συνx συν ημx ημ ημx συνx ημx
6 6 6 2 2
3 3 3
ημx συνx ημx συνx (1)
2 2 3
      
  
i i i i
i i i
- -
 Aν συνx = 0 τότε από την (1) είναι και ημx = 0, αδύνατο λόγω της βασικής
τριγωνομετρικής ταυτότητας 2 2
ημ x συν x 1 

 Aν συνx 0 η (1)
δίνει:
π
ημ
π π π6ημx συνx ημx συν ημ συνx 0 ημ x ημ0
π 6 6 6συν
6
 
        
 
i i i
π π
x κπ x κπ ,κ Ζ
6 6
     
ΣΧΟΛΙΟ: Η εξίσωση λύνεται και χωρίς τη χρήση τύπων αθροίσματος ως εξής:
π π π
ημx συν(x ) συν( x) συν(x ) .........
6 2 6
     -
Παράδειγμα 3: Λύστε την εξίσωση:
π
εφx εφ(x ) 2
4
   -
ΛΥΣΗ
Για να ορίζονται οι εφx, εφ
π
x
4
 
 
 
πρέπει και αρκεί
π π
x, x κπ
4 2
   δηλαδή
π π
x κπ , κπ , κ Ζ
2 4
    . Η εξίσωση συνεπώς ορίζεται στο σύνολο
π π
Α x R / x κπ , x κπ
2 4
 
      
 
Για κάθε x A η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται
2 2
π
εφx εφ
εφx 14εφx 2 εφx 2 εφx (1 εφx) εφx 1 2 2 εφx
π 1 εφx1 εφx εφ
4
εφx εφ x εφx 1 2 2 εφx 0 εφ x 3 εφx 3 ή εφx 3
π π π
εφx εφ ή εφx εφ x κπ , κ Ζ
3 3 3


                
 
             
 
       
 
Οι λύσεις είναι δεκτές γιατί ανήκουν στο σύνολο Α.
Παράδειγμα 4: Να λύσετε στο [0,π] την εξίσωση:
π π
εφ( x) εφ( x) 2 3
4 4
   
ΛΥΣΗ
Η εξίσωση ορίζεται όταν
π π π π
x κπ και x κπ
4 2 4 2
    - δηλαδή στο σύνολο
Α=
π
{x R / x κπ }
4
  
 Αν
π
x
2
 για κάθε x A η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται:

π π
εφ εφx εφ εφx
1 εφx 1 εφx4 4 2 3 2 3
π π 1 εφx 1 εφx
1 εφ εφx 1 εφ εφx
4 4
 
 
     
 
 i i
2 2 2 2
(1 εφx) (1 εφx) 2 3(1 εφ x) ..... 3εφ x 2 3εφx 3 0          
x [0,π]
3 2π π
εφx 3 ή εφx x ή x λύσεις δεκτές αφού Α.
3 3 6

      
 Αν
π
x
2
 η εξίσωση δεν επαληθεύεται.
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
Ασκήσεις σχολικού βιβλίου από την παράγραφο 3.6 ομάδα Α: 11 ομάδα Β :3,8
1. Αν εφα=3 λύστε την εξίσωση ημ(α+x) = 2ημ(α – x) στο διάστημα [– π,π]
2. Αν
1
εφα
3
 λύστε την εξίσωση εφ(x + α) = 2
3. Λύστε την εξίσωση
π π
σφ x σφ x 2 3
4 4
   
      
   
4. Nα λυθεί η εξίσωση (ημx – συνx)(ημ3x – συν3x) = 1 – ημ4x
5. Να λύσετε τις επόμενες εξισώσεις:
π 3
α) εφ x σφx 1 β) συν2x συνx ημ2x ημx
4 2
π π π
γ) 3 ημx συν x δ) ημ x 2 ημ x
3 6 2
π π
ε) ημ x 6συνx ημ x
4 4
 
       
 
     
           
     
   
      
   
3 εφx 3 εφ2x
1 3εφx 1 3εφ2x
 

 
7. Να λύσετε την εξίσωση 2 2π 3
ημ x συνx συν(x x) 0
3 2
 
    
 

Γραμμικές τριγωνομετρικές εξισώσεις (εγκυκλοπαιδικά)
Μορφή αημx+βσυνx = γ όπου 2 2
α,β,γ R και α β 0   . Θα ασχοληθούμε
με την περίπτωση που ισχύει α β γ 0   .
Τεχνική:
Α τρόπος: Διαιρούμε με τον συντελεστή του ημιτόνου και εντοπίζουμε την
κατάλληλη εφαπτομένη γωνίας που εκφράζει τον συντελεστή του συνημιτόνου.
Έπειτα αντικαθιστούμε την εφαπτομένη με το πηλίκο ημίτονο προς συνημίτονο.
Τέλος πολλαπλασιάζουμε με το συνημίτονο και σχηματίζουμε στο πρώτο μέλος
ημίτονο αθροίσματος ή διαφοράς. Έτσι έχουμε μια βασική εξίσωση.
Σχηματικά:
β γ γ β
αημx βσυνx γ ημx συνx ημx εφθ συνx , όπου εφθ
α α α α
ημθ γ β γ
ημx συνx , όπου εφθ ημx συνθ ημθ συνx συνθ,
συνθ α α α
β γ β
όπου εφθ ημ(x θ) συνθ , όπου εφθ
α α α
         
         
    
Σχόλιο: Η τελευταία εξίσωση είναι μια βασική και λύνεται κατά τα γνωστά
Για να έχει όμως λύση θα πρέπει :
2 2 2
2
22 2 2 2
2
2
2 2 2
2 2
γ γ γ 1 γ 1
συνθ 1 συν θ 1 1 1
βα α α 1 εφ θ α
1
α
γ
1 γ α β
α β
           


   

Β τρόπος: Διαιρούμε με 2 2
α β και χρησιμοποιούμε τύπους αθροίσματος
διαφοράς
Παράδειγμα 1: Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 3ημx συνx 2  
β) 2ημx 3συνx 4 
ΛΥΣΗ
α)
1 2 π 2
3ημx συνx 2 ημx συνx ημx εφ συνx
63 3 3
            

π π 2 π π 2
ημx συν συνx ημ συν ημ x
6 6 6 6 23
π π π π π π
ημ x ημ x 2κπ ή x 2κπ π
6 4 6 4 6 4
π 17π
x 2κπ ή x 2κπ , κ Ζ
12 12
 
           
 
   
              
   
    
β) Η εξίσωση είναι αδύνατη γιατί δεν ικανοποιείται η συνθήκη
2
2 2 2 2 2
γ α β 4 3 3 16 12      
Παράδειγμα 2: Να λύσετε την εξίσωση: συνx – ημx = 1
ΛΥΣΗ
Είναι 2 2 2 2
α β 1 1 2    και η εξίσωση γίνεται:
1 1 1 2 2 2
συνx ημx συνx ημx
2 2 22 2 2
π π 2 π π
συν συνx ημ ημx συν x συν
4 4 2 4 4
π π π
x 2κπ x 2κπ ή x 2κπ ,κ Ζ
4 4 2
     
 
      
 
       
Παράδειγμα 3
: Να λύσετε την εξίσωση:  συν7x ημ5x 3 συν5x ημ7x  
ΛΥΣΗ
Έχουμε  συν7x ημ5x 3 συν5x ημ7x   
συν7x 3ημ7x ημ5x 3συν5x
1 3 1 3
συν7x ημ7x ημ5x συν5x
2 2 2 2
π π π π
συν συν7x ημ ημ7x συν ημ5x ημ συν5x
3 3 3 3
π π π π π
συν 7x συν 5x x κπ x κ ,κ
3 6 12 6 24
   
   
       
   
            
   
Z
Ασκήσεις σχολικού βιβλίου από την παράγραφο 3.9 ομάδα Α: 4 ομάδα Β : 4
1. Να λυθούν οι επόμενες γραμμικές εξισώσεις:
α) 3ημ4x συν4x 2 0
β) ημx συνx 2 0
γ) 3ημ3x συν3x 2
  
  
  

2. Nα λύσετε την εξίσωση ημ2x + συν2x = ημx + συνx όταν  x 0,2π
x
ημx συνx σφ 3
2
   αφού πρώτα αποδείξετε ότι είναι
γραμμική.
4. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τον άξονα
x’x αν  f(x) 3 1 συν5x ημ5x , x [0,2π]   
5. Δίνεται η εξίσωση 3συνx ημx 2λ , λ Ζ  
Α) Να βρεθούν οι θετικές ακέραιες τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει
λύση
Β) Στη συνέχεια να λυθεί η εξίσωση για τις τιμές του λ που βρήκατε.
π π
εφ ημx σφ συνx
2 2
   
   
   

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ – ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΟ ΔΙΠΛΑΣΙΟ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΟ ΔΙΠΛΑΣΙΟ ΤΟΞΟ
Μορφή: Οι εξισώσεις αυτές περιέχουν διαφορετικά τόξα που μπορούν να
γίνουν ίσα με διαδοχικούς διπλασιασμούς ή υποδιπλασιασμούς.
Τεχνική : Προσπαθούμε να φτιάξουμε ίσα τόξα και ίδιο τριγωνομετρικό
αριθμό (αυτό δεν είναι πάντα εφικτό). Χρήσιμοι είναι οι παρακάτω τύποι
ΠΙΝΑΚΑΣ Α
ΑΠΟ ΤΟΞΟ ΠΗΓΑΙΝΟΥΜΕ
ΣΤΟ ΜΙΣΟ ΤΟΥ
ΕΙΔΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ
ΤΥΠΩΝ
     
 
 2
ημ τόξο 2ημ μισό συν μισό
2εφ μισό
1 εφ μισό



 
 
2
2
2
ημ 2α 2ημασυνα
2εφα
1 εφ
α α
ημα 2ημ συν
2 2
α
2εφ
2
α
1 εφ
2
ημ 2ημ2ασυν2α
2εφ2α
1 εφ
α
4α
2α









     
 
 
 
 
2 2
2
2
2
2
συν τόξο συν μισό ημ μισό
2συν μισό 1
1 2ημ μισό
1 εφ μισό
1 εφ μισό
    
    
    



  2 2
2
2
2
2
συν 2α συν ημ
2συν 1
1 2ημ
1 εφ
1 εφ
α α
α
α
α
α
    
    
    



2 2
2
2
2
2
συνα συν ημ
2συν 1
1 2ημ
1 εφ
1 εφ
α α
2 2
α
2
α
2
α
2
α
2
    
    
    




  2 2
2
2
2
2
συν 4α συν ημ
2συν 1
1 2ημ
1 εφ
1 εφ
2α 2α
2α
2α
2α
2α
    
    
    



 
 
 2
2εφ μισό
εφ τόξο
1 εφ μισό


 
 
2
2
2
2εφα
εφ 2α
1 εφ
2εφ
εφα
1 εφ
2εφ2α
εφ 4α
1 εφ
α
α
2
α
2
2α






ΠΙΝΑΚΑΣ Β (ΤΥΠΟΙ ΑΠΟΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΥ)
ΑΠΟ ΤΟΞΟ ΠΗΓΑΙΝΟΥΜΕ
ΣΤΟ ΔΙΠΛΑΣΙΟ ΤΟΥ
ΕΙΔΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ
ΤΥΠΩΝ
 
 2 1 συν διπλάσιο
ημ τόξο
2


 
2
2
2
1 συν2α
ημ
2
ημ
ημ
1 συνα
2
1 συν4α
2α
2
α
α
2






 
 2 1 συν διπλάσιο
τόξο
2
συν


 
2
2
2
1 συν2α
2
1 συνα
συν
2
1 συν4α
2α
2
συν α
α
2
συν






 
 
 
2 1 συν διπλάσιο
εφ τόξο
1 συν διπλάσιο



2
2
2 1 συν2α
1 συν2α
1 συνα
εφ
1 συνα
1 συν4α
εφ α
1 συν4α
εφ α
α
2
2










Παράδειγμα 1: Να λύσετε την εξίσωση: 2
4ημ x συν2x 5 
ΛΥΣΗ
Σχόλιο: Θα μετατρέψουμε την x σε 2x με τους τύπους αποτετραγωνισμού η την
2x σε x με τους τύπους διπλασίου τόξου.
2 1 συν2x
4ημ x συν2x 5 4 συν2x 5 2 2συν2x συν2x 5
2
π
3συν2x 3 συν2x 1 συν2x συνπ 2x 2κπ π x κπ , κ Ζ
2

          
             
Παράδειγμα 2: Να λύσετε την εξίσωση: 2 x
συν2x 2ημ 0
2
 
ΛΥΣΗ
Σχόλιο: Θα μετατρέψουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών 2x,
x
2
σε τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x.
 
2 2 2x 1 συνx
συν2x 2ημ 0 2συν x 1 2 0 2συν x συνx 0
2 2
1 π π
συνx 2συνx 1 0 συνx 0 ή συνx συνx συν ή συνx συν
2 2 3
π π
x κπ ή x 2κπ ,κ Ζ
2 3

          
         
    
Παράδειγμα 3: Να λύσετε την εξίσωση: ημ2x 2εφx
ΛΥΣΗ
Η εξίσωση ορίζεται για
π
x κπ ,κ Ζ
2
   και ισοδύναμα γίνεται:
   
2
2 2 2
3
ημx
ημ2x 2εφx 2ημx συνx 2 ημx συν x ημx
συνx
ημx συν x ημx 0 ημx συν x 1 0 ημx ημ x 0
ημ x 0 ημx 0 x κπ ,κ Ζ
        
           
     
Παράδειγμα 4: Να λύσετε την εξίσωση: 4 4x x 5
ημ συν
3 3 8
 
ΛΥΣΗ
Χρησιμοποιούμε τις ταυτότητες:  
22 2
α β α β 2αβ   
ημ2x
ημx συνx
2
 
και έχουμε:
2
4 4 2 2 2 2x x 5 x x x x 5
ημ συν ημ συν 2 ημ συν
3 3 8 3 3 3 3 8
 
         
 

2 2 2
x x 5 1 2x 5 1 2x 3
1 2 ημ συν 1 2 ημ ημ
3 3 8 2 3 8 2 3 16
     
                 
     
1 2x 3 1 2x 3 2x 3 2x 3
ημ ή ημ ημ ή ημ
2 3 4 2 3 4 3 2 3 2
         
2x π 2x π 2x π 2x π
ημ ημ ή ημ ημ 2κπ ή 2κπ π
3 3 3 3 3 3 3 3
π
x 3κπ ή x 3κπ 2π , κ Ζ
2
   
             
   
    
Ασκήσεις σχολικού βιβλίου από την παράγραφο 3.7 ομάδα Α: 7,10 ομάδα Β : 6
1. Να λυθούν οι εξισώσεις:
2
2
α)συν2x 3ημx 2 β) 2ημ x 1 ημ3x γ) 2ημx συν2x 1
δ) ημ2x 1 συν2x ε) ημ2x συν x στ) 4συν2x 6συνx 1
     
    
2. Nα λυθούν οι εξισώσεις:
   
2 2
2
x
α) εφx εφ2x 3 β) 2 ημ x 2ημ γ) ημ2x 2εφx
2
x
δ)2ημx 5συν2x 1 3ημ2x ε) ημx συνx 1 συνx στ)1 συνx 2συν
2
     
       
α) 2
συν 2x 6ημxσυνx 3 0   β) συν4x 5ημ2x 2 0  
γ)  
22
συν 2x 2 ημx συνx 3ημ2x 3 0     δ) 2 x
συν2x 3συνx 4συν
2
 
4. Nα λυθούν οι εξισώσεις:
4 4
2 4 4
x x 1 π
α) ημ συν β) 4ημ2x 3συν2x 3 , x ( ,π)
2 2 2 2
x
γ)1 συνx ημx ημ δ) 1 ημ2x 2 συν2x
2
x x x 7π 1
ε) εφx ημx 2ημ , x [0,2π] στ) ημ ημ
2 2 2 2
    
     
 
     
 
5. Να λύσετε την εξίσωση ημ8x 8ημx
6. Να λύσετε την εξίσωση 2 2
συν6x εφ x συν6x εφ x 1,     x 0,2π .
α) 4 4 1
ημ x συν x ημ2x
2
   β) 4 4x x
ημ συν 1 2ημx
2 2
  
γ)  4 4 π
2 ημ x συν x συν 2x 0
2
 
    
 
δ) 6 6
ημ x συν x συν4x 

Ομογενείς τριγωνομετρικές εξισώσεις(εγκυκλοπαιδικά)
Θα περιοριστούμε σε αυτές με μορφή
2 2
α ημ x β ημx συνx γ συν x δ,α 0                            
Τεχνική:
Α τρόπος: Πρώτα γράφουμε  2 2
δ δ 1 δ ημ x συν x            
Έπειτα δείχνουμε ότι συνx 0 και διαιρούμε με 2
συν x , έτσι η
εξίσωση μετασχηματίζεται σε εξίσωση κατηγορίας 3.
Β τρόπος: Χρησιμοποιούμε τους τύπους
2 21 συν2x 1 συν2x
ημ x , συν x , 2ημxσυνx ημ2x
2 2
    
        
και η εξίσωση ανάγεται σε γραμμική εξίσωση
Παράδειγμα: Να λύσετε την εξίσωση: 2 2
ημ x 2 3ημxσυνx συν x 3   
(σχολική άσκηση 1 σελίδα 155)
ΛΥΣΗ
Σύμφωνα με τον α τρόπο έχουμε
 
2 2
2 2 2 2
ημ x 2 3ημxσυνx συν x 3
ημ x 2 3ημxσυνx συν x 3 ημ x συν x
    
     
     2 2
1 3 ημ x 2 3ημxσυνx 1 3 συν x 0 : 1    
Με συνx 0 η εξίσωση  1 δίνει    2
1 3 ημ x 2 3 0 1 3 0 0 ημx 0        
που είναι αδύνατο αφού 2 2 2 2
ημ x συν x 0 0 0 1     επομένως είναι συνx 0 και
διαιρώντας με 2
συν x έχουμε
     
2 2
2 2 2 2
ημ x ημxσυνx συν x 0
1 1 3 2 3 1 3
συν x συν x συν x συν x
      
       
εφx y
2 2 2
1 3 εφ x 2 3εφx 1 3 0 1 3 y 2 3y 1 3 0,Δ 2

            
 
2
2εφx
εφ2x
1 εφ x
2 3 2 3 1 π
y y 1 ή y 2 3 εφx εφ ή εφx 2 3
41 32 1 3
π 3 π π π π
x κπ ή εφ2x x κπ ή εφ2x εφ x κπ ή x κπ ,κ
4 3 4 6 4 12


 
          

            Z
Σύμφωνα με τον β τρόπο έχουμε
2 2 1 συν2x 1 συν2x
ημ x 2 3ημxσυνx συν x 3 3ημ2x 3
2 2
3 1 3
3ημ2x συν2x 3 ημ2x συν2x
2 2 2
 
         
     

π π π π π
ημ ημ2x συν συν2x συν συν 2x συν
3 3 6 3 6
π π
x κπ ή x κπ ,κ
4 12
 
        
 
    Z
1. Να λύσετε την εξίσωση  2 2
ημ x 1 3 ημxσυνx 3συν x 0   
2. Να λύσετε την εξίσωση     2
3 1 ημxσυνx 1 3 συν x 1 0    
3. Να λύσετε την εξίσωση 2 2
3ημ x 3ημxσυνx 2συν x 1   όταν 2ημx συνx
4. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού μ ώστε η εξίσωση
2
3ημ x 4ημxσυνx μ 0   να έχει τουλάχιστον μία λύση.
5. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού μ ώστε η εξίσωση
2 2
(2μ 1)ημ x 4ημxσυνx συν x 4μ    να μην είναι αδύνατη.
6. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού κ ώστε η εξίσωση 2
x κημ(2ημ x) 3 
να είναι αδύνατη

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ – ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
(ΣΕ ΌΛΗ ΤΗΝ ΎΛΗ ΚΑΙ ΑΠΌ ΠΡΟΗΓΟΎΜΕΝΕΣ
ΤΆΞΕΙΣ)
1. Να λύσετε την εξίσωση:
5
4ημ2θ συν2θ 13εφ2θ
συν2θ
   , 0 θ 2π 
Υπόδειξη: Απαλοιφή παρονομαστών και σχήμα Horner
Απ.:
1
ημ2θ
2

2. Να λύσετε την εξίσωση: 2
(ημ2x συνx)(ημx συνx) 2συν x   όταν
π
x 0,
2
 
 
 
.
ΛΥΣΗ
Έχουμε
2
(ημ2x συνx)(ημx συνx) 2συν x   
2
(2ημxσυνx συνx)(ημx συνx) 2συν x   
(2ημx 1)(ημx συνx) 2συνx   
2 2
2 2 2 2
x x x x
2εφ 2εφ 1 εφ 1 εφ
2 2 2 22 1 2
x x x x
1 εφ 1 εφ 1 εφ 1 εφ
2 2 2 2
  
   
       
     
  
4 3 2
4 2 3 2
2 2 2 2
2 2
2 2
x
εφ
2
x x x x
3εφ 6εφ 8εφ 2εφ 3 0
2 2 2 2
x x x x x
3εφ εφ 6εφ 2εφ 9εφ 3 0
2 2 2 2 2
x x x x x
εφ 3εφ 1 2εφ 3εφ 1 3 3εφ 1 0
2 2 2 2 2
x x x
3εφ 1 εφ 2εφ 3 0
2 2 2
x 1 x x
εφ ή εφ 2εφ 3 0,Δ 8 0
2 3 2 2
     
      
     
           
     
  
      
  
       
x π
0,
2 4
0
 
 
 

x π
0,
2 4
x 3 x x π π
εφ εφ εφ x
2 3
π
2 2 6 36
 
 
 
      
3. Να λύσετε την εξίσωση:    2 4
2 7 ημ2x ημ x 7 ημ2x ημ x 0    
ΛΥΣΗ
       
     
2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 7 ημ2x ημ x 7 ημ2x ημ x 0 2 7 ημ2x ημ x ημ x 1 0
2 7 ημ2x ημ xσυν x 8 7 ημ2x 4ημ xσυν x 8 7 ημ2x ημ 2x
          
        
Horner
3 2
ημ 2x 7ημ 2x 8 0      2
Δ 32,S 8,P 8 αδύνατη
ημ2x 1 ημ 2x 8ημ2x 8 0 0
  
 
      
 
π
ημ2x 1 x κπ ,κ
4
    Z

4. Να λύσετε την εξίσωση:    ημ π x συν π 2 x 
5. Δίνεται η εξίσωση: 2 23 3
ημ x (λ 1)ημx λ λ 0
4 2
     , να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η
εξίσωση να έχει λύση.
ΛΥΣΗ
Θέτουμε y ημx και η εξίσωση γίνεται : 2 23 3
y (λ 1) y λ λ 0 (1)
4 2
    
2 2
2 2 2 2
3 3
για να΄χει λύση η (1) αρκεί Δ 0 (λ+1) 4( λ λ) 0
4 2
λ 2λ 1 3λ 6λ 0 4λ 4λ 1 0 (2λ 1) 0
      
           
2
1
(λ 1) (2λ 1) λ 1 2λ 1 λ 2
y
2 1 2 2
        
  

2
2
(λ 1) (2λ 1) λ 1 2λ 1 3λ
y
2 1 2 2
        
  

όμως y ημx και ημx 1 1 ημx 1     
λ 2 λ 2
άρα για y έχουμε 1 1 2 λ 2 2 0 λ 4
2 2
 
           
3λ 3λ 2 2
για y έχουμε 1 1 2 3λ 2 λ
2 2 3 3
 
            
2 2 2
οπότε λ [0,4] , ,4
3 3 3
   
          
6. Αν συν(x+y) + συν(x y) = 2 να βρεθούν τα x ,y  » .
ΛΥΣΗ
συν(x+y) 1
ως γνωστόν : συν(x+y) + συν(x y) 2
συν(x y) 1
 
   
  
συν(x+y) 1
αν συν(x+y) + συν(x y) < 2
συν(x y) < 1
συν(x+y) < 1
αν συν(x+y) + συν(x-y) < 2
συν(x-y) 1
 
  
 
 
 
 
συν(x+y) < 1
αν συν(x+y) + συν(x y) < 2
συν(x y) < 1
 
  
 
συν(x+y) = 1 x y 2κπ,κ
από τα άνω συμπεραίνουμε ότι :
συν(x y) = 1 x y 2λπ,λ
     
   
      
»
»
2x 2κπ 2λπ x (κ λ)π
y (κ λ)π
    
 
7. Να βρείτε τα κ, λ ώστε η παράσταση
2 2 3π 13π
Α λ ημx μ ημ(5π x) 2λσυν( x) συν(x )
2 2
      

να ‘ναι ανεξάρτητη του x.
Υπόδειξη : μετά πράξεων καταλήγουμε ότι 2 2
Α (λ μ 2λ 1) ημx     για να είναι ανεξάρτητη
του x η παράσταση πρέπει 2 2
λ μ 2λ 1 0 ......λ 1 και μ=0     
8. Αν οι ρίζες της εξίσωσης 2 2
9x 9λx 2(λ 1) 0    είναι 1
1
x
ημθ
 και 2x σφθ με
π
0 < θ <
2
, να βρείτε το λ.
ΛΥΣΗ
1 2 1 2
2 2
1 2
9λ 1
x x x x λ + σφθ = λ (1)
9 ημθ
2(λ 1) 1 2(λ 1)
και x x σφθ= (2)
9 ημθ 9

      
 
   
Προσέξτε ότι :
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
(1)
1 ημ θ συν θ ημ θ συν θ 1
1 σφ θ σφ θ 1
ημ θ ημ θ ημ θ ημ θ ημ θ
1 1 1 1
σφθ 1 σφθ σφθ 1 λ σφθ 1
ημθ ημθ ημθ ημθ
1 1
σφθ , λ 0
ημθ λ

       
     
                
     
  
Σχόλιο : εάν λ = 0 τότε η εξίσωση  2 2
9x 9λx 2 λ 1 0    γίνεται 2
9x 2 0  , που είναι
αδύνατη στο R .
2
2
2
2 2
2
1 2 1 1 λ 1
σφθ λ λ
ημθ ημθ λ ημθ 2λ
Αρα
1 1 1 λ 1σφθ σφθ λ σφθ λ
ημθ λ ημθ 2λ
1 λ 1
(3)
λ 1 λημθ 2λ
οπότε απο (2),(3),(4) έχουμε :
2λλ 1
σφθ (4)
2λ
     
        
     
      
                    
 
    
  
 
  
2
2
λ 1 0
1 2(λ 1)
2λ 9  

 
2
2 2 2
2
λ 1 2
9λ 9 8λ λ 9 λ 3
4λ 9

        
2
2
1 3 1 10 5 π 4
για λ = 3, έχουμε 0 δεκτή (0 < θ < ) και σφθ =
ημθ 2 3 6 3 2 3
1 ( 3) 1 10 5 π
για λ= 3, έχουμε 0 απορρίπτεται (0 < θ < )
ημθ 2 ( 3) 6 3 2

   

 
      
 
Τελικά δεκτή λύση για το λ είναι το 3.
9. 2 2 π
Αν κ ημx + ημ x 1 και λ συνx + συν x 1 με x κ π και x κ π+ , κ
2
        »
αx2
+ βx + γ = 0, α ≠ 0
τύποι Vieta
1 2 1 2
β γ
x x , x x
α α
    

4 2 2 4
3 3 3 3
να δείξετε ότι : κ λ κ λ 1   
10. Δείξτε ότι δεν υπάρχει γωνία ω τέτοια ώστε
1
συνω λ , λ 0
λ
  
Υπόδειξη : υποθέτουμε ότι υπάρχει τέτοια γωνία ω και ισχύει συνx 1 κ.ο.κ.
11. Αν η εξίσωση 2 2
(1 συνθ) x (1 συν θ) x (1 συνθ) συνθ 0         , έχει δύο ρίζες ρ1,
ρ2 να δείξτε ότι 1 2 1 2ρ ρ ρ ρ 1   
12. Αν η εξίσωση: 2 2 2 2 2
x (εφ θ ημ θ) x εφ θ ημ θ 0      έχει δύο ρίζες ρ1, ρ2 δείξτε ότι:
1 2 1 22(ρ ρ ) ρ ρ 0.   
13. Αν κ ακέραιος δείξτε ότι οι τιμές της παράστασης
κπ
εφ
3
είναι όλες διαφορετικές μεταξύ
τους.
ΛΥΣΗ
κπ
Έστω ότι οι τιμές της παράστασης εφ δεν είναι όλες διαφορετικές μεταξύ τους .
3
Τότε υπάρχουν ακέραιοι λ, ν με λ ν τέτοιοι ώστε :
λπ νπ λπ νπ
εφ εφ ρπ , ρ
3 3 3 3
λπ νπ λπ
Αυτό είναι ΑΤΟΠΟ γιατί : ρπ
3 3 3

    
  
»
νπ λ ν
ρπ ρ
3 3
λ ν
3 (ρητός =άρρητος)
ρ
κπ
άρα όλες οι τιμές της παράστασης εφ είναι διαφορετικές μεταξύ τους.
3

    


14. Αν κ ακέραιος δείξτε ότι οι τιμές της παράστασης
κπ
συν
3
είναι όλες διαφορετικές μεταξύ
τους.
15. Αν x R τέτοιο ώστε 2
εφ π (x 1) εφ(π x) (1)      , δείξτε ότι το τριώνυμο
  2
F x x x 1   παίρνει μόνο ακέραιες τιμές.
Υπόδειξη : ξεκινήστε από τη (1) εργαστείτε όπως ξέρετε και θα έχετε το ζητούμενο)
16. Να προσδιορισθούν οι , R  ∈ , όταν για κάθε x R∈ ισχύει:
π 5π
2κσυν(π x) λημ( x) συν( x) λημ( x) 0 (1)
2 2
       
Υπόδειξη : αφού η (1) ισχύει για κάθε x R , τότε θα ισχύει και
για x = π … x = 0 ………και βρίσκουμε κ=1/2, λ =1.
17. Να λυθεί η εξίσωση:  ημ x 3 ημx 2 
Απάντηση : η εξίσωση είναι αδύνατη.
18. Να λυθεί η εξίσωση: 2
2
(x 1)π 1
2συν x , x 0 (1)
3 x

  

ΛΥΣΗ
2 2 2
2 2
(x 1)π (x 1)π
x 0, έχουμε : συν 1 2συν 2
3 3
1 1 1 1
ως γνωστόν : (x ) 0 x 2 x 0 x 2
x x x x
 
    
          
2
2
2
2 2
2 2
2 2
άρα οι λύσεις της (1) είναι οι λύσεις του συστήματος :
(x 1)π
2συν 2 (2)
3
1
x 2 (3)
x
1 1 1
(3) x 2 x 2 0 x 0
xx x
1
x 0 x 1 0 x 1 x 1
x
για x = 1 η (2) γίνεται
 
  
 
  
  
   
             
   
         

( 1 1)π 2π
2συν 2 2συν( ) 2
3 3
2π 1
συν 1 1 άτοπο.
3 2
(1 1)π
για x = 1 η (2) γίνεται: 2συν 2 2συν0 2 1 1 αληθές.
3
 
    
   

    
Τελικά η λύση της (1) είναι η x = 1.
19. Να λυθεί η εξίσωση:
(2x 1)π 1
2ημ x , x > 0
2 x

 
Υπόδειξη :
2
1 1
x 0 ... x 2
xx
 
      
 
20. Να λυθεί η εξίσωση: ημx συν(x 5) 2 
Απ.: η εξίσωση είναι αδύνατη
21. Αν η παράσταση Α 3ημx λσυνx 1   είναι ανεξάρτητη του x, να λυθεί η εξίσωση
λημx 3 (2λ 3) συνx   
Υπόδειξη : αφού η παράσταση Α είναι ανεξάρτητη του x, σημαίνει ότι όποια τιμή και να βάλουμε στο
x,
η τιμή της θα είναι ίδια. Οπότε για x=0 έχουμε Α = λ – 1 και για x = π/2 έχουμε Α=2.
Τελικά λ – 1 = 2 τότε λ=3. Αντικατάσταση στην εξίσωση και ….x=2κπ+π/2 ή x=2κπ+π, κ є Ζ.
22. Αν η παράσταση Α λημx συνx 3λ   είναι ανεξάρτητη του x, να λυθεί η εξίσωση
λ 1
λημx 2 συνx
2

 
23. Αποδείξτε ότι η εξίσωση ημx(ημx συνx) α  , έχει λύσεις όταν και μόνο όταν ισχύει:
1 2 1 2
α
2 2
 
 
ΛΥΣΗ

2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
2
ημx(ημx συνx) α ημ x ημxσυνx α 1 ημ x ημxσυνx α(ημ x συν x)
ημ x ημxσυνx αημ x ασυν x 0 (1 α)ημ x ημxσυνx ασυν x 0 (1)
έαν συνx 0 τότε η (1) γίνεται :
1 2 1 2
(1 α)ημ x 0 τότε 1 α 0 α 1 [ , ]
2 2
( το ημ x 0
          
         

 
      

2 2 2 2
ημx 0, διότι αν υποθέσω ότι ημx 0 και έχοντας ότι και συνx 0,
γνωρίζοντας ότι x ισχύει ημ x συν x 1 έχουμε 0 0 1, ΑΤΟΠΟ)
   
     »
2
2 2
2
2 2 2
2 2
2
α
,
1 2 1 2
,
2 2
άρα συνx 0 διαιρώντας την (1) με συν x 0 γίνεται :
ημ x ημxσυνx συν x
(1 α) α 0 (1 α)εφ x εφx α 0 (2)
συν x συν x συν x
η (2) έχει λύσεις όταν Δ 0 1 4(1 α)( α) 0 4α 4α 1 0 α
Δ 4 4 ( 4) 1
 
 
        
 
              
 
    
1
2
32 0 ( 32 16 2 4 2)
4 4 2 4(1 2) 1 2
α
2( 4) 2( 4) 2
1 2
α
2
    
    
  
 



Εκθετικές - τριγωνομετρικές
2 2 2
x x xσυν 2ημ 2συν
16 4 40
 
Υπόδειξη :
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
συν x 2ημ x 2συν x 1 ημ x 2ημ x 2(1 ημ x)
1 ημ x 2ημ x 2(1 ημ x) 2(1 ημ x) 2(1 ημ x)
2(1 ημ x) 2(1 ημ x) 2 2ημ x 2 2ημ x
16 4 40 16 4 40
16 4 40 4 4 40
4 4 40 4 4 40 (1)4 4
   
    
  
     
      
       
Θέτω x x 22 22ημ 2ημ 16
16ω+ 40 16ω 16 40ω
ω
1
4 ω ( 0) άρα 4 και η (1) γίνεται
ω

      
2 1
2ω 5ω 2 0 πολ/σιασα με
16
 
     
 
……………
βρίσκω ω=2 και ω =1/2 αντικαθιστώ στον μετασχηματισμό και ……
2 2
x xημ συν
4 4 4
25 25 5
   
    
   
Υπόδειξη :
2
ημ x συν2x
4 2
θέτω ω ή ω
25 5
   
    
   
2x π 2x π
ημ συν 1 ημx
4 411 2 9 7 4
5 5 50 4 10
 

   
    
   
Υπόδειξη :
2x π 2x π
ημ συν 1 ημx
4 4
1
(ημx 1)
2
11 2 9 7 4
(1)
5 5 50 4 10
1
κάνουμε χρήση :2ημασυνβ=ημ(α+β)+ημ(α-β) ημασυνβ= (ημ(α+β)+ημ(α-β))
2
2x π 2x π 1 π 1
ημ συν (ημx ημ ) (ημx 1)
4 4 2 2 2
11 2 9
οπότε η (1) γίνεται :
5 5
 


   
    
   

 
   
 
 
 
1
2
1 2
( 2
1
2
1
2
1 ημx) (ημx 1) 1 ημx
(ημx 1) 1 ημx
(ημx 1)
7 2 11 2 9 7 2
50 4 5 5 5 50 4 5
11 2 9 7 2
(2)
5 5 50 4 5
2 11
θέτω y και η (2) γίνεται : y
5 5
  
 

                            
      
               
  
     
9 7
y...........
50 4
 
2 5x
ημ
21 2συν5x
2 16 9
 
 
 
 
 
Υπόδειξη :
2
2
2
5x
ημ
21 2συν5x
.
1 συν2x
2 16 9 (1) κάνουμε χρήση:ημ x
2
5x
1 συν2
5x 1 συν5x2ημ ( )
2 2 2
 
 
  
  


 

2 2
2
1 συν5x
4 2(1 συν5x)2συν5x 2συν5x 2συν5x 2συν5x21
2συν5x 2συν5x 1
και η (3) 2κ+4 9 2κ 4 9κ 2κ 9κ 4 0
κ
.....................................................
(1) 2 2 2 9 2 2 2 9 2 2 2 2 9 (3)
1
θέτω 2 κ 2 :
κ

  


        
           
  
.....
x x2 22συν ημ2x 1 ημ2x 2ημ
3 283  
 
Υπόδειξη :
2 2
2 2
x x
1 2
2 2 1 συν2x ημ2x 1 ημ2x 1 συν2x
συν2x ημ2x (συν2x ημ2x)
2συν ημ2x 1 ημ2x 2ημ
1 συν2x
κάνουμε χρήση : ημ x 2ημ x 1 συν2x
2
1 συν2x
συν x 2συν x 1 συν2x
2
3 3 28 3 3
3 3 3 3 28
28    
  
  

   

   

   
   
συν2x ημ2x (συν2x ημ2x)
(2)
1 9
θέτω 3 κ 3 και η (2) 3κ+ 28
κ κ
  
    
22 x 2συν 2ημx 1
(εφ x) (σφ x) 

Υπόδειξη :
1
x
x
 

( ) 1
 x
x x
 
Υπόδειξη :
2
2 1
1 σφ x=
ημ x

x2 3x 10
x 3
συν 2 1
x2
4συν
2
 
  
ΛΥΣΗ
x
2
2 3x 10
x 3
συν 2 1 (Ι)
x2
4συν
2
x x π
Περιορισμοί 4συν 0 2κπ x 4κπ π,κ
2 2 2
και x 3x 10 0 x 5 x 2
 
  
       
       
»
2x 3
συν 2 1 τότε η (Ι) δίνει
x2
4συν
2
Διακρίνω περιπτώσεις :
α) x 3x 10 0 x 5 x 2
(δεκτές ικανοποιούνται οι περιορισμοί)
          

2 2
2
2
x 3
συν 2 1
x2
4συν
2
x 3 x 3
β) συν 2 1 (2) συν 2 1 (3)
x x2 2
4συν 4συν
2 2
x x x x x
(2) 4συν 8συν 3 4συν 4συν 4συν 1 4 0
2 2 2 2 2
x x x
2συν 1 2 0 2συν 1 2 2συν 1 2 0
2 2 2
          
         
     
              
     
x x 3
2συν 3 0 συν 1 (αδύνατο)
2 2 2
x x 1 x π
2συν 1 0 συν συν συν (4)
2 2 2 2 3

      

      

*
x π 2π
(4) 2κπ x 4κπ ,κ
2 3 3
2π
για κ = 0 έχουμε x= [2, ) δεκτή
3
2π
για κ = 0 έχουμε x = ( , 5] [2, )
3
2π 2π
οπότε δεκτές λύσεις x 4κπ , κ , x 4κπ ,κ
3 3
      
 
     
     
»
» »
2 2
2 2
2 2
2
2
x 3
η (3) : συν 2 1
x2
4συν
2
x x x x x
4συν 8συν 3 4συν 4συν 12συν 3 0
2 2 2 2 2
x x x
2συν 2 2συν 3 3 3 3 0 2συν 3 12 0
2 2 2
x x x
2συν 3 (2 3) 0 2συν 3 2 3 2συν 3 2 3 0
2 2 2
x 3
συν
2
    
        
   
              
   
     
               
     

 
2 3
1 (αδύνατη)
2
x 3 2 3
συν
2 2

 


  
x 3 2 3 3 2 3
επίλυση της συν , 0 < 1 , οπότε υπάρχει μοναδικό
2 2 2
π 3 2 3
φ (0, ) έτσι ώστε συνφ =
2 2
x x
συν συνφ 2λπ φ,λ x 4λπ 2φ,λ δεκτές είναι εκείνες
2 2
οι λύσεις που ικανοποιούν τους περιορισμούς.
   
 
 

        » »
Μέσα από τους περιορισμούς
προκύπτουν τα λ που ικανοποιούν την x = 4λπ 2φ. »

32. Να λύσετε την εξίσωση x2ημ
2 συνx
ΛΥΣΗ
2 2
2
2 2
2
2
x 1 συν x συν x
συν x
2 2 2 συν x 1 συν x
x x
συν x
συν x
2
2 2
ημ
ημ ημ
2
2 συνx 2 συνx συνx 2 2 συνx (2)
2
συνx 1 συνx 1 συν x 1 2 2 2 2
(2 συνx, 2 0 συνx 0, αλλοιώς η εξίσωση δεν έχει νόημα)
2 2
Αρα 2 συνx 2 (3)
συνx 1

       
        
   
 
  
 
2
συνx 0
συν x 2
από (2) και (3) έχουμε :2 2 συν x 1 συνx 1 x κπ,κ

       »
Λογαριθμικές –τριγωνομετρικές
33. Αν ημx 0 να λύσετε την εξίσωση 4ημx 2ημx
(2ημx) (4ημx)
ΛΥΣΗ
4ημx 2ημx 4ημx 2ημx
(2ημx) (4ημx) log(2ημx) log(4ημx)
4ημx log(2ημx) 2ημx log(4ημx) 2ημx (log2 log ημx) ημx (log4 logημx)
2ημx log 2 2ημx log ημx 2ημx log 2 ημx log ημx
ημx log ημx 0 ημx 0 απορ. ή logημx 0
ημx
   
         
       
     
π π
1 ημx ημ x 2κπ ,κ
2 2
      Z
2 23(log ημx) log (1 συν2x) 2  
ΛΥΣΗ
2
περιορισμοί: ημx > 0
και 1 συν2x > 0 1 συν2x 2ημ x 0 προφανώς ισχύει    
2
2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
οπότε : 3(log ημx) log (1 συν2x) 2 3(log ημx) log 2ημ x 2
3(log ημx) log 2 log ημ x 2 3(log ημx) log 2 2log ημx 2 (1)
      
      
2 2
2
1 2
Θέτω log ημx κ και η (1) 3κ 2κ l 2 0 3κ 2κ 1 0
1
Δ 16 0 και κ και κ 1
3
         
    
1
2
1 π
για κ= 1 log ημx 1 ημx 2 ημx ημx ημ
2 6
π π 5π
x 2κπ x 2κπ π =2κπ+ με κ
6 6 6
ελέγχουμε τον περιορισμό ημx > 0

          
      »

π π 5π 5π π π
ημ(2κπ ) ημ 0 και ημ(2κπ ) ημ ημ(π ) ημ 0
6 6 6 6 6 6
οπότε δεκτές.
      
1
3 33
2
1 1
για κ= log ημx ημx 2 2......(η 2 αντιστοιχεί σε κάποια γωνία θ...)
3 3
    
ημx(log συνx) 1
Υπόδειξη :
   2
1
ημχ ημx ημx
περιορισμοί : ημx > 0 ημx 1 συνx > 0
(log συνx) 1 log συνx 1 (1) log συνx 1 (2)
1 1
(2) συνx (ημx) συνx ημx συνx 1 ημ2x 1
ημx 2
ημ2x 2 αδύνατο.
(1) συνx ημx.............

  
     
        
 
 
36. Να λύσετε την εξίσωση        log ημ2x log ημx log συν2x log συνx 2log 2   
Υπόδειξη :
       
1
log ημ2x log ημx log συν2x log συνx 2log 2 (1)
περιορισμοί : ημ2x > 0 ημx > 0 συν2x > 0 συν2x > 0 (Π )
ημ2x ημ2xσυν2x 4συν2x
(1) log log log 4 log log
ημx συνx ημx συνx
ημ2x ημ2x 4ημx4συν2x
εφ2x
ημx συνx συν2x συνx
   
  
    
     2
2 2
2εφx
4εφx 4εφx 0
1 εφ x
1 1
2εφx 2 0 εφx 0 2 0
1 εφ x 1 εφ x
........ λύνουμε, ελέγχουμε τους περιορισμούς και βρίσκουμε τις αποδεκτές λύσεις.
   

 
        
  
x x
π π
εφ εφ 3
8 8

   
   
   

Υπόδειξη :
x x
π π
εφ εφ 3 (1)
8 8

   
   
   

x x
χ 1 2
π
εφ κ
8
χ x x
π
θέτω εφ κ και η (1) κ κ 3 0 (2)
8
1
θέτω κ λ 0 και η (2) λ λ 3 0 λ 3 0 λ 3λ 1 0
λ
3 13 3 13
Δ 13, λ= λ= 0 (μη δεκτή)
2 2
3 13
log
3 13 3 13 3 13 2οπότε κ λ κ log κ log x log κ log x
π2 2 2
log εφ
8



    
             
 
  

  
        

εφ(πx) 1 εφ(πx)
3 3 2
 
Υπόδειξη :
 
εφ(πx) 1 εφ(πx)
εφ(πx)
εφ(πx)
3 3 2 (1)
3
συν πx 0, Θέτω 3 = κ > 0 και η (1) γίνεται : κ 2
κ
............................κ 3 κ = 1(μη δεκτή)
κ 3 3 =3........................

 
  
  
 
εφ5x
| ημ3x | 1
Τριγωνομετρικές και ακολουθίες
40. Θεωρούμε τους αριθμούς ημx , 2ημx, 3ημx , το x μετριέται σε
rad και  x π,2π .
α) Να δείξετε ότι οι πιο πάνω αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι
αριθμητικής προόδου για κάθε τιμή του x.
β) Έστω (αν) η πρόοδος που σχηματίζεται . Αν α1=ημx και το
άθροισμα των 10 πρώτων όρων της προόδου είναι
55
2
 , να
βρείτε τις τιμές που παίρνει η γωνία x.
ΛΥΣΗ
α) αρκεί να δείξουμε ότι :
2 2ημx ημx 3ημx 4ημx 4ημx, ισχύει.    
οπότε έχουμε Α.Π
β) έχουμε ημx , 2ημx, 3ημx διαδοχικοί όροι Α,Π με α1 = ημx ,άρα α2 = 2ημx και
ω 2ημx ημx ημx  
 
10
2ημx (10 1)ημx 55 1 π
S 10 5 11 ημx ημx ημx ημ
2 2 2 6
   
              
 
π π π π 7π
x 2κπ 2κπ ή x 2κπ π 2κπ π 2κπ , κ
6 6 6 6 6
    
                  
    
»
π π π
όμως π x 2π π 2κπ 2π π 2κπ 2π+
6 6 6
          
7π 13π 7 13
2κπ κ , κ κ 0
6 6 12 12
       »
π π π π 11π
x 2κπ και κ = 0, άρα x= όμως το - αντιστοιχεί στο 2π-
6 6 6 6 6
που είναι αποδεκτή λύση.
   
Όμοια εργαζόμαστε και για την άλλη λύση
7π
π x 2π π 2κπ 2π ....
6
      
και βρίσκουμε κ = 0 οπότε
7π
x =
6
αποδεκτή λύση.
Τρεις αριθμοί α, β, γ
αποτελούν διαδοχικούς
όρους μιας αριθμητικής
προόδου, όταν και μόνο
όταν ισχύει : 2β = α + γ
Το άθροισμα των ν
πρώτων όρων Α.Π. με
διαφορά ω
1
ν
[2α (ν 1)ω]
S
2
 
 

41. Θεωρούμε την ακολουθία (αν) με όρους
3εφx 5εφx
εφx, ,2εφx, ,3εφx,
2 2
1
π
....όπου x κπ+ , κ
2
α εφx και x γωνία σε rad.
  

»
α) Να δείξετε ότι πρόκειται για αριθμητική
πρόοδο της οποίας να βρείτε τη διαφορά συναρτήσει
του x.
β)Να βρείτε συναρτήσει του ν και του x τον νιοστό όρο της
αν.
γ)Αν 102α 11, να βρείτε το άθροισμα των 10 πρώτων όρων της και τις τιμές του x.
Απ.: α)
εφx
ω
2
 β) ν
εφx
α (ν 1)
2
  γ) 10
65 π
S και x = κπ+ ,κ
2 4
 »
42. α) Να δείξετε ότι οι αριθμοί
π
συνx,ημx,εφx ημx (x κπ+ , κ )
2
  »
είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής
προόδου.
β) Θεωρούμε ως (αν) την γεωμετρική
πρόοδο του α) ερωτήματος για την
οποία ισχύει ότι : λ=  1 , με 1α συνx
και λ το λόγο της προόδου.
Να βρείτε τις τιμές του x και το
άθροισμα 1 2 3α α α  για την
μικρότερη τιμή του 1α .
43. Θεωρούμε την γεωμετρική πρόοδο
1,συνx,συν2
x,… η οποία έχει λόγο το
1
2
 και πρώτο όρο το 1.
α) να βρείτε την γεωμετρική πρόοδο και τη
γωνία x που μετριέται σε rad και ανήκει
στο διάστημα
π
,π
2
 
  
β) να υπολογίσετε το άθροισμα των 9
πρώτων όρων της προόδου και τον
όγδοο όρο της συναρτήσει δυνάμεων
του 2.
Απ.: α)
2π
x
3
 ,
1 1
Γ.Π :1, ,
2 4

44. α) Να δείξετε ότι οι αριθμοί 2
ημx, ημ2x, 4συν x ημx είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής
προόδου (αν).
Αριθμητική πρόοδος (Α.Π) ονομάζουμε μια
ακολουθία αν κάθε όρος της προκύπτει από
τον προηγούμενό του με πρόσθεση του
ίδιου πάντοτε αριθμού. Τον αριθμό αυτόν
τον συμβολίζουμε συνήθως με ω και τον
λέμε διαφορά της προόδου.
αν+1 = αν + ω,  αν+1 - αν = ω
αν = α1 + (ν–1)ω, ν ϵ
Ν*
Μια ακολουθία αριθμών α1, α2, …, αν, αν+1, … θα
λέμε ότι αποτελεί γεωμετρική πρόοδο τότε και
μόνο τότε αν υπάρχει ένας αριθμός λ, ώστε να
ισχύει : αν+1 = αν . λ, για κάθε ν = 1, 2, …
Ο αριθμός λ αποκαλείται λόγος της
γεωμετρικής προόδου.
Σε μια γεωμετρική πρόοδο υποθέτουμε
πάντα ότι α1  0 οπότε αφού είναι και λ  0
ισχύει ότι και αν  0 για κάθε ν ϵ Ν
*
Σχόλιο
Όταν δίνεται μια ακολουθία και θέλουμε να
δείξουμε ότι είναι Γ.Π αρκεί να δείξουμε ότι ο
λόγος δύο οποιονδήποτε διαδοχικών όρων της
παραμένει σταθερός δηλ. α
ν+1
/α
ν
=……=σταθ.
Χρήσιμα.
α. Ο νιοστός όρος μιας γεωμετρικής προόδου
με πρώτο όρο α1 και λόγο λ
δίνεται από τον τύπο:
ν 1 *
ν 1α α λ , ν
  »
β. Γεωμετρικός Μέσος
Τρεις αριθμοί α, β, γ αποτελούν διαδοχικούς
όρους μιας γεωμετρικής προόδου, όταν και
μόνο όταν ισχύει :
2
β α γ 
γ. Άθροισμα ν- Όρων Γεωμετρικής Προόδου
Το άθροισμα Σν των ν πρώτων όρων μιας
γεωμετρικής προόδου
είναι
ν
ν 1
λ 1
s α για λ 1
λ 1

  

ν 1s α ν , για λ=1 

β) Έστω ότι η πρόοδος του άνω ερωτήματος έχει όλους τους όρους της διάφορους του
μηδενός και ισχύει ότι :
2
1
3 3
α ημx , και ημx+ημ2x+4συν x ημx
2 2
   
Να βρείτε το άθροισμα 1 2 3 4 5α α α α α   
Υπόδειξη για το β. (φυσικά υπολογίζεται και διαφορετικά)
3
ημx
2
2 2 23 3 3
ημx+ημ2x+4συν x ημx +ημ2x+4συν x ημx ημ2x+4συν x ημx 0
2 2 2

       
2 3
4 5α α (4 συν x ημx) 2συνx (8 συν x ημx) 2συνx ...         
1 2 3 4 5
3
α α α α α
2
    
45. Θεωρούμε την ακολουθία των αριθμών (αν) 2 4 6
11,εφ x,εφ x,εφ x,...ώστε α 1
α) Να αποδείξετε ότι η πιο πάνω ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος.
β) Να βρείτε συναρτήσει του ν και του x το νιοστό όρο της αν, ν Ν *
γ)
π
Αν x = κπ , κ
3
 » να βρείτε τον α6 και το άθροισμα των α3, α4, α5, α6.
ΛΥΣΗ
α) Παρατηρούμε ότι :
2 4 6
2
2 4
εφ x εφ x εφ x
εφ x λ
1 εφ x εφ x
    ,
οπότε έχουμε Γ.Π με 1o όρο 1 και λόγο εφ2
x
β) ν 1 2 ν 1 2ν 2 2ν 2
ν 1 να α λ α 1 (εφ x) εφ x (εφx)   
      
γ) Αν
π
x = κπ , κ
3
 » , τότε
π π
εφ(2ρπ ) εφ 3, κ=2ρ, ρ
π 3 3
εφ(κπ )
π π π3
εφ(2ρπ+π ) εφ(π ) εφ 3, κ=2ρ+1, ρ
3 3 3
 
       
   
        
  
»
»
π
άρα εφ(κπ ) 3
3
  
      
52 6 2 10 2
2ν 2 5
ν 6α (εφx) α 3 3 3 3
 

        
2 2
λ εφ x ( 3) 3   
4 6 8 10
3 4 5 6
2 2 2 3 2 4 2 5
2 3 4 5
α α α α εφ x εφ x εφ x εφ x
(εφ x) (εφ x) (εφ x) (εφ x)
3 3 3 3 9 27 81 243 360
       
   
       
Σχόλιο : ο τρόπος λύσης είναι ενδεικτικός, δεν είναι μοναδικός
46. Θεωρούμε την εξίσωση 3 2
2x 3x 3x 2 0,    δύο ρίζες της οποίας είναι το ημα και το
συνβ με
π
α,β ,π
2
 
  
. Να βρείτε:
α) το ημ(α+β)
β) την εφ2α

γ) το ημ3α
Απ.: 2
1 3 2εφα
ημα 1, συνβ= - οπότε .....συνα=0 και ημβ= εφ2α και ημ3α=ημ(2α+α)=........
2 2 1 εφ α
 

Αυξημένων απαιτήσεων
1. Να λύσετε την εξίσωση  
22
1 ημ x 2ημx 
2. Να λύσετε την εξίσωση  
4
1 ημx 7ημx 2  
3. Να λύσετε την εξίσωση 4 2 4
ημx συν x 2συν x 1 συν x ημx 0     
4. Ας είναι 1 2x ,x διαφορετικές ρίζες της εξίσωσης ασυνx βημx γ  . Να υπολογίσετε την
1 2x x
εφ
2

. Υπόδειξη: Αντικατάσταση Weierstrass
x
t εφ
2

5. Συμμετρικές εξισώσεις ως προς ημx και συνx των οποίων τα μέλη εκφράζονται με την
βοήθεια των παραστάσεων x συνx,συνημ x ημx  .
Επειδή
2 2 π
συνx ημx 2 συνx ημx 2συν x
2 2 4
   
           
και
2π π
συν 2x 2συν x 1
ημ2x 2 4
x συνx
2
η
2
μ
2
   
     
      
αντικαθιστώντας έχουμε μια εξίσωση που περιέχει μόνο το
π
συν x
4
 
 
 
.
Αλλιώς μπορούμε να θέσουμε συνx ημx ω,ω 2, 2      και επειδή
 
2
συνx ημx 1 2συνx ημx    είναι
2
ω 1
συνx ημx
2

  και έπειτα να βρούμε το ω
κτλ.
Να λύσετε τις εξισώσεις
α) 2
2x (ημx συνx 2)ημ2x 2(ημx συνx 1) 0ημ       
β) ημημx συνx 3 xσυνx 1 0   
γ)      3 3
4 ημx συνx 2 ημ x συν x 2 xημ22    
6. Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού λ δεν είναι αδύνατη η εξίσωση :
α)  συνx ημx λ συνx ημx 0    ,
β)
1 1
συνx ημx εφx σφx λ
συνx ημx
     
α) 3 3 3
x συν3x συν x ημ3x μημ η 4x   
β) 2 3
συν10x 2συν 4x 6συν3xσυνx συνx 8συνxσυν 3x   
8. Να λύσετε την εξίσωση    8ημx 2ημx συν 2x 3συν 2x 9 0    

9. Να λύσετε την εξίσωση   2 2
2ημ x 2 3ημxσυνx 1 9 4συν x 4συνx 40    
10. Να λύσετε την εξίσωση  2
ημx συνx ημx συνx 2ημ x,x 0,2π    
11. Να λύσετε την εξίσωση  1 συνx
2
εφx
σφx log συνx log 2 ηµ 2x 1
2
                
12. Να λύσετε την εξίσωση 2017 2017 x 1 x 1
x xσ η 2ν 2υ μ   
  
13. Να λύσετε την εξίσωση    
1
16 πx πx 16ημ συν x
x
 
14. Να λύσετε την εξίσωση ν ν
xυν 1σ ημ x  , με ν θετικό ακέραιο.
15. Να λύσετε την εξίσωση (ημx 3συνx)ημ4x 2 
2 2
(π x) (ημ συ π xν ) 2 1
4 4 8x 12 | x |
2
 
    
17. Βρείτε την μικρότερη τιμή του θετικού ακεραίου αριθμού α ώστε η εξίσωση
   2 3πx
συ
πx π
π(α x) 2 π(α x) 2 0
2α 2α
ν συν συν σ
3
υν     

 





να έχει τουλάχιστον μία
λύση.
18. Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης
α)      ημ ημx συν συνx ,x 0,2π  ,
β)        ημ ημ ημx συν συν συνx ,x 0,2π 
1
2
2|x| 1 1
2 εφx εφx
2 2

   
20. Να λύσετε την εξίσωση 4 1 3x 7
4συν x συν2x συν4x συν .
2 4 2
    Υπόδειξη
3x
cos2x cos 2
4
 
συν(3x) συν(5x) συν(7x)
0
ημ(2x) ημ(4x) ημ(4x) ημ(6x) ημ(6x) ημ(8x)
  
  
ημ(3x)
2
ημ(2x)

23. Να λύσετε την εξίσωση 3 316ημ x 14 ημx 7  
2 2
sin x cos x
2 2 cos2x  . Υπόδειξη: άτοπο
π x π 2 x
ημ συν 2
4 4

  . Υπόδειξη: άτοπο
26. Να λύσετε την εξίσωση 2 2 2 2 π
ημ2x x x 2xσυνxσυνx x 0,
2
ημ ,
 
    
.Υπόδειξη: άτοπο
1 1 1 1
συνx ημ4x ημ8x ημ2x
   .
28. Να λύσετε την εξίσωση  2 1
9x 9x 2 ημ πx
2
  
29. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει τιμή του πραγματικού αριθμού x που να επαληθεύει και
τις δύο παρακάτω εξισώσεις
x
x
2 1 2ημx
2 1 2συνx
  

 
(Canadian Repêchage 2010: Problem 3)

Τριγωνομετρικές εξισώσεις [2018]

Τριγωνομετρικές εξισώσεις [2018]

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Τριγωνομετρικές εξισώσεις [2018]

Similar a Τριγωνομετρικές εξισώσεις [2018] (20)

Más de Μάκης Χατζόπουλος

Más de Μάκης Χατζόπουλος (20)

Último

Último (10)

Τριγωνομετρικές εξισώσεις [2018]