3ο ΓΕΛ Ν. Κηφισιάς αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com

1. Αποκλειστικό στα lisari.blogspot.com
Μαθητής: Κωνσταντίνος Κασσωτάκης από το 3ο ΓΕΛ Ν. Κηφισιάς
Καθηγητής: Το τριώνυμο 2
αx βx γ,α 0
+ +  για Δ 0
 έχει δύο ρίζες άνισες. Ποιες Κωνσταντίνε;
Κωνσταντίνος: Οι αριθμοί 1
β Δ
x
2α
− −
= και 2
β Δ
x
2α
− +
=
Καθηγητής: Σωστά! Γνωρίζουμε τη διάταξή τους;
Κωνσταντίνος: Δηλαδή;
Καθηγητής: Ποια είναι η μικρότερη και ποια είναι μεγαλύτερη ρίζα από τις δύο.
Κωνσταντίνος: Όχι!
Καθηγητής: Μα γιατί; Η πρώτη ρίζα έχουμε στον αριθμητή β Δ
− − , ενώ στη δεύτερη λύση έχουμε στον αριθμητή β Δ
− + , άρα δεν είναι
λογικό να ισχύει 1 2
x x
 ;
Κωνσταντίνος: Θέλετε να σας δώσω περιπτώσεις που τη μία φορά θα έχουμε τον αριθμό 1
x μικρότερο και την άλλη το 1
x μεγαλύτερο;
Καθηγητής: Ναι θέλω!
Κωνσταντίνος: Ας πάρουμε α β Δ 1
= = = που βγαίνει 1 2
x 1 x 0
= −  = .
Καθηγητής: Δηλαδή την περίπτωση που υποστηρίζω! Μου χρωστάς την περίπτωση 1 2
x x
 !
Κωνσταντίνος: Μην βιάζεστε! Όλα θα γίνουν!
Καθηγητής: Είμαι ανυπόμονος!
Κωνσταντίνος: Για α 1
= − και β Δ 1
= = έχουμε 1 2
x 2 x 0
=  = .
Καθηγητής: Τέλεια!

2. Αποκλειστικό στα lisari.blogspot.com
Μαθητής: Κωνσταντίνος Κασσωτάκης από το 3ο ΓΕΛ Ν. Κηφισιάς
Κωνσταντίνος: Άρα έχω δίκιο! Δεν μπορούμε να συμπεράνουμε τη διάταξη των αριθμών 1 2
x ,x !
Καθηγητής: Μπορείς να μου αποδείξεις ότι 1 2
x x
 αν και μόνο αν α 0
 ;
Κωνσταντίνος: Εύκολα!
Καθηγητής: Για να σε δω!
Κωνσταντίνος: Θαυμάστε με! Παίρνουμε τη ζητούμενη σχέση και έχουμε ισοδύναμα:
( )
2α 0
1 2
β Δ β Δ
x x β Δ β Δ 0 2 Δ
2α 2α
 
− − − +
    − −  − +   που ισχύει
Καθηγητής: Κα – τα – πλη – κτι – κός! Ολοκλήρωσε την απόδειξή σου και για α 0
 .
Κωνσταντίνος: Ανάλογα, παίρνουμε τη ζητούμενη σχέση και έχουμε ισοδύναμα:
( )
2α 0
1 2
β Δ β Δ
x x β Δ β Δ 0 2 Δ
2α 2α
 
− − − +
    − −  − +   που ισχύει
Καθηγητής: Μετά από την εύστοχη παρατήρηση σου θα τροποποιήσω τα πινακάκια προσήμου του τριωνύμου ως εξής για α 0
 :
x − 1
β Δ
x
2α
− −
= 2
β Δ
x
2α
− +
= +
α + + +
1
x x
− − + +
2
x x
− − − +
( )( )
2
1 2
α
αx βx γ x x x x
+ + = − − + − +

3. Αποκλειστικό στα lisari.blogspot.com
Μαθητής: Κωνσταντίνος Κασσωτάκης από το 3ο ΓΕΛ Ν. Κηφισιάς
Κωνσταντίνος: Να προσπαθήσω για α 0
 ;
Καθηγητής: Εννοείται!
Κωνσταντίνος:
x − 2
β Δ
x
2α
− +
= 1
β Δ
x
2α
− −
= +
α − − −
1
x x
− − + +
2
x x
− − − +
( )( )
2
1 2
α
αx βx γ x x x x
+ + = − − − + −
Καθηγητής: Άφωνος!
Κωνσταντίνος: Αυτά είναι παιχνίδια για μένα!
Καθηγητής: Μπορούμε τελικά να γενικεύσουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμων του τριωνύμου για α 0
 και Δ 0
 ;
Κωνσταντίνος: Χμμμ δύσκολο μου ακούγεται…
Καθηγητής: Πρέπει να παρατηρήσεις το πρόσημο του α (πρώτη γραμμή) και το πρόσημο του τριωνύμου (τελευταία γραμμή). Θα σε βοηθήσουν και τα
χρώματα.
Κωνσταντίνος: Όντως!! Είναι ομόσημοι αριθμοί!!
Καθηγητής: Ακριβώς! Και τι θα κάνουμε με τα 1
x και 2
x που αλλάζουν θέση στον πίνακα προσήμων ανάλογα το πρόσημο του α;
Κωνσταντίνος: Τι θα κάνουμε;

4. Αποκλειστικό στα lisari.blogspot.com
Μαθητής: Κωνσταντίνος Κασσωτάκης από το 3ο ΓΕΛ Ν. Κηφισιάς
Καθηγητής: Απλά ΔΕΝ θα γράψουμε τα 1 2
x ,x σε ποιες λύσεις αντιστοιχούν! Δηλαδή, θα πούμε ότι 1 2
x x
 είναι οι ρίζες του τριωνύμου
2
0
αx βx γ,α
+ +  οπότε ο πίνακας προσήμων είναι:
x − 1
x 2
x +
2
0
αx βx γ,α
+ +  ομόσημο του α ετερόσημο του α ομόσημο του α
Κωνσταντίνος: Έξυπνο! Άρα τη μικρότερη ρίζα τη βαφτίζουμε με 1
x και τη μεγαλύτερη με 2
x .
Καθηγητής: Ακριβώς! Ας το δούμε και ανάποδα. Δίνεται ο παρακάτω πίνακας προσήμων, πώς θα ξέρουμε τι πρόσημα θα πρέπει να συμπληρώσουμε;
x − 1
β Δ
x
2α
− −
= 2
β Δ
x
2α
− +
= +
2
αx βx γ,α 0
+ + 
Κωνσταντίνος: Οοοοοο καλό! Αφού δίνεται ότι 1 2
x x
 τότε το α είναι θετικός αριθμός!
Καθηγητής: Οπότε;
Κωνσταντίνος: Άρα εκτός των ριζών το πρόσημο του τριωνύμου είναι θετικό, ενώ εντός των ριζών αρνητικό.
Καθηγητής: Άρα αν δίνεται σε αυτή την μορφή ο πίνακας έμμεσα μας έχουν «καρφώσει» και το πρόσημο του α, άρα και του τριωνύμου! Έξυπνο;
Κωνσταντίνος: Τι λέμε τόση ώρα;
Καθηγητής: Όντως τι λέμε τόση ώρα και δεν θα στέλνουμε στο lisari.blogspot.com να μας θαυμάσουν όλοι;

5. Αποκλειστικό στα lisari.blogspot.com
Μαθητής: Κωνσταντίνος Κασσωτάκης από το 3ο ΓΕΛ Ν. Κηφισιάς
Κωνσταντίνος: Τι είναι αυτό;
Καθηγητής: Το ξέρεις το ΤΙΚ – ΤΟΚ;
Κωνσταντίνος: Τι λέμε κύριε, προφανώς!
Καθηγητής: Ε καμία σχέση! Εκεί ασχολούνται μόνο με μαθηματικά!
Κωνσταντίνος: Έχει και βιντεάκια;
Καθηγητής: Αν θες τραβάμε και βίντεο και το ανεβάζουμε!
Κωνσταντίνος: Καλύτερα ας δώσουμε έτσι για να μην γίνουμε ρόμπα!