1. ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι
ΕΠΑ.Λ
ΠΕΜΠΤΗ 21 – 05 – 15
11:40 πμ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ
LISARI TEAM
ΘΕΜΑΤΑ
Α + Β
Μάκης Χατζόπουλος
ΘΕΜΑ Γ + Δ
Μιχάλης Γιαννόπουλος
SITE
http://lisari.blogspot.gr
ΘΕΜΑΤΑ
ΚΑΙ
ΛΥΣΕΙΣ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ
ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
2015
2. Οι απαντήσεις και οι λύσεις
είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς
των συνεργατών του δικτυακού τόπου
http://lisari.blogspot.gr
3η έκδοση: 21 – 05 – 2015 (συνεχής ανανέωση)
Οι λύσεις διατίθεται αποκλειστικά
από το μαθηματικό blog
http://lisari.blogspot.gr
3. Πρόλογος
Στο παρόν αρχείο περιλαμβάνονται οι λύσεις των Πανελλαδικών Εξετάσεων στο
μάθημα Μαθηματικά I των ΕΠΑ.Λ. Η παρουσίαση των λύσεων είναι πλήρης και
αναλυτική στο μέγιστο δυνατό, προκειμένου οι μαθητές να μπορούν να μελετήσουν
και να επεξεργαστούν εύκολα το αρχείο.
Η εργασία αυτή εκπονήθηκε αποκλειστικά από τη γνωστή διαδικτυακή ομάδα
Μαθηματικών από διάφορα μέρη της Ελλάδος, τη lisari team.
Την αρχική συγγραφή των λύσεων ακολούθησαν ενδελεχείς έλεγχοι, διορθώσεις και
βελτιώσεις με στόχο μια πληρέστερη και πιο ποιοτική παρουσίαση. Ζητούμε
συγνώμη για τυχόν παραλείψεις, λάθη ή αστοχίες που ενδεχομένως θα έχουν διαφύγει
της προσοχής μας, γεγονός αναπόφευκτο δεδομένων των στενών χρονικών
περιθωρίων. Θα ακολουθήσουν επόμενες εκδόσεις, όπου η εν λόγω παρουσίαση θα
βελτιωθεί, ίσως εμπλουτιστεί και με εναλλακτικές λύσεις. Οποιαδήποτε σχόλια,
παρατηρήσεις, διορθώσεις και βελτιώσεις επί των λύσεων είναι ευπρόσδεκτα στην
ηλεκτρονική διεύθυνση lisari.blogspot@gmail.com.
Με εκτίμηση
lisari team
20 – 05 – 2015
5. Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής http://lisari.blogspot.gr
Γ΄ Λυκείου 21– 05 – 2015
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2015: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team
1
lisari team / σχολικό έτος 2014 – 15
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΕΠΑ.Λ (ΟΜΑΔΑΣ Α)
ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΠΕΜΠΤΗ 21 ΜΑΙΟΥ 2015
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ( ) ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Σχολικό βιβλίο (έκδοση 2013), σελίδα 212
A2. α) Λάθος, σχολικό βιβλίο (έκδοση 2013), σελίδα 76
β) Σωστό, σχολικό βιβλίο (έκδοση 2013), σελίδα 214
6. Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής http://lisari.blogspot.gr
Γ΄ Λυκείου 21– 05 – 2015
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2015: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team
2
γ) Λάθος, σχολικό βιβλίο (έκδοση 2013), σελίδα 235
δ) Λάθος, σχολικό βιβλίο (έκδοση 2013), σελίδα 189
ε) Σωστό, σχολικό βιβλίο (έκδοση 2013), σελίδα 65
7. Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής http://lisari.blogspot.gr
Γ΄ Λυκείου 21– 05 – 2015
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2015: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team
3
Α3. α) Από το σχολικό βιβλίο (έκδοση 2013), σελίδα 241 έχουμε,
1
dx ln x ln ln
x
β) Από το σχολικό βιβλίο (έκδοση 2013), σελίδα 187 έχουμε,
c 0
γ) Από το σχολικό βιβλίο (έκδοση 2013), σελίδα 78 έχουμε,
1 1 2 2 k k
1 2 k
x v x v ... x v
x
v v ... v
ΘΕΜΑ Β
B1. Έχουμε,
Χρόνοι σε
λεπτά
Κέντρο
κλάσης i
k
Συχνότητα
vi
Αθροιστική
Συχνότητα Νi
i i
k v
[5, 15) 10 20 20 200
[15, 25) 20 14 34 280
[25, 35) 30 12 36 360
[35, 45) 40 4 50 160
ΣΥΝΟΛΑ ν = 50 1000
αφού,
8. Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής http://lisari.blogspot.gr
Γ΄ Λυκείου 21– 05 – 2015
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2015: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team
4
2 2 1 2 2N v v 34 v 20 v 14
και
1 2 3 4 4 4 4v v v v v 50 20 14 12 v v 50 20 14 12 v 4
Β2. Έχουμε,
1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 4
k v k v k v k v 1000
x 20
v v ... v 50
Β3. Έχουμε
4 2
2 2 2 2i i
2 i 1
k x v
10 20 20 20 20 14 30 20 12 40 20 4
s
v 50
2000 1200 1600
50
4800
96
50
οπότε η τυπική απόκλιση είναι,
2
s s 96 10
Β4. Έχουμε,
s 96 10
CV% 100 100 100 50
20 20x
9. Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής http://lisari.blogspot.gr
Γ΄ Λυκείου 21– 05 – 2015
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2015: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team
5
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. Έχουμε,
x 2 2 2 0
x 2 x 2
lim f x lim 4x 4e 4 2 4e 8 4e 8 4 12
Γ2. Έχουμε,
23 2 2
x 2 x 2 x 2 x 2
x 2 x 2x 4x 8 x 2x 4 2 2 2 4 12
lim f x lim lim lim
x 2 x 2
Γ3. Για να είναι μια συνάρτηση συνεχής στο 0x 2 , πρέπει να ισχύει:
x 2
12 12
lim f x f 2 12 12 12 1
12
Γ4. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα 1,2 ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων και
επειδή λ = 1 είναι συνεχής και στο x0 = 2, άρα η f είναι συνεχής στο [1, 2] με τύπο
x 2
f x 4x 4e
Επομένως,
22
2 2x 2 x 2 2 x 2
11
1
x
4x 4e dx 4 4e 2x 4e
2
2 2 2 2 1 2
0 1
2 2 4e 2 1 4e
2 4 4e 2 1 4e
1
8 4 2 4
e
4
10
e
ΘΕΜΑ Δ
Δ1. Ο ρυθμός μεταβολής του βάρους του παγόβουνου είναι:
3 2
2 2t 3t
B t 2t 12t 15 2 2t 12 1 0 t 4t 12, 0 t 10
3 3
Δ2. Έστω
2
B t 0 t 4t 12 0
10. Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής http://lisari.blogspot.gr
Γ΄ Λυκείου 21– 05 – 2015
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2015: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team
6
2 2
4 4 4 1 12 16 48 64
άρα οι λύσεις είναι
1,2
4 64 4 8
t
2 2 1 2
δηλαδή,
1
4 8 4
t 2 0,10
2 2
απορρίπτεται ή 2
4 8 12
t 6 0,10
2 2
,δεκτή
t 0 6 10
B t + –
B t 1 2
Επομένως, το βάρος του παγόβουνου γίνεται μέγιστο σε t 6 έτη.
Δ3. Η συνάρτηση B είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 6,10 .
Επομένως,
6 t 9 B 9 B t B 6
Δ4. Για κάθε t 0,10 έχουμε:
2
B t t 4t 12 2t 4 1 0 2t 4
τότε,
4
B t 0 2t 4 0 2t 4 t t 2
2
t 0 2 10
B t + –
B t 1 2
Επομένως, ο ρυθμός μεταβολής του βάρος του παγόβουνου γίνεται μέγιστο σε t 2 έτη.