Αποκλειστικά από τον συνάδελφο Νίκο Μιχαλόπουλο για το lisari.

1. ΠΡΟΧΕΙΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α΄ ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
7 Δεκεμβρίου 2015
ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ:ΜΙΧΑΛΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!!
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:
ΒΑΘΜΟΣ:
ΘΕΜΑ Α
A1. Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο 0x , τότε είναι και συνεχής
στο σημείο αυτό. Μονάδες 8
Α2. Πότε δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες; Μονάδες 6
Α3. Να χαρακτηρίσετε τις ακόλουθες προτάσεις με Σ ή Λ αν είναι Σωστές ή Λάθος αντίστοιχα.
1. Αν η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0x ,τότε η f δεν είναι συνεχής στο 0x .
2. Αν ( ) x
f x x , x>0 , τότε f΄(x)= 1x
x x 
 .
3. Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις µε πεδίο ορισμού R και ορίζονται οι συνθέσεις fog και gof, τότε
αυτές οι συνθέσεις είναι υποχρεωτικά ίσες.
4. Η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [1,3] με f(1)=-3 και f(3)=-1 , τότε η
εξίσωση f(x)=0 έχει ακριβώς μια ρίζα.
5. Αν 0<α<1 τότε lim 0x
x
a

 .
6. Ισχύει ότι:
1
lim 0
x
x
x


 . Μονάδες 2x6=12
ΘΕΜΑ Β
Β1.Δίνεται η συνάρτηση
1
( )
1
x
x
e
f x
e



, x .
α. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση 1
f 
. Μονάδες 7
β. Να δείξετε ότι η εξίσωση 1
( ) 0f x
 έχει μοναδική ρίζα το μηδέν. Μονάδες 6
γ. Να βρείτε τα όρια : 1. lim ( )
x
f x

2. 1
1
lim ( )
x
f x


3. 1
1
lim ( )
x
f x


Μονάδες 6+5+6
B2. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού IR-{2}.
Να βρεθούν τα όρια :
A. 0
1
lim
( )x f x
B.
2
( )
lim
( ) 2x
f x
f x

 
 
 
Γ. 3
2015
lim
( 3) f(x)x x
 
 
  
Μονάδες 4+4+5

2. ΠΡΟΧΕΙΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α΄ ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
7 Δεκεμβρίου 2015
ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ:ΜΙΧΑΛΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!!
ΘΕΜΑ Γ
Έστω συνάρτηση f συνεχής με: ( )
ln ( )f x
e f x x e   με f(x)>0 και f(ΙR)=(0,) για κάθε x .
Γ1. Να αποδείξετε ότι η f είναι “1-1” και αντιστρέφεται. Μονάδες 5
Γ2. Να βρείτε την αντίστροφη 1
f 
. Μονάδες 4
Γ3. Να λυθεί η εξίσωση:   1f x x  . Μονάδες 7
Γ4. Να βρείτε τα όρια:
1. 1
0
lim ( )
x
f x


2. 1
lim ( )
x
f x

3. 10
2015
lim
( )
x
xx
x e
f x e x

   
      
.
Μονάδες 5+3+7