Επιμέλεια: Ιωάννης Σαράφης αποκλειστικά για το lisari.blogspot.gr

1. ΑΡΧΗ 1Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
ΕΞΕΣΑ΢ΕΙ΢ ΠΡΟ΢ΟΜΟΙΩ΢Η΢ Γ' ΣΑΞΗ΢
ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ΢ ΢ΧΟΛΗ΢ ΚΑΛΑΜΑΡΙ
ΣΡΙΣΗ 9 ΙΑΝΟΤΑΡΙΟΤ 2018
ΕΞΕΣΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ
ΟΜΑΔΑ΢ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ
ΘΕΣΙΚΩΝ ΢ΠΟΤΔΩΝ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ΢ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ΢
΢ΤΝΟΛΟ ΢ΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΣΕ (5)
Εισηγητής: ΢αράφης Γιάννης
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να αποδείξετε ότι θ ςυνάρτθςθ  f x ln | x | , x 
  είναι παραγωγίςιμθ ςτο

 και ιςχφει  
1
ln | x |
x
  .
Μονάδες 7
Α2. Θεωριςτε τθν παρακάτω πρόταςθ:
« Αν μια ςυνάρτθςθ f δεν είναι ςυνεχισ ςτο διάςτθμα [α,β] τότε παίρνει
υποχρεωτικά όλεσ τισ ενδιάμεςεσ τιμζσ μεταξφ των  f  και  f  .
α. Να χαρακτθρίςετε τθν παραπάνω πρόταςθ γράφοντασ ςτο τετράδιό ςασ, το
γράμμα Α , αν είναι αλθκισ, ι το γράμμα Ψ , αν είναι ψευδισ.
Μονάδα 1
β. Να αιτιολογιςετε γραφικά τθν απάντθςι ςασ ςτο ερϊτθμα (α).
Μονάδες 4
Α3. Να γράψετε ςτο τετράδιό ςασ το γράμμα που αντιςτοιχεί ςτθν πρόταςθ που δεν
ιςχφει για κάθε ςυνάρτθςθ:
α. Αν θ ςυνάρτθςθ είναι παραγωγίςιμθ ςτο ςθμείο 0x του πεδίου οριςμοφ τθσ
τότε είναι και ςυνεχισ ςτο 0x .
β. Αν θ ςυνάρτθςθ δεν είναι ςυνεχισ ςτο ςθμείο 0x του πεδίου οριςμοφ τθσ τότε
δεν είναι παραγωγίςιμθ ςτο ςθμείο 0x .
ΣΕΛΟ΢ 1Η΢ ΑΠΟ 5 ΢ΕΛΙΔΕ΢
11.01.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 5
Ελληνογαλική Σχολή Καλαμαρί Επιμέλεια: Ιωάννης Σαράφης

2. ΑΡΧΗ 2Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
γ. Αν θ ςυνάρτθςθ δεν είναι παραγωγίςιμθ ςτο ςθμείο 0x του πεδίου οριςμοφ τθσ
τότε είναι ςυνεχισ ςτο ςθμείο 0x .
Μονάδες 3
Α4. Να χαρακτθρίςετε τισ προτάςεισ που ακολουκοφν, γράφοντασ ςτο τετράδιό
ςασ,δίπλα ςτο γράμμα που αντιςτοιχεί ςε κάκε πρόταςθ,τθ λζξθ ΢ωστό ,αν θ
πρόταςθ είναι ςωςτι,ι Λάθος ,αν θ πρόταςθ είναι λανκαςμζνθ.
α. Οι γραφικζσ παραςτάςεισ των ςυναρτιςεων f και f είναι ςυμμετρικζσ ωσ προσ
τον άξονα y'y.
β. Αν για κάκε ςτοιχείο y του ςυνόλου τιμϊν μιασ ςυνάρτθςθσ f , θ εξίςωςθ
 y f x ζχει τουλάχιςτον μια λφςθ ωσ προσ x τότε θ f είναι 1-1.
γ. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f που είναι οριςμζνθ ςε ζνα ςφνολο    0 0,x x ,   . Ιςχφει
     
0 0 0x x x x x x
lim f x =- lim f x = lim f x 
  
   .
δ. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ ςτο  ,  και υπάρχει    0 0x , : f x 0   
τότε    f f 0    .
ε. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ και γνθςίωσ αφξουςα ςτο  ,  τότε το ςφνολο
τιμϊν τθσ ςτο διάςτθμα αυτό είναι το διάςτθμα  ,  ,oπου
   x x
lim f x , = lim f x 
 
   .
Moνάδες 10
ΘΕΜΑ Β
΢το παρακάτω ςχιμα δίνεται θ γραφικι παράςταςθ μιασ ςυνάρτθςθσ f.
ΣΕΛΟ΢ 2Η΢ ΑΠΟ 5 ΢ΕΛΙΔΕ΢
11.01.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 5
Ελληνογαλική Σχολή Καλαμαρί Επιμέλεια: Ιωάννης Σαράφης

3. ΑΡΧΗ 3Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
i. Να βρείτε το πεδίο οριςμοφ και το ςφνολο τιμϊν τθσ f.
Μονάδες 2
ii. Να βρείτε το πλικοσ των ριηϊν τθσ εξίςωςθσ  f x   ,  1,  .
Μονάδες 4
iii. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ζνα τουλάχιςτον  0x 4,4  τζτοιο ϊςτε
 
 
0
1 3
2f 1 f 4f
2 2
f x
7
   
     
    .
Μονάδες 6
΢το παρακάτω ςχιμα δίνεται θ γραφικι παράςταςθ μιασ ςυνάρτθςθσ g.
iv. Να βρείτε το πεδίο οριςμοφ και το ςφνολο τιμϊν τθσ g.
Μονάδες 2
v. Να υπολογίςετε,αν υπάρχουν,τα παρακάτω όρια:
 x 2
1
lim
g x
,  x 1
limg x

,
 x 4
1
lim
g x
,  x
lim g x

,
 x
1
lim
g x
.
Μονάδες 6
vi. Να εξετάςετε ςε ποιεσ τιμζσ θ ςυνάρτθςθ g δεν είναι ςυνεχισ ςτο πεδίο οριςμοφ
τθσ. Να αιτιολογιςετε τθν απάντθςι ςασ.
Μονάδες 2
ΣΕΛΟ΢ 3Η΢ ΑΠΟ 5 ΢ΕΛΙΔΕ΢
11.01.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 5
Ελληνογαλική Σχολή Καλαμαρί Επιμέλεια: Ιωάννης Σαράφης

4. ΑΡΧΗ 4Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
vii. Να βρείτε το πεδίο οριςμοφ τθσ ςυνάρτθςθσ     h x f g x  .
Μονάδες 3
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται ςυνεχισ ςυνάρτθςθ f :   για τθν οποία ιςχφει
   2 2 2x
f x x e 2xf x   για κάκε x,  f   και  f 0 1 .
Γ1. Να αποδείξετε ότι   x
f x e x  .
Μονάδες 4
Γ2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικόσ 0x  για τον οποίο ιςχφει
x0
0 0e x x
0e e x e 1
    .
Μονάδες 6
Γ3. Να λφςετε τθν ανίςωςθ     1
f f | x | 1 f x 1 0
    όπου  1
f x
είναι θ
αντίςτροφθ τθσ f.
Μονάδες 4
Γ4. Να αποδείξετε ότι οι γραφικζσ παραςτάςεισ των ςυναρτιςεων f και 1
f 
δεν
τζμνονται.
Μονάδες 4
Γ5.
Ζςτω θ ςυνάρτθςθ     x
g f x e x 1    , για κάκε x.
α. Να βρείτε τον τφπο τθσ ςυνάρτθςθσ g.
Μονάδες 3
β. Να υπολογίςετε , αν υπάρχουν ,τα όρια :
i.
 x 0
x 1
lim
x 1 g x


 
ii.   x
lim g x x 1

 
Μονάδες 4
ΣΕΛΟ΢ 4Η΢ ΑΠΟ 5 ΢ΕΛΙΔΕi΢
11.01.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 5
Ελληνογαλική Σχολή Καλαμαρί Επιμέλεια: Ιωάννης Σαράφης

5. ΑΡΧΗ 5Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται θ ςυνάρτθςθ  
 
     
2
2 2
x 1 x , x 1,1
f x
ln x 1 x 1 , x 1,e
    
 
   
.
Δ1. Να μελετιςετε τθ ςυνάρτθςθ f ωσ προσ τθ ςυνζχεια και να βρείτε τθν
παράγωγο,όπου υπάρχει, ςτο διάςτθμα  1,e .
Μονάδες 7
Δ2. Να βρείτε τθν εξίςωςθ τθσ εφαπτομζνθσ ςτο ςθμείο
2 2
,f
2 2
  
     
  
.
Μονάδες 4
Δ3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ςθμείο   0 0x ,f x με  0x 1,e ςτο
οποίο θ εφαπτομζνθ είναι παράλλθλθ ςτον άξονα x'x .
Μονάδες 7
Δ4. Να αποδείξετε ότι θ ςυνάρτθςθ f ζχει δφο κζςεισ ελαχίςτου και μια κζςθ μεγίςτου
ςτο διάςτθμα  1,e .
Μονάδες 7
ΣΕΛΟ΢ 5Η΢ ΑΠΟ 5 ΢ΕΛΙΔΕ΢
11.01.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 5
Ελληνογαλική Σχολή Καλαμαρί Επιμέλεια: Ιωάννης Σαράφης