φύλλο εργασίας πιθανότητες ά λυκείου

Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών
http://lisari.blogspot.com 1o Λύκειο Ζακύνθου

* Κεφάλαιο 1ο *
Άλγεβρα – Α΄ Λυκείο
λγεβρα Λυκείου
Πιθανότητες
§ 16 Ερωτήσεις στην Θεωρία
§ 20 Παραδείγµατα
§ 3 Μεθοδολογίες
§ Πίνακας µε τύπους - ιδιότητες
§ Κατηγορίες ασκήσεων

Αθήνα 2011 – 12


Φύλλο εργασίας – Πιθανότητες
Α΄ Λυκείου / Άλγεβρα

Δειγματικός χώρος – Ενδεχόμενα – Η έννοια της Πιθανότητας

Ερώτηση 1η (Δειγματικός χώρος) Απάντηση
α) Ποια πειράµατα ονοµάζουµε αιτιοκρατικά και ποια τύχης; ∆ώστε
παραδείγµατα. Εµείς σε αυτό το κεφάλαιο µε ποια θα ασχοληθούµε;
β) Ποιο σύνολο σε ένα πείραµα τύχης ονοµάζουµε δειγµατικό χώρο (δ.χ);
Πως το συµβολίζουµε και πως λέγονται τα στοιχεία του;
γ) Με ποιους τρόπους βρίσκουµε τον δειγµατικό χώρο σε ένα πείραµα
τύχης;
δ) ∆ώστε παραδείγµατα που η εύρεση του δειγµατικού χώρου γίνεται µε
τις εξής µεθόδους:
1) Αναλυτικά
2) ∆εντροδιάγραµµα και
3) Πίνακας διπλής εισόδου
ε) Πως περιγράφεται ο δειγµατικός χώρος µε το διάγραµµα του Venn;
Πιθανότητες – Φύλλα εργασίας | Α΄ Λυκείου – Άλγεβρα
←2→


Ερώτηση 2η (Ενδεχόμενα) Απάντηση
α) Τι ονοµάζουµε ενδεχόµενο. Πως τα συµβολίζουµε; Πως λέγονται τα

στοιχεία του; Πως περιγράφεται το ενδεχόµενο στο διάγραµµα του Venn;

β) Ποια ενδεχόµενα λέγονται απλά και ποια σύνθετα;

γ) Πότε θα λέµε ένα ενδεχόµενο ότι πραγµατοποιείται ή συµβαίνει;

δ) Ποιο ενδεχόµενο λέγεται βέβαιο και ποιο αδύνατο ενδεχόµενο;

ε) Τι ονοµάζουµε πληθικό αριθµό ενός ενδεχοµένου; Πως το

συµβολίζουµε;

στ) Γράψτε τις ιδιότητες του πληθικού αριθµού

Ερώτηση 3η (Η έννοια της Πιθανότητας)
α) Πως ορίζεται η πιθανότητα για ισοπίθανα ενδεχόµενα;
β) Γράψτε 3 ιδιότητες της πιθανότητας

←3→


Παραδείγματα 1 έως 6 Απάντηση
1. Βρείτε τον δειγµατικό χώρο στα παρακάτω πειράµατα τύχης
α. Ρίχνουµε ένα νόµισµα και καταγράφουµε την ένδειξη της άνω
επιφάνειας
β. Ρίχνουµε ένα ζάρι και καταγράφουµε την ένδειξη της άνω έδρας
γ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα 3 διαδοχικές φορές (δεντροδιάγραµµα)
δ. Ρίχνουµε ένα ζάρι δύο διαδοχικές φορές (πίνακας διπλής εισόδου)
ε. Εξετάζουµε οικογένειες µε 3 παιδιά ως προς την σειρά γέννησης και το
φύλλο των παιδιών τους.
στ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα και µετά ένα ζάρι
ζ. Στα play offs του Ελληνικού Μπάσκετ ανακηρύσσεται πρωταθλήτρια η
οµάδα που στους 3 αγώνες σηµείωση 2 νίκες ανεξαρτήτου σειράς.
η. Από το σύνολο {1, 2} επιλέγουµε τυχαία τρία ψηφία και
κατασκευάζουµε ένα τριψήφιο αριθµό.

2. Ποια είναι η διαφορά στον δειγµατικό χώρο όταν:
α) Ρίψουµε δύο ζάρια διαδοχικά (δηλ. πρώτα το ένα, καταγράψουµε την
ένδειξη και στη συνέχεια το δεύτερο)
β) Ρίψουµε δύο ζάρια ταυτόχρονα (δηλ. δεν µας ενδιαφέρει η σειρά που
έπεσαν);

3. Βρείτε δύο διαφορετικά ενδεχόµενα και τον πληθικός τους αριθµό
(ενδεχοµένων και δειγµατικού χώρου) στο παράδειγµα 1

←4→

4. Από µια τράπουλα 52 φύλλων παίρνουµε ένα φύλλο στην τύχη (άρα
ισοπίθανα τα ενδεχόµενα). Βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων
Απάντηση
α) Το χαρτί να είναι πέντε
β) Το χαρτί να µην είναι πέντε
γ) Το χαρτί να είναι πέντε µπαστούνι (5™)

5. Έστω το σύνολο φυσικών αριθµών = { 10, 11, 12, … , 20}.
∆ιαλέγουµε ένα αριθµό στην τύχη (άρα είναι ισοπίθανα) από το σύνολο ,
βρείτε την πιθανότητα του ενδεχοµένου να είναι πρώτος αριθµός.

6. Μια τάξη έχει 30 µαθητές. Αν γνωρίζουµε ότι η πιθανότητα σε τυχαία

επιλογή µαθητή είναι 2/5 να είναι αγόρι, βρείτε πόσα κορίτσια έχει η τάξη.

←5→


7. Αν ο πίνακας κατανοµής συχνοτήτων των αδερφών 20 µαθητών µιας
τάξης είναι ο διπλανός, να βρείτε, αν xi (αδέρφια) νi (µαθητές)
επιλέξουµε τυχαία ένα µαθητή, την 0 5
πιθανότητα 1 8
α) Να έχει δύο αδέρφια 2 4
β) Να µην έχει αδέρφια
3 3
γ) Να έχει η οικογένεια τουλάχιστον 3
παιδιά

8. Έστω ότι Ω = {ν ∈ N / 1 ≤ ν ≤ 8} είναι ο δειγµατικός χώρος που
αποτελείται από ισοπίθανα ενδεχόµενα. Εκλέγουµε τυχαία ένα απλό
ενδεχόµενο λ ∈ Ω . Αν f ( x ) = 2x − 4x + λ, να βρείτε την πιθανότητα
2

του ενδεχοµένου: Α:« Η εξίσωση f ( x ) = 0 να µην έχει πραγµατικές ρίζες»

←6→

9. Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω = {ν∈ N /12 ≤ ν ≤ 2011} και οι πιθανότητες
Απάντηση
των ενδεχοµένων Α, Β τέτοιες ώστε: ( 4P ( B) − 3) + ( 4P ( A ) − 1)
2012 1976
≤0

α) Βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων Α και Β
β) Βρείτε τους πληθικούς αριθµούς των ενδεχοµένων Α και Β

←7→


(A) Τυπολόγιο Πιθανοτήτων – Εκφράσεις ενδεχοµένων – ∆ιαγράµµατα Venn
Ονοµασία Συµβολισµός Ερµηνεία ∆ιάγραµµα Venn Πιθανότητα

∆ειγµατικός χώρος Πραγµατοποιείται πάντα P (Ω ) = 1

Ν ( Α)
Ενδεχόµενο Α Α Πραγµατοποιείται το Α 0 ≤ Ρ ( Α) = ≤1
Ν ( Ω)

Αδύνατο ∆εν πραγµατοποιείται
∆ Ρ (∅ ) = 0
ενδεχόµενο ποτέ

Πραγµατοποιείται όταν δεν
Αντίθετο του Α Α΄ Ρ ( Α′) = 1 − Ρ ( Α )
πραγµατοποιείται το Α

Πραγµατοποιείται ένα
Α ένωση Β A∪B Ρ ( Α ∪ Β ) = Ρ ( Α ) + Ρ (Β ) − Ρ ( Α ∩ Β )
τουλάχιστον από τα Α, Β

Πραγµατοποιούνται
Α τοµή Β A∩B Ρ ( Α ∩ Β ) = Ρ ( Α ) + Ρ (Β ) − Ρ ( Α ∪ Β )
συγχρόνως τα Α, Β

←8→


Πραγµατοποιείται µόνο το Α (και
διαφορά του Β από το A − B = A ∩ B′ Ρ ( Α − Β) = Ρ (Α) − Ρ (Α ∩ Β)
όχι το Β)
Α

Πραγµατοποιείται µόνο το Β (και
διαφορά του Α από το
B − A = B ∩ A′ Ρ (Β − Α ) = Ρ (Β ) − Ρ ( Α ∩ Β )
Β όχι το Α)

Ένωση των δύο
Πραγµατοποιείται µόνο το Α ή
προηγούµενων (A − B) ∪ (B − A ) Ρ ( ( Α − Β) ∪ ( Β − Α) ) = Ρ ( Α) + Ρ ( Β) − 2Ρ ( Α ∩ Β)
µόνο το Β
περιπτώσεων

∆εν πραγµατοποιείται κανένα από
Συµπλήρωµα ένωσης
( A ∪ B)′ Ρ  ( Α ∪ Β )′  = 1 − Ρ ( Α ∪ Β )


τα Α και Β  

Πραγµατοποιείται το πολύ
Ρ  ( Α ∩ Β )′  = 1 − Ρ ( Α ∩ Β )

Συµπλήρωµα τοµής
( A ∩ B)′ ένα από τα Α και Β 



Α υποσύνολο Η πραγµατοποίηση του Α
A⊆B συνεπάγεται την Ρ ( Α) ≤ Ρ (Β)
του Β
πραγµατοποίηση του Β

←9→


∆εν µπορούν να α) Ρ ( Α ∩ Β ) = 0 και
Α, Β ασυµβίβαστα ή
A∩B=∅ πραγµατοποιηθούν
ξένα µεταξύ τους β) Ρ ( Α ∪ Β ) = Ρ ( Α ) + Ρ ( Β )
συγχρόνως

10. Σε ένα σχολείο µε 400 µαθητές διδάσκονται η αγγλική και η γαλλική
γλώσσα. Κάθε µαθητής είναι υποχρεωµένος να παρακολουθεί τουλάχιστον µία
από τις παραπάνω ξένες γλώσσες. Από τους παραπάνω µαθητές 340
παρακολουθούν την αγγλική γλώσσα και 240 τη γαλλική γλώσσα. Επιλέγουµε
τυχαία ένα µαθητή. Έστω Α το ενδεχόµενο να παρακολουθεί την αγγλική
γλώσσα και Γ να παρακολουθεί τη γαλλική γλώσσα.
α. Να εξετάσετε αν τα ενδεχόµενα Α και Γ είναι ασυµβίβαστα.
3
β. Να αποδείξετε ότι: Ρ( Γ – Α) ≤
5
γ. Να βρείτε την πιθανότητα ο µαθητής να παρακολουθεί µόνο την αγγλική
γλώσσα.
δ. Να βρείτε την πιθανότητα ο µαθητής να παρακολουθεί µία µόνο ξένη
γλώσσα από αυτές. (Εξετάσεις Ιουλίου 2001)

11. Μία Τράπεζα χορηγεί διαφόρων τύπων δάνεια στους πελάτες της. Αν επιλεγεί
τυχαία κάποιος πελάτης η πιθανότητα να έχει πάρει µόνο στεγαστικό ή µόνο
καταναλωτικό δάνειο είναι 0,7 ενώ η πιθανότητα να µην έχει πάρει κανένα από τα δύο
προηγούµενα δάνεια είναι 0,1.
α. Να βρείτε την πιθανότητα ένα̋ πελάτη̋ να έχει πάρει και τα δύο δάνεια. Να
εξετάσετε αν τα ενδεχόµενα «έχει πάρει στεγαστικό» και «έχει πάρει

← 10 →

καταναλωτικό» είναι ασυµβίβαστα.
β. Αν επιπλέον η πιθανότητα να έχει πάρει µόνο στεγαστικό είναι 0,6 να βρείτε
τι̋ πιθανότητε̋ των ενδεχοµένων:
i. «έχει πάρει καταναλωτικό».
ii. «έχει πάρει µόνο καταναλωτικό». (Εξετάσει̋ Ιουλίου 2006)

12. Έχουµε 30 σφαίρες µέσα σ’ ένα δοχείο, αριθµηµένες από το 1 έως το 30.
Επιλέγουµε στην τύχη µία σφαίρα. Έστω Α το ενδεχόµενο ο αριθµός της σφαίρας να
είναι άρτιος και Β το ενδεχόµενο ο αριθµός αυτός να είναι πολλαπλάσιο του 5. Αν Α΄,
Β΄ είναι τα συµπληρωµατικά ενδεχόµενα των Α και Β αντιστοίχως, να υπολογίσετε τις
πιθανότητες :
α. ) Ρ ( Α) , Ρ (Β)
β. ) Ρ ( Α ∪ Β)
γ. ) Ρ( Α ∪ Β′)

( )
δ. ) Ρ ( Α′ ∩ Β) ∪ ( Α ∩ Β′) ( Εξετάσεις Ιουλίου 2003 )

13. Το 40% των υπαλλήλων µιας εταιρείας διαβάζει εφηµερίδες , το 30% διαβάζει
περιοδικά και το 10% διαβάζει και εφηµερίδες και περιοδικά. Επιλέγουµε τυχαία έναν
υπάλληλο. Ποια η πιθανότητα:
1. Να διαβάζει εφηµερίδες ή περιοδικά;
2. Να διαβάζει εφηµερίδες και όχι περιοδικά;
3. Να διαβάζει περιοδικά και όχι εφηµερίδες;
4. Να διαβάζει µόνο εφηµερίδες ή µόνο περιοδικά;
5. Να µην διαβάζει ούτε εφηµερίδες ούτε περιοδικά;
6. Να διαβάζει το πολύ εφηµερίδα ή περιοδικά;

← 11 →

Κατηγορία προβληµάτων µε Ασυµβίβαστα Ενδεχόµενα - Μεθοδολογία
Αν η άσκηση µας ζητάει να αποδείξουµε ότι δύο ενδεχόµενα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, θα καταλήγουµε στις εξής σχέσεις:

• Α⋂Β = ∅

• Ρ(Α⋂Β) = 0

• Ρ(Α∪Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)
• Από τον ορισµό των ενδεχοµένων, {πχ. Α: « Κερδίζει ο Α στο τάβλι» και Β: « Κερδίζει ο Β στο τάβλι», αν παίζουν αντίπαλοι, τότε τα ενδεχόµενα Α και Β είναι ξένα
µεταξύ τους}
Αν η άσκηση µας ζητάει να αποδείξουµε ότι δ ε ν είναι ασυµβίβαστα ενδεχόµενα, τότε παίρνουµε απαγωγή εις άτοπον.∆ηλαδή θεωρούµε ότι τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα
ενδεχόµενα (άρα ισχύουν οι προηγούµενες σχέσεις) και καταλήγουµε σε κάτι που δεν ισχύει (άτοπο).
Κατηγορία προβληµάτων µε Ανισοτικές σχέσεις Πιθανοτήτων - Μεθοδολογία

(Ι) Αν δεν δίνεται η ανισοτική σχέση που πρέπει να καταλήξουµε, τότε παίρνουµε ένα κατάλληλο τύπο πιθανοτήτων, τον λύνουµε ως προς µια πιθανότητα που δεν την
θέλουµε µέσα στην ανισοτική σχέση και λογικά δεν θα την γνωρίζουµε. Τέλος σηµειώνουµε ότι αυτή η πιθανότητα είναι µεταξύ του 0 και του 1.
(ΙΙ) Αν δίνεται η ανισοτική σχέση που πρέπει να καταλήξουµε, τότε γράφουµε τον κατάλληλο τύπο πιθανοτήτων και καταλήγουµε σε κάτι που ισχύει, όπως: 0≤Ρ(Α)≤1
(ΙΙΙ) Τέλος, στην ανισοτική σχέση χρησιµοποιούµε την σχέση: Α ⊆ Β ⇒ Ρ(Α) ≤ Ρ(Β)
Άρα βασικές σχέσεις είναι:
• Α∩Β ⊆ Α ⇒ Ρ(Α⋂Β) ≤ Ρ(Α)
• {
Α∩Β ⊆ Β ⇒ Ρ (Α∩Β) ≤ Ρ(Β) (Σηµείωση: Ρ ( Α ∩ Β ) ≤ min P ( A ) , P ( B )} )

• Α ⊆ Α∪Β ⇒ Ρ(Α) ≤ Ρ(Α∪Β)
• {
Β ⊆ Α∪Β ⇒ Ρ(Β) ≤ Ρ(Α∪Β) (Σηµείωση: max P ( A ) , P ( B)} ≤ Ρ ( Α ∪ Β ) )

• Α – Β ⊆ Α ⇒ Ρ(Α – Β) ≤ Ρ(Α)
• Β – Α ⊆ Β ⇒ Ρ(Β – Α) ≤ Ρ(Β)

← 12 →


Ιδιότητες ενδεχοµένων – Τύποι Παράσταση
1. Α∪ = ενδεχοµένων
2. Α∪∅=Α Άσκηση: Να γράψετε στα
παρακάτω παραδείγµατα το
3. Α∪Α΄= Ω
χωρίο ή χωρία που ορίζουν οι
4. Α⊆Β τότε Α∪Β = Β
παρακάτω πράξεις ενδεχοµένων
Συµπέρασµα: Όταν έχουµε ένωση ενδεχοµένων, «νικάει» το
νικάει» 1. Α – Β = Ι (υπόδειγµα)
µεγαλύτερο ενδεχόµενο αν έχουν κάποια σχέση µεταξύ τους
τους.
5. Α∩Ω = Α 2. Α =
6. Α∩∅ = ∅ 3. Α ′ =
4. ( Α − Β ) ∪ ( Α ∩ Β ) =
7. Α∩Α΄ = ∅
5. ( Α − Β ) ∪ ( Α ∩ Β ) ∪ ( Β − Α ) =
8. Α⊆Β τότε Α∩Β = Α
Συµπέρασµα: Όταν έχουµε τοµή ενδεχοµένων, «νικάει» το 6. ( Α − Β)′ =
µικρότερο ενδεχόµενο, αν έχουν κάποια σχέση µεταξύ τους.
9. (Α΄)΄ = Α 7. ( Α − Β ) ∩ Α =

10. Ω΄ = ∅ 8. Α′ ∪ Β =
9. Α ∪ Β′ =
11. ∅΄ = Ω
10. Α′ ∩ Β =
12. (Α∪Β)΄ = Α΄∩Β΄
11. Α ∩ Β′ =
13. ( Α∩Β)΄ = Α΄∪Β΄ 12. Α′ ∪ Β′ =
(οι τύποι 12, 13 λέγονται τύποι De Morgan) 13. =

ργασίας
← 13 →


Παραδείγματα 14 – 15 Απάντηση
14. Στη τρίτη λυκείου ενός σχολείου φοιτούν 140 µαθητές οι οποίοι
διδάσκονται την αγγλική και τη γαλλική γλώσσα.
Από αυτούς τους µαθητές 98 παρακολουθούν την αγγλική και 56
παρακολουθούν τη γαλλική γλώσσα.
Επιλέγουµε τυχαία ένα µαθητή και ορίζουµε τα ενδεχόµενα:
Κ: «Ο µαθητής διδάσκεται και τις δυο γλώσσες .»
Ν: «Ο µαθητής δεν διδάσκεται καµία γλώσσα .»
Μ: «Ο µαθητής διδάσκεται µόνο την αγγλική γλώσσα .»
i. Αν κάθε µαθητής είναι υποχρεωµένος να παρακολουθεί τουλάχιστον µια από
τις δυο γλώσσες, βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων Κ, Ν και Μ.
ii. Αν οι µαθητές δεν είναι υποχρεωµένοι να παρακολουθούν κάποια από τις
δυο γλώσσες , αποδείξτε τα εξής:
α) 0.1≤P(Κ)≤0.4 β) 0≤P(Ν)≤0.3 γ) 0.3≤P(Μ)≤0.6 .

15. Έστω Α, Β είναι ενδεχόµενα του δειγµατικού χώρου µε
4 2
Ρ ( Α ) = και Ρ ( Β ) =
7 3

α) Να εξετάσετε αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα
3
β) Να δείξετε ότι Ρ ( Β I Α′ ) ≤
7

← 14 →


Ερώτηση 4η Απάντηση
α) Όταν τα ενδεχόµενα δεν είναι ισοπίθανα ισχύει ο κλασικός ορισµός της
Πιθανότητας;

β) ∆ιατυπώστε τον αξιωµατικό ορισµό της Πιθανότητας. Για ποια ενδεχόµενα
ισχύει;
γ) Ισχύουν οι κανόνες λογισµού πιθανοτήτων και στα µη ισοπίθανα ενδεχόµενα;

Παραδείγματα 16 – 17
16. Έστω Ω = {1, 2,3, 4} µε Α = {1, 2,3} και Ρ (1) = Ρ (2) = 2Ρ (3) = 3Ρ (4) .
Να βρείτε τις πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχοµένων του και την Ρ ( Α) .

17. Έστω ο δειγµατικός χώρος = {1, 2, 3, 4, 5}. Θεωρούµε τα ενδεχόµενα Α, Β
του τα οποία ορίζονται ως εξής:
2
Α = {x∈ / ≤ −1 },
x−4
B = {x∈ / (x2−5x)⋅(x−1)= −6⋅(x−1)}.
α. Να βρεθούν οι πιθανότητες Ρ(Α−Β) και Ρ(Β∪Α΄).
1
β. Αν Ρ(Α) = , να υπολογιστεί η πιθανότητα Ρ(Α΄∪Β΄).
4
1 1
γ. Αν Ρ(Α) = και Ρ(Β−Α) = , να βρεθεί η µικρότερη και η µεγαλύτερη τιµή της
4 8
πιθανότητας Ρ(X), όπου Χ είναι ενδεχόµενο του τέτοιο ώστε Α∪Χ=Β.

← 15 →



18. Έστω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ο δειγµατικός χώρος της ρίψης ενός µη
αµερόληπτου ζαριού .
Αν P(1) = P(3) = P(5) = 2P(2) = 4P(4) = 2P(6), τότε να βρείτε:
α. Τις πιθανότητες των απλών ενδεχοµένων P(1), P(2), P(3), P(4),P(5), P(6).
β. Τις πιθανότητες των ενδεχοµένων Α και Β, όπου
Α: «Η ένδειξη του ζαριού είναι άρτιος αριθµός»
Β: «Η ένδειξη του ζαριού είναι περιττός αριθµός».

19. Έστω ένας δειγµατικός χώρος Ω = {1, 2,3, 4,5,6,7,8}

α) Αν Α = {1,3} και Β = {6,7,8} είναι δύο ενδεχόµενα του µε

2008λ + 3 2 − 2008λ
Ρ ( Α) = και Ρ (Β) = . Να βρεθεί η Ρ ( Α ∪ Β) .
6 6
β) Αν Α = {1, 2,3, 4,5} και Β = {4,5,6,7,8} είναι δύο ενδεχόµενα του να

2008λ + 3 2 − 2008λ
εξετάσετε αν είναι δυνατόν να ισχύει Ρ ( Α ) = , Ρ ( Β) = .
6 6

← 16 →


Παράδειγμα 20 Απάντηση
20. Έστω ο δειγµατικός χώρος = {5,4,3,2,1,0,-1} για τον οποίο ισχύει

Ρ(–1)=Ρ(0)=Ρ(1)=Ρ(2)=2Ρ(3)=2Ρ(4)=2Ρ(5). Ορίζουµε τα ενδεχόµενα του :

Α = {1,3, x 2 − x − 3} , Β = {2, x +1, 2 x 2 + x − 2, −2 x +1}

όπου x ένας πραγµατικός αριθµός.

α. Να βρεθούν οι πιθανότητες των απλών ενδεχοµένων του , δηλαδή οι Ρ(–1),

Ρ(0), Ρ(1), Ρ(2), Ρ(3), Ρ(4), Ρ(5).

β. Να βρεθεί η µοναδική τιµή του x για την οποία ισχύει B∩A={- 1, 3}.

γ. Για x = –1 να δειχθεί ότι:

5 7 3
Ρ ( Α) = , Ρ (Β ) = , Ρ ( Α ∩ Β ) =
11 11 11

και στη συνέχεια να υπολογιστούν οι πιθανότητες Ρ(Α–Β) και Ρ(Α ∪ Β΄).

(Εξετάσεις 2007)

← 17 →

φύλλο εργασίας πιθανότητες ά λυκείου

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (20)

Similar a φύλλο εργασίας πιθανότητες ά λυκείου

Similar a φύλλο εργασίας πιθανότητες ά λυκείου (10)

Más de Μάκης Χατζόπουλος

Más de Μάκης Χατζόπουλος (20)

Último

Último (20)

φύλλο εργασίας πιθανότητες ά λυκείου