Capítulo 4 análises estruturais

Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado
Método Elementos Finitos: Teoria e prática
Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática
à Engenharia Civil: multidisciplinares

4 ANÁLISES
ESTRUTURAIS

Copyright 2007 © Direitos reservados
Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais
Created by Pappalardo Jr., Alfonso

Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos Elementos Finitos aplicado
Método dos Elementos Finitos: Teoria e prática
Coordenadoria de Engenharia Civil à Engenharia Civil: Teoria e Prática
aplicadas a problemas multidisciplinares

4.1 GENERALIDADES
As análises estruturais são utilizadas para determinar o campo
dos deslocamentos (translação e rotação) e, a partir dos
mesmos, as tensões, as deformações, as reações de apoio e
outras grandezas, decorrentes da aplicação de forças externas
ativas.

Copyright 4 Análises estruturais
Capítulo 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises Estruturais 1/43


4.2 TIPOS DE ANÁLISES

 Análise modal
 Análise estática
 Análise harmônica
 Análise dinâmica
 Análise transiente
 Análise de flambagem
 Análise espectral
 Análise de fadiga

 Análise linear
 Análises não-lineares
(física, geométrica, de contato...)

Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 2/43


4.3 ANÁLISES ESTÁTICAS
As análises estruturais estáticas são apropriadas para resolver
problemas em que as forças de inércia e os amortecimentos
podem ser desprezados não afetando significativamente a
resposta estrutural.

4.3.1 Elástica-linear
Os carregamentos são aplicados lentamente (quase perma-
nentes) produzindo pequenos deslocamentos (linearidade
geométrica) e preservando a proporcionalidade entre tensão e
deformação (linearidade física);



4.3.1 Elástica-linear (cont...)

A energia potencial total para problemas estruturais e
conservativos é definida por

 U  , (4.1)

onde U é a energia de deformação (trabalho esforços internos) e
 é a energia potencial (trabalho das forças externas). Para
materiais que apresentam comportamento elástico-linear, pode-
se escrever:

1
U    T dV , (4.2)
2 V




 
onde
 T   x  y  z  xy  yz  zx
(4.3)
T   x  y  z  xy  yz  zx 
são, respectivamente, o tensor das deformações e o tensor das
tensões e suas componentes para o caso da elasticidade
tridimensional.
z z

 zx
  yz
  zx
  yz


Esquema 4.1 Componentes do tensor
das tensões e das deformações
x  xy
 y  xy
 y
x




(MPa)


energia de deformação
em regime elástico-linear

 (%)
Esquema 4.2 Diagrama tensão-deformação:
energia de deformação específica (J/m3)




As Equações Constitutivas relacionam tensão e deformação,
que na forma genérica, pode-se escrever:

  D , (4.4)

onde D é a matriz constitutiva, que depende do tipo de
formulação utilizada. A seguir, serão apresentadas as matrizes
constitutivas para diversas formulações estruturais.



4.3.1.1 Elementos unidimensionais

treliça 2-D
treliça 3-D

viga 2-D

Z

X Y
Y

X

viga 3-D

 T   x 
D  E 

 T   x  E módulo de elasticidade
(longitudinal)

Matriz 4.1 Relações constitutivas para materiais elástico-lineares isotrópicos
usadas para os elementos finitos estruturais 1D: treliças e vigas (2D e 3D)

8/43
Created by Pappalardo Jr., Alfonso 315/325


4.3.1.2 Elementos bidimensionais
4.3.1.2.1 Estado Plano de Tensão


 T   x  y  xy 
EPT 
 T   x  y  xy 
Y

1  
X
0
E  
 D  1 0
sendo z  ( x   y ) 
1 2 

E  0 0 (1   ) / 2

e   coeficient de Poisson
e

usadas para os elementos finitos estruturais 2D: chapas

9/43
1/1


4.3.1.2.2 Estado Plano de Deformação


 T   x  y  xy 

 T   x  y  xy 
EPD

 z   ( x   y )
Y

X sendo

 1  0 
D
E   1 0 
(1   )(1  2 )  
 0
 0 (1  2 ) / 2

usadas para os elementos finitos estruturais 2D: sólidos confinados

10/43
1/1


4.3.1.2.3 Estado Axissimétrico de Tensão


 T   x  y    xy 
axissimétrico

 T   x  y    xy 
sendo    u r
Y

X

 1   0 
  1  0 
E  
D
(1   )(1  2 )    1 0 
 
 0 0 0 (1  2 ) 2

usadas para os elementos finitos estruturais 2D: sólidos de revolução

11/43
1/1


4.3.1.3 Elementos tridimensionais
4.3.1.3.1 Casca fina e placa delgada


 T   x  y  xy 
casca fina
X
Z

Y

 T   x  y  xy 
placa fina 1  0 
D
E  1 0 
 
1 2 
 0 0 (1   ) / 2

2 2
sendo  x  z ( w x )

 y  z ( w y ) e  xy  2z ( w x y )
2 2 2

usadas para os elementos finitos estruturais 3D: casca fina e placa delgada

12/43
1/1


4.3.1.3.2 Casca espessa e placa espessa


 T   x  y  xy  yz  zx 
casca espessa Z

X Y


 T   x  y  xy  yz  zx 
placa espessa

 1  0 0 0 
  1 0 0 0 
E  
D  0 0 (1  2 ) 2 0 0 
(1   )(1  2 )  
 0 0 0 (1  2 ) 2 0 
 0
 0 0 0 (1  2 ) 2


usadas para os elementos finitos estruturais 3D: casca espessa e placa espessa

13/43
1/1


4.3.1.3.3 Sólido


 T   x  y  z  xy  yz  zx 
 
Z

X Y
 T   x  y  z  xy  yz  zx
sólido

 1   0 0  0
  1  0 0 0 
 
E    1 0 0 0 
D  
(1   )(1  2 )  0 0 0 (1  2 ) 2 0 0 
 0 0 0 0 (1  2 ) 2 0 
 
 0
 0 0 0 0 (1  2 ) 2

Matriz 4.7 Relações constitutivas para materiais elástico-lineares
isotrópicos usadas para os elementos finitos estruturais 3D: sólido

14/43
1/1


4.3.1 Linear (cont...)

Por outro lado, a energia potencial das cargas externas é dada
pela expressão nodal:

  F TU e . (4.5)

As Equações de Compatibilidade que relacionam
deformações e deslocamentos são dadas por:
u u v
x   xy  
x y x
v v w
y   yz   (4.6)
y z y
w w u
z   zx  
z x z



e podem ser escritas no formato matricial como:

  x   x 0 0 
  
 y  0  y 0    u(x, y, z) 
 z   0 0  z   v (x, y, z) 
    
(4.7)
 xy   y  x 0 
w (x, y, z) 
 yz   0  z  y   
   
 zx   z
   0  x 

ou na forma compacta por:
  L u( x, y, z) . (4.8)




Considerando que os deslocamentos – em qualquer ponto no
interior de um elemento finito – podem ser aproximados a partir
das funções de interpolação (anexo A) e dos deslocamentos
nodais, ou seja:

~
u(x, y, z)  u (x, y, z)  N TU e , (4.9)
sendo

 N1 0 0 N2 0 0 N3 0 0 
 
N T   0 N1 0 0 N2 0 0 N3 0  , (4.10)
 0
 0 N1 0 0 N2 0 0 N3 




onde Ni são as funções de interpolação e u.i, v.i, w i representam .

as componentes dos deslocamentos nodais para o elemento e.
Introduzindo-se 4.9 em 4.8, tem-se:

  L N TU e  B U e , (4.11)

onde L é a matriz dos operadores diferenciais de primeira
ordem. Observa-se na expressão (4.12) que o estado de
deformação do elemento pode ser obtido a partir dos seus
deslocamentos nodais. A partir (4.7) e (4.10) tem-se:




 N1 N 2 N 3 
 0 0 0 0 0 0 
 x x x 
 0 N1 N 2 N 3 
0 0 0 0 0
 y y y 
 N1 N 2 N 3 
 0 0 0 0 0 0 
B z z z 
 N1 N1 N 2 N 2 N 3 N 3  (4.12)
 y 0 0 0 
x y x y x
 
 0 N1 N1 N 2 N 2 N 3 N 3 
0 0
 z y z y z y 
 N N1 N 2 N 2 N 3 N 3 
 1 0 0 0 
 z
 x z x z x 





Y
3 u3,v3,w3
 u1 
 v1 
u (x,y,z) u2,v 2,w2  
. 2 e  w1 
1
U   (4.13)
u1,v1 ,w1
 u2 
X
 v2 
 
Z 
  

Esquema 4.3 Deslocamentos nodais para
o elemento triangular de três nós




Pode-se observar, mediante a análise das expressões 4.4, 4.11
e 4.12 que a escolha adequada das funções de interpolação
afeta, significativamente, o estado de tensão e deformação do
elemento finito. Por exemplo, para o caso do elemento triangular
de três nós, a função de interpolação é linear, conforme visto no
Anexo A. A partir da expressão 4.11, que relaciona as
deformações com os deslocamentos nodais, observa-se que o
estado de tensão e de deformação é constante no interior do
elemento finito (CST constant strain triangle).




Combinando-se a expressão 4.1 com 4.2 e 4.5, chega-se a:

1
    T dV  F TU , (4.14)
2 V
e se introduzindo a equação 4.4 e a aproximação 4.11 em 4.14,
leva a:

1
   ( U TΒTD B U ) dV  F TU . (4.15)
2 V




Minimizando-se o funcional da energia potencial total em
relação aos deslocamentos nodais, chega-se a:


  ( ΒTD B ) dV U  F  0 (4.16)
U V

que é a condição estacionária em que se garante a condição de
equilíbrio entre esforços internos e externos. Daí decorre que:

K e   BTD B dV , (4.17)
V

é a matriz de rigidez do elemento finito.




Após montagem das matrizes globais, apresentadas no
Anexo.D, chega-se ao sistema de equações lineares dado por:

K U F , (4.18)

análogo ao sistema da equação 3.24, sendo neste caso K é a
matriz de rigidez da estrutura, U é o vetor deslocamento e F é o
vetor carregamento.
O sistema 4.18 é resolvido por métodos diretos (Gauss,
Cholesky), métodos iterativos (Jacobi, Gauss-Seidel) ou
métodos de otimização (Gradientes Conjugados).




Os carregamentos indicados a seguir podem ser representados
pelo vetor carregamento F. As expressões a seguir convertem
os carregamentos especificados por forças nodais equivalentes
formando o vetor carregamento F . Para maiores detalhes das
deduções destas expressões consulte WEAVER (1984).

Carregamento de borda uniformemente distribuído: p (N/m)
1

px 
 
L px (N/m)
Fe  L N T  p dL  L NT   p y  dL
 pz 
 

3 2




Carregamento devido a gravidade (volume): b (N/m3)
1

b x 
 
dA Fe  V N T  b dV  V NT  b y  dV
by (N/m3)  bz 
 
3 2

Carregamento devido a variação da temperatura: DT (oC)
1

 x 
 
Fe  V BT  D  α  DT dV  V BT  D   y   DT dV
DT  z 
 
3 2



4.3.2 Não-linearidade física
É requerida no caso em que as tensões não são proporcionais
às deformações. Vários tipos de não-linearidades físicas podem
ser incluídas:

 plasticidade, elasticidade não-linear, hiperelasti-
cidade: caracterizadas pela relação não-linear entre
tensão-deformação;

 viscoelasticidade, viscoplasticidade e fluência: onde
também são incluidos os efeitos da deformação depende
do tempo, da temperatura, da forma de aplicação do
carregamento, do nível de tensão, entre outros.



4.3.2 Não-linearidade física (cont...)

O carregamento deve ser aplicado incrementalmente. Em cada
incremento de carga são realizadas as iterações de equilíbrio do
Método de newton-Raphson, conforme esquema 4.4.

Equação 4.17 escrita na forma incremental é dada por:

K T (u i ) Δu i1  ΔF i  F   F NR (u i ) ,
i (4.19)

onde KT é a matriz de rigidez tangente (que relaciona
incrementos de deslocamentos com incrementos de carga), Du
é o vetor incremento de deslocamento, F* é o carregamento
aplicado, FNR é o vetor carregamento restaurador e DF é o vetor
carregamento desbalanceado.




A cada iteração de equilíbrio, a matriz de rigidez tangente KT e o
vetor carregamento desbalanceado FNR são atualizados.

O critério de convergência pode ser definido em função do
incremento do carregamento D.F ou, do incremento de
deslocamento D.u, de maneira similar a fórmula 3.29. Para
problemas com fortes não-linearidades envolvidas sugere-se
que se diminua o incremento de carga (LOADSTEP) de modo
que se contorne as dificuldades de convergência do problema.
O esquema 4.4 apresenta a interpretação geometrica do
algoritmo.




F(N)
co eficiente
angular
F*
K T(u1)
1
D F 1 =F*FN R
K T(u0)
Du 2
1
FNR =K(u0)u1

u(m)

u0 u1 u2 u*
Esquema 4.4 Método de newton-Raphson



4.3.3 Não-linearidade geométrica
Ocorre quando os deslocamentos afetam significativamente a
rigidez da estrutura. A seguir, citam-se alguns tipos de não-
linearidades geométricas:
(a) grandes deformações: não existem restrições quanto a
magnitudes das deformações e rotações que podem
ocorrer. A formulação leva em conta este efeito ajustando-
-se a forma dos elementos para refletir a mudança da
geometria;
(b) grandes deslocamentos: neste caso as deformações são
pequenas, porém as rotações são grandes que leva a
mudança da orientação espacial do elemento. Segundo esta
formulação os carregamentos não são conservativos;



4.3.3 Não-linearidade geométrica (cont...)

(c) rigidez geométrica (stress stiffening): leva em conta o
aumento ou a diminuição da rigidez estrutural devido ao
estado de tensão. Este estado de tensão é utilizado para
calcular a matriz de rigidez geométrica S, que será
adicionada ou subtraída à matriz de rigidez K da estrutura,
de acordo com a equação governante:

(K  S ) U  F . (4.20)

Fisicamente, este efeito representa o acoplamento entre os
deslocamentos transversais e aqueles contidos no plano do
elemento estrutural. Para a solução da equação acima, utiliza-se
o Método de newton-Raphson, conforme apresentado no caso
da não-linearidade física.



4.3.4 Não-linearidade de contato
Empregada na determinação das forças de contato, levando-
se em conta o atrito nas interfaces descontínuas. Constitui-se
uma análise não-linear pela mudança brusca de rigidez em
função das partes que se contatam.

Em uma análise estrutural não-linear, pode-se levar em conta,
simultaneamente, as não-linearidades física e geométrica.



4.4 ANÁLISES DINÂMICAS
As análises estruturais dinâmicas são apropriadas para resolver
problemas em que as forças de inércia e os amortecimentos não
podem ser negligenciados afetando significativamente a
resposta estrutural.
Todas as cargas são de origem dinâmica, seja espacial ou
temporal, mas em muitos casos os efeitos dinâmicos podem ser
desprezados realizando-se uma análise pseudo-estática. Em
geral, se a freqüência de excitação for menor que 1/3 da menor
freqüência natural da estrutura, a análise estática pode ser
utilizada como uma boa aproximação do problema dinâmico.



4.4.1 Modal
Utilizada na determinação das freqüências naturais e modos
de vibração de uma estrutura. Pode-se avaliar a ocorrência do
fenômeno da ressonância, com base na comparação entre as
freqüências naturais e a freqüência de excitação do
carregamento (pessoas, máquinas, equipamentos, veículos em
movimento).
Pode-se considerar o amortecimento estrutural, assim como, o
efeito do pré-tensionamento. Todas as análises dinâmicas
sempre são antecedidas pela análise modal, para identificação
das freqüências naturais da estrutura que levarão à amplificação
dos deslocamentos.



4.4.1 Modal (cont...)

Em uma análise modal leva-se em conta vibrações livres
amortecidas ou não-amortecidas, descritas pela Equação do
Movimento:
M u  C u  K u 0 ,
  (4.21)
que recai num problema de autovalores e autovetores. Assim, a
equação 4.20 reduz-se na forma:

( K  i C   2M )u  0 , (4.22)

onde  representa as freqüências naturais (autovalores) e
u representa os modos de vibração natural (autovetores). Para
a maioria das análises modais o amortecimento pode ser
desprezado.



4.4.1 Modal (cont...)

A equação 4.22 pode ser resolvida por diversos métodos
encontrados na literatura (Lanczos, Subespaços). Os métodos
citados são muito eficientes para extração dos autovalores,
sendo o primeiro mais preciso.
Quando se tiver limitação quanto ao armazenamento das
matrizes plenas, pode-se optar por métodos reduzidos (Guyan),
que caracterizam a resposta dinâmica da estrutura com um
número menor de graus de liberdade (conhecidos por master
degree of freedom), que além de viabilizarem a solução
reduzem significativamente o tempo de processamento.



4.4.2 Harmônica
Determina a resposta de uma estrutura de comportamento
elástico-linear submetida a um carregamento harmonicamente
variável no domínio do tempo (bases de equipamentos,
geradores) operando numa certa freqüência de excitação. Todas
as cargas aplicadas na estrutura atuam numa mesma
freqüência, mas não necessariamente em fase. As não-
linearidades e os efeitos transientes não podem ser incluídos.
Para uma freqüência de excitação muito próxima de uma das
freqüências naturais da estrutura, observa-se a amplificação dos
deslocamentos. Por este motivo, sempre uma análise modal
deve preceder uma análise harmônica, para identificação das
freqüências naturais da estrutura.



4.4.2 Harmônica (cont...)

A equação governante de uma análise harmônica é um caso
particular da equação geral do movimento

M u  C u  K u  F (t ) ,
  (4.23)

onde F(t) é a função carregamento que varia harmonicamente
com uma amplitude conhecida. Assim, para uma dada
freqüência  e um certo ângulo de fase f, tem-se:

F (t )  F 0 cos ( t  f )  i sen( t  f ) . (4.24)



4.4.2 Harmônica (cont...)

Os deslocamentos incógnitos variam harmonicamente na
mesma freqüência , mas não necessariamente em fase com a
função carregamento. Os deslocamentos são especificados,
para uma certa freqüência, em termos de amplitude e ângulo de
fase, ou seja, parte real e imaginária. A análise harmônica fará
uma varredura num passo constante, dentro de um intervalo de
freqüências de excitação, capturando os deslocamentos nodais.
Os métodos disponíveis para análise harmônica disponíveis no
programa ANSYS são: pleno, reduzido e superposição modal,
sendo o primeiro mais geral e preciso.



4.5 ANÁLISE DE FLAMBAGEM
Empregada na determinação das cargas críticas de
flambagem e dos modos de flambagem associados, que
levam a estrutura a perda de equilíbrio. A solução de uma
análise de flambagem, assim como a análise modal, recai num
problema de autovalores e autovetores:

( K   S )u  0 , (4.25)

onde  é o fator de carga (autovalor), u é o modo de flambagem
(autovetor), K é a matriz de rigidez da estrutura e S é a matriz
de rigidez geométrica.



4.5 ANÁLISE DE FLAMBAGEM (cont...)

As cargas críticas são obtidas multiplicando-se a carga aplicada
pelo fator de carga (autovalor), conforme esquema 4.5. Diversos
modos de flambagem podem ser capturados (torcional, flexional,
lateral, local e localizado). Tais análises permitem a
compreensão do fenômeno da flambagem, a verificação da
segurança à flambagem e a eficiência de um reforço estrutural.
Pode-se incluir os efeitos da protensão (prestress) e do peso
próprio (vide esquema 4.6).



4.5 ANÁLISE DE FLAMBAGEM (cont...)

P1 =1kN P2 =10kN P3 =60kN

processamento... processamento... processamento...
1 =150 2 =15 3 =2,5

P =1 .P1 =150 kN P =2 .P2 =150 kN P =3 .P3 =150 kN
cr cr cr

Esquema 4.5 Fatores de carga para identificação
da carga crítica de flambagem


Capítulo 4 análises estruturais

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Destacado

Destacado (20)

Más de Carlos Elson Cunha

Más de Carlos Elson Cunha (20)

Capítulo 4 análises estruturais