Pembelajaran limit fungsi dengan power point

1. LIMIT FUNGSI
Oleh: Drs. Manaek Lumban Gaol

2. 12.1. PEENGERTIAN LIMIT FUNGSI ALJABAR
A. Defenisi Limit fungsi Tabel nilai – nilai fungsi untuk x
Perhatikan gambar di bawah ini dekat dengan 2
x 4
2 X F(x)
F x  
1,90 3,9
x2
4
1,99 3,99
1,999 3,999
2
2 ...?
2,001 4,001
-2 0 2
2,01 4,01
Df = {x | x  R, x  2}
jika dicari nilai fungsi untuk x = 2, 2.1 4,1
4
2
2 0
F 2    adalah bentuk taktentu
22 0
Dari tabel di atas dapat disimpulkan bahwa untuk x mendekati 2 baik dari
kiri maupun dari kanan, nilai fungsi tersebut makin mendekati 4, dan dari sini
dikatakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati 2 sama dengan 4
Hal.: 2 Isi dengan Judul Halaman Terkait

3. PENGERTIAN LIMIT FUNGSI
Secara matematika , dituliskan sebagai berikut.
 4
2
x
lim  4
x 2 x  2
Dari uraian ini timbullah pengertian limit secara intuisi, sehingga :
Pengertian limit fungsi secara intuitif : lim F  x   L , mengandung arti
x a
bahwa jika x mendekati { x } maka nilai F  x  mendekati L
Secara umum, limit fungsi didefenisikan sebagai berikut
Hal.: 3 Isi dengan Judul Halaman Terkait

4. LIMIT FUNGSI ALJABAR
I. Limit fungsi aljabar jika variabelnya
mendekati nilai tertentu diselesaikan
dengan Langkat-langkah sebagai berikut
A. Substitusi langsung
B. Faktorisasi.
C. Mengalikan dengan bilangan sekawan.
Hal.: 4 Isi dengan Judul Halaman Terkait

5. PERHITUNGAN LIMIT FUNGSI ALJABAR
A. Cara substitusi langgsung
Contoh 1:
Hitunglah : lim 3 x  1  
x 2
Penyelesaian
lim 3 x  1   3  2   1  6  1  5
x 2
Kerjakan soal derikut ini
1, lim
x  2
x 2
 x  4 
2 . lim 10 x  1
x 1
x  2
3 . lim
x  2 x  2
1
2
x
4 . lim
1
2
x  2 x
Hal.: 5 Isi dengan Judul Halaman Terkait

6. PERHITUNGAN LIMIT FUNGSI ALJABAR
B. Cara Fatorisasi
Jika dengan cara substitusi langsung
f x  f a  0
lim diperoleh  bentuk taktentu 
x a g x  g a  0
Maka perhitungan limit fungsi dilakukan dengan memfaktorkan
Contoh : 2
x  x  6
2
Hitunglah : lim
x 3 x  3
Peyelesaia n
x  x6
2
 x  3  x  2 
lim  lim  lim x  2 
x 3 x3 x 3 x3 x 3
 32  5
Hal.: 6 Isi dengan Judul Halaman Terkait

7. PERHITUNGAN LIMIT FUNGSI ALJABAR
Contoh 2 x 1 Penyelesai an
Hitunglah : lim
x 3
x 1 x  2x
3
x( x  2)
2
lim  lim
x  x x( x  2)
x 0 2 x 0
Penyelesai an
( x  2) (0  2)
2 2
x 1 ( x  1)( x  1) lim 
lim  lim x 0 ( x  2) (0  2)
x 1
x 1 x1
x 1
2

 lim x 1 x 1 2
x1
 1
 2
Contoh 3
x  2x
3
Hitunglah lim
 x
2
x 0 x
Hal.: 7 Isi dengan Judul Halaman Terkait

8. PERHITUNGAN LIMIT FUNGSI ALJABAR
Hitunglah nilai limit fungsi yang berikut ini
 4
2
x
1. lim
x 2 x  2
x
2 .. lim
 x
x 0 2
x
 2x
3
x
3 .. lim
 x
x 0 2
x
 x  4x  x
4 3 2
x
4 .. lim
 2x  8x
x 0 3
x
Hal.: 8 Isi dengan Judul Halaman Terkait

9. PERHITUNGAN LIMIT FUNGSI ALJABAR
c. Mengalikan dengan bentuk sekawan.
Contoh 4 x 9
2
Hitunglah nilai lim
x 3
x 7 4
2
Penyelesaian :
9 9  7  4
2 2 2
x x x
lim  lim 
x 3 x 3
 7  4 7 4  7  4
2 2 2
x x x
 lim
x 2
 9  x
2
 7  4 
 7  16
x 3 2
x
 lim
x 2
 9  x
2
 7  4 
9
x 3 2
x
 lim
x 3
 x
2
 7  4 
  7  4
2
3
 16  4  8
Hal.: 9 Isi dengan Judul Halaman Terkait

10. PERHITUNGAN LIMIT FUNGSI ALJABAR
Contoh 5
4 x  x4
Hitunglah : lim
x 0 x
Penyelesaian :
4 x  4 x 4 x  4 x 4 x  4 x
lim  lim 
x 0 x x 0 x 4 x  4 x
4  x   4  x  2x
 lim  lim
x 0
x  4 x  4 x  x 0
x  4 x  4 x 
2 2
 lim 
x 0
 4 x  4 x   40  40 
1

22
1

2
Hal.: 10 Isi dengan Judul Halaman Terkait

11. PERHITUNGAN LIMIT FUNGSI ALJABAR
Hitunglah nilai limit fungsi yang berikut ini
x 1
1. lim
x1
x 32
2
4 x
2
2. lim
x 2
3 x 5
2
2 x  2 x
3. lim
x 0 x
x  3x  1  x  4x  1
2 2
4. lim
x 0 2x
Hal.: 11 Isi dengan Judul Halaman Terkait

12. PERHITUNGAN LIMIT FUNGSI ALJABAR
II. Limit fungsi aljabar jika variabelnya
mendekati tak berhingga maka
diselesaikan dengan :
A. Mebagi dengan pangkat tertinggi
B. Mengalikan dengan faktor lawan
Hal.: 12 Isi dengan Judul Halaman Terkait

13. PERHITUNGAN LIMIT FUNGSI ALJABAR
A. Limit fungsi aljabar dengan variabel menuju tak berhingga
Apabila suatu limit fungsi aljabar dengan variabel menuju tak
f x 
berhingga , dengan bentuk : lim maka untuk
x g x 
menyelesaikannya dapat kita lakukan dengan membagi pembilang
dan penyabut dengan variabel pangkat tertinggi ,perhahtikan
contoh berikut ini.
contoh 6
x 5
2
Tentukanlah nilai dari lim
x  4 x
Penyelesaian :
2
x 5 5
 1
x 5 1 0 4
2 2 2 2
x x x
lim  lim  lim   
x  4  x x  4 x x  4 1 00 0
2
 2 2

x x x x
Hal.: 13 Isi dengan Judul Halaman Terkait

14. PERHITUNGAN LIMIT FUNGSI ALJABAR
Contoh 7  x2 - 1 - x2 - 9 
Tentukan nilai dari lim  
x  4x 
 
Penyelesaian:
 2x
2
- 1 x
2
- 9  2x 1
2
x 9
2
  
 2 2
- 9
-
  lim  
2 2
2x - 1 - x
lim  x x x x
 lim
x  4x  x  4x  x 4
   
 x 
2 2
2x 1 x 9
2
 2
 2
 2
x x x x
 lim
x 4
1 9
2 2
 1 2
x x
 lim
x 4
2  0  1 0

4
2 1

4
Hal.: 14 Isi dengan Judul Halaman Terkait

15. PERHITUNGAN LIMIT FUNGSI ALJABAR
B. Limit dungsi aljabar dengan variabel menuju tak berhingga
Apabila suatu limit fungsi aljabar dengan variabel menuju tak
berhingga , dengan bentuk : lim f  x   g  x  maka untuk
x 
menyelesaikannya dapat kita lakukan dengan cara mengali dengan
bentuk lawan,perhahtikan contoh berikut ini.
Adapun bentuk bentuk lawan dimaksud adalah:
f x   g x 
1. f  x   g  x  bentuk lawanny adalah
f x   g x 
f x   g x 
2. f  x   g  x  bentuk lawanny adalah
f x   g x 
Contoh 8
Tentukan nilai dari limit
x ~
 9x
2
 8x  7  9x
2
 6x  5 
Hal.: 15 Isi dengan Judul Halaman Terkait

16. PERHITUNGAN LIMIT FUNGSI ALJABAR
Penyelesaian : limit
x ~
 9x
2
 8x  7  9x
2
 6x  5 

 9x 2  8x  7   6x  5 
 9x
2
9x
 limit  8x  7   6x  5 . 
2 2
9x
x ~  9x 2  8x  7  2
 6x  5 
 9x 
 (9x 2  8x  7)  (9x 2  6x  5) 
 limit  
x ~   - 14  0
 9x  8x  7  9x  6x  5 
2 2

9  0  0  9  0  0
 - 14x  12 
 limit   - 14
x ~   
 9x  8x  7  9x  6x  5 
2 2
3  3
 - 14x 12 
  
  - 14
 limit

x x
 
x ~ 2 2

9x 8x 7
 2  2 
9x 6x 5
 2  2 
6
 2 2 
 x x x x x x 
-7


12 
 
- 14 
 x  3
 limit
x ~  8 7 6 5 
 9   2  9   2 
 x x x x 
Hal.: 16 Isi dengan Judul Halaman Terkait

17. PERHITUNGAN LIMIT FUNGSI ALJABAR
Soal latihan
1. Tentukan nilai limit fungsi berikut ini.
a. lim
x 
 x2  x 1 
b. lim
x 
 x  3x  4 
2
x  x2
2

lim  2x  x  1   3x  1
2 2
c. x
x 
Hal.: 17 Isi dengan Judul Halaman Terkait

18. 12.2. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
12.2.1.Fungsi Trigonometri Yang Variabelnya Mendekati
Suatu Sudut tertentu
Jika dalam lim f  x  dengan f(x) merupakan fungsi
x
trigonometri , maka limit fungsi ini dinamakan limit fungsi
trigonometri
Untuk mengerjakan limit fungsi trigonometri yang
variabelnya mendekati suatu sudut tertenru dalam beberapa hal dia
mempunyai kemiripan dengan perhitungan limit fungsi aljabar .
Jika dengan substitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu
maka kita harus upayakan cara-cara lain ,yakni menyederhanakan
dengan menggunakan rumus- rumus atau identitas trigono
metritrigonometri yang sebelumnya telah kita pelajari.
Adapun bentuk – bentu limit fungsi trigonometri misalnya:
sin  2 x  tan 3 x 
a . lim cos 3 x  b . lim c . lim
x x x x x
Hal.: 18 Isi dengan Judul Halaman Terkait

19. 12.2. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Contoh 9 Contoh 10  sinx  cosx 
 sinx  Tentukanlah nilai limit  
Tentukanlah nilai limit 0 
 3cos(4x  π) 
 x  45
0
 1  sin2x 
x  90
 
Penyelesaian :
Penyelesaian :  
sinx  sinx  cosx   cos45
0 0
sin45
limit 0 
 3cos(4x  π) 
 limit  =
x  90
   1  sin2x  1  sin2.45
0
x  45 0
2 
1 1
0 2 2
2
sin 90 =
= 11
 180
0 0
3cos(4.90 )
2
1 =
2
= 0
3cos 180
1
= 2
2
1
=
3(  1)
1
= 
3
Hal.: 19 Isi dengan Judul Halaman Terkait

20. 12.2. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Contoh 11.
 sinx  cosx 
Tentukanlah nilai limit
0

 1  tgx 

x  45
 
Penyelasaian :
2 
1 1
 sinx  cosx  sin45
0
 cos45
0
2 0
limit 0   = =
2 2 
 1  tgx 
1  tg45
0
x  45
  11 0
Karena dengan mensubstitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu, maka terlebih dahulu
fungsinya disederhanakan dengan menggunakan identitas trigonometri.
   
   
 sinx  cosx  sin x  cos x 
limit 0 
 1  tgx  = limit 0

 sin x - cos x 
= limit 0 
x  45  sin x  x  45  cos x sin x 
x  45
 
 1    
   cos x   cos x cos x 
   
sinx  cosx  cos x
= limit   = lim sin x  cos x 
x  45  cos x - sin x
0
 x  45
0  sin x  cos x 

   
 cosx 
= lim 0 (  cos x )   lim 0 (cos x )
x  45 x  45
1
= cos 45 0
  2
2
Hal.: 20 Isi dengan Judul Halaman Terkait

21. 12.2. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
12.2.2 Rumus – rumus limit fungsi trigonometri
sin x Contoh 12  sin 5x 
a. lim 1 Tentukan nilai limit  
x 0 x x0
 x 
x Penyelesaian :
b. lim 1
x 0 sin x
 sin 5x   sin 5x   5 
tan x limit   = limit  . 
a. lim 1 x0
 x  x0
 x 5
x 0 x
x  sin 5x 
a. lim 1 = 5 limit  .
x 0 tan x x0
 5x 
= 5(1)
=5
Hal.: 21 Isi dengan Judul Halaman Terkait

22. 12.2. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut ini.
 x   2tg 3x 
1. limit   5. limit  
x  0  tg 3x 
  x0
 sin 5x 
 1  cos 2x   1  cos 2 x 
2. limit   6. limit  
x0  
2 2
x0
 x   x 
 sin 2x   x.tg x 
3. limit   7. limit  
 1  cos x 
2
x0
 sin x  x0
 1  cos 2 x 
4. limit  
x0  
 x.sin x 
Hal.: 22 Isi dengan Judul Halaman Terkait

23. 12.3. TEOREMA LIMIT
12.3. Teorema limit
Dalam pembahasan limit fungsi di atas sebenarnya kita telah menggunakan
beberapa teorema limit fungsi yang berikut ini akan dibahas lebih lanjut.
1. Jika f(x), maka lim f  x   k , k konstanta k dan abilangan riel.
x a
2. Jika f  x   x maka lim f  x   a
x a
3. Limit jumlah beberapa fungsi lim  f  x   g  x   lim f  x   lim g  x 
x a x a x a
4. Limit selisih beberapa fungsi lim  f  x   g  x   lim f  x   lim g  x 
x a x a x a
5. Jika k konstanta maka lim k f  x   k lim f  x 
x a x a
6. Limit perkalian beberapa fungsi lim  f  x   g  x   lim f  x   lim g  x 
x a x a x a
f x  lim f x 
x a
7. Limit pebagian beberapa fungsi lim 
x a g x  lim g  x 
lim g  x   0
x a
dengan catatan
x a
Hal.: 23 Isi dengan Judul Halaman Terkait

24. 12.3. TEOREMA LIMIT
8. Limit fungsi pangkat n sama dengan pangkat n dari limit fungsi itu
dituliskan sebagai berikut :
lim  f  x 
x a
n

 lim f  x 
x a
 n
9. Limit akar ke n dari sebuah fungsi : lima f  x   lim f  x  dengan
n n
x x a
catatan lim f  x   o untuk n genap
x a
Selanjutnya perhatikan pembahasan soal berikut ini
Contoh13
Hitunglah lim 3 x  4  Teorema 4
x 2
Penyelesaian :
lim 3 x  4   lim 3 x  lim 4 Teorema 5
x 2 x 2 x 2
 3 lim x  lim 4
x 2 x 2 Teorema 1 dan2
 3 2   4
 2
Hal.: 24 Isi dengan Judul Halaman Terkait

25. PEMBAHASAN SOAL MENGGUNAKAN TEOREMA LIMIT
Contoh 14
x 5
2
Teorema 7
Hitunglah lim
x 2 x
Penyelesaian : Teorema 9
x 5
2
x 5 lim
=
2
x 2 Teorema 2
lim
x 2 x lim x
x 2
= x 2

lim x  5
2
 Teorema 3
2
Teorema 8
lim x  lim 5
2
= x 2 x 2
Teorema 8
2
=
lim x 
x 2
2
 lim 5
x 2 = 2  2 5
2 2
3
=
2
Hal.: 25 Isi dengan Judul Halaman Terkait

26. PEMBAHASAN SOAL MENGGUNAKAN TEOREMA LIMIT
Contoh 15
Jika diketahui lim f  x   3 dan lim g  x   243
x 2 x 2
Hitunglah lim f
x 2
 2
x   5 g x 
Penyelesaian : Teorema 6
lim f
x 2
 2
x   5 g x   lim f
2
 x   lim 5
g x  Teorema 8 dan 9
x 2 x 2
 x 2

 lim f  x   5 lim g  x 
2
x 2
3 
2 5
243
 93
 27
Hal.: 26 Isi dengan Judul Halaman Terkait

27. EMBAHASAN SOAL MENGGUNAKAN TEOREMA LIMIT
Contoh 16
tan 4 x
Hitunglah nilai dari lim
x 0 sin 3 x
Penyelesaian :
tan 4 x
lim
x 0 sin 3 x
tan 4 x 4  3x
 lim 
x 0 sin 3 x 3  4x Teorema 5 dan 6
4 tan 4 x 3x
 lim 
x 0 3 4x sin 3 x Teorema 6
4 tan 4 x 3x
 lim  lim
x 0 3 4x x 0 sin 3 x
4 tan 4 x 3x
 lim  lim
3 x 0 4x x 0 sin 3 x
4
 1 1
3
1
Hal.: 27 Isi dengan Judul Halaman Terkait

28. TEOREMA LIMIT
Contoh 17
cos 2 x  1
Hitunglah lim 2
x 0 x
cos 2 x  1 1  2 sin 2

x 1
lim 2 = lim 2
x 0 x x 0 x
 2 sin
2
x
= lim
x 0 2
x
Teorema 5
2
sin x
=  2 lim 2
x 0 x Teorema 8
2
 sin x 
=  2 lim  
x 0
 x 
2
 sin x 
=  2   lim = 2 1   2
2

 x 0 x 
Hal.: 28 Isi dengan Judul Halaman Terkait

29. SOAL LATIHAN MENGGUNAKAN TEOREMA LIMIT
Soal latihan
Gunakan teorema limit untuk menyelesaikan soal – soal berikut ini
1. lim 3 x  4  sin 3 x
x 0 1 . lim
x 0
x 
sin 2 x
2. lim
x  2
2

 1 2  4 x  sin 5 x
2. lim
x  0 tan x
4x
3. lim tan 6 x
2x  9 3 . lim
x 3 2
x 0 sin 4 x
7 4. Jika lim f  x   2 dan lim g  x    1
4x 
2 x  a x  a
4. lim x
x  2 2 Tentukanla h :
x   g 3 x 
1
   3
a . lim f
lim x  4 x  44
4 3
5. 2 x a
x 5
b . lim  f  x   4   5 g  x 
x a
Hal.: 29 Isi dengan Judul Halaman Terkait

30. 12.4. KONTINUITAS DAN DISKONTINUITAS
Pengertian tentang kontinuitas dan diskontinuitas suatu fungsi
Perhatikan gambar berikut
Y Y




X
X
0 x=a
x=a
Gambar 12.2 Gambar 12.3
Pada gambar 12.2 fungsi diskontinu ( tak sinambung) di x  a
maka lim f  x  tidak ada
x a
Pada gambar 12.3 fungsi juga diskontinu ( tak sinambung ) di x  a sebab
walaupun lim f  x  ada tetapi lim f  x   f  a 
x a x a
Hal.: 30 Isi dengan Judul Halaman Terkait

31. KONTINUITAS DAN DISKONTINUITAS
Pengertian tentang kontinuitas dan diskontinuitas suatu fungsi
Perhatikan gambar berikut
Y

X
0 x=a
Gambar 12.4
Pada gambar 12.3 fungsi kontinu ( sinambung ) di x  a sebab lim f  x   f  a 
x a
Defenisi :
Misalkan fungsi f tertentu dalam suatu interval yang mengandung nilai a
, Maka fungsi f diskontinu di x  a jika dan hanya jika
lim f  x   f  a 
x a
Hal.: 31 Isi dengan Judul Halaman Terkait

32. SYARAT KONTINU SUATU FUNGSI
Syarat yang harus dipenuhi agar sebuah fungsi f
kontinu di di x  a
Yakni :
1. f  a  harus ada a dalam domain f 
2. lim f  x  harus ada
x a
3. lim f  x   f  a 
x a
Hal.: 32 Isi dengan Judul Halaman Terkait

33. PEMBAHASAN SOAL KONTINUITAS SUATU FUNGSI
Contoh 18
Periksa apakah f  x   x  x  2 kontinu di x  1
2
Penyelesaian :
f 1   1   1   2  2 ...  f 1  
2
1. ada
2.
x 1 x 1
 2

lim f  x   lim x  x  2  1  1  2  2
2

... lim f  x 
x 1
ada 
Dari (1) dan (2) Jelas bahwa
3 lim f  x   f 1 
x 1
Karena ketiga syarat kontinuitas di penuhi maka
f  x   x  x  2 kontinu di x  1
2
Hal.: 33 Isi dengan Judul Halaman Terkait

34. PEMBAHASAN SOAL KONTINUITAS SUATU FUNGSI
Contoh 18
x 4
2
Apakah f  x   kontinu di x = 2
x2
Penyelesaian :
2  2 4 0
1. f 2    ........ tak tentu 
22 0
x 4
2
Karena f  2  tak tentu maka f x   diskontinu di x= =2
x2
Contoh 19
Apakah
 x3 1
 .untuk x 1
f x    x  1
3 x 1
 untuk
Hal.: 34 Isi dengan Judul Halaman Terkait

35. PEMBAHASAN SOAL KONTINUITAS SUATU FUNGSI
Penyelesaian :
1. F(1) = 3
x 1
3
2. lim f  x   lim
x 1 x 1 x 1
 lim

x 1 x  x 1
2

x 1 x 1

 lim x  x  1
x 1
2

 1   1   1
2
3
3. lim f  x   f 1 
x 1
Apa kesimpulan anda
Hal.: 35 Isi dengan Judul Halaman Terkait

36. Soal evaluasi akhir bab
Kerjakan soal berikut ini
1 . lim  x  x  4   x2 - 1 - x2 - 9 
2
x  2
6. lim  
x  4x 
 
x 4
2
2. lim  sinx 
limit 0 
 3cos(4x  π) 
x2
x 2 7. 
x  90
 
x 1
3. lim  1  cos 2 x 
x 1 8. limit  
x0  
x 3
 x.sin x 
9. Jika lim f  x   2 dan lim g  x    1
x 9
2
x  a x  a
4. lim
x 3
x 7 4
2 Tentukanla h : lim f
3
x   g
3
x 
x a
x 4
2
10 . Apakah fungsi f  x   kotinu
x 5
2
x2
5, lim
x  4 x di x  2
Hal.: 36 Isi dengan Judul Halaman Terkait

37. Hal.: 37 Isi dengan Judul Halaman Terkait