13. limit fungsi smk n2 ds

LIMIT FUNGSI

Oleh: Drs. Manaek Lumban Gaol

12.1. PEENGERTIAN LIMIT FUNGSI ALJABAR
A. Defenisi Limit fungsi Tabel nilai – nilai fungsi untuk x
Perhatikan gambar di bawah ini dekat dengan 2

x 4
2 X F(x)
F x  
1,90 3,9
x2
4
1,99 3,99
1,999 3,999
2
2 ...?
2,001 4,001
-2 0 2
2,01 4,01
Df = {x | x  R, x  2}
jika dicari nilai fungsi untuk x = 2, 2.1 4,1

4
2
2 0
F 2    adalah bentuk taktentu
22 0

Dari tabel di atas dapat disimpulkan bahwa untuk x mendekati 2 baik dari
kiri maupun dari kanan, nilai fungsi tersebut makin mendekati 4, dan dari sini
dikatakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati 2 sama dengan 4
Hal.: 2 Isi dengan Judul Halaman Terkait

PENGERTIAN LIMIT FUNGSI
Secara matematika , dituliskan sebagai berikut.
 4
2
x
lim  4
x 2 x  2
Dari uraian ini timbullah pengertian limit secara intuisi, sehingga :

Pengertian limit fungsi secara intuitif : lim F  x   L , mengandung arti
x a

bahwa jika x mendekati { x } maka nilai F  x  mendekati L

Secara umum, limit fungsi didefenisikan sebagai berikut
Dikatakan; lim F  x   L adalah bahwa untuksetiap   0 yang
diberika betapapun kecilnya ,terdapat   0 yang berpadanan
x a

sedemikian sehihingga F  x   L   untuk setiap 0  x  a  


LIMIT FUNGSI ALJABAR

I. Limit fungsi aljabar jika variabelnya
mendekati nilai tertentu diselesaikan
dengan Langkat-langkah sebagai berikut
A. Substitusi langsung
B. Faktorisasi.
C. Mengalikan dengan bilangan sekawan.


PERHITUNGAN LIMIT FUNGSI ALJABAR

A. Cara substitusi langgsung
Contoh 1:
Hitunglah : lim 3 x  1  
x 2
Penyelesaian
lim 3 x  1   3  2   1  6  1  5
x 2

Kerjakan soal derikut ini

1, lim
x  2
x 2
 x  4 
2 . lim 10 x  1
x 1

x  2
3 . lim
x  2 x  2
1
2
x
4 . lim
1
2
x  2 x


B. Cara Fatorisasi
Jika dengan cara substitusi langsung
f x  f a  0
lim diperoleh  bentuk taktentu 
x a g x  g a  0

Maka perhitungan limit fungsi dilakukan dengan memfaktorkan
Contoh : 2
x  x  6
2

Hitunglah : lim
x 3 x  3
Peyelesaia n
x  x6
2
 x  3  x  2 
lim  lim  lim x  2 
x 3 x3 x 3 x3 x 3

 32  5



Contoh 2 x 1 Penyelesai an
Hitunglah : lim
x 3
x 1 x  2x
3
x( x  2)
2

lim  lim
x  x x( x  2)
x 0 2 x 0
Penyelesai an
( x  2) (0  2)
2 2
x 1 ( x  1)( x  1) lim 
lim  lim x 0 ( x  2) (0  2)
x 1
x 1 x1
x 1
2

 lim x 1 x 1 2
x1
 1
 2

Contoh 3
x  2x
3

Hitunglah lim
 x
2
x 0 x



Hitunglah nilai limit fungsi yang berikut ini

 4
2
x
1. lim
x 2 x  2
x
2 .. lim
 x
x 0 2
x
 2x
3
x
3 .. lim
 x
x 0 2
x
 x  4x  x
4 3 2
x
4 .. lim
 2x  8x
x 0 3
x


c. Mengalikan dengan bentuk sekawan.
Contoh 4 x 9
2

Hitunglah nilai lim
x 3
x 7 4
2
Penyelesaian :

9 9  7  4
2 2 2
x x x
lim  lim 
x 3 x 3
 7  4 7 4  7  4
2 2 2
x x x

 lim
x 2
 9  x
2
 7  4 
 7  16
x 3 2
x

 lim
x 2
 9  x
2
 7  4 
9
x 3 2
x
 lim
x 3
 x
2
 7  4 
  7  4
2
3

 16  4  8



Contoh 5
4 x  x4
Hitunglah : lim
x 0 x
Penyelesaian :

4 x  4 x 4 x  4 x 4 x  4 x
lim  lim 
x 0 x x 0 x 4 x  4 x
4  x   4  x  2x
 lim  lim
x 0
x  4 x  4 x  x 0
x  4 x  4 x 
2 2
 lim 
x 0
 4 x  4 x   40  40 
1

22
1

2


Hitunglah nilai limit fungsi yang berikut ini
x 1
1. lim
x1
x 32
2

4 x
2

2. lim
x 2
3 x 5
2

2 x  2 x
3. lim
x 0 x
x  3x  1  x  4x  1
2 2

4. lim
x 0 2x



II. Limit fungsi aljabar jika variabelnya
mendekati tak berhingga maka
diselesaikan dengan :
A. Mebagi dengan pangkat tertinggi
B. Mengalikan dengan faktor lawan



A. Limit fungsi aljabar dengan variabel menuju tak berhingga
Apabila suatu limit fungsi aljabar dengan variabel menuju tak
f x 
berhingga , dengan bentuk : lim maka untuk
x g x 
menyelesaikannya dapat kita lakukan dengan membagi pembilang
dan penyabut dengan variabel pangkat tertinggi ,perhahtikan
contoh berikut ini.

contoh 6
x 5
2

Tentukanlah nilai dari lim
x  4 x
Penyelesaian :
2
x 5 5
 1
x 5 1 0 4
2 2 2 2
x x x
lim  lim  lim   
x  4  x x  4 x x  4 1 00 0
2
 2 2

x x x x



Contoh 7  x2 - 1 - x2 - 9 
Tentukan nilai dari lim  
x  4x 
 
Penyelesaian:
 2x
2
- 1 x
2
- 9  2x 1
2
x 9
2
  
 2 2
- 9
-
  lim  
2 2
2x - 1 - x
lim  x x x x
 lim
x  4x  x  4x  x 4
   
 x 
2 2
2x 1 x 9
2
 2
 2
 2
x x x x
 lim
x 4
1 9
2 2
 1 2
x x
 lim
x 4
2  0  1 0

4
2 1

4



B. Limit dungsi aljabar dengan variabel menuju tak berhingga
Apabila suatu limit fungsi aljabar dengan variabel menuju tak
berhingga , dengan bentuk : lim f  x   g  x  maka untuk
x 

menyelesaikannya dapat kita lakukan dengan cara mengali dengan
bentuk lawan,perhahtikan contoh berikut ini.

Adapun bentuk bentuk lawan dimaksud adalah:

f x   g x 
1. f  x   g  x  bentuk lawanny adalah
f x   g x 
f x   g x 
2. f  x   g  x  bentuk lawanny adalah
f x   g x 

Contoh 8
Tentukan nilai dari limit
x ~
 9x
2
 8x  7  9x
2
 6x  5 


Penyelesaian : limit
x ~
 9x
2
 8x  7  9x
2
 6x  5 

 9x 2  8x  7   6x  5 
 9x
2
9x
 limit  8x  7   6x  5 . 
2 2
9x
x ~  9x 2  8x  7  2
 6x  5 
 9x 

 (9x 2  8x  7)  (9x 2  6x  5) 
 limit  
x ~   - 14  0
 9x  8x  7  9x  6x  5 
2 2

9  0  0  9  0  0
 - 14x  12 
 limit   - 14
x ~   
 9x  8x  7  9x  6x  5 
2 2

3  3
 - 14x 12 
  
  - 14
 limit

x x
 
x ~ 2 2

9x 8x 7
 2  2 
9x 6x 5
 2  2 
6
 2 2 
 x x x x x x 
-7


12 
 
- 14 
 x  3
 limit
x ~  8 7 6 5 
 9   2  9   2 
 x x x x 



Soal latihan
1. Tentukan nilai limit fungsi berikut ini.

a. lim
x 
 x2  x 1 
b. lim
x 
 x  3x  4 
2
x  x2
2

lim  2x  x  1   3x  1
2 2
c. x
x 


12.2. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

12.2.1.Fungsi Trigonometri Yang Variabelnya Mendekati
Suatu Sudut tertentu
Jika dalam lim f  x  dengan f(x) merupakan fungsi
x
trigonometri , maka limit fungsi ini dinamakan limit fungsi
trigonometri
Untuk mengerjakan limit fungsi trigonometri yang
variabelnya mendekati suatu sudut tertenru dalam beberapa hal dia
mempunyai kemiripan dengan perhitungan limit fungsi aljabar .
Jika dengan substitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu
maka kita harus upayakan cara-cara lain ,yakni menyederhanakan
dengan menggunakan rumus- rumus atau identitas trigono
metritrigonometri yang sebelumnya telah kita pelajari.
Adapun bentuk – bentu limit fungsi trigonometri misalnya:

sin  2 x  tan 3 x 
a . lim cos 3 x  b . lim c . lim
x x x x x



Contoh 9 Contoh 10  sinx  cosx 
 sinx  Tentukanlah nilai limit  
Tentukanlah nilai limit 0 
 3cos(4x  π) 
 x  45
0
 1  sin2x 
x  90
 
Penyelesaian :
Penyelesaian :  
sinx  sinx  cosx   cos45
0 0
sin45
limit 0 
 3cos(4x  π) 
 limit  =
x  90
   1  sin2x  1  sin2.45
0
x  45 0

2 
1 1
0 2 2
2
sin 90 =
= 11
 180
0 0
3cos(4.90 )
2
1 =
2
= 0
3cos 180
1
= 2
2

1
=
3(  1)
1
= 
3



Contoh 11.
 sinx  cosx 
Tentukanlah nilai limit
0

 1  tgx 

x  45
 
Penyelasaian :
2 
1 1
 sinx  cosx  sin45
0
 cos45
0
2 0
limit 0   = =
2 2 
 1  tgx 
1  tg45
0
x  45
  11 0
Karena dengan mensubstitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu, maka terlebih dahulu
fungsinya disederhanakan dengan menggunakan identitas trigonometri.
   
   
 sinx  cosx  sin x  cos x 
limit 0 
 1  tgx  = limit 0

 sin x - cos x 
= limit 0 
x  45  sin x  x  45  cos x sin x 
x  45
 
 1    
   cos x   cos x cos x 
   
sinx  cosx  cos x
= limit   = lim sin x  cos x 
x  45  cos x - sin x
0
 x  45
0  sin x  cos x 

   
 cosx 

= lim 0 (  cos x )   lim 0 (cos x )
x  45 x  45
1
= cos 45 0
  2
2



12.2.2 Rumus – rumus limit fungsi trigonometri

sin x Contoh 12  sin 5x 
a. lim 1 Tentukan nilai limit  
x 0 x x0
 x 
x Penyelesaian :
b. lim 1
x 0 sin x
 sin 5x   sin 5x   5 
tan x limit   = limit  . 
a. lim 1 x0
 x  x0
 x 5
x 0 x
x  sin 5x 
a. lim 1 = 5 limit  .
x 0 tan x x0
 5x 

= 5(1)

=5



Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut ini.

 x   2tg 3x 
1. limit   5. limit  
x  0  tg 3x 
  x0
 sin 5x 

 1  cos 2x   1  cos 2 x 
x0  
2 2
x0
 x   x 

 sin 2x   x.tg x 
 1  cos x 
2
x0
 sin x  x0

 1  cos 2 x 
4. limit  
x0  
 x.sin x 


12.3. TEOREMA LIMIT

12.3. Teorema limit
Dalam pembahasan limit fungsi di atas sebenarnya kita telah menggunakan
beberapa teorema limit fungsi yang berikut ini akan dibahas lebih lanjut.
1. Jika f(x), maka lim f  x   k , k konstanta k dan abilangan riel.
x a

2. Jika f  x   x maka lim f  x   a
x a

3. Limit jumlah beberapa fungsi lim  f  x   g  x   lim f  x   lim g  x 
x a x a x a

4. Limit selisih beberapa fungsi lim  f  x   g  x   lim f  x   lim g  x 

5. Jika k konstanta maka lim k f  x   k lim f  x 
x a x a

6. Limit perkalian beberapa fungsi lim  f  x   g  x   lim f  x   lim g  x 

f x  lim f x 
x a
7. Limit pebagian beberapa fungsi lim 
x a g x  lim g  x 
lim g  x   0
x a

dengan catatan
x a


12.3. TEOREMA LIMIT

8. Limit fungsi pangkat n sama dengan pangkat n dari limit fungsi itu
dituliskan sebagai berikut :
lim  f  x 
x a
n

 lim f  x 
x a
 n

9. Limit akar ke n dari sebuah fungsi : lima f  x   lim f  x  dengan
n n
x x a
catatan lim f  x   o untuk n genap
x a

Selanjutnya perhatikan pembahasan soal berikut ini
Contoh13
Hitunglah lim 3 x  4  Teorema 4
x 2
Penyelesaian :
lim 3 x  4   lim 3 x  lim 4 Teorema 5
x 2 x 2 x 2

 3 lim x  lim 4
x 2 x 2 Teorema 1 dan2
 3 2   4
 2


PEMBAHASAN SOAL MENGGUNAKAN TEOREMA LIMIT

Contoh 14
x 5
2
Teorema 7
Hitunglah lim
x 2 x
Penyelesaian : Teorema 9

x 5
2
x 5 lim
=
2
x 2 Teorema 2
lim
x 2 x lim x
x 2

= x 2

lim x  5
2
 Teorema 3

2
Teorema 8
lim x  lim 5
2

= x 2 x 2
Teorema 8
2

=
lim x 
x 2
2
 lim 5
x 2 = 2  2 5
2 2
3
=
2

PEMBAHASAN SOAL MENGGUNAKAN TEOREMA LIMIT

Contoh 15
Jika diketahui lim f  x   3 dan lim g  x   243
x 2 x 2

Hitunglah lim f
x 2
 2
x   5 g x 

Penyelesaian : Teorema 6

lim f
x 2
 2
x   5 g x   lim f
2
 x   lim 5
g x  Teorema 8 dan 9
x 2 x 2

 x 2

 lim f  x   5 lim g  x 
2

x 2

3 
2 5
243
 93
 27


EMBAHASAN SOAL MENGGUNAKAN TEOREMA LIMIT

Contoh 16
tan 4 x
Hitunglah nilai dari lim
x 0 sin 3 x
Penyelesaian :
tan 4 x
lim
x 0 sin 3 x
tan 4 x 4  3x
 lim 
x 0 sin 3 x 3  4x Teorema 5 dan 6
4 tan 4 x 3x
 lim 
x 0 3 4x sin 3 x Teorema 6
4 tan 4 x 3x
 lim  lim
x 0 3 4x x 0 sin 3 x
4 tan 4 x 3x
 lim  lim
3 x 0 4x x 0 sin 3 x
4
 1 1
3
1


TEOREMA LIMIT

Contoh 17
cos 2 x  1
Hitunglah lim 2
x 0 x

cos 2 x  1 1  2 sin 2

x 1
lim 2 = lim 2
x 0 x x 0 x
 2 sin
2
x
= lim
x 0 2
x
Teorema 5
2
sin x
=  2 lim 2
x 0 x Teorema 8

2
 sin x 
=  2 lim  
x 0
 x 

2
 sin x 
=  2   lim = 2 1   2
2

 x 0 x 


SOAL LATIHAN MENGGUNAKAN TEOREMA LIMIT

Soal latihan
Gunakan teorema limit untuk menyelesaikan soal – soal berikut ini

1. lim 3 x  4  sin 3 x
x 0 1 . lim
x 0

x 
sin 2 x
2. lim
x  2
2

 1 2  4 x  sin 5 x
2. lim
x  0 tan x
4x
3. lim tan 6 x
2x  9 3 . lim
x 3 2
x 0 sin 4 x
7 4. Jika lim f  x   2 dan lim g  x    1
4x 
2 x  a x  a
4. lim x
x  2 2 Tentukanla h :

x   g 3 x 
1

   3
a . lim f
lim x  4 x  44
4 3
5. 2 x a
x 5
b . lim  f  x   4   5 g  x 
x a


12.4. KONTINUITAS DAN DISKONTINUITAS

Pengertian tentang kontinuitas dan diskontinuitas suatu fungsi
Perhatikan gambar berikut

Y Y





X
X
0 x=a
x=a
Gambar 12.2 Gambar 12.3

Pada gambar 12.2 fungsi diskontinu ( tak sinambung) di x  a
maka lim f  x  tidak ada
x a

Pada gambar 12.3 fungsi juga diskontinu ( tak sinambung ) di x  a sebab
walaupun lim f  x  ada tetapi lim f  x   f  a 
x a x a


KONTINUITAS DAN DISKONTINUITAS

Pengertian tentang kontinuitas dan diskontinuitas suatu fungsi
Perhatikan gambar berikut

Y



X

0 x=a
Gambar 12.4

Pada gambar 12.3 fungsi kontinu ( sinambung ) di x  a sebab lim f  x   f  a 
x a

Defenisi :
Misalkan fungsi f tertentu dalam suatu interval yang mengandung nilai a
, Maka fungsi f diskontinu di x  a jika dan hanya jika

lim f  x   f  a 
x a


SYARAT KONTINU SUATU FUNGSI

Syarat yang harus dipenuhi agar sebuah fungsi f
kontinu di di x  a
Yakni :

1. f  a  harus ada a dalam domain f 
2. lim f  x  harus ada
x a

3. lim f  x   f  a 
x a


PEMBAHASAN SOAL KONTINUITAS SUATU FUNGSI

Contoh 18
Periksa apakah f  x   x  x  2 kontinu di x  1
2

Penyelesaian :

f 1   1   1   2  2 ...  f 1  
2
1. ada

2.
x 1 x 1
 2

lim f  x   lim x  x  2  1  1  2  2
2

... lim f  x 
x 1
ada 
Dari (1) dan (2) Jelas bahwa
3 lim f  x   f 1 
x 1

Karena ketiga syarat kontinuitas di penuhi maka

f  x   x  x  2 kontinu di x  1
2



Contoh 18
x 4
2
Apakah f  x   kontinu di x = 2
x2
Penyelesaian :

2  2 4 0
1. f 2    ........ tak tentu 
22 0
x 4
2

Karena f  2  tak tentu maka f x   diskontinu di x= =2
x2
Contoh 19

Apakah
 x3 1
 .untuk x 1
f x    x  1
3 x 1
 untuk



Penyelesaian :
1. F(1) = 3

x 1
3

2. lim f  x   lim
x 1 x 1 x 1

 lim

x 1 x  x 1
2

x 1 x 1

 lim x  x  1
x 1
2

 1   1   1
2

3
3. lim f  x   f 1 
x 1

Apa kesimpulan anda


Soal evaluasi akhir bab
Kerjakan soal berikut ini

1 . lim  x  x  4   x2 - 1 - x2 - 9 
2

x  2
6. lim  
x  4x 
 
x 4
2

2. lim  sinx 
limit 0 
 3cos(4x  π) 
x2
x 2 7. 
x  90
 
x 1
3. lim  1  cos 2 x 
x 1 8. limit  
x0  
x 3
 x.sin x 

9. Jika lim f  x   2 dan lim g  x    1
x 9
2
x  a x  a
4. lim
x 3
x 7 4
2 Tentukanla h : lim f
3
x   g
3
x 
x a
x 4
2

10 . Apakah fungsi f  x   kotinu
x 5
2
x2
5, lim
x  4 x di x  2


13. limit fungsi smk n2 ds

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (18)

Similar a 13. limit fungsi smk n2 ds

Similar a 13. limit fungsi smk n2 ds (20)

Más de Manaek Lumban Gaol

Más de Manaek Lumban Gaol (20)

13. limit fungsi smk n2 ds