Probabilités 2 : Lois à densité ou Lois de probabilités continues
« I » : Grandes binomiales
1/ Evolution d'une loi binomiale en fonction du nombre d'essais n
X est la loi binomiale B (0,4 ; n). Ci-dessous, l'histogramme des probabilités pour n Î {5;10;15;20;25;60}
n = 5 n = 10 n = 15
n = 20 n = 25 n = 60
2/ Du calcul de probabilité à un calcul d'intégrale
►Dans les cas où n est assez grand par exemple n = 60, on peut
approximer l' histogramme par la fonction f représentée en rouge.
► La probabilité p(20 ≤ X ≤ 30) représentée en bleu interprétée
30
comme une aire peut être approximée par l’intégrale ∫
f (x)d x
20
►C'est ce principe que l'on va généraliser. On va ainsi être amené
à calculer des intégrales pour déterminer des probabilités.
► On reviendra sur les lois binomiales plus tard pour les lois
normales.
3/ Historique
La célèbre courbe en cloche a été définie au début du XIXième siècle par la mathématicien allemand Karl
Friedrich Gauss (1777-1855) lorsqu'il étudia la distribution des erreurs d'observation de l'astéroïde Cérès. A la
même époque elle fut aussi décrite par la scientifique français Laplace (1812) qui repris et compléta les travaux
du mathématicien Abraham de Moivre (1167-1754) en calculs de probabilité.
La loi associée à la courbe en cloche est appelée loi normale ou loi Laplace-Gauss. On qualifie la loi de
normale car elle modélise des situations normales ou naturelles. Par exemple sur une population de 1000
personnes dont la taille moyenne est 1m 70, a un histogramme des tailles proche de la courbe en cloche de Gauss.
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« I I » : Introduction, v ariables aléatoires discrètes ou continues
1/ Remarque :
► Si on choisit au hasard un nombre entier entre 3 et 6 compris, Ω = {3 ; 4 ; 5 ; 6}, on obtient un univers fini
composé de 4 entiers. On dit que l'univers est un univers discret et fini
►Si on choisit au hasard un nombre entier, Ω = N, on obtient un univers infini dont les éléments sont des
valeurs isolés. On dit que l'univers est un univers discret et infini
► Si on choisit au hasard un nombre réel entre 3 et 6 compris, Ω = [3 ; 6], on obtient un univers infini dont les
valeurs ne sont pas isolées mais continues. On dit que l'univers est un univers continu.
2/ Définitions
Une variable aléatoire discrète est une variable aléatoire dont les valeurs sont isolées, ou discrète.
Exemples :
1) Lancer un dé parfaitement équilibré et définir la variable aléatoire X qui prend la valeur 1 si c'est un nombre
pair, la valeur 2 si c'est 3 et 0 si on obtient 1 ou 5. X( Ω) = {0 ; 1 ; 2}
2) Lancer une pièce de monnaie équilibré et définir la variable aléatoire X qui prend la valeur 1 si c'est F et la
valeur 0 si c'est P. X( Ω) = {0 ; 1}
Une variable aléatoire continue est une variable aléatoire qui prend toutes les valeurs d'un intervalle.
Exemples :
1) Appeler un opérateur mobile, attendre moins de 5 minutes et noter le temps d'attente en minutes, X( Ω) = [0; 5]
2) Théoriquement un composant électronique peut durer indéfiniment. On note sa durée de vie. X( Ω) = [0 ; +∞[.
3/ Vers la densité de probabilité
► Dans la suite on va étudier des lois de probabilités de variables aléatoires continues telles que X( Ω) = I
Avec I = [a ; b] avec a < b
ou I = [a ; + ∞ [
ou I = R
► Il est clair que pour tout réel k qui n' appartient pas à I, p(k) = 0. L'événement {k} est impossible et la
probabilité de l’événement « choisir un nombre voisin de k » reste nulle
De même, il paraît évident que pour tout réel k de I, p(k) = 0 car il y a une infinité de nombres dans I. Mais
l'événement {k} n'est pas impossible, et la probabilité de l'événement « choisir un nombre voisin de k » n'est plus
nulle puisque qu'une infinité de nombre conviennent.
► On ne s’intéresse donc pas à la probabilité d'un nombre mais à la probabilité d'un minuscule intervalle
contenant ce nombre, cette probabilité f(k) est alors appelée densité de probabilité de ce nombre k .
On distingue les deux cas précédents en disant que :
Si k Ï I alors k est affectée d'une densité de probabilité nulle
Si k Î I alors est affectée d'une densité de probabilité f(k) non nulle.
c
► Si ∫on veut calculer la probabilité d'un intervalle [c ; d] de I, on doit
calculer la somme infinie de toutes les densité de probabilité des nombres x
de l'intervalle [c ; d]
d
On va donc utiliser un intégrale, et calculer p ([c ; d ])=f ( x)d x ,
► p([c ; d]) = p(X Î [c ; d]) est l'aire sous la courbe sur l'intervalle
[c ; d] de la fonction densité de probabilité f.
p([c ; d]) est l'aire coloriée en rose
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« II I »: Densité de probabilité f sur un intervalle I avec I = [a ; b] ou I = [a ; + ∞ [ ou I = R
1/ Définition
On appelle densité de probabilité sur un intervalle I de R toute fonction f continue et positive sur I
pour laquelle l'aire sous la courbe sur l'intervalle I vaut 1 ua
2/ Conséquences
b
f (x )dx=1
Si I = [a ; b] avec a < b ∫a
Si I = [a ; + ∞ [ lim
t
f (x )dx=1 qui peut se noter ∫a
t→+∞∫a
+∞
f ( x)dx=1
Si I = R lim
0
f ( x)dx+ lim
t→−∞∫t
t
f (x )dx=1 qui peut se noter ∫−∞
t→+∞∫0
+∞
f (x )dx=1
Exercice 0 1
1/ Montrer que la fonction f définie par f(x) = 1 est une densité de probabilité sur [0 ; 1]
2/ Montrer que la fonction f définie par f(x) =
12
est une densité de probabilité sur [1; 3]
3/Montrer que la fonction f définie par f(x) = 0,2 e -0,2 x est une densité de probabilité sur [0 ; + ∞[
4/ 1/ Déterminer le réel k pour que la fonction f définie sur [0;1] par : f ( x ) = k
1+x soit une densité de
probabilité sur [1 ; 2]
1/ f est continue et positive sur [0 ; 1]
1
1dx=[ x ]10
∫0
=1
2/ f est continue et positive sur [1 ; 3]
3 12
∫1
dx=[ x
2 ]31
=32
−12
=1
3/ f est continue et positive sur [0 ; + ∞[
lim
t
f (x )dx=lim
t→+∞∫a
t
0,2 e−0,2 x dx=lim
t→+∞∫a
t→+∞
[−e−0,2x ] y
0
=lim
t→+∞
(−e−0,2 t+1)=0+1=1
2 k
1+ x
4/ 1/ f est continue et positive sur [0;1] si k > 0 et on doit avoir ∫1
dx=1
2 k
1+ x
Or ∫1
dx=[k ln(1+ x)]21
=kln3−kln2=kln32
Donc k ln32
=1 et k= 1
ln32
qui est bien positif
« I V »: Loi de probabilité de densité f sur l'intervalle I
1/ Définition
X est la variable aléatoire qui donne les valeurs de I
On appelle loi de probabilité sur I de densité f la probabilité définie de la manière suivante:
Pour tout intervalle J de I, p(J) est l'aire sous la courbe de la fonction f sur l' intervalle J.
Ainsi : pour tout intervalle [c ; d] de I, p ([c ; d] = p(X Î [c ; d]) = p (c ≤ X ≤ d) = ò d
c
f (x)dx
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2/ Illustrations
Si I = [a ; b]
p([c ; d]) est l'aire sous la courbe coloriée
Si I = [a ; + ∞ [
p([c ; d]) est l'aire sous la courbe en vert foncé
D'après la définition de la densité de probabilité,
Si I = [a ; b]
P([a ; b]) = 1 , c'est l' aire du domaine teinté.
Si I = [a ; + ∞ [
p([a ; + ∞ [ ) = 1 , c'est l' aire du domaine teinté.
Si I = [a ; + ∞ [ alors pour tout c ≥ a :
p( [c ; + ∞ [ ) = p(X Î [c ; + ∞ [) = p( X ≥ c ) = lim
t
f (x )dx
t→+∞∫c
Remarque : p( [c ; + ∞ [ ) = 1 – p([a ; c]
p([c ; + ∞ [) est l'aire coloriée en vert foncé
Si I = R
L'aire totale sous la courbe est 1.
p(]-∞ ; c[) est colorié en vert
p ([c ; d]) est colorié en gris
p([d ; + ∞ [) est en blanc.
t→−∞∫t
Si I = R alors pour c réel, p( ]-∞ ; c] ) = p(X Î ]-∞ ; c] ) = p( X ≤ c ) = lim
c
f ( x)dx
t→+∞∫c
pour d réel, p( [d ; + ∞ [ ) = p(X Î [d ; + ∞ [) = p( X ≥ d ) = lim
t
f (x )dx
L'interprétation d'un probabilité comme une aire induit des propriétés évidentes. ( p(X > d) = 1 – p(x < d) )
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0
Exercice 0 2
12
∫1/ Montrer que la fonction f définie par f(x) = x est une densité de probabilité sur [0 ; √2 ]
2/Déterminer alors p([0,5 : 1])
√2
1/ est continue et positive sur [0 ; 2 ]. De plus x dx = [ x2]√2
= 1
0
2/ p ([0,5 ; 1]= ò1
x.dx = [ 12
0,5
=12
x2] √1
0,5
−1
2
14
=12
−18
=38
=0,375
Exercice 0 3
1/ Déterminer le réel k pour que la fonction f définie sur [0;1] par : f ( x ) =
kx
1+x2 soit une densité de probabilité
sur [0 ; 1]
2/ Déterminer alors p([0,5 : 1])
1/ f est continue et positive sur [0;1]. On doit avoir ∫0
1 kx
1+ x2 dx=1
1 kx
1+ x2 dx=[ k
Or ∫0
2
ln(1+ x2)]10
=k
2
ln(2)−k
2
ln(1)= k
2
ln(2) Donc k
2
ln2=1 et k= 2
ln2
2/ f (x)=
1 kx
1+ x2 dx=[ k
kx
1+ x2 et p([0,5 : 1]) = ∫
0,5
2
ln (1+ x 2)] 1
= k
2
0,5
ln(2)− k
2
ln( 54
)=k
2
ln (85
)
Mais k= 2
ln2 donc p([0,5 : 1]) = 1
ln2
ln( 85
)=ln8−ln5
ln2 ≈0,678
Exercice 0 4
Une entreprise produit des dalles en plâtre suivant une variable aléatoire continue X, en tonnes, qui prend
0
∫ses valeurs dans l'intervalle [0 ; 20] avec une densité de probabilité f définie par : f (x) = 0,015x – 0,00075 x2
1/ Démontrer que f est une densité de probabilité sur [0 ; 20].
2/ Calculer la probabilité de l'événement E "La production quotidienne est supérieure ou égale à 12 tonnes".
20
3/ Par définition, l'espérance de X vaut xf (x )dx . Calculer l'espérance mathématique de X.
1/ f est une fonction trinôme du second degré avec a < 0 sa concavité est tournée vers le bas de plus, f(0) = 0 et
f(20) = 0 donc sur [0 ; 20] f(x) ≥ 0 .
Elle est continue comme toute fonction polynôme.
20
f (x )dx=∫0
∫0
20
(0,015 x−0,00075 x2)dx=[0,0075 x2−0,00025 x3]20
0
=1
La fonction f est donc une densité de probabilité sur [0 ; 20]
2/ On cherche p(X > 12) = p(12 < X < 20) = ∫
20
0,015 x−0,00075 x2 dx=[0,0075 x2−0,00025 x3 ]20
12
12
= (0,0075× 20 2 – 0,00025× 20 3) - (0,0075× 12 2 – 0,00025× 12 3)
= 0,352
20
xf (x )dx=∫0
3/ E(X) = ∫0
20
(0,015 x2−0,00075 x3)dx=[0,005 x3−0,0001875 x4]20
0
=10
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Exercice 0 5
1/ Montrer que la fonction f définie par f(x) = 3e−3 x est une densité de probabilité sur [0 ; + ∞[
2/ Calculer alors p ([1 ; 2])
3/ Calculer alors p ([3 ; + ∞[)
1/ f est continue et positive su[0 ; + ∞[.
t
De plus lim
3 e−3x dx = lim
t →+∞∫0
t →+∞
[−e−3x ]t0
= lim
t →+∞
(−e−3t+ 1) = 1
2
3 e−3x dx=[−e−3x ]21
2/ p ([1 ; 2]) = ∫1
= - e -6 + e -3 =
1
e3− 1
e6=0,047
3/ p ([3 ; + ∞[) = lim
t
3 e−3x dx = lim
t →+∞∫3
t →+∞
[−e−3x ]t3
= lim
t →+∞
(−e−3t+ e−9) = e - 9
Exercice 0 6
1/ Montrer que la fonction f définie par f(x) = 1
10
e
−1
10
x est une densité de probabilité sur [0 ; + ∞[
2/ a) p est la loi de probabilité sur [0 ; + ∞[ de densité f. Déterminer p([ 1 ; 5]) et p ( 0 ≤ X ≤ 1 ). Donner la
valeur exacte puis la valeur approchée à 10 -3 près
3/ On note en minutes la durée X d'une conversation téléphonique. On suppose que X suit la loi de probabilité sur
[0 ; + ∞[ de densité f ( x ) = 1
10
e
−1
10
x . Quelle est la probabilité que la conversation dure :
a) Plus de 10 minutes ? Donner la valeur exacte puis approchée à 10 3 près
b) Entre 10 et 20 minutes ? Donner la valeur exacte puis approchée à 10 3 près
1/ f est continue et positive su[0 ; + ∞[. De plus lim
t 1
10
t →+∞∫0
e
−1
10 x
dx = lim
t →+∞
[−e
−1
10 x
]t0
= lim
t →+∞
(−e
−1
10 x
+ 1) = 1
5 1
10
2/ a) p([ 1 ; 5]) = ∫1
e
−1
10
x
dx = [−e
−1
10
x
]51
=−e
−1
2 + e
−1
10≈0,298
1 1
10
p ( 0 ≤ X ≤ 1 )= ∫0
e
−1
10
x
dx = [−e
−1
10
x
]10
=−e
−1
10 + 1≈0,095
10 1
10
3/ a) p ( X > 10 ) = 1 – p([0 ; 10]) = 1 - ∫0
e
−1
10 xdx = 1 - [−e
−1
10 x
]10
0
= 1−−e−11=e−1 ≈ 0,368
1
1 = e- 1 - e- 2 ≈ 0,233
b) p(10 < X < 20) = ò 20 e -
t 10
dx 10
10
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